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一、函数方法与指对运算（高一）预习. 对于函数f(x)=log1(x2−2ax+3),解答如下问题:2(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围;(3)若f(x)在[−1,+∞)上有意义,求实数a的取值范围;(4)若f(x)定义域为(−∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;(5)若函数的值域为(−∞,−1],求实数a的值;(6)若函数在(−∞,1]内为增函数,求实数a的取值范围.例1 已知2a+log2a=4b+2log4b, 则( )A.a<2bB.a>2bC.a<b2D.a>b2例2若2x−2y<3−x−3−y,则( )A.ln(y−x+1)>0B.ln(y−x+1)<0C.ln|y−x|>0D.ln|y−x|<0例3. 已知55<84,134<85,a=log53,b=log85,c=log138.则( ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b例4.设a,b∈R,且{(a−1)3+2021(a−1)=−2022(b−1)3+2021(b−1)=2022,求a+b的值. 例5. 读图并用适当的数学形式表达数量关系例6. 解不等式：8(x+1)3+10x+1≥x3+5x例7.若函数f(x)=√x−1+m在区间[a,b]上的值域为[a2,b2](b>a≥1),则实数m的取值范围为 .x yOa∙例8.设函数f (x )={2f (x −2),x ∈(1,+∞)1−|x |,x ∈[−1,1],若关于x 的方程f (x )−log a (x +1)=0, (a >0,且a ≠1)在[0,5]内恰有5个不同的根,则实数a 的取值范围为( )A.(0,√3)B.(√54,+∞)C.(√3,+∞)D.(√54,√3)例9. 已知函数f (x )={e x ,x ≥0 lg (−x ),x <0,若关于x 的方程f 2(x )+f (x )+t =0有三个不同的实根，求t 的取值范围.例10. 若方程|x 2−2x −1|−t =0有四个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则 2(x 4−x 1)+(x 3−x 2)的取值范围是( ).A.(8,6√2)B.(8,4√5]C.(6√2,4√5)D.(6√2,4√5]例11. 设定义为R的函数f(x)={5|x−1|−1,x≥0,若关于x的方程f2(x)−(2m+1)f(x)+x2+4x+4,x<0m2=0有七个不同的实数解,则m=( )A.6B.4或6C.6或2D.2例12. 函数f(x)是定义D在上的单调函数,且存在区间[a,b]⊂D,(其中a<b),使得x∈[a,b]时,函数f(x)的值域为[a,b],则f(x)是优美函数.若f(x)=m−2√x+3为优美函数,则实数m的取值范围是 .。
1.（福建理9）对于函数 (其中，)，选择的一组值计算和，所得出的准确结果一定不可能是 A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2 【答案】DA ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由题可知，，若有则，即，解得3 (全国Ⅰ理12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【答案】D4.（山东理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】A【解析】因为当时,,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为6个,选A.5.（陕西理3）设函数（R）满足，，则函数的图像是 （ ）【答案】B6. （天津理8）设函数若，则实数的取值范围是（ ）．Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C()sin f x a x bx c =++,,a b R c Z ∈∈,,a b c (1)f (1)f -[22-+(22+[1,3](1,3)()11x f x e =->-22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤()(),f a g b =()(1,1]g b ∈-2431b b -+->-22b <<+11y x =-2sin (24)y x x π=-≤≤()f x R 02x ≤<3()f x x x =-()y f x =x 02x ≤<3()f x x x =-()f x R (0)0f =(6)(4)(2)(0)0f f f f ====(1)0f =(3)0f =(5)0f =()y f x =x ()f x x ∈()()f x f x -=(2)()f x f x +=()y f x =()()212log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩()()f a f a >-a ()()1001,,-()()11,,-∞-+∞()()101,,-+∞()()101,,-∞-7.（天津文16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】．8.（上海文14）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 【答案】9.（江苏11）已知实数，函数，若，则a 的值为________ 【答案】10.（北京理13）已知函数，若关于x 的方程有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.【答案】【解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）。
函 数 练 习 题（一）班级 姓名一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =01(21)111y x x =+-++-2___________；3、若函数(1)f x+(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为。
4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+-()x R ∈⑵223y x x =+-[1,2]x ∈⑶311x y x -=+⑷311x y x -=+(5)x ≥ ⑸y =225941x x y x +=-＋⑺31y x x=-++⑻2y x x =-⑼y =⑽4y =y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x =。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间：⑴223y x x =++⑵y =⑶261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是；函数y =五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷x x f =)(，()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
精心整理《函数》复习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =01(21)111y x x =+-+-2为34、 求实数5⑴y =⑸y =⑼y =6三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x =。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴223y x x =++⑵y =261y x x =--789⑴1=y ⑶x f (。
A 10 A 1112 (A)02x << (B)0x <或2x > (C)1x <或3x > (D)11x -<<13、函数()f x =A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞D 、{2,2}-14、函数1()(0)f x x x x=+≠是（）A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =16、已知函数的定义域是，则的定义域为。
二次函数[知识]1．二次函数解析式的三种形式2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象和性质4ac －b 24a ，＋∞－∞，4ac －b 4a 时为偶函数，时既不是奇函数也不是偶函数考点一求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：[针对训练]1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式f(x)＝________________.2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式．考点二二次函数的图象与性质考法(一)二次函数的图象识别例1 (多选)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则()A．f(m＋1)＞0B．f(m＋1)＜0C．f(－2－m)＞0 D．f(－2－m)＜0[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”考法(二)二次函数的最值问题例2 (1)若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1,2]上有最大值4，则a的值为________．(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．[方法技巧]二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值情况(x )max ＝f (m )，f (x )min ＝f (n )f (x )max ＝max{f (n )，f (m )}x )min ＝f －b2a (x )max ＝f (n )，f (x )min ＝f (m )考法(三) 二次函数中恒成立问题例3 (1)已知关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0恒成立，求实数k 的取值范围．(2)若对∀x ∈[－1,0]，不等式－2x 2＋4x ＋6＋t ≤4恒成立，求实数t 的取值范围．[方法技巧]二次函数中恒成立问题的解题思路(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是a >0，b 2－4ac <0； (2)ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是a <0，b 2－4ac <0； (3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[针对训练]1．已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．与x的值无关2．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0]D．[－3,0]3．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．创新命题视角—— 二次函数零点分布的类型及解题方法一、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布及条件二、一元二次方程的实根分布的解题方法一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根的分布问题，常常转化为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)零点的分布问题．[典例] 已知f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，关于x 的方程f (x )＝1必有实数根；(2)若方程f (x )＝0在区间(－1,0)和 0，12内各有一个实数根，求实数t 的范围．[应用体验]1．(2021·湖北黄石港期中)已知一元二次方程x 2＋mx ＋3＝0(m ∈Z)有两个实数根x 1，x 2，且0<x 1<2<x 2<4，则m 的值为( ) A ．－4 B ．－5 C ．－6D ．－72．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝－x 2＋1，－1≤x ≤1，－|x －2|＋1，1<x ≤3，若方程f (x )－ax ＝0有5个实根，则正数a 的取值范围是( )A. 14，13B.6 1，14C.6 1，8－215D. 16－67，163．