高一数学《二次函数》试题

二次函数1．解析式、待定系数法若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A ．1,4,11a b c ==-=-B ．3,12,11a b c ===C ．3,6,11a b c ==-=D ．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．2．图像特征将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭A ．2b a -B ．ba- C ． c D ．244ac b a -变式2：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C ．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________．3．）单调性已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是A ．3a ≥B ．3a ≤C ．3a <-D ．3a ≤-变式2：已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．xyO4．最值已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞ 变式2：若函数y =M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．5．奇偶性已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间． 7．（北师大版第54页A 组第6题）值域求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域： (1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]2,1-． 变式1：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．⎡-⎢⎣⎦B ．()20,4-C ．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ． 920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式2：函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2 + bx （a 、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x ) = f (1－x )，且方程 f (x ) = x 有等根．求 f (x ) 的解析式；8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数 f (x ) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．变式2：已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．变式3：若f (x ) = x 2 + bx + c ，不论 α、β 为何实数，恒有 f (sin α )≥0，f (2 + cos β )≤0．(I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c ≥3；(III) 若函数 f (sin α ) 的最大值为 8，求 b 、c 的值． 9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系右图是二次函数()2f x ax bx c =++的图像，它与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定,,a b c 以及12x x ，12x x +的符号．二次函数答案1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法 变式1： ，故选D ．变式2： 解：由题意可知212b +=，解得b =0，∴012c+=，解得c =2． 2．（北师大版第52页例2）图像特征 变式1： 故选D ． 变式2： 选C ． 变式3： 解：观察函数图像可得：① a >0(开口方向)；② c =1(和y 轴的交点)；③ 4210a b ++=(和x 轴的交点)； ④10a b ++<(()10f <)；⑤ 240b a ->(判别式)；⑥ 122ba<-<(对称轴)． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性变式1： 故选D ．变式2：()27f ≥．变式3：解得4k ≤或8k ≥． 4．（人教A 版第43页B 组第1题）最值变式1： 故选C ．变式2： M + m =6．变式3： 1a =5a =+ 5．（人教A 版第43页A 组第6题）奇偶性变式1： 故选D ．变式2：∴点(),a b 的坐标是1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．变式3： 解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-，此时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠，此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ， 若21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ． 若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=4321(，且)()21(a f f ≤．（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ，若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-，若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换变式1： 在(),1-∞-和(]0,1上，函数是增函数；在[]1,0-和()1,+∞上，函数是减函数． 7．（北师大版第54页A 组第6题）值域变式1： 值域是920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦．变式2：值域是[－2, 98 ]．变式3： ∴ f (x ) = －12 x 2 + x ．8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题变式1： 解：(I) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R ，∴应有 ⎩⎨⎧ a > 0△= 4－4a < 0⇒ a > 1，∴ 实数 a 的取值范围是(1,+∞) ．(II) 函数 f (x ) 的值域为 R ，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+∞) 的所有值．1︒ 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；2︒ 当 a ≠ 0 时，应有⎩⎨⎧ a > 0△= 4－4a ≥0⇒ 0 < a ≤1．∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．变式2： 解法一：(转化为最值)()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上恒成立．⑴()2410a a ∆=--≤，22a ∴--≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或，52a ∴-≤<-． 综上所述2225-≤≤-a ．变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin π2) = f (1)≥0，f (2 + cos π) = f (1)≤0，∴ f (1) = 0 ⇒ 1 + b + c = 0 ⇒ b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x ) = x 2－(c + 1) x + c (*)∵ f (2 + cos β )≤0 ⇒ (2 + cos β ) 2－(c + 1) (2 + cos β ) + c ≤0⇒ (1 + cos β ) [c －(2 + cos β )]≥0，对任意 β 成立．∵ 1 + cos β ≥0 ⇒ c ≥2 + cos β ， ∴ c ≥(2 + cos β )max = 3．(III) 由 (*) 得：f (sin α ) = sin 2α－(c + 1) sin α + c ，设 t = sin α ，则g (t ) = f (sin α ) = t 2－(c + 1) t + c ，－1≤t ≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = c + 12， 由 (II) 知：t ≥3 + 12= 2，∴ g (t ) 在 [－1,1] 上为减函数．∴ g (t )max = g (－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3∴ b = －c －1 = －4．。

1.y=ax 2 +bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）叫做二次函数（，x 是自变量，a ，b ，c 分别二次项系数，一次项系数和常数项）. 2、二次函数的解析式有三种形式：⑴一般式为 ；⑵顶点式为 。

其中，顶点坐标是（ ），对称轴是 ； ⑶两点式为 。

其中x1，x2分别是抛物线与x 轴两交点的横坐标。

3. 二次函数y=ax 2 +bx+c 中a ，b ，c 的符号与图像性质的关系：c bx ax y ++=2对于二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）， ⑴a 决定图象的 。

当a>0时，开口向 ，当a<0时，开口向 。

⑵c 决定图象与 轴的交点的 坐标。

若c=0，则抛物线过 点。

若c>0 或c<0呢？ ⑶a 、b 共同决定对称轴，当a 、b 同号，对称轴在y 轴的 侧 ，当a 、b 异号呢？当b=0呢？ 4.二次函数的图象及性质：二次函数和一元二次方程之间的关系，你还记得吗？ 5.二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的位置关系∆=24b ac ->0[来源:学科网ZXXK] ∆=24b ac -=0 ∆=24bac -<0二、典型例题例1. 已知抛物线（1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）求抛物线与轴、轴的交点坐标；（3）画出函数图象（草图）； 5.二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的位置关系∆=24b ac ->0 [来源:学科网ZXXK] ∆=24b ac -=0 ∆=24bac -<01.y=ax 2+bx+c 二次项： 一次项： 常数项：2.a>0,开口向____,a<0, 开口向____3.对称轴：x=_________.4. a>0,开口向____，此时函数有最小值y=_________.5.顶点坐标（ ） 6、二次函数1282+-=x x y 图象的开口向,对称轴是 ，顶点坐标为 。

高中一年级数学二次函数练习题在高中一年级的数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。

为了帮助同学们更好地掌握这部分内容，下面为大家准备了一些二次函数的练习题。

一、选择题1、函数＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）的对称轴是（）A ＼（x ＝ 1\）B ＼（x ＝－1\）C ＼（y\）轴D ＼（x ＝ 2\）2、二次函数＼（y ＝ 2(x 3)＾2 ＋ 1\）的图像的顶点坐标是（）A ＼（（3, 1)＼）B ＼（（－3, 1)＼）C ＼（（3, －1)＼）D ＼（（－3, －1)＼）3、已知二次函数＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像经过点＼（（0, 3)＼），＼（（1, 0)＼），＼（（2, 5)＼），则这个二次函数的解析式是（）A ＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）B ＼（y ＝ x^2 ＋ 2x 3\）C ＼（y ＝x^2 ＋ 2x ＋ 3\） D ＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）4、对于二次函数＼（y ＝－2(x ＋ 1)＾2 3\），下列说法正确的是（）A 图像开口向上B 图像的对称轴是＼（x ＝ 1\）C 当＼（x ＜－1\）时，＼（y\）随＼（x\）的增大而增大D 图像的顶点坐标是＼（（1, －3)＼）5、二次函数＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c ＞ 0\）B ＼（a ＜ 0\），＼（b ＜ 0\），＼（c ＞ 0\）C ＼（a ＜ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c ＜ 0\）D ＼（a ＜ 0\），＼（b ＜ 0\），＼（c ＜ 0\）二、填空题1、二次函数＼（y ＝ 2x^2 4x ＋ 5\）的最小值是_____。

2、抛物线＼（y ＝－3(x 1)＾2 ＋ 5\）的开口方向是_____，顶点坐标是_____。

3、把二次函数＼（y ＝ x^2 2x 3\）化成＼（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）的形式是_____。

数学二次函数试题1.如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【】A．（﹣3，0）B．（﹣2，0）C．x=﹣3D．x=﹣2【答案】A。

【解析】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，∴=﹣1，解得b=﹣3。

∴B（﹣3，0）。

故选A。

2.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【】A．B．C．且D．x＜－1或x＞5【答案】D。

【解析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。

由图象可知：的解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞5。

故选D。

3.二次函数（≠0）的图像如图所示，其对称轴为=1，有如下结论：①＜1 ②2+=0 ③＜4④若方程的两个根为，，则+=2.则结论正确的是【】A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】C【解析】由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x="-b/2a" =1，∴2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，∵方程的两根为x1，x2，且-b/2a =1，及-b/a =2，∴x1+x2="-b/a" =2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C4.二次函数的图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图像来分析）.【答案】7【解析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．将该二次函数，令y=0得，x=1/2或x=7/2图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点(1，0)(2，0)(3，0)(1，1)(2，1)(2，2)(3，1)共有 7个5.如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．【答案】36。

