【数学】2015年高考真题——重庆卷(文)(word版含解析)

2015普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(文史类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3},{1,3}A B ==，则A B ∩= （ ） A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D. {1,2,3} 【参考答案】C.【测量目标】集合的运算.【试题分析】由交集的定义得{1,3}A ∩=B . 故选C.2. “1x =”是“2210x x -+=”的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【参考答案】A. 【测量目标】充要条件.【试题分析】由“1x =”显然能推出“2210x x -+=”，故条件是充分的；又由“2210x x -+=”可得2(1)01x x -=⇒=，所以条件也是必要的；故选A.3. 函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是 （ ）A.[—3,1]B.（—3,1）C.(,3]-∞-∞∩[1,+)D. (,3)-∞-∞∪(1,+) 【参考答案】D.【测量目标】函数的定义域与二次不等式.【试题分析】由2230(3)(1)0x x x x +->⇒+->解得3x <-或1x >； 故选D.4. 重庆市2013年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下第4题图则这组数据中的中位数是 ( ) A. 19 B. 20 C. 21.5 D.23 【参考答案】B.【测量目标】茎叶图与中位数.【试题分析】由茎叶图知，第六第七个数据均为20，所以中位数为20 故选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为第5题图A.123+πB.136π C.73π D.52π【参考答案】B. 【测量目标】三视图.【试题分析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1；构成的一个组合体，故其体积为221132166ππ⨯1⨯+⨯π⨯1⨯=；故选B. 6. 若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan b =( ) A.17 B.16 C.57D. 56【参考答案】A.【测量目标】正切差角公式.【试题分析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123a b a b a b a a b a -+-=+-===+++⨯；故选A.7. 已知非零向量,a b r r 满足||4||,(2)b a a a b =+r r r r r且⊥则a r 与b r 的夹角为 （ ）A.3π B.2πC.23πD.56π【参考答案】C.【测量目标】向量的数量积运算及向量的夹角.【试题分析】由已知可得2=0a a b a a b ⋅⇒+⋅=r r r r r r（2+）02；设a r 与b r 的夹角为θ，则有22||||||cos 0a a b θ+⋅=⇒r r r 222||1cos 24||a a θ=-=-r r ，又因为[0,]θ∈π，所以23θπ=； 故选C.8. 执行如下图所示的程序框图，则输出s 的值为 （ ）第8题图A.34 B.56 C.1112D. 2524【参考答案】D. 【测量目标】程序框图.【试题分析】初始条件：s =0,k =0;第1次判断0<8,是，k =2,s =11022+=； 第2次判断2<8,是，k =4,s =113244+=；第3次判断4<8,是，k =6, s =31114612+=；第4次判断6<8,是，k =6,s =1112512824+=； 第5次判断8<8,否，输出s =2524.9. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）A.12±B.2±C.1±D.【参考答案】C.【测量目标】双曲线的几何性质.【试题分析】由已知得右焦点F （c ,0）（其中222,0c a b c =+>）,2212(,0),(,0),(,),(,)b b A a A a B c C c a a --;从而21(,)b A B c a a =+-uuu r ，22(,)b A C c a a =-uuu r ，又因为12A B A C ⊥,即22()()()()0b b c a c a a a -⋅++-⋅=；化简得2211b ba a=⇒=±，即双曲线的渐进线的斜率为1±；故选C.10. 若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为 （ ）A.3-B. 1C.43D.3 【参考答案】B. 【测量目标】线性规划. 【试题分析】第10题图如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：x +y -2=0与直线BC :x -y +2m =0互相垂直，所以三角形ABC 是直角三角形；易知，A （2，0），B （1-m ,m +1）,C(2422,33m m -+); 从而11224=|22||1||22|||2233ABC m S m m m ++⋅+-+⋅=△，化简得：2(1)4m +=，解得m =-3,或m =1；检验知当m =-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m =1; 故选B.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．复数(12i)i +的实部为________. 【参考答案】-2【测量目标】复数运算.【试题分析】由于(1+2i)i=i+22i =-2+i,故知其实部为-2.12. 若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________. 【参考答案】x +2y -5=0 【测量目标】圆的切线.【试题分析】由点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=，即x +2y -5=0.13. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos 4a C ==-，3sin 2sin A B =,则c =________. 【参考答案】4【测量目标】正弦定理与余弦定理.【试题分析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：3a =2b ,又因为a =2,所以b =3； 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以c =4; 14. 设,0,5ab a b >+=,________. 【参考答案】【测量目标】基本不等式.【试题分析】由2ab ≤22a b +两边同时加上22a b +得2()a b +≤222()a b +两边同时开方得：a b +0a >,0b >）且当且仅当a =b 时取“=”）；==13a b +=+，即73,22a b ==时，“=”成立）15. 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________. 【参考答案】23. 【测量目标】复数运算.【试题分析】方程22320x px p ++-=有两个负根的充要条件是21212=4p 4(32)020320p x x p x x p ⎧--≥⎪+=-<⎨⎪=->⎩V 即213p <≤或2p ≥；又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p ++-=有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3∪，故所求的概率2(1)(52)23503-+-=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分) 已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T . 【测量目标】(1)数列的通项公式；(2) 等比数列的前n 项和.【试题分析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得1132922,322a d a d ⨯+=+= 化简得11322,2a d a d +=+=解得111,2a d ==, 故通项公式112n n a -=+，即12n n a +=.(2)由（1）得14151511,82b b a +====. 设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而q =2.故{}n b 的前n 项和 1(1)1(12)21112n n n n b q T q -⨯-===---. 17．(本小题满分13分，（1）小问10分，（2）小问3分)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：（1）求y 关于t 的回归方程ˆˆˆybt a =+ （2）用所求回归方程预测该地区2015年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程ˆˆˆybt a =+中 1122211()(),()ˆ.nni i i ii i n ni i i i x x y y x y nxyb x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑【测量目标】：线性回归方程. 