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，关于f (x )的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( ) A ．f (x )在区间[]－1，0上的最小值为1B ．f (x )在区间[]－1，2上既有最小值，又有最大值C ．f (x )在区间[]2，3上有最小值2，最大值5D ．当0<a <1时，f (x )在区间[]0，a 上的最小值为f (a )；当a >1时，f (x )在区间[]0，a 上的最小值为12．已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A ．{0，－3}B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[0，＋∞)D ．{0,3}3．已知二次函数f (x )满足f (x )＝f (－4－x )，f (0)＝3，若x 1，x 2是f (x )的两个零点，且122x x −=.(1)求f (x )的解析式； (2)若x >0，求g (x )＝xf (x )的最大值．二、综合练——练思维敏锐度1．若存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，则函数f (x )可能是( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋1 2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝03．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4B ．－2,4C ．2，－4D ．－2，－44．(多选)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －a 4在区间[]0，1上的最大值是32，则实数a 的值为( )A ．3B ．－6C ．－2D.1035．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为__________________．6．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为 －32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．7．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 9．已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1)若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； (2)若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈13，12恒成立，求实数a 的取值范围． 所以实数a 的取值范围是 258，7.。
高一函数练习题及答案高一函数练习题及答案高一阶段是学习数学的重要时期，其中函数是一个重要的内容。
函数作为数学的一个基础概念，对于学生来说是一个相对抽象的概念。
因此，通过练习题的方式来巩固和提高对函数的理解和运用能力是非常必要的。
本文将为大家提供一些高一函数练习题及答案，希望能够帮助大家更好地掌握函数的知识。
一、选择题1. 设函数f(x) = 2x + 3，那么f(4)的值是多少？A. 7B. 11C. 9D. 8答案：B. 11解析：将x = 4代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(4) = 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11。
2. 已知函数g(x) = x^2 + 3x - 2，求g(-1)的值是多少？A. -6B. -2C. 2D. 6答案：C. 2解析：将x = -1代入函数g(x) = x^2 + 3x - 2中，得到g(-1) = (-1)^2 + 3 × (-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4。
3. 函数h(x) = 3x^2 - 2x + 1，求h(2)的值是多少？A. 9B. 11C. 15D. 19答案：A. 9解析：将x = 2代入函数h(x) = 3x^2 - 2x + 1中，得到h(2) = 3 × 2^2 - 2 × 2 + 1 = 3 × 4 - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9。
二、填空题1. 设函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值是多少？答案：1解析：将x = -1代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(-1) = 2 × (-1) + 3 = -2 + 3 = 1。
2. 已知函数g(x) = x^2 + 3x - 2，求g(0)的值是多少？答案：-2解析：将x = 0代入函数g(x) = x^2 + 3x - 2中，得到g(0) = 0^2 + 3 × 0 - 2 = 0 - 2 = -2。
高一数学函数经典练习题(含答案详细)一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x^2+2x-15}{x}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq0$。
同时，分子中有$x-5$ 和 $x+3$ 两个因式，因此 $x\leq-3$ 或 $x\geq5$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } x\geq5 \text{ 或 }x\neq0\}$。
⑵ $y=1-\frac{x-1}{2x+2}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x+1}{2x+2}$。
然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq-1$。
同时，分子中有 $x-1$ 和 $x+1$ 两个因式，因此 $x\geq0$。
综合起来得到定义域为 $\{x|x\geq0 \text{ 且 } x\neq-1\}$。
2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x^2)$ 的定义域为 _。
_。
_；函数 $x-2f(x-2)$ 的定义域为答案：对于 $f(x^2)$，$x^2\in[0,1]$，因此 $x\in[-1,1]$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq1\}$。
对于 $x-2f(x-2)$，$x-2(x-2)\in[0,1]$，即 $2\leq x\leq3$。
因此定义域为 $\{x|2\leq x\leq3\}$。
3、若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则函数 $f(2x-1)$ 的定义域是；函数 $f(\frac{x+2}{x})$ 的定义域为。
答案：对于 $f(2x-1)$，$2x-1\in[-2,3]$，因此 $-1\leqx\leq2$。
综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq2\}$。
对于 $f(\frac{x+2}{x})$，$x\neq0$ 且 $\frac{x+2}{x}\in[-2,3]$，即 $-2x\leq x+2\leq3x$，解得 $-3\leq x\leq-1$ 或$x\geq2$。
高中同步测控优化训练(十)第二章 函数(二)(B 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设f :x →y =2x 是A →B 的映射，已知集合B ={0,1,2,3,4},则A 满足 A.A ={1，2，4，8，16} B.A ={0，1，2，log 23} C.A ⊆{0,1,2,log 23} D.不存在满足条件的集合 解析:A 中每个元素在集合中都有象，令2x =0，方程无解. 分别令2x =1,2,3,4,解得x =0,1,log 23,2. 答案:C2.若a 、b 是任意实数,且a ＞b ,则 A.a 2＞b 2B.a b ＜1 C.lg(a －b )＞0D.(21)a ＜(21)b答案:D3.设1＜x ＜a ，那么log a x 2、(log a x )2、log a (log a x )之间的大小顺序是 A.log a x 2＜(log a x )2＜log a (log a x ) B.log a x 2＜log a (log a x )＜(log a x )2 C.log a (log a x )＜(log a x )2＜log a x 2 D.(log a x )2＜log a x 2＜log a (log a x )解法一:令x =2,a =4,则log a x 2=log 44=1, (log a x )2=(log 42)2=41 log a (log a x )=log 4(log 42)=－21， ∴log a (log a x )＜(log a x )2＜log a x 2. 解法二:∵1＜x ＜a ，∴0＜log a x ＜1. log a x 2=2log a x ＞log a x ＞0,0＜(log a x )2＜log a x ,log a (log a x )＜log a 1=0, ∴log a (log a x )＜(log a x )2＜log a x 2. 答案:C 4.已知函数f (x )=⎩⎨⎧≤>0),(x3),0(log 2xx x 则f ［f (41)］的值是 A.9 B.91 C.－9D.－91解析:f (41)=log 241=－2,f (－2)=3－2=91. 答案:B5.当函数f (x )=2－|x －1|－m 的图象与x 轴有交点时，实数m 的取值范围是 A.－1≤m ＜0 B.0≤m ≤1 C.0＜m ≤1 D.m ≥1解析:函数f (x )=2－|x －1|－m 的图象与x 轴有交点，即方程2－|x －1|－m =0有解，∴m=2－|x －1|. ∴0＜m ≤1. 答案:C6.已知f (x )=a x ,g (x )=log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)g (3)<0,则f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是11111111OOOOxxxxy y yy ABD解析:∵f (3)=a 3>0,∴g (3)=log a 3<0. ∴0<a <1. 答案:C7.若函数y =21log (2－log 2x )的值域是(－∞,0)，则其定义域是A.x <2B.0<x <2C.0<x <4D.2<x <4 解析:令2－log 2x =u ,由题意知u >1log 2x <1,故0<x <2. 答案:B8.世界人口已超过56亿,若按千分之一的年增长率计算,则两年增长的人口就可相当于 一个A.新加坡(270万)B.香港(560万)C.瑞士(700万)D.上海(1200万) 解析:本题考查指数型函数的应用.若按10001的年增长率计算,则两年后增长的人口数y =560000(1+10001 )2－560000≈1120.56(万). 答案:D9.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是A.(101,1) B.(0,101)∪(1,+∞) C.( 101,10)D.(0,1)∪(10,+∞)解析:若函数f (x )的图象关于y 轴对称,则在y 轴两侧的对称区间上 ,它们的单调性相反. 由题可知,0≤|lg x |＜1, 即－1＜lg x ＜1,lg 101＜lg x ＜lg10, 所以101＜x ＜10. 答案:C现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是A.v =log 2tB.v =21log tC.v =212-tD.v =2t －2解析:五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，代入验证可知v =212-t 最接近.答案:C第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.方程log 3(1－2·3x )=2x +1的解x =_______. 解析:32x +1=1－2·3x ，即3(3x )2+2·3x －1=0. 解得3x =31,故x =－1. 答案:－112.3log9(lg2－1)2+5log25(log0.5－2)2等于_________. 