高一数学二次函数试题一．选择题（共23小题）1．如果函数f （x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（）A．f（2）＜f（1）＜f （4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函数值的大小关系即可．解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4），故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．2．二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），则有（）A．a bc＞0 B．a+b+c＜0 C．a+c＞b D．3b＜2c考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：计算题．分析：由二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=﹣2a，交点的横坐标x1∈（2，3），可得到，从而可得答案．解答：解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，∴a＜0，又对称轴为x=1，∴x=﹣=1，∴b=﹣2a；∴f（x）=ax2﹣2ax+c．又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈（2，3），a＜0，∴即：，∴，∴a+c＞﹣2a=b．C符合．又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0，∴abc＜0，排出A，∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，∴f（1）=a+b+c＞0，排出B，f（﹣1）=f（3），图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x1∈（2，3），∴f（﹣1）=f（3）＜0，而f（﹣1）=a﹣b+c=﹣b+c＜0，∴3b＞2c，排出D．故选C．点评：本题考查了二次函数图象与性质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，特别是分析与应用是难点．属于中档题．3．（2011•厦门模拟）已知函数，这两个函数图象的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象．专题：综合题．分析：本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．解答：解：在同一坐标系下，画出函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选B．点评：求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，析图象后，即可等到答案．4．已知函数f（x）=mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]考点：二次函数的图象．专题：常规题型；计算题；压轴题；分类讨论．分析：本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答．解答：解：由题意可知：当m=0时，由f（x）=0 知，﹣3x+1=0，∴＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）=1可知：，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）=1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选D．点评：本题考查的是二次函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、函数与方程的思想以及问题提转化的能力．值得同学们体会和反思．5．已知，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围（）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[﹣1，0）A．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞）考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先画出函数和|f（x）|的图象；利用图象再结合答案即可解决本题．解答：解：函数的图象如图：|f（x）|的图象如图：因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以y=ax的图象应在y=|f（x）|的图象的下方，故须斜率为负，或为0．当斜率为负时，排除答案A，C；当a=0，y=0满足要求，排除D．故选B．点评：本题主要考查函数的图象．其中涉及到二次函数，一次函数，分段函数以及带绝对值的函数的图象，是对函数的大汇总，在画整体带绝对值的函数图象时，注意起翻折原则是X轴上方的保持不变，X轴下方的沿x轴对折．6．已知二次函数f（x）=x2﹣ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1C．﹣2 D．2考点：二次函数的图象．专题：计算题．分析：根据f（x）求出f（x+1），由f（x+1）是偶函数得到f（x+1）=f（﹣x+1）即可得到关于a的方程，求出集即可得到a的值．解答：解：∵f（x）=x2﹣ax+4，∴f（x+1）=（x+1）2﹣a（x+1）+4=x2+2x+1﹣ax﹣a+4=x2+（2﹣a）x+5﹣a，f（1﹣x）=（1﹣x）2﹣a（1﹣x）+4=x2﹣2x+1﹣a+ax+4=x2+（a﹣2）x+5﹣a．∵f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），∴a﹣2=2﹣a，即a=2．故选D点评：本题考查学生灵活运用函数的奇偶性解决实际问题．是一道基础题．7．已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m．y2），（m+1，y3）都在二次函数y=x2﹣2x的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3考点：二次函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的解析式，可判断出二次函数y=x2﹣2x的图象形状，进而判断出函数的单调性，结合m＞2可得1＜m﹣1＜m＜m+1，结合函数的单调性可判断出y1，y2，y3的大小．解答：解：∵二次函数y=x2﹣2x的图象是开口朝上且以直线x=1为对称轴的抛物线故二次函数y=x2﹣2x在区间[1，+∞）上为增函数又∵m＞2∴1＜m﹣1＜m＜m+1∴y1＜y2＜y3故选A点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据函数的解析式分析出函数的单调性是解答的关键．8．已知，若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值集合是（）A．{c|c≤﹣5或c=﹣1或c=3} B．{c|c＜﹣5或c=﹣1或c=3}C．{c|2＜c＜3或c＞4} D．{c|2＜c≤3或c≥4}考点：二次函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数y=f（x）的图象，然后根据图象确定实数c的取值集合．解答：解：作出函数的图象如图：由y=f（x）﹣c=0得f（x）=c，所以由图象可知要使方程f（x）=c，恰有两个公共点，则有c=﹣1或c=3或c＜﹣5．故选B．点评：本题主要考查二次函数的图象，以及两个图象的交点问题，利用数形结合是解决这类问题常见的方法．9．（2011•渭南三模）设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，﹣1]∪（0，+∞）D．[﹣3，+∞）考点：二次函数的性质；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：利用f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，建立方程组，解得b=c=4，由此能求出关于x的不等式f（x）≤1的解集．解答：解：∵函数，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，∴，解得b=c=4，∴，∴当x＞0时，f（x）=﹣2≤1；当x≤0时，由f（x）=x2+4x+4≤1，解得﹣3≤x≤﹣1．综上所述，x的不等式f（x）≤1的解集为{x|x＞0，或﹣3≤x≤﹣1}．故选C．点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等式的性和应用．10．（2011•湖北模拟）设函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则（）A．f（5）＜f（2）＜f （﹣1）B．f（﹣1）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）D．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由于函数f（x）=ax2+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等式与函数之间的联系及二次函数的对称性即可求解．解答：解：因为函数f（x）=ax2+bx+c且f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等式与函数的联系可以知道：﹣2，4应为方程ax2+bx+c=0的两个根，∴利用二次函数的韦达定理可以知道：由此得次二次函数为开口向上，对称轴x=﹣=1，利用二次函数的图象关于对称轴对称可以知道：f（5）＞f（﹣1）＞f（2）故选C点评：此题考查了函数与不等式之间的联系，二次函数的对称性及利用对称性比较函数值的大小．11．（2010•大连模拟）已知函数y=x2﹣4|x|+5在（﹣∞，a）内单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a≤﹣2 C．a≥0 D．a≤2考点：二次函数的性质．专题：计算题；数形结合．分析：先对函数y=x2﹣4|x|+5取绝对值，画出其对应的图象，利用图象来找实数a的取值范围即可．解答：解：因为y=x2﹣4|x|+5=其图象如图．由图得，函数y=x2﹣4|x|+5在（﹣∞，a）内单调递减区间为（﹣∞，﹣2]，故实数a的取值范围是a≤﹣2．故选B．点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象来找函数的单调区间，数形结合有助于我们的解题，形象直观．12．若函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣5 B．a≤﹣5 C．a＞﹣5 D．a≥﹣5考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣（a+1）≥4，由此解得a的取值范围．解答：解：由题意可得，﹣（a+1）≥4∴a≤﹣5故选B点评：本题主要考查求二次函数的单调性，属于基础题．13．已知二次函数f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）（m＜n），若不等式f（x）＞0的解集是（m，n）且不等式f（x）+2＞0的解集是（α，β），则实数m、n、α、β的大小关系是（）A．m＜α＜β＜n B．α＜m＜n＜βC．m＜α＜n＜βD．α＜m＜β＜n考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：令g（x）=f（x）+2，因f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）＞0的解集是（m，n），说明a为负数，再根据图象变换的性质可知f（x）的图象是由g（x）向下平移得来的，α、β是g（x）=0的两根，m和n是f（x）=0的两根，画出图象，则可得到答案．解答：解：令g（x）=f（x）+2=a（x﹣α）（x﹣β），f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）则f（x）的图象是由g（x）向下平2个单位长度移得来的，依题意可知a，b是g（x）=0的两根，m和n是f（x）=0的两根，α、β是g（x）=0的两根作出图象如图，可得α＜m＜n＜β，故选B．点评： 本题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，采用数形结合的方法是解决本题的关键．考查了生分析问题和解决的能力，不失为一道成功的考题．14．已知函数f （x ）=﹣x 2+ax+b 2﹣b+1，（a ，b ∈R ）对任意实数x 都有f （1﹣x ）=f （1+x ）成立，若当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＞0恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ． ﹣1＜b ＜0B ． b ＞2C ． b ＞2或b ＜﹣1D ． b ＜﹣1考点：二次函数的性质；函数的图象． 专题：计算题． 分析：先根据条件“对任意实数x 都有f （1﹣x ）=f （1+x ）成立”得到对称轴，求出a ，再研究函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可．解答：解：∵对任意实数x 都有f （1﹣x ）=f （1+x ）成立， ∴函数f （x ）的对称轴为x=1=，解得a=2，∵函数f （x ）的对称轴为x=1，开口向下，∴函数f （x ）在[﹣1，1]上是单调递增函数，而f （x ）＞0恒成立，f （x ）min =f （﹣1）=b 2﹣b ﹣2＞0，解得b ＜﹣1或b ＞2，故选C点评：本题主要考查了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑．15．已知函数，若f （2a+1）＞f （a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． （﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） C ． D ． （﹣3，﹣1）考点： 二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 先判断函数f （x ）的奇偶性和单调性，求参数的取值范围．解答： 解：因为函数，所以作出函数f （x ）的图象，则函数f （x ）为偶函数，且在（+∞）上单调递增．则f （2a+1）＞f （a ），等价为f （|2a+1|）＞f （|a|），所以|2a+1|＞|a|，平方得4a2+4a+1＞a2，即3a2+4a+1＞0，解得．故选A．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数单调性的应用．16．不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜2 B．﹣2≤m≤2 C．﹣2≤m＜2 D．﹣2＜m≤2考点：二次函数的性质．分析：等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，包括两种情况，一是二次项及一次项系数全为0，常数项小于等于0，而是二次项系数小于0，△小于等于0，分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．解答：解：当m=2时，不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都成立，故m=2满足条件；当m＜2时，若不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，则解得﹣2≤m＜2综上满足条件的实数m的取值范围是﹣2≤m≤2故选B点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中解答时容易忽略m=2时，不等式（m﹣2）x2+2（m﹣2）x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都成立，而错选C17．f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，f（0）＞0，则f（x1+x2）的值（）A．小于0 B．大于0C．等于0 D．以上三种情况都有可能考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件得到a＜0且x1，x2是ax2+bx+c=0的两个根，由韦达定理得到x1+x2=﹣，因为f（0）＞0，得到c＞0，得到f（x1+x2）=．解答：解：因为不等式f（x）＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，所以a＜0且x1，x2是ax2+bx+c=0的两个根，所以x1+x2=﹣，又因为f（0）＞0，所以c＞0，所以f（x1+x2）=故选B．点评：本题考查二次不等式的解集形式、与相应的二次方程的根的关系；考查二次方程的韦达定理，属于基础题．18．（2012•山西模拟）二次函数f（x）满足f（4+x）=f（﹣x），且f（2）=1，f（0）=3，若f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，则实数m的取值范围是（）A．[2，4]B．（0，2]C．（0，+∞）D．[2，+∞）考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由f（4+x）=f（﹣x）可知f（4）=f（0）=3是最大值，f（2）=1是最小值，而f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，说明m至少得是2，进而可得到答案．解答：解：由f（4+x）=f（﹣x），可知f（4）=f（0）=3是最大值，而f（2）=1是最小值，而f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，则m必须得有2，又f（4）=f（0）=3，故m也可等于4，故答案选A．点评：本题主要考查二次函数的值域和单调性．19．（2011•绵阳一模）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，x1+x2=0，则（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＞f（x2）D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定考点：二次函数的性质．分析：函数值作差进行比较大小，根据条件判f（x1）﹣f（x2）的正负即可．解答：解：由题意，可有f（x1）﹣f（x2）=（ax12+2ax1+4）﹣（ax22+2ax2+4）=a（x1﹣x2）（x1+x2）+2a（x1﹣x2）=a（x1﹣x2）（x1+x2+2）因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以a＞0，x1﹣x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．故选A．点评：本题主要考查：函数值作差进行比较大小，根据条件判式子的正负．20．二次函数f（x）=ax2﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围为（）D．a=﹣3A．B．C．且a≠0考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：综合题；分类讨论．分析：考虑两种情况：当a大于0时，得出二次函数的图象为开口向上的抛物线，根据二次函数的增减性得到函数在区间（4，+∞）内是减函数不可能；当a小于0时，得出二次函数的图象为开口向下的抛物线，根据二次函数的顶点坐标公式求出此函数的顶点坐标，因为二次函数f（x）=ax2﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，经过判断得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．解答：解：当a＞0时，得到二次函数为开口向上的抛物线，与二次函数在区间（4，+∞）内是减函数矛盾，a取空集；当a＜0时，二次函数f（x）=ax2﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，得到x=≤4，解得：a≤﹣．故选B点评：此题考查学生灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．21．函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈[﹣3，3]的值域为（）A．[﹣∞，5]B．[5，+∞]C．[﹣20，5]D．[﹣4，5]考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：先求出函数的对称轴方程，根据到对称轴距离的远近即可求出其值域．解答：解：∵f（x）=y=﹣x2﹣4x+1=﹣（x+2）2+5对称轴为x=﹣2，开口向下．所以在[﹣3，﹣2]上递增，在[﹣2，3]上递减．且3离对称轴距离远．所以当x=3时，有最小值为f（3）=﹣20．当x=﹣2时，函数有最大值为f（2）=5．即值域为[﹣20，5]．故选C．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值问题．二次函数在闭区间上的最值问题，一定要讨论对称轴和间的位置关系．22．实数x、y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值为（）A．B．4C．D．5考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：把3x2+2y2=6x化为y2=3x﹣x2，求出x的取值范围，并代入x2+y2中消去y，然后根据二次函数的性质求出它的最值即可．解答：解：∵实数x、y满足3x2+2y2=6x，∴y2=3x﹣x2≥0，因此0≤x≤2，∴x2+y2=3x﹣x2=（x﹣3）2，0≤x≤2，∴当x=2时，x2+y2的最大值为4．故选B．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，此题难度不大．属中档题．23．已知函数f（x）=x2﹣2x+5，x∈[2，4]，若存在实数x∈[2，4]使m﹣f（x）＞0成立，则m的取值范围为（）A．（5，+∞）B．（13，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，13）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）min．利用配方法求二次函数的最小值，即可得结论．解答：解：存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）min．∵函数f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5∴m＞5故选A．点评：本题考查的重点是存在性问题，解题的关键是求二次函数的最小值，存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）min．易错点是与对于任意实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立问题混淆．二．解答题（共7小题）24．已知函数f（x）=|x2﹣2x|﹣1（1）在坐标系中画出函数f（x）的简图；（2）观察图象，写出函数f（x）的单调增区间及函数f（x）的零点个数；（3）利用图象，写出使方程f（x）+a=0有四个不同解的实数a的取值范围．考点：二次函数的图象．专题：数形结合；分类讨论．分析：（1）分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，结合函数的解析式画出函数的图象．（2）结合图象写出函数的单调增区间，以及函数的零点个数．（3）要使方程f（x）+a=0有四个不同解，需函数f（x）的图象和y=﹣a 有4个交点，结合图象列出不等式，求得实数a的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=|x2﹣2x|﹣1，当x＜0或x＞2时，函数f（x）=x2﹣2x﹣1，当0≤x≤2时，f（x）=﹣x2 +2x﹣1，如右图所示．（2）由函数的图象可得，增区间为[0，1]，[2，+∞），函数f（x）有三个零点．（3）要使方程f（x）+a=0有四个不同解，需函数f（x）的图象和y=﹣a 有4个交点，∴﹣1＜﹣a＜0，∴0＜a＜1．点评：本题考查由函数的解析式做出函数图象的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．25．（2011•徐汇区三模）已知函数f（x）=|x|•（a﹣x），a∈R．（1）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；（2）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；（3）若不等式|x|•（a﹣x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．考点：二次函数的图象；函数单调性的性质；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）首先对x分类讨论，去掉绝对值符号；然后根据二次函数的图象特征，即可画出其草图；而其单调性，观察图象显而易见．（2）由x∈[0，2]易于把函数f（x）化简为二次函数，再把其单调减区间表示出来，进而根据f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，可得a的不等式，则a可求．（3）要用分离参数的方法把a分离出来，需对x=0单独讨论；由于0＜x≤2时，恒成立，则利用导数法求出x+的最小值即可．解答：解：（1）a=4时，，f（x）的图象如图所示，所以其单调递增区间为[0，2]．（2）x∈[0，2]时，∴f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，+∞）上单调递减．又函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，所以．解得a≤0．（3）当x=0时，0≤6成立，所以a∈R；当0＜x≤2时，，即，只要设，则g′（x）=1﹣，∴g（x）在上递减，在上递增，∴当0＜x≤2时，g（x）min=g（2）=5．所以a≤5．综上，|x|（a﹣x）≤6对x∈[0，2]恒成立的实数a的取值范围是（﹣∞，5]．点评：二次函数的图象与性质是解决更复杂函数问题的前提，必须把此基础打牢；分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用思想方法，它是通过分离参数转化为不含参数的函数的最值题求解．26．（2013•宁德模拟）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（﹣1）=﹣1．（I ）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间（﹣2，2）上单调递增，求实数k的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（﹣1）=﹣1，可得a值，进而可得函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间（﹣2，2）上单调递减，可得区间（﹣2，2）在对称轴的左侧，进而得到实数k的取值范围解答：解：（I）∵二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，故函数f（x）的图象关于y轴对称即x=﹣=0，即b=0又∵f（﹣1）=a+1=﹣1，即a=﹣2．故f（x）=﹣2x2+1（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2﹣k）x=﹣2x2+（2﹣k）x+1故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=为对称轴的抛物线故函数g（x）在（﹣∞，]上单调递增，又∵函数g（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，∴≥2解得k≤﹣6故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣6]点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．27．（2011•武进区模拟）设函数f（x）=ax2+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为﹣a，f（x）=0两个实根为x1、x2．（1）求x1﹣x2的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a 的取值范围；（3）若﹣2＜x1＜0，求b的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由，知，由此能求出x1﹣x2的值．（2）设x1＜x2，f（x）+2x=ax2﹣（a（x1+x2）﹣2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，由此能求出a的取值范围．（3）由，，知．由此能求出b的取值范围．解答：解：（1）∵∴∴x1﹣x2=±2．（4分）（2）不妨设x1＜x2；f（x）+2x=ax2﹣（a（x1+x2）﹣2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，∴或（8分）又x2﹣x1=2，a＞0∴0＜a≤1（10分）（3）∵，∴（12分）又﹣2＜x1＜0∴x2=x1﹣2∴在x1∈（﹣2，0）上为增函数．∴（16分）点评：本昰考查二次函数的性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．28．（2009•惠州模拟）（1）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是，求f（x）的解析式；（2）设f（x）=x2﹣2ax+2，当x∈[﹣1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用待定系数法求a，b，c．（2）要求当x∈[﹣1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，实质是求函数f（x）在[﹣1，+∞）上的最小值即可．解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，可设，（a＞0）又f（0）=0，∴a=1．故f（x）=x2﹣x…（4分）（2）要使x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立⇔f（x）min≥a，当a≤﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=3+2a…（6分）即3+2a≥a⇔a≥﹣3故此时﹣3≤a≤﹣1…（8分）当a＞﹣1时，，若x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立⇔f（x）min≥a，即2﹣a2≥a⇔a2+a﹣2≤0⇔﹣2≤a≤1故此时﹣1＜a≤1…（12分）综上当﹣3≤a≤﹣1时，x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立…（14分）点评：本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数在给定区间上的最值求法，要求利用数形结合的思想去求解．29．（2012•成都一模）已知函数f（x）=x2﹣2mx+2﹣m．（I）若不等式f（x）≥x﹣mx在R上恒成立，求实数m的取值范围；（II）记A={y|y=f（x），0≤x≤1}，且A⊆[0，+∞]，求实数m的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由题意可得x2﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即x2 ﹣（m+1）x+2﹣m≥0恒成立，由判别式小于或等于零求得实数m的取值范围．（II）由题意可得x2﹣2mx+2﹣m≥0 在[0，1]上恒成立，分m＜0、0≤m≤1、m＞1三种情况分别求出实数m的取值范围，再去并集，即得所求．解答：解：（I）由题意可得x2﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即x2 ﹣（m+1）x+2﹣m≥0恒成立，∴△=（m+1）2﹣4（2﹣m）≤0，解得﹣7≤m≤1，故实数m的取值范围为[﹣7，1]．（II）由题意可得，A={y|y=f（x），0≤x≤1}={y|y≥0 在[0，1]上恒成立}，即x2﹣2mx+2﹣m≥0 在[0，1]上恒成立．当m＜0时，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值为f（0）=2﹣m≥0，m≤2．当0≤m≤1时，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值为f（m）=2﹣m﹣m2≥0，解得﹣2≤m≤1，故此时0≤m≤1．当m＞1时，y=f（x）=x2﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值为f（1）=﹣3m+3≥0，m≤1．故此时m的值不存在．综上，实数m的取值范围为（﹣∞，1]，故实数m的最大值为1．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论数学思想，属于中档题．30．已知函数f（x）=﹣2x2+（a+3）x+1﹣2a，g（x）=x（1﹣2x）+a，其中a∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：当a=﹣2时，f（x）在区间上为减函数；（3）当x∈[﹣1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：（1）根据偶函数的定义f（x）=f（﹣x），求出a的值和函数解析式，进而求出最小值；（2）先设x1＜x2 ，x1、x2∈，推出f（x1）＞f（x2），从而可以证明结论；（3）首先由题意得出（a+2）x+1﹣3a＞0在[﹣1，3]上恒成立．转化成求函数h（x）=（a+2）x+1﹣3a的最小值，要采取分类讨论次函数的斜率与单调性的关系，求出a的取值范围．解答：解：（1）函数f（x）是偶函数∴f（x）=f（﹣x），即：﹣2x2+（a+3）x+1﹣2a=﹣2x2﹣（a+3）x+1﹣2a∴a=﹣3则f（x）=﹣2x2+7∴对称轴为x=0∴最小值f（3）=﹣11（2）∵a=﹣2∴f（x）=﹣2x2+x+5设x1＜x2 ，x1、x2∈f（x1）﹣f（x2）=﹣2x12+x1+5+2x22﹣x2﹣5=（x2﹣x1）[2（x1+x2）﹣1]∵x1＜x2 ，∴x2＞x1∵x1、x2∈∴2（x1+x2）＞1∴2（x1+x2）﹣1＞0∴f（x1）﹣f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）∴当a=﹣2时，f（x）在区间上为减函数．（3）由题意得﹣2x2+（a+3）x+1﹣2a＞x（1﹣2x）+a在[﹣1，3]上恒成立．即（a+2）x+1﹣3a＞0在[﹣1，3]上恒成立．设h（x）=（a+2）x+1﹣3a，①若a＞﹣2，该函数是增函数，只需f（﹣1）＞0即可，则f（﹣1）=﹣4a﹣1＞0，解得a＜﹣，所以﹣2＜a＜﹣；②若a＜﹣2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可，则f（3）=7＞0，，所以a＜﹣2满足；③若a=﹣2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=﹣2满足要求．故a的取值范围是a＜．。