【试题分析】(1)列表计算如下ii ti y2i ti i t y1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 50 ∑153655120这里111151365,3,7.255n n i i i i n t t y y n n =========∑∑ 又22211555310,120537.212.nnny iny i i i i l tnt l t y nt y ===-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑从而12ˆˆˆ1.2,7.2 1.23 3.610ny ny l b a y bt l ====-=-⨯=.故所求回归方程为ˆ 1.2 3.6yt =+. (2)将t =6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为ˆ 1.26 3.610.8y=⨯+= 18．(本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分)已知函数21()sin 22f x x x =. (1)求f （x ）的最小周期和最小值；(2)将函数f （x ）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象.当x ∈[,]2ππ时，求g (x )的值域.【测量目标】(1)三角函数的性质和恒等变换；(2)正弦函数的图象及性质. 【试题分析】(1) 211()sin 2sin 2(1cos 2)222f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)22232x x x π=--=--. ,因此()f x 的最小正周期为π，最小值为22+-.(2)由条件可知：()sin()3g x x π=-.当[,]2x π∈π时，有[,]363x ππ2π-=，从而sin()3x π-的值域为1[,1]2，那么sin()3x π--的值域为.故g()x 在区间[,]2ππ上的值域是. 19．(本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分) 已知函数32()()f x ax x a =+∈R 在x =43-处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若()()e x g x f x =，讨论的单调性.【测量目标】(1)导数与极值；(2)导数与单调性. 【试题分析】 (1)对()f x 求导得2()32f x ax x '=+因为f (x )在43x =-处取得极值，所以4()03f '-=， 即16416832()09333a a ⨯+⨯-=-=,解得12a =.(2)由(1)得，321()e 2x g x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭, 故232323115()2e e 2e 2222x x x g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1(1)(4)e 2x x x x ++令()0g x '=，解得0,14x x x ==-=-或. 当4x <-时，()0g x '<,故g (x )为减函数； 当41x -<<-时，()0g x '>,故g (x )为增函数； 当10x -<<时，()0g x '<,故g (x )为减函数； 当0x >时，()0g x '>,故g (x )为增函数；综上知g (x )在(,4)-∞-和(-1,0)内为减函数，(4,1)(0,)--+∞和内为增函数. 20．(本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分) 如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC =2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD =DE =EC =2，PD =PC =4，点F 在线段AB 上，且EF //BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE.(2)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.第20题图【测量目标】(1)空间线面垂直关系；(2)锥体的体积；(3)方程思想.【试题分析】（1）证明：如图.由DE =EC ，PD =PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因,2ABC EF BC π∠=∥,故AB ⊥EF . 从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PFE .(2)解：设=BC x ,则在直角△ABC 中，AB =从而1122ABC S AB BC =⋅=△由EF ∥BC 知23AF AE AB AC ==，得△AEF ∽△ABC ,故224==39AEF ABC S S △△（）， 即49AEF ABC S S =△△. 由12AD AE =,11421==22999AFD AFE ABC ABC S S S S =⋅=△△△△从而四边形DFBC的面积为117=2918DFBC ABC ADF S S S =-=△△.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高. 在直角△PEC 中,PE ==体积11773318P DFBC DFBC V S PE -=⋅⋅=⨯=, 故得42362430x x -+=，解得22927x x ==或，由于x >0，可得3x x ==或所以3BC =或BC =21、(本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分)如图，椭圆22221x y a b +=（a >b >0）的左右焦点分别为12,F F ,且过2F 的直线交椭圆于P ,Q 两点，且PQ ⊥1PF .(1)若1||2PF =，2||2PF =，求椭圆的标准方程. (2)若|PQ |=1||PF λ，且34≤λ≤43，试确定椭圆离心率的取值范围.第21题图【测量目标】(1)椭圆的标准方程；(2)椭圆的定义；(3)函数与方程思想. 【试题分析】标准文案大全 (1)由椭圆的定义，122||||(2(24a PF PF =+=+=,故a =2.设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122||c F F ====c =从而1b == 故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)如图，由11,||||PF PQ PQ PF λ=⊥,得11|||QF PF ==由椭圆的定义,1212||||2,||||2PF PF a QF QF a +=+=,进而11||||||4PF PQ QF a ++=于是1(1||4PF a λ+=解得1||PF =21||2||PF a PF =-=由勾股定理得222221212||||(2)4|PF |PF F F c c +===,从而2224c ⎛⎫+=, 两边除以24a2e =,若记1t λ=+，则上式变成22224(2)111842t e t t +-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭. 由34≤43λ≤，并注意到1λ+λ的单调性，得3≤t ≤4，即11143t ≤≤，进而212e ≤≤59，即2e ≤。

更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x>”是“12 log(2)0x+<”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、13π+ B、23π+C、123π+ D、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且（a-b）⊥（3a+2b），则a与b的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A、s≤34B、s≤56C、s≤1112D、s≤1524更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【答案】C【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此11111 24612S=++=（此时6k=）还必须计算一次，因此可填1112s≤，选C.【考点定位】程序框图.8．已知直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C：224210x y x y+--+=的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （）A、2B、42C、6D、210【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-UB 、(,1)(1,)-∞-+∞UC 、(2,0)2)-UD 、(,2)2,)-∞+∞U 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．