解析:3log9(log2－1)2+5log25(log0.5－2)2=22529)25.0(lg log 21)12(lg log 21259-•-•+=9log9(1－lg2)+25log25(2－lg0.5)=1－lg2+2－lg0.5=3－lg(2×0.5)=3. 答案:313.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为_______元.解析:若其稿费为4000元，则应纳税3200×14%=448>420. 故稿费应小于4000元，设为x 元. 则(x －800)14%=420,解得x =3800(元).答案:380014.若函数f (x )=lg(x 2+ax －a －1)在区间［2,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是_________.解析:本题考查复合函数单调性的判定方法,要注意判断函数的单调性必须在函数的定义域内进行.∵函数f (x )在区间［2,+∞)上单调递增,∴－2a≤2,且x =2时,x 2+ax －a －1＞0,即 ⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤-,0124,22a a a∴⎩⎨⎧->-≥.3,4a a ∴a ＞－3,即实数a 的取值范围是(－3,+∞).答案:(－3,+∞)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x .(1)写出本年度预计的年利润y 与投入增加的比例x 的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内. 分析:年利润=(出厂价－投入成本)×年销售量.解:(1)由题意,得y =［1.2(1+0.75x )－1×(1+x )］×1000(1+0.6x )(0＜x ＜1). 整理,得y =－60x 2+20x +200(0＜x ＜1).(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,只需⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)12.1(x y 即⎩⎨⎧<<>+-,10,020602x x x 解得0＜x ＜31, 即为保证本年度的利润比上年度有所增加,投入成本的比例应满足0＜x ＜31. 16.(本小题满分10分)已知y =log 4(2x +3－x 2). (1)求定义域；(2)求f (x )的单调区间；(3)求y 的最大值，并求取最大值时x 的值. 解:(1)由2x +3－x 2>0,解得－1<x <3. ∴f (x )的定义域为{x |－1<x <3}. (2)令u =2x +3－x 2，则u >0,y =log 4u . 由于u =2x +3－x 2=－(x －1)2+4.再考虑定义域可知，其增区间是(－1，1)，减区间是［1，3).又y =log 4u 在(0,+∞)上为增函数，故该函数单调递增区间为(－1，1)，减区间为［１，３］.(3)∵u =2x +3－x 2=－(x －1)2+4≤4,∴y =log 4u ≤log 44=1.故当x =1，u 取最大值4时，y 取最大值1.17.(本小题满分12分)某电器公司生产A 型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A 型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.(1)求1997年每台A 型电脑的生产成本;(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:5=2.236,6=2.449)分析:出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解:(1)一方面可以根据1993年的出厂价求得1997年的出厂价;另一方面根据题意可把1997年的出厂价用1997年的生产成本表示,列出方程求解.设1997年每台电脑的生产成本为x 元,依题意,得 x (1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x =3200(元).(2)因为1993年至1997年四年间成本平均每年降低的百分率相等,因此可把1997年每台的生产成本用这个百分率来表示,而这个量应与第(1)问中求得的1997年每台电脑的生产成本相等,据此列出方程求解.设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y ,则依题意,得5000(1－y )4=3200,解得y 1=1－552,y 2=1+552(舍去). 所以,y =1－552≈0.11=11%. 即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%. 18.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的二次项系数为负数，且对任意x 恒有f (2－x )=f (2+x )成立，解不等式f ［21log (x 2+x +21)］＞f ［21log (2x 2－x +85)］. 解:因为对任意x ，恒有f (2－x )=f (2+x )成立，可得二次函数f (x )的对称轴是x =2.∵x 2+x +21=(x +21)2+41≥41, 2x 2－x +85=2(x －41)2+21≥21,∴21log (x 2+x +21)≤21log 41=2, 21log (2x 2－x +85)≤21log (21)=1.∵二次函数f (x )的二次项系数为负数，∴在对称轴左侧f (x )为增函数.∴21log (x 2+x +21)＞21log (2x 2－x +85) x 2+x +21＜2x 2－x +85 x 2－2x +81＞0x ＜－4144-或x ＞4144+. 故不等式的解集为(－∞,4414-)∪(4144+,+∞). 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x x ax 122-+的定义域恰为不等式log 2(x +3)+ 21log x ≤3的解集，且f (x )在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.解:由log 2(x +3)+ 21log x ≤3得log 2(x +3)≤3+log 2x =log 28x . ∴⎩⎨⎧->+≥.3,38x x x ∴x ≥73.设x 2＞x 1≥73,f (x 2)－f (x 1)=112122221212x x ax x x ax -+--+ =212121))(1(x x x x x ax -+.∵f (x )在［73，+∞)上单调递减, ∴f (x 2)＜f (x 1)，即212121))(1(x x x x x ax -+＜0.∵x 1x 2＞0,x 1－x 2＜0,∴ax 1x 2+1＞0，即a ＞－211x x . 由x 2＞x 1≥73知x 1x 2＞499,∴－211x x ＜－949∴a ≥－949.。
人教A 版2019必修第一册高一数学尖子生培优综合测试二（原卷版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（2020·上海复旦附中高一月考）设集合1|,24k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（）A ．A B=B ．BAC ．A BD ．AB =∅2．（2020·衡水市第十三中学高一月考）已知全集U R =,集合{|08,}A x x x R =<<∈和{|35,}B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个3．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A ．33-B ．33±C ．32-D ．32±4．（2020·绥德中学高二月考（理））已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，则实数m 的取值范围为（）A ．{}0-3，B ．[]-30，C ．][()--30∞⋃+∞，，D ．{}03，5．（2020·安徽省桐城市第八中学高一期中）若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log c e =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b >>6．（2020·新安县第一高级中学高二月考）函数()32ln x x f x x-=的图象大致为（）A．B．C．D．7．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞8．（2020·广东省广东实验中学高一期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是()下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论:①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1;②函数f (x )偶函数;③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立;⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A ．2B ．3C ．4D ．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（2020·福建省宁化第一中学高一期中）下列运算错误的是（）A ．51152log 10log 0.252+=B ．42598log 27log 8log 59⋅⋅=C ．lg 2lg 5010+=D ．()22(23)5log (23)log 24+--=-10．（2020·山东省山东师范大学附中高一月考）下列叙述中不正确的是（）A ．若,,R a b c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若,,R a b c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件11．（2020·福建省高一期末）将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称12.（2020·山东省平邑县第一中学高三模拟）关于函数12()11x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（）A ．图像关于y 轴对称B ．图像关于原点对称C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·江西省奉新县第一中学高一月考）函数12sin y x =-的定义域是________.14．（2020·吉林省高三模拟）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于________．15．（2020·河北省唐山一中高二期中）若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．16．（2020·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知关于x 的不等式为()()()110-+≤∈ax x a R ，若1a =，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则a 的取值范围是___________.五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）17．（2020·四川省高一期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35-，求cos 2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.18．（12分）（2020·江苏省高二期末）已知集合{|22}A x a x a =-+ ，{}2|41270B x x x =+- .（1）求集合B 的补集B R ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.19．（12分）（2020·河南省高一期末）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的λ区间.（1）判断(,)-∞+∞是否是函数31x y =+的λ区间；（2）若1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数log a y x =（其中0a >，1a ≠）的λ区间，求a 的取值范围.20．