《二次函数》练习一．选择题（共8小题）1．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大2．对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点 3 43．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤4．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．①③④8．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③5 6 7 8二．填空题（共4小题）9．若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是．10．若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为．11．二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），则代数式（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）的值为．12．若二次函数y=mx2+（m﹣2）x+的图象与x轴有交点，那么m的取值范围为．三．解答题（共8小题）13．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？14．天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）15．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？16．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C 是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．18．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．2．（2016•广州）对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点【解答】解：∵二次函数y=﹣+x﹣4可化为y=﹣（x﹣2）2﹣3，又∵a=﹣＜0∴当x=2时，二次函数y=﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．故选B．3．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．4．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．5．（2016•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确．故选：B．6．（2016•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；∵抛物线开口向下，x=﹣1是对称轴，所以x=﹣1对应的y值是最大值，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选C．7．（2016•日照）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．①③④【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b=﹣2a，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣）到对称轴的距离比点（）对称轴的距离远，∴y1＜y2，所以④正确．故选C．8．（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故②错误；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0；故③错误；由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，故④正确．故选B二．填空题（共4小题）9．（2016•徐州）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是m＞1．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，∴方程x2+2x+m=0没有实数根，∴判别式△=22﹣4×1×m＜0，解得：m＞1；故答案为：m＞1．10．（2016•泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为﹣4．【解答】解：设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，∴x1+x2=﹣=2，x1，•x2=﹣，∴+==﹣4，故答案为：﹣4．11．（2016•无锡二模）二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），则代数式（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）的值为﹣16．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），∴1+m+n=﹣2，∴m+n=﹣3，∴（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）=（﹣3﹣1）（1+3）=﹣16．故答案为：﹣16．12．（2016•微山县一模）若二次函数y=mx2+（m﹣2）x+的图象与x轴有交点，那么m的取值范围为m且m≠0．【解答】解：由题意知：，解得m且m≠0，故答案为m且m≠0．三．解答题（共8小题）13．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，令W=840，则﹣10x2+400x﹣3000=840，解得：x1=16，x2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．14．（2016•天水）天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）【解答】解：（1）设李红第x天生产的粽子数量为260只，根据题意得20x+60=260，解得x=10，答：李红第10天生产的粽子数量为260只；（2）根据图象得当0≤x≤9时，p=2；当9＜x≤19时，设解析式为y=kx+b，把（9，2），（19，3）代入得，解得，所以p=x+，①当0≤x≤5时，w=（4﹣2）•32x=64x，x=5时，此时w的最大值为320（元）；②当5＜x≤9时，w=（4﹣2）•（20x+60）=40x+120，x=9时，此时w的最大值为480（元）；③当9＜x≤19时，w=[4﹣（x+）]•（20x+60）=﹣2x2+52x+174=﹣2（x﹣13）2+512，x=13时，此时w的最大值为512（元）；综上所述，第13天的利润最大，最大利润是512元．15．（2016•丹东）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x=40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．16．（2016•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．17．（2016•威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），∴﹣8a=4，∴a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；（2）如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由（1）知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，∴=，设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′（2h，h+4）∵点E′在抛物线上，∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，∴h=0（舍）h=∴E′（1，），②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，同①的方法得，E（3，），点E的坐标为（1，），（3，）（3）①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，设点P′（m，﹣m2+m+4），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，∴m=﹣m2+2m，∴m=0（舍）或m=4﹣2，菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，设点P（n，﹣n2+n+4），∴CQ=n，OQ=n+2，∴n+4=﹣n2+n+4，∴n=0（舍），∴此种情况不存在．∴菱形的边长为4﹣4．18．（2016•黔东南州）如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PB、PC，求△PBC的面积；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，∴当y=0时，x=3，∴点B的坐标为（3，0），∵y=﹣x+3过点C，易知C（0，3），∴c=3．又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为（1，0）．又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），∴解得：∴该抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3；（2）如图1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，又∵B（3，0），C（0，3），∴PC===2，PB==，∴BC===3，又∵PB2+BC2=2+18=20，PC2=20，∴PB2+BC2=PC2，∴△PBC是直角三角形，∠PBC=90°，∴S△PBC=PB•BC=××3=3；（3）如图2，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，得P（2，﹣1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=．由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=3．假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．①当=，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．即=，解得：BQ=3，又∵BO=3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0）．②当=，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．即=，解得：QB=．∵OB=3，∴OQ=OB﹣QB=3﹣，∴Q2的坐标是（，0）．③当Q在B点右侧，则∠PBQ=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，故∠PBQ≠∠BAC．则点Q不可能在B点右侧的x轴上，综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．19．（2016•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，∴C（0，﹣5），∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，m2+m﹣5），如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，∴=，即=，∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2+5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．20．（2016•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点D（﹣1，4）．（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+3．假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴0=﹣m2﹣2m+3，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．。