532xx⎛+⎪⎝⎭的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】二项式定理13．在V ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.【答案】6【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3}B =,则( )A .AB =B .AB =∅C .A BD .B A 2.在等差数列{}n a 中,若24a =,42a =则6a =( )A .1-B .0C .1D .63.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .234.“1x >”是“12log (2)0x +<”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .即不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1π3+ B .2π3+ C .12π3+D .22π3+ 6.若非零向量a ,b 满足|a|3=|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ), 则a 与b 的夹角为 ( )A .π4 B .π2C .3π4D .π7.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内 可填入的条件是 ( )A .34s ≤ B .56s ≤C .1112s ≤D .2524s ≤8.已知直线l :10()x ay a +-=∈R 是圆C :224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB = ( ) A .2 B.C .6D.9.若πtan 2tan 5α=,则3πcos()10πsin()5αα-=- ( )A .1B .2姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .3D .410.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( )A .(1,0)(0,1)- B .(,1)(1,)-∞-+∞C.((0,2) D.(,(2,)-∞+∞二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.设复数i(,)a b a b +∈R 则(i)(i)a b a b +-= . 12.35(x 的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）.13.在ABC △中,120B=︒,AB =,A 的角平分线AD =则AC = .考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.如图,圆O 的弦AB ,CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若6PA =,9AE =,3PC =,:2:1CE ED =,则BE = .15.已知直线l 的参数方程为1,1,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为23π5πcos24(0,)44ρθρθ=><<,则直线l 与曲线C的交点的极坐标为 .16.若函数()|1|2||f x x x a =++-的最小值为5,则实数a = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率;（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数2π()sin()sin 2f x x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值;（Ⅱ）讨论()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问9分）如图,三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面ABC ,3PC =,π2ACB ∠=.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD DE =22CE EB ==. （Ⅰ）证明:DE ⊥平面PCD ; （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问5分）设函数23()()xx axf x a e+=∈R . （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数,求a 的取值范围.21.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中,13a =,2*110()n n n na a a a n λμ++++=∈Ν. （Ⅰ）若0λ=,2μ=-,求数列的{}n a 的通项公式;数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）（Ⅱ）若*0001(,2)k k k λ=∈Ν≥,1μ=-,证明:010011223121k a k k ++<<+++.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】集合{1,2,3}A =，{2,3}B =，可得A B ≠，{2,3}A B =，所以B 是A 的真子集，所以D 正确.【提示】直接利用集合的运算法则求解即可. 【考点】子集，真子集 2.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则426611()(4)222a a a a =+=+=，解得60a =.【提示】直接利用等差中项求解即可. 【考点】等差数列的性质 3.【答案】B【解析】样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为2020202+=. 【提示】根据中位数的定义进行求解即可. 【考点】茎叶图4.【答案】B【解析】由“12log (2)0x +<”得21x +>，解得1x >-，故“1x >”是“12l o g (2)0x +<”的充分不必要条件.【提示】解“12log (2)0x +<”，求出其充要条件，再和1x >比较，从而求出答案.【考点】充要条件 5.【答案】A【解析】由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为22111111π2=π2323⨯⨯⨯+⨯⨯+.【提示】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可. 【考点】由三视图求面积和体积 6.【答案】A【解析】()(32)a b a b -⊥+，()(32)0a b a b ∴-+=，即22320a b a b --=，即2222323a b a b b =-=，22223cos ,||||22ba b a b a b b ∴<>===，即πcos ,4a b <>=. 【提示】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可. 【考点】数量积表示两个向量的夹角 7.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =），因此可填1112S ≤. 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当1112S >时，退出循环，输出k 的值为8，故判断框图可填入的条件是1112S ≤. 【考点】循环结构 8.【答案】C【解析】圆C ：224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆.由题意可得，直线l ：10xay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --，由于AC =，2CB R ==，∴切线的长||6AB .【提示】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：10x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB 的值. 【考点】直线与圆的位置关系 9.【答案】C 【解析】πtan 2tan5α=，则数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）1a a c=--，D 4b (0,1).由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，则由BD AC ⊥得2201b b a a c x a c -=---，c x -，利用D 到直线BC 的距离小于a +.【答案】3 解析】因为复数i (,)a b a b +∈R 的模为，所以222)3a b +==，则22i)(i)3b a b a b +-=+=.22a b +，恰好为已知复数的模的平方.【答案】5253x ⎛+ ⎝的展开式的通项公式为71521512rr r rT C x -+=T ，令71582r -=，2r =，故展开式中8x 的系数是251542C =. x 的幂指数等于8，求得r 的值，即可8x 的系数. 