（12分）（2020·武功县普集高级中学高一月考）已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：x6π-3π56π43π116π73π176πy1-1311-13（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.21．（12分）（2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.22．（12分）（2020·安徽省淮北一中高一期中）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数()f t （千人）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+（*t ∈N ），人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足100(17,*),()130(730,*).t t t N g t t t t N ≤≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩（1）求该商场的日收益()w t （千元）与时间t （天）（130t ≤≤，*t ∈N ）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．人教A 版2019必修第一册高一数学尖子生培优综合测试二（解析版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（2020·上海复旦附中高一月考）设集合1|,24k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（）A ．AB =B ．BAC ．A BD ．AB =∅【答案】C【解析】对于集合B ，当2k n =时，2114222n n x =+=+，n Z ∈当21k n =-时，21114224n n x -=+=+，n Z ∈所以集合1{24k B xx ==+∣或1,}22k x k Z =+∈则A B ，故选：C2．（2020·衡水市第十三中学高一月考）已知全集U R =,集合{|08,}A x x x R =<<∈和{|35,}B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个【答案】A【解析】由题意知，集合{21B =--，，0，1，2，3，4}，因为集合{|08,}A x x x R =<<∈，由集合的交运算可得，{1A B ⋂=，2，3，4}，故阴影部分所表示集合为(){}210B A B ⋂=--，，ð，其中的元素共有三个.故选：A3．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A ．33-B ．33±C ．32-D ．32±【答案】C 【解析】∵点1,2P y ⎛⎫-⎪⎝⎭在单位圆上，32y ∴=±，则由三角函数的定义可得得13cos ,sin ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--4．（2020·绥德中学高二月考（理））已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，则实数m 的取值范围为（）A ．{}0-3，B ．[]-30，C ．][()--30∞⋃+∞，，D ．{}03，【答案】A【解析】因为函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[)0+∞，，所以[]()22(3)1230∆=-+-+=m m ，所以()2(3)330+-+=m m ，解得0m =或3m =-，所以实数m 的取值范围为{}0-3，.故选：A 5．（2020·安徽省桐城市第八中学高一期中）若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log c e =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【答案】B【解析】2111333311111394⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1a b <<，又22log log 21c e =>=，因此，c b a >>.故选：B.6．（2020·新安县第一高级中学高二月考）函数()32ln x x f x x-=的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域为{}0x x ≠，因为3322()ln ln ()()()x xx x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x x f x x x x-==-，当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B ，故选：A7．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞【答案】D【解析】令()0g x =可得()f x x a =+，作出函数()y f x =与函数y x a =+的图象如下图所示：由上图可知，当1a ≥时，函数()y f x =与函数y x a =+的图象有2个交点，此时，函数()y g x =有2个零点.因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选：D.8．（2020·广东省广东实验中学高一期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Qf x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是()下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论:①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1;②函数f (x )偶函数;③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立;⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当R x C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确.④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取12333,0,33x x x =-==，()33,0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭构成以233为边长的等边三角形，故正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（2020·福建省宁化第一中学高一期中）下列运算错误的是（）A ．51152log 10log 0.252+=B ．42598log 27log 8log 59⋅⋅=C ．lg 2lg 5010+=D ．()22(23)5log (23)log 24+--=-【答案】ABC【解析】对于A ，()11115252552log 10log 0.25log log 100.2552==⨯+=-，A 错误；对于B ，334259222lg31215339log 27log 8log 51215lg32228g g g g ⨯⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯，B 错误；对于C ，lg 2lg 50lg1002+==，C 错误；对于D ，()222(23)15log(23)log 2124+⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭，D 正确．故选：ABC ．10．（2020·山东省山东师范大学附中高一月考）下列叙述中不正确的是（）A ．若,,R a b c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤”B ．若,,R a b c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【答案】AB【解析】A.当0a =时，不正确.B.当0b =时，“a c >”推不出“22ab cb >”不正确.C.当“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”时“0a <”，“0a <”推出“1a <”成立，反之不成立，所以正确.D.“1a >”是“11a<”的解是“1a >或0a <”，所以正确.故选：AB 11．（2020·福建省高一期末）将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称【答案】AC【解析】由题可知，()3tan 23tan 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为06g π⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；因为()g x 的周期为2T π=，故B 错误；因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得2,,33622x πππππ⎡⎤⎛⎫-∈-⊆- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故C 正确；因为正切函数不是轴对称函数，故D 错误.故选：AC.12.（2020·山东省平邑县第一中学高三模拟）关于函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（）A ．图像关于y 轴对称B ．图像关于原点对称C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于0【答案】ACD 【解析】函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭定义域为(,0)(0,)-∞+∞,①因为1211()111x x xe f x x e x e +⎛⎫=+=⋅ ⎪--⎝⎭111111()()111x x x x x x e e e f x f x x e x e x e --+++-=⋅=-⋅=⋅=----,故函数()f x 为偶函数,所以A 正确;②由①知,函数()f x 为偶函数,所以B 不正确;③当0x >时,10y x =>,且1y x=在()0,∞+单调递减,当0x >时,2101xy e =+>-,且211x y e =+-在()0,∞+单调递减,而12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,故()f x 在()0,∞+单调递调减,又由()f x 为偶函数,故()f x 在(),0-∞上单调递增,所以C 正确;④由①知,12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,当0x <,10x<,10x e +>,10x e -<,故此时()0f x >.故D 正确.故选:ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·江西省奉新县第一中学高一月考）函数12sin y x =-的定义域是________.【答案】72,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】由题意得：12sin 0x -≥1sin 2x ∴≤722,66k x k k ππππ∴-≤≤+∈Z即72,2,66x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 14．（2020·吉林省高三模拟）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于________．【答案】34【解析】∵12sin cos sin cos αααα+=-，∴2（sinα+cosα）=sinα﹣cosα，∴sinα=﹣3cosα∴tanα=﹣3，∴tan2α=221tan tan αα-=619--=3415．（2020·河北省唐山一中高二期中）若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．【答案】4【解析】由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，＝＝＝x －y ＋≥4，则的最小值为4.16．（2020·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知关于x 的不等式为()()()110-+≤∈ax x a R ，若1a =，则该不等式的解集是___________，若该不等式对任意的[]1,1x ∈-均成立，则a 的取值范围是___________.