二次函数基础测试题附答案一、选择题1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a；∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.3．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x，故本选项正确；故选：C ．【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．4．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．6．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a->0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．7．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

高中二次函数练习题1. 已知二次函数的图像经过点(2, 5)和(-1, 10)，求该二次函数的解析式。

2. 给定二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若该函数的图像与x轴有两个交点，求b^2 - 4ac的值。

3. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(-2, 3)，且经过点(1, 8)，求a、b、c的值。

4. 一个抛物线的顶点在原点，且经过点(3, 9)，求该抛物线的方程。

5. 某二次函数的图像与x轴交于点A(-2, 0)和点B(4, 0)，求该二次函数的对称轴方程。

6. 给定二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a > 0，若该函数的图像在x轴上方，求b^2 - 4ac与0的关系。

7. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像在x轴下方，且顶点坐标为(1, -4)，求a、b、c的值。

8. 一个二次函数的图像经过点(0, 5)和(2, -3)，求该二次函数的顶点坐标。

9. 给定二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若该函数的图像与y轴交于点(0, 3)，求c的值。

10. 一个抛物线的焦点坐标为(0, 2)，且经过点(1, 3)，求该抛物线的方程。

11. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴交于点A和点B，且|AB| = 4，求a的取值范围。

12. 一个二次函数的图像经过点(-1, 0)和(0, -3)，求该二次函数的对称轴方程。

13. 给定二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a < 0，若该函数的图像在x轴下方，求b^2 - 4ac与0的关系。

14. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像在x轴上方，且顶点坐标为(-3, 2)，求a、b、c的值。

15. 一个抛物线的顶点在原点，且经过点(-2, 4)，求该抛物线的方程。

16. 给定二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若该函数的图像与x轴交于点(0, 4)，求c的值。