由题意以及正弦定理可知：sin sin AB ADADB B=∠，=，45ADB ∠=， 18012045A =--，可得30A =，则30C =，三角形ABC 是等腰三角形，606==.A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可. 【答案】22CE x =，ED x =，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，∴由2PA PC PD =，即363(33)x =⨯+，3x =，由相交弦定理可得数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）9BE CE ED =，即963BE =⨯，2BE ∴=.【提示】利用切割线定理计算CE ，利用相交弦定理求出BE 即可. 【考点】相交弦定理，切割线定理 15.【答案】(2,π)【解析】直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），它的直角坐标方程为：20x y -+=；曲线C 的极坐标方程为23π5πcos 240,44ρθρθ⎛⎫=><< ⎪⎝⎭，可得它的直角坐标方程为：224x y -=，0x <；由22204x y x y -+=⎧⎨-=⎩，可得2x =-，0y =，交点坐标为(2,0)-，它的极坐标为(2,π). 【提示】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化为极坐标即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程 16.【答案】6-或4【解析】函数()|1|2||f x x x a =++-，故当1a <-时，321,()21,1321,1x a x af x x a a x x a x -+-<-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+≥-⎩，根据它的最小值为()3215f a a a =-+-=，求得6a =-；当1a =-时，()3|1|f x x =+，它的最小值为0，不满足条件；当1a ≥-时，321,1()21,1321,x a x f x x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+≥⎩，根据它的最小值为()15f a a =+=，求得4a =. 综上可得，6a =-或4a =.【提示】分类讨论a 与1-的大小关系，化简函数()f x 的解析式，利用单调性求得()f x 的最小值，再根据()f x 的最小值等于5，求得a 的值. 【考点】带绝对值的函数 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有1112353101()4C C C P A C ==. （Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，则383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===，3()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个. 【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差，古典概型及其概率计算公式18.【答案】（Ⅰ）12-（Ⅱ）()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【解析】（Ⅰ）函数2()sin sin cos sin cos 2)2f x x x x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故函数的周期为22π=π，最大值为1- （Ⅱ）当π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2[0,3x π-∈π]，故当0232x ππ≤-≤时，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为增函数；当223x ππ≤-≤π时，即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为减函数.【提示】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）根据2[0,3x π-∈π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【考点】二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）19.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PC DE ∴⊥，2CE =，CD DE ==CDE ∴△为等腰直角三角形，CD DE ∴⊥，PC CD C =，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线，DE ∴⊥平面PCD . （Ⅱ）由（Ⅰ）知CDE △为等腰直角三角形，4DCE π∠=， 过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF FC EF ===，又由已知1EB =，故2FB =，由2ACB π∠=得DF AC ∥，23DF FB AC BC ==，故3322AC DF ==， 以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，(1,1,0)ED ∴=-，(1,1,3)DP =--，1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面P AD 的法向量1(,,)n x y z =，由113012n DP x y z n DA x y ⎧=--+=⎪⎨=-=⎪⎩，故可取1(2,1,1)n =， 由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取(1,1,0)ED =-，∴两法向量夹角的余弦值1212123cos ,6||||n n n n n n <>==∴二面角A PD C --.【提示】（Ⅰ）由已知条件易得PC DE ⊥，CD DE ⊥，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得ED ，DP ，DA 的坐标，可求平面P AD 的法向量1n ，平面PCD 的法向量2n 可取ED ，由向量的夹角公式可得.【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定 20.【答案】（Ⅰ）3e 0x y -=（Ⅱ）9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）222(6)e (3)e 3(6)()(e )e x x x xx a x ax x a x af x +-+-+-+'==，()f x 在0x =处取得极值，(0)0f '∴=，解得0a =， 当0a =时，23()ex x f x =，236()e xx x f x -+'=， 3f (1)e∴=，3f (1)e '=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为33(1)e ey x -=-，化为3e 0x y -=. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()exxa x af x -+-+'=， 令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x ，2x =.当1x x <时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即()0f x '>，此时函数()f x 为增函数；数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）当2x x >时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知23x =≤，解得92a ≥-， 因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.解法二：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，()0f x '∴≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立.令236()1x x u x x -+=-，223[(1)1]()0(1)x u x x --+'=<-， ()u x ∴在[3,)+∞上单调递减，9(3)2a u ∴≥=-，因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【提示】（Ⅰ）23(6)()exx a x af x -+-+'=，由()f x 在0x =处取得极值，可得(0)0f '=，解得A ，可得(1)f ，(1)f '，即可得出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()e xx a x a f x -+-+'=，令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x，2x =.对x 分类讨论：当1x x <时；当12x x x <<时；当2x x >时.