【答案】{}11x x -≤≤[]1,1-.【解析】当1a =时，()()110x x -+≤，解得：11x -≤≤.故解集为{}11x x -≤≤.令()()11y ax x =-+，[]1,1x ∈-.当0a =时，1y x =--，为减函数，所以当1x =-时，y 取得最大值0，即0y ≤恒成立.当0a >时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：00111a a a>⎧⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩.当0a <时，()()11y ax x =-+，如图所示：要满足[]1,1x ∈-，()()110ax x -+≤恒成立，只需满足：01011a a a<⎧⎪⇒-≤<⎨≤-⎪⎩.综上：11a -≤≤.故答案为：{}11x x -≤≤，[]1,1-五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）17．（2020·四川省高一期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35-，求cos 2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.【解析】（1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35-，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭.（5分）（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+.（10分）18．（12分）（2020·江苏省高二期末）已知集合{|22}A x a x a =-+ ，{}2|41270B x x x =+- .（1）求集合B 的补集B R ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.【解析】（1）271{|41270}{|}22B x x x x x =+-=-，7{|2R B x x ∴=<-ð或1}2x >．（6分）（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，∴722122a a ⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得：112a，即a 的取值范围是112a．（12分）19．（12分）（2020·河南省高一期末）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的λ区间.（1）判断(,)-∞+∞是否是函数31x y =+的λ区间；（2）若1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数log a y x =（其中0a >，1a ≠）的λ区间，求a 的取值范围.【解析】（1）因为30x >，则311x y =+>，故任取12,x x ，则122y y +>，根据题意，区间(),-∞+∞不是函数31x y =+的λ区间.（6分）（2）根据题意，若1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数log a y x =的λ区间，则：存在12,x x ，使得：12log log 2a a x x +=，整理得：212x x a =；因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故121,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即21,44a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得：()1,11,22a ⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭.（12分）20．（12分）（2020·武功县普集高级中学高一月考）已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：x6π-3π56π43π116π73π176πy1-1311-13（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.【解析】(1)绘制函数图象如图所示：设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ=-=．由2T πω=得1ω=．又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得21A B =⎧⎨=⎩,（3分）令5262k ππωϕπ⋅+=+，即5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，据此可得：23k πϕπ=-，又2πϕ<，令0k =可得3πϕ=-．所以函数的解析式为()213f x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（6分）(2)因为函数()213y f kx sin kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π，又0k >，所以3k =．令33t x π=－，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．sint s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，等价于函数sin y t =与y s =的图象有两个不同的交点，3,12s ⎡⎫∴∈⎪⎢⎪⎣⎭，所以方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的条件是)31,3m ⎡∈+⎣，即实数m 的取值范围是)31,3⎡+⎣．（12分）21．（12分）（2020宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.【解析】（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；（4分）（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0，()f x ∴是偶函数；（8分）（3）又()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=，当0x >时，()f x 递增，由()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是1{|}2x x ≤.（12分）22．（12分）（2020·安徽省淮北一中高一期中）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数()f t （千人）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+（*t ∈N ），人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足100(17,*),()130(730,*).t t t N g t t t t N ≤≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩（1）求该商场的日收益()w t （千元）与时间t （天）（130t ≤≤，*t ∈N ）的函数关系式；（2）求该商场日收益的最小值（千元）．【解析】（1）()()()400100,17,*,1305194,730,*.t t t N w t f t g t t t t N t +≤≤∈⎧⎪==⎨-+<≤∈⎪⎩（6分）（2）17t ≤≤时，()w t 单调递增，最小值在1t =处取到，()1500w =；（8分）730t <≤时，5194t -单调递减，最小值在30t =时取到，130t 单调递减，最小值在30t =时取到，则()w t 最小值为()130121030519120303w =-+=，由12105003<，可得()w t 最小值为12103．答：该商场日收益的最小值为12103千元．（12分）。
完整版高一函数大题训练带答案解析一、解答题1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bf x x->+()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由.2．已知函数21()|1|,R.f x x x =-∈我们定义211312()(()),()(()),,f x f f x f x f f x ==11()(()).n n f x f f x -=其中2,3,.n =（1）判断函数1()f x 的奇偶性，并给出理由； （2）求方程13()()f x f x =的实数根个数；（3）已知实数0x 满足00()(),i j f x f x m ==其中1,0 1.i j n m ≤<≤<<求实数m 的所有可能值构成的集合.3．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立.我们称()f x 为“类余弦型”函数.（1）已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值.（2）在（1）的条件下，定义数列()()()211,2,3,...n a f n f n n =+-=求20182019122222log log ...log log 3333a a a a+++的值. （3）若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数；设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论.4．已知函数()()21f x x x a x R =--+∈. （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.（2）当30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式.5．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 6．已知函数()2x f x =，2()log g x x =. （1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根； （2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值. 7．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同；（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤时，求2212m m +的取值范围.8．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．9．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数12,x x ，均有：1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称()f x 在D 上满足利普希茨(Lipschitz)条件．（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k 的值，并加以验证； （2）若函数()1f x x =+在[0,)+∞上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数k 的最小值； （3)现有函数()sin f x x =，请找出所有的一次函数()g x ，使得下列条件同时成立： ①函数()g x 满足利普希茨(Lipschitz)条件；②方程()0g x =的根也是方程()0f x =的根，且()()()()g f t f g t =； ③方程(())(())f g x g f x =在区间[0,2)π上有且仅有一解．10．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.11．已知函数()242 1.x xf x a =⋅--（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域； （2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围.12．已知函数()22f x x x a =+--.（1）当0a =时，求函数()f x 的零点；（2）若不等式()0f x <至少有一个负解，求实数a 的取值范围.13．