【2015届高考】数学模拟新题分类汇编：专题四 数列

专题四 数列等差数列﹑等比数列数列的概念1.（黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷）已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. 23n a n =-B. 23n a n =+C. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ D. 1,123,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【答案】：C【解析】：当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-。

由于当1n =时1a 的值不适合2n ≥的解析式，故通项公式为C2. （湖北孝感高中2014届高三上学期期末考试数学）在数列{}n a 中，已知1222,7,n a a a +==等于1()n n a a n N +∈*的个位数，则2014a 等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 【答案】A【解析】由题意得：3456789104,8,2,6,2,2,4,8a a a a a a a a ========L ，所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故201448a a == 二、填空题6. 成都七中高2014届一诊模拟数学试卷在数列{}n a 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = . 【答案】1-【解析】由21n n n a a a ++=-得32111n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=--=-，所以该数列的周期为6，故20144a a =，由12341,5,4,1a a a a ====-得 7.2014湖南长郡中学月考（五）文科数学等差数列1..设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若94=a ，116=a ，则9S 等于（ ）A 、180B 、90C 、72D 、100 【答案】B 【解析】()()()1946999+911+9===90222a a a a S +?=2.等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则15S 的值为（ ） A ．180 B ．240 C ．360 D ．720【答案】C 【解析】3.【答案】C【解析】由题意知()()184********=70,0,022a a a a S a a a S ++<+>\==> 4. （江西景德镇市2014届高三第二次质检试题）等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数16431)(23-+-=x x x x f 的极值点，则=20132log a A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A【解析】因为'2()86f x x x =-+，所以14025201320138,28,4a a aa+==\=即，所以=20132lo g a 2lo g 42= 5.（宁夏银川一中2014届高三年级月考） 在等差数列{}n a 中，912162a a =+,则数列{}n a 的前11项和11S =（ ） A ．24 B ．48 C ．66 D ．132【答案】D 【解析】6. （南昌一中、南昌十中2014届高三两校上学期联考） 设n S 是等差数列{}n a 的前n119S S ＝( ) (A )1 (B )－1 (C )2D.12【答案】A【解析】()()1116111995111111921999112a a a S a a S a +===?+7.（湖北省黄冈中学2014高三数学期末考试）已知数列{}n a 的前n 项和()221n S n n t =-+-，则“1t =”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】等差数列的前n 项和的特点是形如“2=n S an bn +”，故数列{}n a 为等差数列Û101t t -=?8.（甘肃省张掖市2014届高三数学上学期第二次月考试题）等差数列}{n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】B【解析】因为013=S ，所以1377130,0S a a ===即，又因为121-=a ，所以使得0>n a 的最小正整数n 为8. 二、填空题9. （湖南常德市2013-2014学年度上学期高三检测考试） 已知{n a }为等差数列，若1235a a a ++=，78910a a a ++=, 则192021a a a ++=________. 【答案】20【解析】设数列的公差为d ，则78912366651810a a a a d a d a d d ++=+++++=+=，所以185d =，故192021a a a ++=789121212a d a d a d +++++103620d =+= 10. （浙江杭州2014届高三上学期期末考试）设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，3,0,211==-=+-m m m S S S ，则正整数m 的值为_____________． 【答案】5【解析】因为等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，3,0,211==-=+-m m m S S S ， 所以1112,3m m m m m m a s s a s s -++=-==-=，数列的公差11,3d a m ==-. 由2(m 1)(3)10,502m m s m m m m -=-+⨯=-=，得正整数m 的值为5.等比数列1.（南昌一中、南昌十中2014届高三两校上学期联考）已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（ ）(A )342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(B )1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ (C )243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(D )1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意得()()()2114a a a +=-+，解得5a =，故124,6a a ==，所以11634442n n n a --⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2. （四川省泸州市2014届高三数学第一次教学质量诊断性考试试题）设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设数列的公比为q ，3.（ 山东省济南市2014届高三上学期期末考试）已知，等比数列}{n a 的公比为正数，且25932a a a =，22=a ，则=1a （ ）A ．21 B ．22 C ．2D ．2【答案】C 【解析】4. （山东省青岛二中2014届高三12月月考）在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10 【答案】A【解析】因为，正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，由对数运算法则及等比数列的性质，有6363693696lg 6,10,10a a a a a a a ===，6100a =，22111610010000a a a ===，故选A.5. （成都七中高2014届一诊模拟数学试卷）已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。