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知2x =，解得即可. 解法二：“分离参数法”：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可得()0f x '≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立，令236()1x xu x x -+=-，利用导数研究其最大值即可.【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程21.（Ⅰ）2214x y +=【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||224a PF PF =+=+-=，故2a =， 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122||c F F ==，即c =，从而1b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）连接1F Q ，由椭圆的定义，12|||2|PF PF a =+，12|||2|QF QF a =+， 从而由122||||||||PF F PQ PF Q =++，有11||4||QF a PF =-， 又由1PQ PF ⊥，1||||PF PQ =，知111|||42||QF PF a PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=， 由21PF PF ⊥，知122||c F F =，因此c a e === 【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||a PF PF =+，求出a ，再根据122||c F F ==c ，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得111|||4a ||QF PF PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=，再一次根据勾股定理可求出离心率.【考点】椭圆的简单性质22.【答案】（Ⅰ）132n n a -g（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由0λ=，2u =-，有212()n n n a a a n ++=∈N .若存在某个0n +∈N ，使得00n a =，则由上述递推公式易得010n a +=， 重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾， ∴对任意,0n n a +∈≠N ，从而12()n n a a n ++=∈N ， 即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，故11132n n n a a q --==g .（Ⅱ）证明：由01k λ=，1u =-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=，变形为2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ， 由上式及130a =>，归纳可得12130n n a a a a +=>>⋯>>>⋯>.数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++Q g ， ∴对01,2,n k =⋯,求和得：00011211()()k k k a a a a a a ++=+-+⋯+-010000102000001111111112111313131k a k k k k a k a k a k k k k ⎛⎫⎛⎫=-++++>+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g …，另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>…， 得00110000102000001111111112111212121k k a a k k k k a k a k a k k k k +⎛⎫⎛⎫=-+++⋯+<+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g01221k =++.综上，010011223121k a k k ++<<+++. 【提示】（Ⅰ）把0λ=，2u =-代入数列递推式，得到212()n n n a a a n ++=∈N ，分析0n a ≠后可得12n n a a +=()n +∈N ，即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把01k λ=，1u =-代入数列递推式，整理后可得2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ，进一步得到22220010000011111111n n n nn n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++g ，对01,2,,n k =⋯求和后放缩可得不等式左边，结合001212k k a a a a +>>⋯>>>，进一步利用放缩法证明不等式右边.【考点】数列与不等式的综合。

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则A 、A=B B 、A ⋂B=∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D考点：集合的关系..2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B. 考点：等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B.【解析】试题分析：从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.. 考点：茎叶图，中位数.4．“x>1”是“12log （x+2）<0”的A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B考点：充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+【答案】A 【解析】试题分析：这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A.考点：组合体的体积.6．若非零向量a ，b 满足|a||b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 A 、4πB 、2πC 、34πD 、π 【答案】A【解析】 试题分析：由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以2320θ⨯--=，cos θ=，4πθ=，选A. 考点：向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C考点：程序框图.8．已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=A 、2B 、C 、6D 、【解析】试题分析：圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6==.选C.考点：直线与圆的位置关系.9．若tan α=2tan 5π，则3cos()10sin()5παπα-=- A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C考点：两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A 、（-1,0）⋃（0,1）B 、（-∞，-1）⋃（1，+∞）C 、（，0）⋃（0） D 、（-∞，）⋃，+∞） 【答案】A试题分析：由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得2201b b aa c x a c-⋅=---，解得42()bc x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<+=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.考点：双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi （a ，b ∈Ra+bi ）（a-bi ）=________. 【答案】3 【解析】试题分析：由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.考点：复数的运算.12．53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52考点：二项式定理13．在ABC 中，B=120o ，，A 的角平分线,则AC=_______.【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，即=，解得sin ADB ∠=， 45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=.