对于函数f （x ），若f （x 0）=x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”；若f [f （x 0）]=x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”满足函数f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ={x |f （x ）=x }，B ={x |f [f （x ）]=x }． （Ⅰ）设f （x ）=x 2-2，求集合A 和B ； （Ⅱ）若f （x ）=x 2-a ，且满足∅A =B ，求实数a 的取值范围．14．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．15．一般地，我们把函数1110()()N --=∈n n n n h x a x a x a x a n ++++称为多项式函数，其中系数0a ，1a ，…, n a ∈R ．设()f x ，()g x 为两个多项式函数，且对所有的实数x 等式[()][()]f g x g f x =恒成立．（1）若2()3f x x =+，()(0)g x kx b k =+≠． ①求()g x 的表达式； ②解不等式()()5f x g x ->．（2）若方程()()f x g x =无实数根，证明方程[()][()]f f x g g x =也无实数解．【参考答案】一、解答题1．（1）f （x ）＝lnx －x ；（2）{1} 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知得：f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4），设x ∈（－4，－2）时，则x ＋4∈（0，2），代入x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜−12），求出f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4），再根据当x ∈（－4，－2）时，f （x ）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论； （2）假设存在实数b使得不等式()x bf x x->+对于x ∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b 的值． 试题解析：（1）由已知，f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4） 当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜－12） 当x ∈（－4，－2）时，x ＋4∈（0，2）， ∴f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4）∴当x ∈（－4，－2）时，f （x ）＝4f （x ＋4）＝4ln （x ＋4）＋4a （x ＋4）∴f '（x ）＝44x +＋4a ＝4a•144x a x +++， ∵a ＜−12，∴−4＜−1a−4＜−2，∴当x ∈（−4， −1a−4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（−1a−4，−2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数， ∴f （x ）max ＝f （−1a−4）＝4ln （−1a）＋4a （−1a）＝−4，∴a ＝－1 ∴当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －x（2）由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+即为ln x bx-> ①当x ∈（0，1）时，ln x bx- ⇒b ＞，令g （x ）＝，x ∈（0，1） 则g′（x ）＝令h （x ）＝， 则当x ∈（0，1）时，h′（x1x＜0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴g ′（x＞0， ∴g （x ）＜g （1）＝1，故此时只需b≥1即可；②当x ∈（1，2）时，ln x bx-⇒b ＜，令φ（x ）＝lnx ，x ∈（1，2）则φ′（x ）＝令h （x ）＝，则当x ∈（1，2）时，h′（x 1x ＞0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴φ′（x＞0， ∴φ（x ）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可， 综上所述：b ＝1，因此满足题中b 的取值集合为：{1}考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．2．（1）偶函数；答案见解析；（2）实数根个数为11；（3）⎪⎪⎩⎭.【解析】（1）由函数奇偶性的定义运算即可得解；（2）令1()f x t =，转化条件为0=t 或1，再解方程即可得解；（3）按照m ⎛∈ ⎝⎭、m ⎫∈⎪⎪⎝⎭分类，结合函数的单调性可得()(1,2,,)k f m m k n ≠=，再代入m =.【详解】（1）因为1()f x 的定义域R 关于原点是对称的，又2211()|()1||1|()f x x x f x -=--=-=，故函数1()f x 是偶函数；（2）令1()f x t =，则0t ≥，于是()()2231211()()()|1|1t f x f f x f f t t ====--，于是22|1|1t t -=+或22|1|1.t t -=-又0t ≥，解得0=t 或1，则方程13()()f x f x =的实数根个数即为210x -=或1的根的总个数，解得1x =±或0或 所以方程13()()f x f x =的实数根个数为11； （3）因为01m <<，当(0,1)m ∈时，1()f m 在(0,1)单调递减，且1(0)1f =，1(1)0f =， 则12(),(),,()n f m f m f m 的值域均为(0,1)，①当m ⎛∈ ⎝⎭时，21()1f m m ⎫=-∈⎪⎪⎝⎭，于是1()f m m >，因为当m ⎛∈ ⎝⎭时，210m m +-<， 所以()()()()42222211110m m m m m m m m m m m -+-=---=-+-<，所以()()()()2142221112f m f f m m m m m ==--=-+<，即2()f m m <， 注意到1()f x 在(0,1)单调递减，于是()()()3121413112()()(),()()()()f m f f m f m f m f f m f f m f m =>=<=，()()()()514123615134()()()(),()()()(),.f m f f m f f m f m f m f f m f f m f m =>==<=于是6421350()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，②当m ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，类比同理可得5312460()()()()()()1f m f m f m m f m f m f m <<<<<<<<<<，于是当(0,1)m ∈且m ≠()(1,2,,)k f m m k n ≠=，若0()i f x m =，其中(0,1)m ∈，m ≠则().j i f m m -≠，即()00()()j i i i f f x f x -≠，也就是00()()j i f x f x ≠；当m =()i f x 的值域为[)0,+∞，所以存在0x 使得0()i f x =又1f ⎝⎭所以()()()()()01101110()()()j j i f x f f x f f f f x -====，即00()()i j f x f x ==所以实数m 的所有可能值构成的集合为⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题考查了函数奇偶性、函数与方程及函数单调性的应用，考查了运算求解能力，属于难题.3．（1）()01f =；()1728f =；（2）2037171；（3）证明见解析，()()12f x f x <. 【解析】 【分析】（1）先令1x =，0y =，解出()0f ，然后再令1x y ==解出()2f ；（2）由题意可以推出{}n a 是以3为首项，公比为2的等比数列，然后得出数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算法则求20182019122222log log ...log log 3333a a a a+++的值； （3）先令1x =，0y =得出()01f =，然后令0x =，得()()f y f y =-可证明()f x 为偶函数；由0t ≠时，()1f t >，则()()()()()22f x y f x y f x f y f y ++-=>，即()()()()f x y f y f y f x y +-=--，令y kx =(k 为正整数)，有()()()()11f k x f kx f kx f k x +->--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由此可递推得到对于任意k 为正整数，总有()()1f k x f kx +>⎡⎤⎣⎦成立，即有n m <时，()()f nx f mx <成立，可设12112q p x p p =，12212p q x p p =，其中12,q q 是非负整数，12,p p 都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小. 【详解】解：（1）令1x =，0y =，得()()()21210f f f =⋅，∴()01f =； 再令1x y ==，得()()()()21120f f f f =+，∴()25218f =+，∴()1728f =. （2）由题意可知，()()1175221344a f f =-=-= 令1x n =+，1y =，得()()()()2112f n f f n f n +=++， ∴()()()5212f n f n f n +=+- ∴()()()()()()()152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +⎡⎤=+-+=+--+=+-⎢⎥⎣⎦()()()22121n f n f n a n =+-=≥⎡⎤⎣⎦.∴{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此132n n a -=⋅，故有2log 13na n =- 所以20182019122222log log ...log log 3333a a a a++++ 12...20172018100920192037171=++++=⋅=（3）令1x =，0y =，()()()()20111f f f f =+，又∵()11>f ，∴()01f = 令0x =，()()()()20f f y f y f y =+-，∴()()()()0f f y f y f y =+-， 即()()()2f y f y f y =+-.∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立， ∴()f x 为偶函数. 结论：()()12f x f x <.证明：设0y ≠，∵0y ≠时，()1f y >，∴()()()()()22f x y f x y f x f y f x ++-=>，即()()()()f x y f x f x f x y +->--.∴令()*x ky k N =∈，故*k N ∀∈，总有()()()()11f k y f ky f ky f k y +->--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦成立.()()()()()()()()1112...00f k y f ky f ky f k y f k y f k y f y f +->-->--->>->⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴对于*k N ∈，总有()()1f k y f ky +>⎡⎤⎣⎦成立.∴对于*,m n ∈N ，若n m <，则有()()...f ny f my <<成立. ∵12,x x Q ∈，所以可设111q x p =，222q x p =，其中1q ，2q 是非负整数，1p ，2p 都是正整数， 则12112q p x p p =，12212p q x p p =，令121y p p =，12t q p =，12s p q =，则*,t s N ∈. ∵12x x <，∴t s <，∴()()f ty f sy <，即()()12f x f x <.