专题一：数列（文）考点一：等差、等比数列公式⎩⎨⎧项和公式前通项公式n1.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若484a S =，则=10a （ ） A.217 B.219C.10D.12 2.【2015高考安徽，文13】已知数列{}n a 中，21,111+==-n n a a a ，)2(≥n ，则数列{}n a 的前9项和等于 .3.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中n n a a a 2,211==+，n S 为{}n a 的前n 项和，若126=n S ，则n = .4.【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若732a a a 、、成等比数列，且1221=+a a则=1a ，=d ．5.【2015高考福建，文17】等差数列{}n a 中，15,4742=+=a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b na n +=2，求nb b b b ++++Λ321的值考点二：等差、等比数列性质⎩⎨⎧部分和数列定理下标和定理1.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为2.【2015高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ．3.【2015高考福建，文16】 若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，2-、、b a这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于________．考点三：通项公式（公式法、累加法、累乘法、构造法、作差法、作商法、倒数法） 方法1：公式法1.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足2,103421=-=+a a a a（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足7332,a b a b ==，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 方法2：构造法1.【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知45,23,1321===a a a ，且当2n ≥时，112854-+++=+n n n n S S S S （1）求4a 的值；（2）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a a 211为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式． 方法3：做差法1.【2015高考四川，文16】设数列{}n a )3,2,1(Λ=n 的前n 项和n S 满足32a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n T ，求n T考点四：前n 项和公式（分组求和法、裂项相消法、错位相减法） 方法1：裂项相消法1.【2015高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且8,93241==+a a a a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11++=n n n n S S a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .方法2：错位相减法1.【2015高考湖北，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知100,,2,10211====S d q b a b （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1>d 时，记nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 2.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11+⋅n n a a 的前n 项和为12+n n（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设na n n ab 2)1(⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .考点五：综合问题之“奇偶项”1.【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2,121==a a ，且（I ）证明：n n a a 32=+ （II ）求n S考点六：数列与函数的综合1.【2015高考湖南，文21】 （本小题满分13分）函数x ae x f cos )(2=，),0[+∞∈x ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n 个极值点。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题：1.（2015北京理） 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2．（2015福建理）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）124. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．6．(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点：等比数列.7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>8．(2015重庆理)在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题：1.（2015安徽文）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2.（2015安徽理）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .3．（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．4．（2015广东理）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．5. （2015广东文）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+56c =-则b = ．【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .10．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】试题分析：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1nS n =-． 考点：等差数列和递推关系．11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．三、解答题：1. （2015安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.（2015安徽理） 设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.3、（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.4. （2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.5．（2015福建文） 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．6、（2015广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.7．（2015广东理）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题． 8．（2015湖北理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-.2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

2015高考数列试题1.(2015新课标理1)井4~ Sn为数列｛a n｝的前n项和.已知a n>0,(I )求｛a n｝的通项公式：(n )设1，求数列｛划｝的前n项和2.( 2015广东理)数列｛a n｝满足：a12a2nN(1)求a3的值;⑵求数列｛a n｝的前n项和T n；3 5 3.( 2015广东文)设数列a n的前n项和为S n, n .已知a i 1 , a2, a32 4 且当n 2时，45.2 5S n 8S n 1 S n 1.1求34的值；2证明：3. 1 ^a n为等比数列；23求数列a n的通项公式.4. ( 2015北京文)已知等差数列｛「｝满足二+ :=10,- -「=2.(I)求｛「.｝的通项公式；(U)设等比数列仇｝满足％=铅，旳=鼬；问：-一与数列P., ｝的第几项相等?5. ( 2015天津理)已知数列｛a n｝满足a n 2 qa n(q为实数，且q 1), n N ,& 2，且a?+a3,a3+a4,a4+a§成等差数列.(I) 求q的值和｛a n｝的通项公式；(II) 设b n lOg2a2n ,n N*，求数列｛b n｝的前n项和.a2n 16. ( 2015天津文)18•已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，｛b n｝是等差数列，且a1二b1 =1,b2 +b3 =2a3,a5 - 3b2 = 7 • (1)求｛a n｝和｛b n｝的通项公式;(2)设C n = a n b n ,n? N，求数列{C n} 的前n项和.7. （ 2015 福建文）等差数列a n中，a2 4 ，a4 a7 15 ．(i)求数列a n的通项公式；(n)设b n 2an 2 n，求b i b2 4 d。