《二次函数》50题一．选择题（共50小题）1．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（）A．（﹣2，8）B．（﹣2，10）C．（﹣2，12）D．（﹣2，14）2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，对称轴为直线x＝﹣2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣c＞0；③ac+b ＝1；④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（）A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤26．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2+4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y28．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y1＜y2＜y3D．y1＞y3＞y29．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 10．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1 D．11．抛物线y＝ax2+4x+c（a＞0）经过点（x0，y0），且x0满足关于x的方程ax+2＝0，则下列选项正确的是（）A．对于任意实数x都有y≥y0B．对于任意实数x都有y≤y0C．对于任意实数x都有y＞y0D．对于任意实数x都有y＜y012．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b＝0；③b＜a+c；④4c＝4+a，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△P AB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（）A．①B．②C．③D．④14．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）A．﹣12 B．0 C．4 D．1615．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2），关于这两个交点的说法正确的为（）A．点A在第三象限，点B在第四象限B．点A在第四象限，点B在第三象限C．都在第三象限D．都在第四象限17．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．418．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4 B．最小值为4C．最大值为3.5 D．最小值为3.519．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（）A．﹣B．﹣C．1 D．﹣或﹣20．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．21．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣2（x+2）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣522．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（）A．0≤t＜8或t＝﹣1 B．t≥0C．0＜t＜8 D．0≤t＜823．抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），将抛物线M绕点B 旋转180°，得到新的抛物线M'，则M'的表达式为（）A．y＝x2+8x﹣12 B．y＝x2+8x+12 C．y＝x2﹣8x﹣12 D．y＝x2﹣8x+12 24．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3 C．2D．2+25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个26．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．427．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣228．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（）A．0 B．﹣4 C．4 D．229．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧30．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大D．当x＝2时，函数有最小值为531．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为（）A．10 B．17 C．5 D．232．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．1133．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（）A．0＜k＜3 B．﹣3＜k＜0 C．﹣3＜k＜﹣1 D．1＜k＜334．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＝235．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．5a+3b＜1 B．4a+3b＜2 C．2a+b＜0 D．a+2b＜036．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．37．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个38．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．39．向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数，小甬相隔2秒依次抛出两个小球，假设两个小球出手时离地面高度相同，在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度．若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同，则t＝（）A．2.2 B．2.5 C．2.6 D．2.740．对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（）①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④41．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：①4a+2b﹣c＞0；②a﹣b﹣c＜0；③c＝3a；④5a+b﹣2c＞0．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④43．已知抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n），其中m＜n，若a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0的两根，且a＜b，则当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn的值（）A．小于零B．等于零C．大于零D．与零的大小关系无法确定44．若二次函数y＝﹣x2+px+q的图象经过A（1+m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1 45．设抛物线y＝ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为M，与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S．下面哪个选项的抛物线满足S＝1．（）A．y＝﹣3（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣0.5）（x+1.5）C．y＝x+1D．y＝（a2+1）x2﹣4x+2（a为任意常数）46．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个47．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a+c＝1；②b2﹣4ac≥0；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x＝﹣．其中结论正确的个数有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个48．若二次函数y＝|m|x2+nx+c的图象经过A（a，b）、B（0，y1）、C（5﹣a，b）、D（，y2）、E（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2 49．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为（）A．1 B．2 C．D．50．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点M是对称轴上的一个动点．连接AM，BM，当|AM﹣BM|最大时，点M的坐标是（）A．（1，4）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（1，﹣6）参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（）A．（﹣2，8）B．（﹣2，10）C．（﹣2，12）D．（﹣2，14）【解答】解：∵抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，∴（﹣+）＝﹣1，∴m+n＝﹣5，∴抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，y），∴2m﹣4＝4+2（3m+n）+n，∴4m+3n＝﹣8，解得m＝7，∴y＝2m﹣4＝10，∴在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，10），故选：B．2．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【解答】解：抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（，y3）四点，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝＝﹣1．∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|+1|∴y3＞y2＞y1，故选：D．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，对称轴为直线x＝﹣2，则下列结论：①abc＞0；②a﹣c＞0；③ac+b ＝1；④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴b＝4a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；∵点B到直线x＝﹣2的距离大于2，∴点A到直线x＝﹣2的距离大于2，即点A在（﹣4，0）的左侧，∴当x＝﹣4时，y＞0，即16a﹣4b+c＞0，∴a﹣b+c＞0，所以②正确；∵C（0，c），OB＝OC，∴B（c，0），∴ac2+bc+c＝0，即ac+b+1＝0，所以③错误；∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴A（﹣4﹣c，0），∴﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．故选：C．4．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①正确；②∵对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，所以②正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，所以④正确；故选：D．5．已知二次函数y＝x2﹣2x+2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（）A．a＝1 B．1≤a＜2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，1），∴当y＝1时，x＝1，当y＝2时，x2﹣2x+2＝2，x＝0或2，∵当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1，∴1≤a≤2，故选：D．6．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴﹣＝1，∴b＝2；故选：D．7．已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2+4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+4x+c的对称轴为直线x＝1，且抛物线的开口向下，∴离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小，∵点（4，y3）离对称轴的距离最远，点（，y2）离对称轴的距离最近，∴y2＞y1＞y3，故选：C．8．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y1＜y2＜y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+m，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，∵点（﹣4，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近，∴y1＜y2＜y3．故选：C．9．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3 B．y＝﹣2x2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．故选：D．10．在抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2经过（m，n）和（m+3，n）两点，可知函数的对称轴x＝＝1，∴m＝﹣；将点（﹣，n）代入函数解析式，可得n＝2（﹣﹣1）2＝；故选：A．11．抛物线y＝ax2+4x+c（a＞0）经过点（x0，y0），且x0满足关于x的方程ax+2＝0，则下列选项正确的是（）A．对于任意实数x都有y≥y0B．对于任意实数x都有y≤y0C．对于任意实数x都有y＞y0D．对于任意实数x都有y＜y0【解答】解：∵x0满足关于x的方程ax+2＝0，∴x0＝﹣，∴点（x0，y0）是二次函数y＝ax2+4x+c的顶点坐标．∵a＞0，∴对于任意实数x都有y≥y0．故选：A．12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①ac＜0；②a+b＝0；③b＜a+c；④4c＝4+a，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴抛物线得对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a，即a+b＝0，所以②正确；∵抛物线与x轴的负半轴的交点到原点的距离小于1，∴x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即b＞a+c，所以③错误；∵抛物线的顶点的纵坐标为1，∴＝1，把b＝﹣a代入得4c﹣a＝4，所以④正确．故选：C．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m＝时，△P AB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；若a+c＝b+3，即a﹣b+c＝3，则该抛物线一定经过点（﹣1，3），所以②错误；当P（m，n）为抛物线的顶点时，方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；若P（m，n）不为抛物线的顶点，则方程ax2+bx+c＝n有两个不相等的实数解，所以③错误；当P点为顶点时，△P AB的面积最大．此时x＝﹣＝m，∵x1、x2为方程ax2+bx+c＝0的两不相等的实数解，∴x1+x2＝﹣，∴m＝，所以④正确．故选：D．14．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（）A．﹣12 B．0 C．4 D．16【解答】解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．故选：A．15．如右图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②9a﹣3b+c＜0；③若（﹣2，y1），（，）是抛物线上两点，则y1＜y2，④a﹣b+c＝﹣9a；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∴当x＝﹣3时，y＞0，即9a﹣3b+c＞0，所以②错误；∵抛物线开口向下，点（﹣2，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（，）到直线x＝﹣1的距离小，∴y1＞y2，所以③错误；∵x＝2，y＝0，∴4a+2b+c＝0，把b＝2a代入得4a+4a+c＝0，解得c＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，所以④正确．故选：B．16．直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2），关于这两个交点的说法正确的为（）A．点A在第三象限，点B在第四象限B．点A在第四象限，点B在第三象限C．都在第三象限D．都在第四象限【解答】解：由抛物线y＝﹣x2+3x﹣1可知抛物线开口向下，与y轴的交点为（0，﹣1），对称轴为直线x＝﹣＞0，∴抛物线对称轴在y轴的右侧，∴直线y＝﹣与抛物线y＝﹣x2+3x﹣1的两个交点为A（x1，y）和B（x2，y）（x1＜x2）都在第四象限，故选：D．17．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜＜，故②的结论正确；∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；故选：B．18．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x 的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a ≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（）A．最大值为4 B．最小值为4C．最大值为3.5 D．最小值为3.5【解答】解：根据题意得＝3，﹣＝5，解得a＝﹣，b＝2或b＝﹣2，∴抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式为y＝﹣x2+2x或y＝﹣x2﹣2x，∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+4）2+4，∴二次函数y＝ax2+bx有最大值4．故选：A．19．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（）A．﹣B．﹣C．1 D．﹣或﹣【解答】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣2m﹣4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6，∴4m+8＝±6，当4m+8＝6时，m＝﹣，当4m+8＝﹣6时，m＝﹣，∴m的值是﹣或﹣．故选：D．20．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D正确；故选：D．21．将抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣2（x+2）2+2 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣2（x+2）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣5【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度，∴平移后解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3，∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2﹣3+1．即y＝﹣2（x﹣2）2﹣2；故选：B．22．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，则t的取值范围是（）A．0≤t＜8或t＝﹣1 B．t≥0C．0＜t＜8 D．0≤t＜8【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝2．∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0有实数根可以看做y＝x2﹣4x+3与函数y＝t只有一个交点，∵方程x2﹣4x+3﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内只有一个实数根，当x＝1时，y＝0；当x＝5时，y＝8；当x＝2时，y＝﹣1；∴t的取值范围是0≤t＜8或t＝﹣1．故选：A．23．抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），将抛物线M绕点B 旋转180°，得到新的抛物线M'，则M'的表达式为（）A．y＝x2+8x﹣12 B．y＝x2+8x+12 C．y＝x2﹣8x﹣12 D．y＝x2﹣8x+12 【解答】解：∵抛物线M：y＝﹣x2+4与x轴交于两点A、B（点A在点B的左侧），∴点A（﹣2，0），点B（2，0），该抛物线的顶点坐标为（0，4），∵将抛物线M绕点B旋转180°，得到新的抛物线M'，∴新的抛物线M'的顶点坐标为（4，﹣4），点A关于点B的对称点为（6，0），∴新的抛物线M'的解析式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12，故选：D．24．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，BD与y轴相交于点E，过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F，G两点，则线段FG的长为（）A．1+B．3 C．2D．2+【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），∴令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则（x+3）（x﹣1）＝0，∴x＝﹣3或1，∴B（1，0），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为x＝﹣1，∵CD∥AB，∴C、D两点关于x＝﹣1对称，∴D（﹣2，﹣3），设BD的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，∴，∴BD的解析式为y＝x﹣1，∴E（0，﹣1），令y＝﹣1，则y＝x2+2x﹣3＝﹣1，解得，x＝﹣1，∴F（﹣1﹣，﹣1），G（﹣1+，﹣1），∴FG＝（﹣1+）﹣（﹣1﹣）＝2，故选：C．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故本说法错误；（2）方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故本说法正确；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大，故本说法错误；（4）由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，﹣＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，一定不过第二象限，故本说法正确；故选：B．26．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时，a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：C．27．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵k＜0，∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x＝﹣的左侧，y随x的增大而增大．∵当x＜m时，y随着x的增大而增大∴m≤﹣，而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，所以m≤﹣2，故选：D．28．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，x1、x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的两根，则（x1+x2）的值为（）A．0 B．﹣4 C．4 D．2【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0）、B（5，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，即﹣＝0，∴b＝0，∴25a+c＝0，∵a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx，a（x﹣2）2+c＝0，∴a（x﹣2）2＝25a，∴（x﹣2）2＝25，解得x1＝7，x2＝﹣3，即关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解为x1＝7，x2＝﹣3．∴x1+x2＝4．故选：C．29．对于二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A．该二次函数图象的对称轴可以是y轴B．该二次函数图象的对称轴不可能是x＝1C．当x＞2时，y的值随x的增大而增大D．该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x（a＞0），∴当a＝时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；该函数的对称轴为直线x＝﹣＝1﹣＜1，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；∵该函数的对称轴为x＝1﹣＜1，∴当a＝时，x＝﹣1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；故选：D．30．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大D．当x＝2时，函数有最小值为5【解答】解：A、y＝2（x﹣2）2+5＝2x2﹣8x+13，则图象与y轴的交点坐标为（0，13），原题说法正确，故此选项不合题意；B、对称轴为x＝2，图象的在y轴的右侧，原题说法正确，故此选项不合题意；C、a＝2，开口向上，对称轴为x＝2，则当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，原题说法错误，故此选项符合题意；D、顶点坐标为（2，5），开口向上，则当x＝2时，函数有最小值为5，原题说法正确，故此选项不合题意；故选：C．31．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为（）A．10 B．17 C．5 D．2【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0），∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∵当x≥3时，y随x的增大而增大，∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，∵当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．，∴当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，∴a＝1或a＝﹣9（舍去），∴抛物线为y＝x2﹣2x+2，∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，∴函数y＝（x+1）2+1，∴抛物线y＝（x+1）2+1在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17，故选：B．32．已知某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，若该二次函数图象的对称轴是直线x ＝3，且点A的坐标是（8，0），则AB的长为（）A．5 B．8 C．10 D．11【解答】解：∵某二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，该二次函数图象的对称轴是直线x＝3，且点A的坐标是（8，0），∴点B的坐标为（﹣2，0），∴AB＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，故选：C．33．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根，则实数k满足（）A．0＜k＜3 B．﹣3＜k＜0 C．﹣3＜k＜﹣1 D．1＜k＜3【解答】解：设y＝ax2+b|x|+c，则函数y＝ax2+b|x|+c的图象，如右图所示，∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于（0，﹣1），顶点纵坐标为﹣3，∴ax2+b|x|+c＝k有四个不相等的实数根时，k满足﹣3＜k＜﹣1，故选：C．34．如图，Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，若斜边上的高为h，则（）A．h＜1 B．h＝1 C．1＜h＜2 D．h＝2【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b），则斜边上的高为h，故h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴CD＝，∴＝，方程两边平方得b﹣a2＝（a2﹣b）2，即h＝（﹣h）2，因为h＞0，所以h＝1，是个定值．故选：B．35．函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．5a+3b＜1 B．4a+3b＜2 C．2a+b＜0 D．a+2b＜0 【解答】解：由图象可知，函数函数y＝ax2+bx图象的对称轴为直线x＝﹣＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，故C正确；∵当x＝2时，函数y＝ax2+bx中y＜0，即4a+2b＜0，当x＝1时，y＜1，即a+b＜1∴5a+3b＜1，故A正确；∵a+b＜1，∴2a+2b＜2∵2a+b＜0，∴4a+3b＜2故B正确；∵﹣＞，a＜0，∴b＞﹣a，∴2b＞﹣2a，∴a+2b＞﹣a，∴a+2b＞0，故D错误；故选：D．36．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．37．小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（）（1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）如图，抛物线开口方向向下，则a＜0，故结论正确；（2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，故b＞0，故结论正确；（3）如图，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故结论错误；（4）由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x＝﹣＞0．结合a＜0知，2a+b＜0，故结论正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．38．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞0，b＞0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、二、三象限，二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第一、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的右侧，函数图象开口向上，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b 交点在x轴上，故选项C正确；当a＜0，b＜0时，一次函数y＝ax+b的图象在第二、三、四象限，二次函数y＝ax2+bx 的图象经过原点，顶点在y轴的左侧，函数图象开口向下，故选项D错误；故选：C．39．向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数，小甬相隔2秒依次抛出两个小球，假设两个小球出手时离地面高度相同，在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度．若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同，则t＝（）A．2.2 B．2.5 C．2.6 D．2.7【解答】解：设各自抛出后1.2秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y＝a（t﹣1.2）2+h，由题意a（t﹣1.2）2+h＝a（t﹣2﹣1.2）2+h，解得t＝2.2．故第一个小球抛出后2.2秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故选：A．40．对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（）①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【解答】解：∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x ﹣3），∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，故①正确；对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②正确；∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝＝2+，∴若k＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，故③正确；∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），∴当y＝0时，x1＝+1，x2＝3，∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，故④错误；故选：A．41．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：①4a+2b﹣c＞0；②a﹣b﹣c＜0；③c＝3a；④5a+b﹣2c＞0．正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵（3，0）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b﹣c＝0，故②错误；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a∴a+2a﹣c＝0，∴c＝3a，故③正确；∵b＝﹣2a，c＝3a，a＜0，∴4a+2b﹣c＝4a﹣4a﹣3a＝﹣3a＞0，即4a+2b﹣c＞0，故①正确；∵4a+2b﹣c＞0，a﹣b﹣c＝0，两式相加：5a+b﹣2c＞0，故④正确，故选：C．42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：①x＞3时，y＜0；②4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④4ac+b2＜4a．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，∵对称轴为直线x＝，∴x＝0与x＝3所对应的函数值相同，∵当x＝0时y＜0，∴x＝3时y＜0，∴x＞3时，y＜0，∴①正确；∵x＝＝﹣，∴b＝﹣3a，∴4a+b＝4a﹣3a＝a＜0，∴②正确；∵抛物线经过点A（，0），∴a+b+c＝0，∴c＝a，∵B在（0，0）和（0，﹣1）之间，∴﹣1＜c＜0，∴﹣1＜a＜0，∴﹣＜a＜0，∴③正确；4ac+b2﹣4a＝4a×a+（﹣3a）2﹣4a＝5a2+9a2﹣4a＝14a2﹣4a＝2a（7a﹣2），∵a＜0，∴2a（7a﹣2）＞0，∴4ac+b2﹣4a＞0，∴④不正确；故选：B．43．已知抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n），其中m＜n，若a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0的两根，且a＜b，则当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn的值（）A．小于零B．等于零C．大于零D．与零的大小关系无法确定【解答】解：y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），由（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0，则y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b），如图1：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，∴a＜m＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合；如图2：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，此时m＜a＜n＜b，∴（a﹣m）（b﹣n）＞0，∴mn＜0；如图3：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时，此时m＜a＜b＜n，∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合题意；综上所述：当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn＜0，。

