第5课时 简单的三角恒等变换

一、知识要点1、任意角三角函数的定义(1)单位圆定义法：在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的正弦，记作sinα，即sin α＝y；②x叫做α的余弦，记作cosα，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tanα，即tan α＝yx(x≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝y x.2、同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2，k∈Z)．注意：同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．(3)辅助角公式：a sinα＋b cosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，或tanφ＝ba，φ角所在象限与点(a，b)所在象限一致．3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）（1）公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z. （2）公式二：sin(π＋α)＝ - sin α，cos(π＋α)＝- cos α，tan(π＋α)＝tan α. （3）公式三：sin(－α)＝- sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝- tan α. （4）公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝-cos α，tan(π－α)＝-tan α.（5）公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六． （6）公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝-sin α. 4、两角和与差公式(1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β (2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β (3)tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β5、二倍角公式(1)sin2α＝2sin αcos α(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α67、函数y ＝tan x 的性质与图象8、函数()sin y A x ωϕ=+的图象* 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？ y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的 1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象． 途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象． * 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质(1)y max ＝A ＋k ，y min ＝－A ＋k ；A ＝y max －y min 2，k ＝y max ＋y min2.(2)ω可由ω＝2πT确定，其中周期T 可观察图象获得．(3)由ωx 1＋φ＝0，ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π中的一个确定φ的值．常考习题一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．21 3．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（ ） A.43- B.34- C.43 D.344．4tan 3cos 2sin 的值（ ）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在5．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-6．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ）A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π5 7．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中， 最小正周期为π的函数的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 。

简单的三角恒等变换讲义一、知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 注意：1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝)2cos 2(sin αα+2.( ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) 题组二：教材改编 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin )4(πα+等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.72103．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ .题组三：易错自纠5．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ . 6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 三、典型例题题型一：和差公式的直接应用1．已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－1122．已知角α为锐角，若sin )6(πα-＝13，则cos )3(πα-等于( ) A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16 3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 ． 思维升华：(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二：和差公式的灵活应用命题点1：角的变换典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为 ． 命题点2：三角函数式的变换 典例 (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1( -. 思维升华：(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．跟踪训练 (1)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答) (2)已知α∈)20(π，，β∈)20(π，，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 四、反馈练习1．若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos )4(πθ+的值为( )A.2＋106 B.22＋106 C.2－106 D.22－1062．若sin α＝45，则sin )4(πα+－22cos α等于( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425 3．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α等于( ) A ．－31010B.31010 C ．－35 D.354．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b5．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan )42(πα+等于( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117 D ．－17316．已知sin 2α＝23，则cos 2)4(πα+等于( ) A.16B.13C.12D.23 7．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D.28．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α9．若tan )4(πα-＝16，则tan α＝ . 10．化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 11．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2)4(απ-＝ . 12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin )45(βπ+＝ . 13．若α∈)2(ππ，，且3cos 2α＝sin )4(απ-，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.171814．已知cos )4(θπ+cos )4(θπ-＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 15．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．16．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f )84(πα-＝22，求tan )3(πα+的值．。

简单的三角恒等变换公式
三角恒等变换是一种数学操作，用于在不改变一个三角形的形状的情况下改变它的位置或方向。

下面是几个常用的三角恒等变换公式：旋转：如果要将三角形旋转角度θ，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x * cosθ - y * sinθ
y' = x * sinθ + y * cosθ
平移：如果要将三角形平移到新的位置 (x',y')，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x + x0
y' = y + y0
缩放：如果要将三角形缩放比例为k，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = k * x
y' = k * y
这些公式都可以使用单位矩阵来表示，例如旋转变换的单位矩阵如下：
[cosθ -sinθ]
[sinθ cosθ]。