的值.8(2015山东理)(18)(本小题满分12分)设数列｛a n｝的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.(I)求｛a n｝的通项公式；(II)若数列｛b n｝满足a n b n=log 32，求｛b n｝的前n项和T n.9 （2015重庆文）、（本小题满分12分，（I）小问7分，（II）小问6分）9已知等差数列a n满足a3=2，前3项和&=.2（I）求a n的通项公式；（II）设等比数列b n满足b| = a i，b4 = a!5，求b n前n项和10.（2015浙江文）已知数列｛a n｝和｛0｝满足，a1 2力1,a n 1 2a n(n* N ),1 *-b n b n1 1(n N ). n C1）求a n 与b n；（2）记数列｛a n b n｝的前n项和为T n，求⑴求数列｛a n ｝的通项公式;a(II )设b n (a n 1) 2 n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n12.（2015安徽文）已知数列a n 是递增的等比数列，且 a 1 a 4 9,a 2a 3 8.（1） 求数列 a n 的通项公式；a（2）设S n 为数列a n 的前n 项和，b n ——，求数列b n 的前n 项和T n 。

数列1.【2010•浙江理数】设为等比数列的前项和，，则（A）11 （B）5 （C）（D）【答案】D【解析】解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.【2010•全国卷2理数】如果等差数列中，，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C【解析】3.【2010•辽宁文数】设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B【解析】两式相减得， ，.4. 【2010•辽宁理数】设{a n }是有正数组成的等比数列，为其前n 项和。

已知a 2a 4=1,,则（A ） (B) (C) (D)【答案】B 【解析】由a 2a 4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B 。

5.【2010•全国卷2文数】如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=（A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C【解析】∵ ，∴6. 【2010•江西理数】等比数列中，，=4，函数，则（ ） A ．B.C.D.【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。

7.【2010•江西理数】（）A. B. C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

8.【2010•安徽文数】设数列的前n项和，则的值为（）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64【答案】A【解析】.9. 【2010•重庆文数】在等差数列中，，则的值为（）（A）5 （B）6（C）8 （D）10【答案】A【解析】由角标性质得，所以=510. 【2010•浙江文数】设为等比数列的前n项和，则(A)-11 (B)-8(C)5 (D)11【答案】A【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式11. 【2010•重庆理数】在等比数列中，，则公比q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】12.【2010•北京理数】在等比数列中，，公比.若，则m=（）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【答案】C13.【2010•四川理数】已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B）（C） 1 （D）2【答案】B【解析】由,且作差得a n＋2＝2a n＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 a2＝2a1故{a n}是公比为2的等比数列S＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1n则14. 【2010•天津理数】已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（）（A）或5 （B）或5 （C）（D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

2014年1卷17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.2014年2卷17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.2015年1卷(17)(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n 项和2015年2卷（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（16）设S n 是数列{a n }的前项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________．2016年1卷 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 。

2016-217.（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.2016-3（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个（17）（本小题满分12分） 已知数列的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明是等比数列，并求其通项公式 （II ）若53132S = ，求λ2017-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．812．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1102017-23.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk k S ==∑ ．2017-39．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．814．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．2018-14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5aA ．12-B ．10-C ．10D ．1214．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．2018-217．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．2018-317．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．2019-19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．2019-219．（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.2019-35．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ． 16B ． 8C ．4D ． 214．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________.。