考点：解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2考点：相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π 【解析】试题分析：直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化. 16．若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】4a =或6a =-考点：绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，含解析）1. 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4. 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A.6. 由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a ab b θ--=，所以23(cos 2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A. 7. 由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C. 8. 圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===.选C. 9.3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )210101010sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C.10. 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.11.由a bi +=223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=. 12.二项展开式通项为7153521551()()2k kkkk k k T C x C x--+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.13. 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠=，解得sin ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以18012030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=14. 首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3C E E D ==，再相交弦定理有A E E B C E E D ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 15. 直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.16. 由绝对值的性质知()f x 的最小值在1x =-或x a =时取得，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-.（大题解析在后面）2015重庆数学文原题 及 答案。

2015年全国高考文科数学试题—某某卷（附带解析）1.已知集合{1,2,3},{1,3}A B ==，则A B ⋂=（ ）A. {2}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2,3}答案：C分析：由已知及交集的定义得{1,3}A B ⋂=；故选C ．2.“1x =”是“2210x x -+=”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件答案：A分析：由“ 1x =”显然能推出“2210x x -+=”，故条件是充分的；又由“2210x x -+=”可得2(1)01x x -=⇒=，所以条件也是必要的；故选A ．3.函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是（ ） A. [3,1]- B. (3,1)- C. (,3][1,)-∞-⋃+∞D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞答案：D分析：由2230(3)(1)0x x x x +->⇒+->解得3x <-或1x >；故选D ．4.某某市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是（ ）A. 19B. 20C. 21.5D. 23答案：B分析：从茎叶图知所有数据据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B ．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.123π+ B.136πC. 73πD. 52π 答案：B分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1；构成的一个组合体，故其体积为22113121166πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=；故选B ．6.若11tan ,tan()32ααβ=+=，则tan β=（ ） A.17B. 16C. 57D. 56答案：A分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123a b a b a b a a b a -+-=+-===+++⨯；故选A ．7.已知非零向量,a b 满足||4||b a =，且(2)a a b ⊥+则a 与b 的夹角为（ ） A.3πB. 2πC. 23πD. 56π答案：C分析：由已知可得2(2)020a a b a a b ⋅+=⇒+⋅=；设a 与b 的夹角为θ，则有2222||12||||||cos 0cos 24||a a a b a θθ+⋅=⇒=-=-，又因为[0,]θπ∈，所以23πθ=，故选C ．8.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）A.34B. 56C. 1112D. 2524答案：D分析：初始条件：0,0s k == ；第1次判断08<，是，112,022k s ==+=； 第2次判断28<，是，1134,244k s ==+=； 第3次判断48<，是，31116,4612k s ==+=；第4次判断68<，是，111258,12824k s ==+=；第5次判断88<，否，输出2524s =；故选D ．9.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A. 12±B. C. 1±D. 答案：C分析：由已知右焦点(,0)F c （其中222,0c a b c =+>），12(,0)(,0)A a A a -；22(,),(,)b b B c C c a a-从而2212(,),(,)b b A B c a A C c a a a =+-=-，又因为12A B A C ⊥，所以120A B A C ⋅=即22()()()()0b b c a c a a a -⋅+-⋅=；化简得到2211b ba a=⇒=±，即双曲线的渐近线的斜率为1±．故选C ．10.若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ） A. 3-B. 1C.43D. 3答案：B分析：如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：20x y +-=与直线:BC 20x y m -+=互相垂直，所以三角形ABC 是直角三角形；易知，(2,0)A ，(1,1)B m m -+，2422(,)33m m C -+；从而11224|22||1||22|||2233ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=，化简得：2(1)4m +=，解得3m =-，或1m =；检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以1m =；故选B ．11.复数(12)i i +的实部为________．答案：2-分析：由于2(12)22i i i i i +=+=-+，故知其实部为2-；故填：2-．12.若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________．答案：250x y +-=分析：由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=；故填：250x y +-=．13.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且12,,3sin 2sin 4a cosC A B ==-=，则 c =________．答案：4分析：由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =，又因为2a =，所以3b =； 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =；故填：4．14.设,0,5a b a b >+=的最大值为 ________．