二次函数专题训练（含答案）一、 填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a -时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=xy 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 .二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21C.（-1，5）D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当 a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax y bx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2ax y =与xa y =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ）A.a >0，Δ>0B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-16 34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.（1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHED AH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.（1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值；（2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；（3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标.（2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.（3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1） 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值， 二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.（2） 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.（1） 求点C 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ）件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.2.∵43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时m m m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1） 当AC=BC 时， 94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2） 当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y . （3） 当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-m m ， ∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m0)1(122222+=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点.令y=0，得062)5(222=+++-m x m x0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====，∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ②解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1；△ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0.同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a b x a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10. 二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ²122+-=b x .∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根，∴ x 1+x 2=a-3，x 1²x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意.∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a .解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ，01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b .∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a cx x a bx x =⋅-=+2121,.又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a ca b .① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b.③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1， 得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2）当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y .33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ²OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1³4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y .解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ²OB=OC 2.∴ x 1²x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知ac x x =⋅21， ∴acc =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ， ∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5³4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.（2）∵4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3）在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y .∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0 ∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0， 解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+=.111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8， ∴1821⨯=⨯⨯y AB .即8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ²AB=2³（2+6）=16. ∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHEDAH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB. 又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴ △DFB ∽△DHB. ∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴FHEDAH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF. 又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH. 以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH. ∴FHEDAH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y .∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPBOD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2=EF ²EB 得12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）.39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ，化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ²OC=BC ²AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB.图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21.1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45.40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛524,0.∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴ OBOCAB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===.∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有0329413422=-+⎪⎭⎫⎝⎛--m m x m x .⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422.013891613891622>=+-+-=mm m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CP MP=+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,56.42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ²OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1²x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y.图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x . ∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ D CA D PB ABPC S S S ∆∆-=四边形 ).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。

二次函数精编测试题及参考答案(提高)一、选择题1.下列是二次函数的是（）A.y=2x-1B. y=x2-(x-1)2C.y=x(x+1)-7D.y=1 x22.若二次函数y=(k-2)x2-3x+4与x轴有两个交点,则k的取值范围是（）A.k≠2B.k≠4116C.k＜4116且k≠2 D.k＞4116且k≠23.将抛物线y=2x2-4x+1向左平移2022个单位,再向下平移2023个单位,则平移后抛物线的解析式为（）A.y=2(x-1)2-1B.y=2(x+2021)2-2024C.y=2(x-2022)2-2024D.y=2(x-2024)2+20224.关于二次函数y=3x2+1的说法中,错误的是（）A.抛物线顶点(0,1)B.当x＞1时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,4)D.图象的对称轴是直线x=15.如果三点P1(1,y1),P2(3,y2)和P3(4,y3)在抛物线y=-x2+6x+c的图象上,那么y1,y2与y3之间的大小关系是（）A y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y36.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是（）A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.向空中抛一枚物体,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此物体在第6秒与第15秒时的高度相等,则下列时间中物体所在的高度最高是（）A.第6秒B.第10秒C.第14秒D.第15秒8.如图,函数y=kx 2-2x+1和y=k(x-1)(k 是常数,且k ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） 9.三孔桥的三个桥孔呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.当大孔水面宽度为20米时,单个小孔的水面宽度为（ ）A.2√3B. 4√3C. 5√2D. 6√310.如图,在四边形DEFG 中,∠E=∠F= 90°,∠DGF=45°,DE=1,FG=3,Rt △ABC 的直角顶点C 与点G 重合,另一个顶点B(在点C 左侧)在射线FG 上,且BC=1,AC=2,将△ABC 沿GF 方向平移,点C 与点F 重合时停止.设CG 的长为x,△ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y,则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是（ ）11.对于二次函数y=12x 2-6x+21,有以下结论:①当x>5时,y 随x 的增大而增大;②当x=6时,y 有最小值3;③图象与x 轴有两个交点;④图象是由抛物线y=12x 2先向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,则下列结论: ①abc<0;②(4a+c)2<(2b)2;③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点,则当|x1+1|>|x2+1|时,y1<y2;④抛物线的顶点坐标为(-1,m),则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题13.二次函数y=3(x-3)2+2顶点坐标为_________.14.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c的值是_______.15.如图,在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x的关系式是_____________.第15题第16题第17题16.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为________________.17.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为_________.18.如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示,已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2023的坐标是_____________.三、解答题19.已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,(1)当m为何值时,此函数是一次函数.(2)当m为何值时,此函数是二次函数.20.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长12m的住房墙,另外三边用27m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积y最大,最大面积是多少?21.如图,已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c相交于A(4,0)和B(0,2).(1)求直线和抛物线解析式;(2)当y1>y2时,求x的取值范围;(3)若直线上方的抛物线有一点C,S△ABC=6,求点C的坐标.22.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/吨,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式;(3)当原料的质量x为多少吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是多少万元?23.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1:2两部分,并与x轴交于点Q,求点Q的坐标.参考答案一、选择题1-5 CCBDA 6-10 CBBCB 11-12 AC二、填空题13.（3，2）14. 115.y=4x2+160x+150016.y=−125(x−20)2+1617. 13.518.(-1012,10122)三、解答题19(1)m=-2 (2)m≠0且m≠-220.设宽为x，y=-2x2+28x,当宽为8米，长为12米时，面积最大，最大是96平方米。

二次函数试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是二次函数？A. y = x^2 + 3x + 2B. y = 3x + 2C. y = x^3 - 1D. y = 1/x答案：A2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标是什么？A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2) / 4aD. (-b/2a, 4ac - b^2) / (4a)答案：D3. 如果二次函数 y = ax^2 + bx + c 的 a < 0，那么它的图像开口方向是？A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：B二、填空题4. 二次函数 y = 2x^2 - 4x + 3 的顶点坐标是（）。