∵函数()f x 为偶函数，∴()()11f x f x =，()()22f x f x =.∴()()12f x f x <. 【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.4．（1）零点为11；（2）max12,0,21()1,1,2354,1,2a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()a a T a a a ⎧≥⎪=⎨+<<⎪⎩【解析】 【分析】（1）将1a =代入，令()0f x =，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（2）依题意，最大值在()()()1,2,2f f f a 中取得，然后分类讨论即可得出答案； （3）问题可转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立，分211a -+≤-及211a -+>-讨论得出答案． 【详解】（1）当1a =时，()2221,22121,2x x x f x x x x x x ⎧-++≥=--+=⎨-+<⎩，令2210-++=x x，解得：1x =1舍)； 令2210x x -+=，解得：1x =；∴函数()y f x =的零点为11；（2）由题意得：()2221,221,2x ax x af x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩，其中()()021f f a ==，30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴最大值在()()()1,2,2f f f a 中取. 当021a <≤，即102a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()max 12f x f a ∴==； 当122a a <<<，即112a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减， ()()max 21f x f a ∴==；当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，()()(){}max max 1,2f x f f ∴=；()()()()122254230f f a a a -=---=-<，()()max 254f x f a ∴==-；综上所述：()max12,0211,12354,12a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()0,x ∈+∞时，0x -<，20x a -≥，()max 1f x ∴=， ∴问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立.()21f a a =-+，分两种情况讨论：当211a -+≤-时，()T a 是方程2211xax -+=-的较小根，即a ≥()T a a =当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax-++=-的较大根， 即0a <<()T a a=；综上所述：()a a T a a a ⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题. 5．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.【详解】 （1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.6．（1）证明见解析（2）72【解析】（1）因为0x 是方程3()2f x x =-的根，即00322x x =-，将02x 代入()g x 根据对数的运算性质可得.（2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-，设方程322t t =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，结合（1）的结论及函数的单调性可求. 【详解】解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根， 所以00322xx =-，即00322x x =- ()0002032log 222x x x g x ===- 所以，02x 是方程3()2g x x =-的根. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ， 即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ， 令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-， 由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根. 令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点， 又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =，所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+= 【点睛】本题考查函数方程思想，函数的零点问题，属于难题.7．（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）221218m m <+≤【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.(2)根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,再列式利用恒成立问题求解即可.(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使故()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时23k n ππ=±,n Z ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（2）()2f x x =及()2xg x a =+的定义域均为R ,根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xg x a =+而言,()222x x k x k m a a a +-⋅+=+++()2222x k k a -=+⋅+, 所以()()22222x x k km a a -⋅+=+⋅+,()()22220xkkm a m -⎡⎤⋅-++⋅-=⎣⎦,()2220k k m a m -⎧=+⎪⎨⋅-=⎪⎩, 即22m m ≥⎧⎨=⎩,故2m =,只有0k =,所以函数()2xg x a =+的“平衡”数对为()2,0, 综上可得函数()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同.（3）2221cos cos cos 22m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以221cos 2sin m x x =,2222cos cos cos 44m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22cos 1m x =,由于04x π<≤,所以21cos 12x ≤<,故(]212tan 0,2m x =∈,(]22sec 1,2m x =∈, ()22224121tan 4tan m m x x +=++()22222145tan 2tan 15tan 55x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, 由于04x π<≤,所以20tan 1x <≤时,2116tan 555x <+≤, ()2212tan 238x <+-≤,所以221218m m <+≤.【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题.8．（1）证明见解析 （2）k π≥（3）存在，4T ≥【解析】 【分析】（1）取特殊值使得()()f x f x T ≤+不成立，即可证明；（2）根据“T 同比不减函数”的定义，sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，分离参数k ，构造函数，转化为k 与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数()f x 解析式，根据“T 同比不减函数”的定义，取1x =-，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立，求出T 的范围，然后证明对任意的x ∈R ，()()f x T f x +≥恒成立，即可求出结论. 【详解】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=，因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎪≥= ⎪⎪⎝⎭ （3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”， ()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立. （Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.9．（1）()f x x =,2k =，见解析；（2）min 12k =（3）11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃ 【解析】 【分析】（1）令()f x x =,可以满足题意，一次函数和常值函数都可以满足； （2）根据定义化简1212()()f x f x x x --12<，得出k 的最小值；（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根，推得0b =，若k 符合题意，则k -也符合题意，可以只考虑0k >的情形，分①若1k，②若112k <<，分别验证是否满足题意，可得k 的范围. 【详解】（1）例如令()f x x =,由12122x x x x -≤-知可取2k =满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）． （2）()f x =[0,)+∞为增函数∴对任意12,x x R ∈有1212()()f x f x x x --12==<（当120,0x x =→时取到）所以min 12k =（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根()0bg t t k∴=⇒=-， 又(())(())(0)(0)0()f g t g f t f g b g x kx =∴=∴=∴=若k 符合题意，则k -也符合题意，故以下仅考虑0k >的情形．设()(())(())sin sin h x f g x g f x kx k x =-=- ①若1k，则由sin sin 0h k kk πππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭且3333sin sin sin 02222k k h k k ππππ⎛⎫=-=+≥⎪⎝⎭所以，在3,2k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．②若112k <<，则由[]sin sin 0,2h k h k k ππππ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭sin 2sin 20k k ππ=-< 所以，在,2k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．102k ∴<≤以下证明，对任意1(0,],()2k g x kx ∈=符合题意．当(0,]2x π∈时，由sin y x =图象在连接两点()(0,0),,sin x x 的线段的上方知sin sin kx k x >()0h x ∴>当(,]22x kππ∈时，sin sinsin sin ()022k kx k k x h x ππ>≥≥∴> 当,22x k ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,sin 0,()0kx x h x >∴ 综上：()0h x =有且仅有一个解0x =，()g x kx ∴=在1(0,]2k ∈满足题意． 综上所述：11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃, 故得解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题. 10．