答案：分析：由222ab a b ≤+ 两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：0,0a b a b +≤>>且当且仅当a b =时取“=”）；从而有≤==13a b +=+即73,22a b ==时，“=”成立）故填：15.在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________． 答案：23分析：方程22320x px p ++-=有两个负根的充要条件是2121244(32)020320p p x x p x x p ⎧∆=+-≥⎪+=-<⎨⎪=->⎩即213p <≤或2p ≥；又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p ++-=有两个负根的p 的取值X 围为2(,1][2,5]3⋃，故所求的概率2(1)(52)23503-+-=-；故填：23．。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3}A =,{1,3}B =,则A B = ( )A .{2}B .{1,2}C .{1,3}D .{1,2,3} 2.“1x =”是“2210x x -+=”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .即不充分也不必要条件 3.函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( )A .[]3,1-B .(3,1)-C .(,3][1,)-∞-+∞D .(,3)(1,)-∞-+∞ 4.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .23 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .12π3+B .13π6 C .7π3D .5π26.若1tan 3α=,1tan()2αβ+=,则tan β=( )A .17B .16C .57D .567.已知非零向量a ,b 满足|b |=4|a |,且a ⊥(2a +b ),则a 与b 的夹角为( )A .π3B .π2C .2π3D .5π68.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A .34B .56 C .1112 D .25249.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F ,左、右顶点分别是1A ,2A ,过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B , C 两点.若12A B A C ⊥,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A .12±B. C .1± D.10.若不等式组20,220,20,x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为()姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）A .3-B .1C .43D .3二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. 11.复数(12i)i +的实部为 .12.若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为 .13.设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a =,1cos 4C =-,3sin 2sin A B =,则c = .14.设,0a b >,5a b +=,的最大值为 .15.在区间[]0,5上随机地选择一个数p ,则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为 .三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知等差数列{}n a 满足32a =,前3项和392S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =,415b a =,求{}n b 前n 项和n T .17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问10分,（Ⅱ）小问3分）随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程ˆˆybt a =+; （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年(6)t =的人民币储蓄存款.附:回归方程ˆˆˆybt a =+中, 1221ˆni ii nii t yntybtnt ==-=-∑∑,ˆˆay bt =-. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值;（Ⅱ）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.19.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）已知函数32()()f x ax x a =+∈R 在43x =-处取得极值. （Ⅰ）确定a 的值;（Ⅱ）若()()x g x f x e =,讨论()g x 的单调性.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,π2ABC ∠=,点D ,E 在线段AC 上,且2AD DE EC ===,4PD PC ==,点F在线段AB 上,且EF BC ∥.（Ⅰ）证明:AB ⊥平面PFE ;（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7,求线段BC 的长.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,程;数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由交集的定义得{1,3}AB ∩=. 【提示】直接利用集合的交集的求法求解即可. 【考点】集合的运算. 2.【答案】A【解析】由“1x =”显然能推出“2210x x -+=”，故条件是充分的，又由“2210x x -+=”可得2(1)01x x -=⇒=，所以条件也是必要的，故选A ．【提示】先求出方程2210x x -+=的解，再和1x =比较，从而得到答案.【考点】充要条件. 3.【答案】D【解析】由2230(3)(1)0x x x x +->⇒+->解得3x <-或1x >；故选D ． 【提示】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域. 【考点】函数的定义域，一元二次不等式. 4.【答案】B【解析】由茎叶图知，第六第七个数据均为20，所以中位数为20. 故选B ．【提示】根据中位数的定义进行求解即可. 【考点】茎叶图与中位数. 5.【答案】B ．a 与b 的夹角为，又因为[0,]θ∈π，所以数学试卷第7页（共14页）数学试卷第8页（共14页）数学试卷第9页（共14页）数学试卷第10页（共14页）数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE EF ，都垂直，所以AB ⊥平面PFE .数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）12AB BC x =AF AE AB AC ==1429ABC S =△形D236x1173318DFBC S PE =⨯2430=，解得2x ，可得333x x ==或.4c。

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3}A =,{1,3}B =,则A B = ( )A .{2}B .{1,2}C .{1,3}D .{1,2,3} 2.“1x =”是“2210x x -+=”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .即不充分也不必要条件 3.函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是( )A .[]3,1-B .(3,1)-C .(,3][1,)-∞-+∞D .(,3)(1,)-∞-+∞ 4.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .23 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .12π3+B .13π6 C .7π3D .5π26.若1tan 3α=,1tan()2αβ+=,则tan β=( )A .17B .16C .57D .567.已知非零向量a ,b 满足|b |=4|a |,且a ⊥(2a +b ),则a 与b 的夹角为( )A .π3B .π2C .2π3D .5π68.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A .34B .56 C .1112 D .25249.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F ,左、右顶点分别是1A ,2A ,过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B ,C 两点.