2015年高考数列汇编一．选择题：1.（2015高考北京，理6）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ C ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->2.（2015高考浙江，理3）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（B ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <> 3.（2015高考重庆，理2）在等差数列{}n a 中，若42=a ，24=a ，则=6a （B ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、64.（2015高考福建，理8）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（D ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 二．填空题：5.（2015高考广东，理10）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += . (答案)10．6.（2015高考陕西，理13）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． (答案)57.（2015高考安徽，理14）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .(答案)21n-8.（2015高考新课标2，理16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (答案)1n-9.（2015江苏高考，11）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 (答案)2011三．解答题：10.（2015高考浙江，理20）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.解：（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=- 得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得， 211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；（2）由题意得21n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤， ∴11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++.11.（2015高考山东，理18）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）3,332,33211=∴+=∴+=a a S n n当1>n 时，11111333222,332-----=-=-=+=n n n n n n n n n a S S a S 即此时，⎩⎨⎧>==∴-1,31,31n n a n n（2）31,log 13=∴=b a b a n n n ，当n n n n n b n ----==>11313)1(3log 31时， 所以1113T b ==当1n > 时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-所以()()01231132313nn T n --=+⨯+⨯++-两式相减，得()()012122333133n nn T n ---=+++--⋅ ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623n n +=-⨯ 所以13631243n n n T +=+⨯ 经检验，1n = 时也适合， 综上可得：13631243n n n T +=+⨯ 13. （2015高考安徽，理18）设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -= ，证明14n T n≥. 解（1）：2221'(1)'(22)n n y xn x ++=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +. 从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. （2）证：由题设和（1）中的计算结果知22222213211321()()()242n n n T x x xn --== . 当1n =时，114T =.当2n ≥时，因为222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n x n n n n n-------==>==， 所以211211()2234n n T n n->⨯⨯⨯⨯= . 综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥.14.（2015高考天津，理18)（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a +++成等差数列.(1)求q 的值和{}n a 的通项公式； (2)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.解：（1）由已知，知)()()()(43543243a a a a a a a a +-+=+-+，即3524a a a a -=-，2,21),1()1(132332=∴====∴≠-=-∴q q a a a a q q a q a 由当)(12*∈-=N n k n 时,2221112---===n k k n a a当)(2*∈=N n k n 时,2222n kk n a a ===所以{}n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数为奇数，n n a n n n ,22221(2) 由(1)得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ， 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 两式相减得23111111112212122222222212n n n n n n n n n n S --=+++++-=-=--- ， 整理得1242n n n S -+=-所以数列{}n b 的前n 项和为124,*2n n n N -+-∈.15.(2015高考重庆，理22)在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++ 解：（1）由于0,2λμ==-，因此把已知等式具体化得212n n n a a a +=，显然由于13a =，则0n a ≠（否则会得出10a =），从而12n n a a +=，所以{}n a 是等比数列. （2）由211010,n n n n a a a a k +++-=可变形为2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()N n +∈, 由于00k >，因此11n n a a k <+，于是可得1n n a a +<，即有12130n n a a a a +=>>>>>> ，又2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-+?+++，于是有()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭ 000011112313131k k k k ⎛⎫>+⋅+++ ⎪+++⎝⎭01231k =++，可知2(*)n a n N >∈，因此01k a +=010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪⎪+++⎝⎭ 000011112212121k k k k ⎛⎫<+⋅+++ ⎪+++⎝⎭ 01221k =++.(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠.从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?.(2)由,1,1-==μλk 数列{}n a 的递推关系式变为012101=-+++n n n n a a k a a ,变形为)(1201*-∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+N n a k a a n n n 0100002020202112112,1,111111103,3k n a k k k a k a k k a k a a a a a a a a n n n n n nn n n =∙+-=++-=+=>>>>>>==+++所以归纳可得由上式及求和得()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-01000010200000011111111111112231313131k a k k k k a k a k a k k k k k ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪⎪+++⎝⎭⎛⎫>+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>> 得00110000102011111111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭0000111112221212121k k k k k ⎛⎫<+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭综上：010*******21k a k k ++<<+++16.（2015高考四川，理16）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.解（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+.所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 故2n n a =. （2）由（1）得112n n a =. 所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==-- . 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>.因为9102512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 17.(2015高考湖北，理18)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）由题意有，⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+92921210045101111d a d a d a d a 或解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+=⎩⎨⎧=-=∴--11929)792(91212n n nn n n b n a b n a 或 （2）)1(,212292725231,212,2,12,143211 n n n n n n n n T n c b n a d -++++++=∴-=∴=-=∴>--2345113579212222222n n n T -=++++++ . （2） ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- ，故n T 12362n n -+=-.18.(2015高考陕西，理21)（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．解：（I ）2()()212n n n F x f x x x x =-=++++- ，则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以()n F x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x .又1()120n n F x x nx-'=+++> ，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设.0,2)1)(1(1)()()(2>++-++++=-=x x n x x x x g x f x h n nn n 当1=x 时，)()(x g x f n n = 当1≠x 时，.2)1(21)(11--+-+++='n n x n n nx x x h若.02)1(2)1(2)1(2)(,10111111=+-+=+-+++>'<<------n n n n n n x n n x n n x n n nx x x x h x若02)1(2)1(2)1(2)(,1111111=+-+=+-+++<'>------n n n n n n x n n x n n x n n nx x xx h x 所以)(x h 在()1,0上递增，在),1(+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2n n n n n x f x x x x g x x ++=++++=>当1x =时, ()()n n f x g x =[来源:]当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(0)k k k h x kxk x x +=-++>，则()()11()(1)11(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,, 1.k n =+ 则111a b ==，11nn n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =. 当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥. 若01x <<，11n k x -+<，()0k m x '<，当1x >，11n k x-+>，()0km x '>， 从而()k m x 在(0,1)上递减，()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =，11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时，()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <.19.（2015高考新课标1，理17）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=错误！未找到引用源。

数列专题1.（15北京理科）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->2.（15北京理科）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．3.（15北京文科）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？4.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年广东文科）若三个正数a ，b ，c成等比数列，其中5a =+5c =-b = ． 6.(15年广东文科) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；()3求数列{}n a 的通项公式．7.（15年安徽理科）设*n N ∈，n x 是曲线231n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标，（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221221n n T x x x -=，证明14n T n≥.8.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 。