答案：(1, 1)5. 如果二次函数 y = ax^2 + bx + c 与 x 轴有两个交点，那么 a 的取值范围是（）。

答案：a ≠ 0 且Δ > 0三、解答题6. 已知二次函数 y = -3x^2 + 6x - 5，求该函数与 x 轴的交点。

答案：解：令 y = 0，得 -3x^2 + 6x - 5 = 0，解得x1 = (3 + √33) / 6，x2 = (3 - √33) / 6，因此，该函数与 x 轴的交点坐标为( (3 + √33) / 6, 0) 和( (3 - √33) / 6, 0)。

7. 某二次函数的图像经过点 (1, 2) 和 (2, 3)，且顶点在 x 轴上，求该二次函数的解析式。

答案：解：设二次函数为 y = a(x - h)^2 + k，由于顶点在 x 轴上，所以 k = 0，又因为图像经过点 (1, 2) 和 (2, 3)，代入得：a(1 - h)^2 = 2a(2 - h)^2 = 3解得 h = 1.5，a = 2，因此，该二次函数的解析式为 y = 2(x - 1.5)^2。

四、应用题8. 一个矩形的长是宽的两倍，如果面积为 24 平方米，求这个矩形的长和宽。

二次函数1．解析式、待定系数法若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A ．1,4,11a b c ==-=-B ．3,12,11a b c ===C ．3,6,11a b c ==-=D ．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭A ．2b a -B ．ba- C ． c D ．244ac b a -变式2：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C ．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2f x ax bx c =++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________．3．）单调性 已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是A ．3a ≥B ．3a ≤C ．3a <-D ．3a ≤-变式2：已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．xyO4．最值已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈．(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞ 变式2：若函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．5．奇偶性已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是 A ．增函数 B ．减函数 C ．常数 D ．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值． 6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称； ③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题： ①当c =0时，)(x f y =是奇函数；②当b =0，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为 ．7．（北师大版第54页A 组第6题）值域求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域： (1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]2,1-． 变式1：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A ．20,2⎡-⎢⎣⎦ B ．()20,4- C ．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式2：函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2 + bx （a 、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x ) = f (1－x )，且方程 f (x ) = x 有等根．(1)求 f (x ) 的解析式；(2)是否存在实数 m 、n （m < n ），使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m ,n ] 和 [3m ,3n ]，如果 存在，求出 m 、n 的值，如果不存在，说明理由．8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数 f (x ) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．变式2：已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．变式3：若f (x ) = x 2 + bx + c ，不论 α、β 为何实数，恒有 f (sin α )≥0，f (2 + cos β )≤0． (I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c ≥3；(III) 若函数 f (sin α ) 的最大值为 8，求 b 、c 的值． 9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系右图是二次函数()2f x ax bx c =++的图像，它与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定,,a b c 以及12x x ，12x x +的符号．变式1：二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为变式2：直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=23,m +-23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．变式3：对于函数 f (x )，若存在 x 0 ∈ R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．(I)若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > 12 ；(II)若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 | = 2，求 b 的取值范围．C ．xyO xyO OxyA ．B ．10．（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线()2f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接矩形(一边在x 轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a 是正实数．变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ) ．（Ⅰ）求g (a )；（Ⅱ）试求满足)1()(ag a g =的所有实数a ．二次函数答案1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法变式1： 解：由题意可知22241411b a ac bac ⎧-=⎪⎪-⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得31211a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故选D ． 变式2： 解：由题意可知212b +=，解得b =0，∴012c+=，解得c =2． 变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为()()231f x x k =--+， 展开得()2363f x x x k =-+-+，∴121232,3k x x x x -+==， ∴()2221212122629x x x x x x +=+-=，即()2326439k --=，解得43k =． 所以，该二次函数的图像是由()()231f x x =--的图像向上平移 43单位得到的，它的解析式是()()24313f x x =--+，即()25363f x x x =-+-．2．（北师大版第52页例2）图像特征变式1： 解：根据题意可知1222x x b a +=-，∴ 122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭244ac ba -，故选D ． 变式2： 解：∵()()11f x f x +=-，∴抛物线()2f x x px q =++的对称轴是1x =，∴ 12p-=即2p =-， ∴()22f x x x q =-+，∴()0f q =、()13f q -=+、()11f q =-+， 故有()()()101f f f ->>，选C ． 变式3： 解：观察函数图像可得：① a >0(开口方向)；② c =1(和y 轴的交点)；③ 4210a b ++=(和x 轴的交点)；④10a b ++<(()10f <)；⑤ 240b a ->(判别式)；⑥ 122ba<-<(对称轴)． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性变式1： 解：函数()242f x x ax =++图像是开口向上的抛物线，其对称轴是2x a =-，由已知函数在区间(),6-∞内单调递减可知区间(),6-∞应在直线2x a =-的左侧， ∴26a -≥，解得3a ≤-，故选D ．变式2：解：函数()()215f x x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对xyO称轴12a x -=或与直线12x =重合或位于直线12x =的左侧，即应有1122a -≤，解得2a ≤， ∴()()241257f a =--⨯+≥，即()27f ≥．变式3：解：函数()2f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是2kx =， ∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线2kx =的左侧或右侧， 即有22k ≤或42k≥，解得4k ≤或8k ≥． 4．（人教A 版第43页B 组第1题）最值变式1： 解：作出函数()223f x x x =-+的图像，开口向上，对称轴上x =1，顶点是(1，2)，和y 轴的交点是(0，3)， ∴m 的取值范围是12m ≤≤，故选C ．变式2： 解：函数有意义，应有240x -+≥，解得22x -≤≤，∴ 2044x ≤-+≤ ⇒02≤≤ ⇒06≤≤， ∴ M =6，m =0，故M + m =6．变式3： 解：函数()f x 的表达式可化为()()24222a f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．① 当022a ≤≤，即04a ≤≤时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，解得12a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾． ②当02a <，即0a <时，()2022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得1a =±0a <，∴1a =③当22a>，即4a >时，()2216822f a a a =-+-+是最小值， 依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =±，又∵4a >，∴5a =+为所求．综上所述，1a =5a =． 5．（人教A 版第43页A 组第6题）奇偶性变式1： 解：函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数 ⇒ 210m -= ⇒ 1m =±，当1m =时，()1f x =是常数；当1m =-时，()221f x x =-+，在区间(],0-∞上()f x 是增函数，故选D ．xyO变式2：解：根据题意可知应有120a a -+=且0b =，即13a =且0b =，∴点(),a b 的坐标是1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 变式3： 解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-，此时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠，此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（II ）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ， 若21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ． 若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤．（ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ，若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-，若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43．6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．当0x ≥时，()222314y x x x =-++=--+， 当0x <时，()222314y x x x =--+=-++． 作出函数图像，由图像可得单调区间．在(),1-∞-和(]0,1上，函数是增函数；在[]1,0-和()1,+∞上，函数是减函数．变式2： 解：若1,1,a b ==则22()|21|21f x x x x x =-+=-+，显然不是偶函数，所以①是不正确的；若1,4,a b =-=-则2()|24|f x x x =+-，满足)2()0(f f =，但)(x f 的图像不关于直线x =1对称，所以②是不正确的；xyO若02≤-b a ，则22()|2|2f x x ax b x ax b =-+=-+，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x a =，∴)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数，即③是正确的；显然函数()2()|2|f x x ax b x R =-+∈没有最大值，所以④是不正确的．变式3： 解：22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧++≥⎪=++=⎨-++<⎪⎩，(1)当c =0时，()f x x x bx =+，满足()()f x f x -=-，是奇函数，所以①是正确的；(2)当b =0，c >0时，22,0(),0x c x f x x x c x c x ⎧+≥⎪=+=⎨-+<⎪⎩，方程0)(=x f 即200x c x ⎧+=⎨≥⎩ 或20x c x ⎧-+=⎨<⎩ ，显然方程200x c x ⎧+=⎨≥⎩无解；方程20x c x ⎧-+=⎨<⎩的唯一解是x =，所以② 是正确的；(3)设()00,x y 是函数()||f x x x bx c =++图像上的任一点，应有0000||y x x bx c =++， 而该点关于（0，c ）对称的点是()00,2x c y --，代入检验00002||c y x x bx c -=--+即0000||y x x bx c -=---，也即0000||y x x bx c =++，所以()00,2x c y --也是函数()||f x x x bx c =++图像上的点，所以③是正确的；(4)若1,0b c =-=，则()||f x x x x =-，显然方程||0x x x -=有三个根，所以④ 是不正确的． 7．（北师大版第54页A 组第6题）值域变式1： 解：作出函数()2()2622f x x x x =-+-<<的图象，容易发现在32,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上是增函数，在3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，求出(2)20f -=-，(2)4f =，39()22f =，注意到函数定义不包含2x =-，所以函数值域是920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦．变式2：解：∵ y = cos2x +sin x =－2sin 2x +sin x +1，令t = sin x ∈ [－1,1]，则y =－2t 2+t +1，其中t ∈ [－1,1]，∴y ∈ [－2, 98 ]，即原函数的值域是[－2, 98 ]．变式3： 解：(I) ∵f (1 + x ) = f (1－x )，∴ －b2a= 1，又方程 f (x ) = x 有等根 ⇔ a x 2 + (b －1) x = 0 有等根， ∴ △= (b －1) 2 = 0 ⇒ b = 1 ⇒ a = －12 ，∴ f (x ) = －12x 2 + x ．(II) ∵ f (x ) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，1︒ 当 m ≥1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是减函数， ∴ 3m = f (x )min = f (n ) = －12n 2 + n (*)，3n = f (x )max = f (m ) = －12m 2 + m ，两式相减得：3 (m －n ) = －12 (n 2－m 2) + (n －m )，∵ 1≤m < n ，上式除以 m －n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2︒ 当 n ≤1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是增函数， ∴ 3m = f (x )min = f (m ) = －12m 2 + m ，3n = f (x )max = f (n ) = －12 n 2 + n ，∴ m = －4，n = 0．3︒ 当 m ≤1≤n 时，对称轴 x = 1 ∈ [m ,n ]，∴ 3n = f (x )max = f (1) = 12 ⇒ n = 16与 n ≥1 矛盾．综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题变式1： 解：(I) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R ，∴应有 ⎩⎨⎧ a > 0△= 4－4a < 0⇒ a > 1，∴ 实数 a 的取值范围是(1,+∞) ．(II) 函数 f (x ) 的值域为 R ，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+∞) 的所有值．1︒ 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；2︒ 当 a ≠ 0 时，应有⎩⎨⎧ a > 0△= 4－4a ≥0⇒ 0 < a ≤1．∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．变式2： 解法一：(转化为最值)()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上恒成立．⑴()2410a a ∆=--≤，22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或，52a ∴-≤<-． 综上所述2225-≤≤-a ． 解法二：（运用根的分布） ⑴当22a -<-，即4a >时，应有()(2)732g a f a =-=-≥， 即53a ≤，a ∴不存在； ⑵当222a-≤-≤，即44a -≤≤时，应有2()()3224a a g a f a =-=--+≥，即222222-≤≤-a －，2224-≤≤-∴a ； ⑶当22a->，即4a <-时，应有()(2)72g a f a ==+≥，即5a ≥- ， 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a ．变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin π2) = f (1)≥0，f (2 + cos π) = f (1)≤0，∴ f (1) = 0 ⇒ 1 + b + c = 0 ⇒ b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x ) = x 2－(c + 1) x + c (*)∵ f (2 + cos β )≤0 ⇒ (2 + cos β ) 2－(c + 1) (2 + cos β ) + c ≤0⇒ (1 + cos β ) [c －(2 + cos β )]≥0，对任意 β 成立．∵ 1 + cos β ≥0 ⇒ c ≥2 + cos β ， ∴ c ≥(2 + cos β )max = 3．(III) 由 (*) 得：f (sin α ) = sin 2α－(c + 1) sin α + c ，设 t = sin α ，则g (t ) = f (sin α ) = t 2－(c + 1) t + c ，－1≤t ≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = c + 12， 由 (II) 知：t ≥3 + 12= 2，∴ g (t ) 在 [－1,1] 上为减函数．∴ g (t )max = g (－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3∴ b = －c －1 = －4．9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系变式1： 解：二次函数b ax y +=2与一次函数图象b ax y +=交于两点),(b o 、),1(b a +，由二次函 数图象知b a ,同号，而由C B ,中一次函数图象知b a ,异号，互相矛盾，故舍去C B ,．又由b a >知，当0>>b a 时，1->-a b ，此时与A 中图形不符，当0a b >>时，1ba-<-，与D 中图形相符．变式2： 解：原命题可变为：求方程m mx x mx 4532-+=-，3)12(322-+-+=-m x m x mx ，32332--+=-m mx x mx 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m 的值，即得所求．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<--<+--,0)2(44,04)1(,0)34(4)4(2222m m m m m m 得 123-<<-m ，故符合条件的m 取值范围是23-≤m 或1-≥m ． 变式3： 解：(I) 由 f (x ) 表达式得 m = －b2a，∵ g (x ) = f (x )－x = a x 2 + (b －1) x + 1，a > 0，由 x 1，x 2 是方程 f (x ) = x 的两相异根，且 x 1 < 1 < x 2，∴ g (1) < 0 ⇒ a + b < 0 ⇒ －b a > 1 ⇒ －b 2a > 12 ，即 m > 12 ．(II) △= (b －1) 2－4a > 0 ⇒ (b －1) 2 > 4a ，x 1 + x 2 =1－b a ，x 1x 2 = 1a， ∴ | x 1－x 2 | 2 = (x 1 + x 2) 2－4x 1x 2 = (1－b a ) 2－4a = 2 2，∴ (b －1) 2 = 4a + 4a 2 (*)又 | x 1－x 2 | = 2， ∴ x 1、x 2 到 g (x ) 对称轴 x =1－b2a的距离都为1， 要 g (x ) = 0 有一根属于 (－2,2)， 则 g (x ) 对称轴 x = 1－b2a∈ (－3,3)， ∴ －3 <b －12a < 3 ⇒ a > 16| b －1 |， 把代入 (*) 得：(b －1) 2 > 23 | b －1 | + 19 (b －1) 2，解得：b < 14 或 b > 74，∴ b 的取值范围是：(－∞, 14 )∪( 74,+∞)．10．（北师大版第52页例3）应用变式1： 解：设矩形ABCD 在x 轴上的边是BC ，BC 的长是x (0<x <a )，则B 点的坐标为,02a x -⎛⎫⎪⎝⎭，A 点的坐标为22,24a x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．设矩形ABCD 的周长为P ，则P =2()2222221122242222a x a a x x x x ⎛⎫-+=-++=--++ ⎪⎝⎭(0<x <a )．① 若a >2，则当x =2时，矩形的周长P 有最大值，这时矩形两边的长分别为2和224a x -，两边之比为8:()24a -；②若0 <a ≤2，此时函数P =()2212222a x --++无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在． 综上所述，当a >2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:()24a -；当0 <a ≤2时，周长最大的内接矩形不存在．变式2： 解：(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为f (x ) = kx ，g (x ) = m x ，由 f (1) = k = 0.25， g (4) = 2m = 2.5 ⇒ m = 54 ，∴ f (x ) = 14 x （x ≥0），g (x ) = 54x ．(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，∴ 企业的利润 y = 14 (10－x ) + 54 x = 14 [－(x －52 ) 2 + 654]（0≤x ≤10），∴ x = 52 ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 6516≈4 万元．答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元． 变式3： 解：设x x t -++=11，要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x ，∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① ∴t 的取值范围是]2,2[． 由①得：121122-=-t x ， 不妨设t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221，]2,2[∈t ． （I ）由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221，]2,2[∈t 的最大值，当0=a 时，t t m =)(，]2,2[∈t ，有)(a g =2；当0a ≠时，此时直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=221的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当0>a 时，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段，由01<-=at 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增，故)(a g )2(m =2+=a ； （2）当0<a 时，，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段，若at 1-=]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g 2)2(==m ，若a t 1-=]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g aa a m 21)1(--=-=， 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g )2(m =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． （II ）若a >0，则1a >0，此时g(a )=g( 1a ) ⇔ a +2= 1a +2 ⇔ a = 1a ⇒a =1(舍去a =－1)；若－12 <a <0，则1a <－2，此时g(a )=g( 1a ) ⇔ a +2= 2 ⇒ a =－2+ 2 <－12 (舍去)；若－ 2 2 <a ≤－12 ，则－2≤1a<－ 2 ，此时g(a )=g( 1a ) ⇔ －a －12a = 2 ⇒ a =－ 22(舍去)；若－ 2 ≤a ≤－ 2 2 ，则－ 2 ≤1a ≤－ 22 ，此时g(a )=g( 1a) ⇔ 2 = 2 恒成立；若－2≤a <－ 2 ，则－ 2 2 <1a ≤－12，此时g(a )=g( 1a ) ⇔ 2 =－a －12a ⇒ a =－ 22 (舍去)；若a <－2，则－12 <1a<0，此时g(a )=g( 1a) ⇔ 2 = a +2⇒ a =－2+ 2 >－2 (舍去) ．综上所述，满足)1()(a g a g =的所有实数a 为：222-≤≤-a 或1=a ．。