若12A B A C ⊥,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A .12±B.C .1±D.10.若不等式组20,220,20,x y x y x y m +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为()姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）A .3-B .1C .43D .3二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. 11.复数(12i)i +的实部为 .12.若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为 .13.设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a =,1cos 4C =-,3sin 2sin A B =,则c = .14.设,0a b >,5a b +=,的最大值为 .15.在区间[]0,5上随机地选择一个数p ,则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为 .三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知等差数列{}n a 满足32a =,前3项和392S =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =,415b a =,求{}n b 前n 项和n T .17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问10分,（Ⅱ）小问3分）随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程ˆˆybt a =+; （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年(6)t =的人民币储蓄存款.附:回归方程ˆˆˆybt a =+中, 1221ˆni ii nii t yntybtnt ==-=-∑∑,ˆˆay bt =-. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数21()sin 22f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值;（Ⅱ）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.19.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）已知函数32()()f x ax x a =+∈R 在43x =-处取得极值. （Ⅰ）确定a 的值;（Ⅱ）若()()x g x f x e =,讨论()g x 的单调性.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,π2ABC ∠=,点D ,E 在线段AC 上,且2AD DE EC ===,4PD PC ==,点F在线段AB 上,且EF BC ∥.（Ⅰ）证明:AB ⊥平面PFE ;（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7,求线段BC 的长.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分）如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,程;的取值范围.数学试卷第5页（共26页）数学试卷第6页（共26页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）答案解析数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）；设a与b的夹角为2π；5 / 13数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以1m =；故选B ．7 / 13数学试卷第15页（共26页）数学试卷第16页（共26页）9 / 13数学试卷第19页（共26页）数学试卷第20页（共26页）11 / 1312AB BC x =23AE AC ==1429ABC S =△ABC S S -△△1173318DFBC S PE =⨯2430+=，解得2x数学试卷第23页（共26页）数学试卷第24页（共26页）13 / 13。

2015年高考重庆卷理数试题解析（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、AB D 、B A【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、13π+ B 、23π+C 、 123π+D 、223π+ 【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2πC 、34πD 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ）A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112D 、s ≤1524【答案】C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C . 【考点定位】程序框图.8．已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2B 、42C 、6D 、210【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.9．若tan2tan5πα=，则3 cos()10sin()5παπα-=-（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x ya b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于22a a b++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、(1,0)(0,1)- B、(,1)(1,)-∞-+∞C、(2,0)(0,2)- D、(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．设复数a+bi（a，b∈R）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．532xx⎛+⎪⎝⎭的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2【考点定位】二项式定理13．在ABC中，B=120o，AB2，A的角平分线AD3则AC=_______.6【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3},B {1,3}A ，则A B = (A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3}2.“x 1”是“2x 210x ”的(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是 (A) [3,1] (B) (3,1)(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞4.重庆市2013年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)123π+ (B)136π(C) 73π (D) 52π 6.若11tan ,tan()32,则tan = (A)17 (B) 16 (C) 57 (D) 567.已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为(A) 3 (B) 2(C) 23 (D) 568.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s 的值为(A)34 (B) 56 (C) 1112 (D) 25249.设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为(A)12(B) 22 (C) 1 (D)2 10.若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．复数(12i)i 的实部为________.12.若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________. 13. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C3sin 2sin A B ,则c=________. 14.设,0,5a ba b ,1++3a b 的最大值为 ________.15. 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p 有两个负根的概率为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。