（1）1a <；（2）2m ≥；（3）当1T =时，2k n π=，n ∈Z ；当1T =-时，(21)k n π=+，n ∈Z .【解析】 【分析】（1）由题意f （x +1）＞2f （x ）整理可求得a ＜x ﹣121x --，令x ﹣1＝t （t ≥2），由g （t ）＝t 2t-在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数a 的取值范围；（2）由x ∈[0，1）时，f （x ）＝2x ，可求得当x ∈[1，2）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m •2x ﹣1，…当x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mn •2x ﹣n ，利用f （x ）在[0，+∞）上单调递增，可得m ＞0且mn •2n ﹣n ≥mn ﹣1•2n ﹣（n ﹣1），从而可求实数m 的取值范围；（3）f （x +T ）＝Tf （x ）对一切实数x 恒成立，即cos k （x +T ）＝T cos kx 对一切实数恒成立，分当k ＝0时，T ＝1；当k ≠0时，要使cos k （x +T ）＝T cos kx 恒成立，只有T ＝±1，于是可得答案． 【详解】（1）由题意可知：f （x +1）＞2f （x ），即﹣（x +1）2+a （x +1）＞2（﹣x 2+ax ）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x ﹣1）a ＜x 2﹣2x ﹣1， ∵x ≥3，∴a ()22122111x x x x x ----==--＜x ﹣121x --， 令x ﹣1＝t ，则t ∈[2，+∞），g （t ）＝t 2t-在[2，+∞）上单调递增，∴g （t ）min ＝g （2）＝1， ∴a ＜1．（2）∵x ∈[0，1）时，f （x ）＝2x ，∴当x ∈[1，2）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m •2x ﹣1，…当x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m 2f （x ﹣2）＝…＝mnf （x ﹣n ）＝mn •2x ﹣n ， 即x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mn •2x ﹣n ，n ∈N *， ∵f （x ）在[0，+∞）上单调递增，∴m ＞0且mn •2n ﹣n ≥mn ﹣1•2n ﹣（n ﹣1）， 即m ≥2．（3）由已知，有f （x +T ）＝Tf （x ）对一切实数x 恒成立， 即cos k （x +T ）＝T cos kx 对一切实数恒成立， 当k ＝0时，T ＝1； 当k ≠0时， ∵x ∈R ，∴kx ∈R ，kx +kT ∈R ，于是cos kx ∈[﹣1，1]， 又∵cos （kx +kT ）∈[﹣1，1]，故要使cos k （x +T ）＝T cos kx 恒成立，只有T ＝±1， 当T ＝1时，cos （kx +k ）＝cos kx 得到 k ＝2n π，n ∈Z 且n ≠0； 当T ＝﹣1时，cos （kx ﹣k ）＝﹣cos kx 得到﹣k ＝2n π+π， 即k ＝（2n +1）π，n ∈Z ；综上可知：当T ＝1时，k ＝2n π，n ∈Z ； 当T ＝﹣1时，k ＝（2n +1）π，n ∈Z ． 【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考查构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题． 11．（1）9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）0a >【解析】 【分析】（1）当1a =时，函数()()22221x x f x =--，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】（1）当1a =时，()()224212221x x x x f x =⋅--=--， 令2x t =，[]3,0x ∈-，则1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故221921248y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故值域为9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）关于x 的方程()222210x x a --=有解，等价于方程2210ax x --=在()0,∞+上有解记()221g x ax x =--当0a =时，解为10x =-<，不成立； 当0a <时，开口向下，对称轴104x a=<，过点()0,1-，不成立； 当0a >时，开口向上，对称轴104x a=>，过点()0,1-，必有一个根为正， 所以，0a >. 【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数的零点问题的应用，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，属于基础题． 12．（1）±1；（2）924⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】（1）由()0f x =，有220x x +-=，即()()210x x +-=，即可求得函数的零点；（2）不等式()0f x <可化为2222x x a x -<-<-， 分别作出抛物线22y x =-在x 轴上方的部分和抛物线22y x =-在x 轴下方的部，结合图象求得两个临界位置，即可得到答案. 【详解】（1）当0a =时，函数()22f x x x =+-，令()0f x =，有220x x +-=，即220x x +-=，则()()210x x +-=，解得1x =，即1x =±， 故函数()f x 的零点为1±； （2）不等式()0f x <可化为2222x x a x -<-<-， 如图所示，曲线段1C 和2C 分别是抛物线22y x =-在x 轴上方的部分和抛物线22y x =-在x 轴下方的部，因为不等式()0f x <至少有一个负解，由图象可知，直线y x a =-有两个临界位置，一个是与曲线段1C 相切，另一个是通过曲线段2C 和y 轴的交点，后者显然对应于2a =；前者由22x a x -=-可得到方程220x x a +--=，由()1420a ∆=++=，解得94a =-，因此当924a -<<时，不等式()0f x <至少有一个负解，故实数a 的取值范围是924⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用函数的图象求解不等式的有解问题，其中解答中熟记函数零点的概念，以及合理利用函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.13．（Ⅰ）A ={-1，2}；B 3-133}（Ⅱ）[-14，34]【解析】 【分析】（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}；由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ；求解x 可得集合B ．（Ⅱ）理解A =B 时，它表示方程x 2-a =x 与方程（x 2-a ）2-a =x 有相同的实根，根据这个分析得出关于a 的方程求出a 的值． 【详解】（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}； 由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ； 即x 4-2x 3-6x 2+6x +9=0，即（x +1）（x -3）（x 2-3）=0，解得x =-1，x =3，x 3x 3B 3-133}； （Ⅱ）∵∅A =B ，∴x 2-a =x 有实根，即x 2-x -a =0有实根，则△=1+4a ≥0，解得a ≥-14由（x 2-a ）2-a =x ，即x 4-2ax 2-x +a 2-a =0的左边有因式x 2-x -a ， 从而有（x 2-x -a ）（x 2+x -a +1）=0． ∵A =B ，∴x 2+x -a +1=0要么没有实根，要么实根是方程x 2-x -a =0的根． 若x 2+x -a +1=0没有实根，则a ＜34；若x 2+x -a +1=0有实根且实根是方程x 2-x -a =0的根， 由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同， 故此时x 2+x -a +1=0有两个相等的根-12，此时a =34方程x 2-x -a =0可化为：方程x 2-x -34=0满足条件，故a 的取值范围是[-14，34]．【点睛】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．14．（1）见解析；（2）[33a ∈+；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接进行验证或用反证法求解；（2）由()2ln 1af x x =∈+M 得到方程()22lnlnln 1211aa ax x =++++在定义域内有解，然后转化成二次方程的问题求解；（3）验证函数()f x 满足()()()0011f x f x f +=+即可得到结论成立． 【详解】 （1）()21f x M x=+∉．理由如下： 假设()21f x M x=+∈， 则在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立， 即00221131x x +=+++， 整理得2003320x x ++=， ∵方程2003320x x ++=无实数解，∴假设不成立， ∴()21f x M x=+∉． （2）由题意得()2ln+1af x M x =∈，()22lnlnln 1211aa ax x ∴=++++在定义域内有解，即()222220a x ax a ---+=在实数集R 内有解，当2a =时，12x =-，满足题意；当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解得33a ≤2a ≠，综上33a ≤∴实数a的取值范围为33⎡⎣．（3）证明：∵()23x f x x =+，∴()()()()()000212000003113134232x x x f x f x f x x x +⎛⎫+-+=++---=+- ⎪⎝⎭，又函数3x y =的图象与函数32y x =-+的图象有交点，设交点的横坐标为a ，则3302aa +-=， ∴003302xx +-=，其中0x a =， ∴ 存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立， ∴()f x M ∈． 【点睛】本题以元素与集合的关系为载体考查函数与方程的知识，解题的关键是根据题意中集合元素的特征将问题进行转化，然后再结合方程或函数的相关知识进行求解，考查转化能力和处理解决问题的能力．15．（1）①()g x x =．②{2x x >或1}x <-． （2）证明见解析． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件f[g （x ）]=g[f （x ）]直接代入求解即可． （Ⅱ）证明无解考虑用反证法证明，假设有解，与已知条件推出矛盾． 试题解析：（Ⅰ）①∵()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，即有()()222223233kx b k x kbx b k x b ++=+++=++，即有2222233k x kbx b kx k b +++=++， ∴222033k k kb b k b ⎧=⎪=⎨⎪+=+⎩，解得10k b =⎧⎨=⎩． ∴()g x x =．②()()5f x g x ->，即235x x -+>，解得2x >或1x <-．（Ⅱ）反证法：设()()()F x f x g x =-， 则()()()F f x f f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()F g x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若结论成立，则()()0F f x F g x ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦， 即()()F f x F g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，说明存在一点a 介于()f x 与()g x 之间， 满足()0F a =．∵()()f x g x =无实数解，则()0F x =永远不成立， ∴假设不成立，∴原命题成立．。