二次函数的练习题及答案二次函数是高中数学中的重要内容，也是考试中常考的知识点之一。

掌握好二次函数的相关概念和解题方法，对于提高数学成绩和解决实际问题都有很大的帮助。

本文将通过一些练习题和答案的形式，帮助读者巩固和加深对二次函数的理解。

1. 练习题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1，4）和（2，1），求a、b、c的值。

解法：根据已知条件，将点（1，4）和（2，1）带入二次函数的方程，得到两个方程：a +b +c = 44a + 2b + c = 1解这个方程组，可以得到a、b、c的值。

2. 练习题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且交点的横坐标分别为2和5，求a、b、c的值。

解法：根据已知条件，可以得到两个方程：4a + 2b + c = 025a + 5b + c = 0同样地，解这个方程组，可以得到a、b、c的值。

3. 练习题三：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（-1，0），且在点（2，3）处的切线斜率为4，求a、b、c的值。

解法：根据已知条件，可以得到两个方程：a -b +c = 04a + 2b + c = 3同样地，解这个方程组，可以得到a、b、c的值。

通过以上几个练习题，我们可以看到，解二次函数的题目，关键在于将已知条件转化为方程，然后通过解方程组得到未知数的值。

这是一个基本的解题思路，需要我们熟练掌握。

除了解题方法，我们还可以通过一些图像来加深对二次函数的理解。

例如，我们可以画出二次函数y = x^2 + x - 2的图像，观察图像的开口方向、顶点位置以及与x轴的交点等特征。

这样可以帮助我们更好地理解二次函数的性质和特点。

此外，二次函数还有一些重要的应用，例如在物理学中，二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹；在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。

通过了解这些应用，我们可以将抽象的数学知识与实际问题联系起来，提高数学的应用能力。

二次函数试题及答案一、选择题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且与x轴有两个交点，则a、b、c之间的关系是（）。

A. b^2-4ac>0B. b^2-4ac=0C. b^2-4ac<0D. b^2-4ac≤0答案：A2. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，3），则c的值为（）。

A. 3B. -3C. 0D. 1答案：A二、填空题1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，-1），则b=______。

答案：-4a-42. 已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），则b=______。

答案：-2a三、解答题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）和（-1，0），求该二次函数的解析式。

答案：将点（1，2）和（-1，0）代入二次函数的解析式，得到方程组：\begin{cases}a+b+c=2 \\9a-3b+c=0\end{cases}解得a=1，b=-2，c=1，所以二次函数的解析式为y=x^2-2x+1。

2. 已知抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过点（0，3），求抛物线的解析式。

答案：由对称轴为直线x=1，可知-b/2a=1，即b=-2a。

又抛物线经过点（0，3），代入解析式得c=3。

设a=1，则b=-2，c=3，所以抛物线的解析式为y=x^2-2x+3。

四、综合题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为（2，0）和（-3，0），且抛物线的顶点坐标为（-1，-4），求该二次函数的解析式。

答案：由抛物线与x轴的交点可知，2和-3是方程ax^2+bx+c=0的两个根，所以有：\begin{cases}4a+2b+c=0 \\9a-3b+c=0\end{cases}又因为顶点坐标为（-1，-4），所以有：\begin{cases}-\frac{b}{2a}=-1 \\\frac{4ac-b^2}{4a}=-4\end{cases}解得a=1，b=4，c=-6，所以二次函数的解析式为y=x^2+4x-6。

二次函数专题一、选择题1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2或a <－2B ．－2<a <2C ．a ≠±2D ．1<a <33．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是( )A ．f (52)＜f (1)＜f (72)B ．f (1)＜f (72)＜f (52)C ．f (72)＜f (1)＜f (52)D ．f (72)＜f (52)＜f (1)二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝________.7．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．8．已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．三、解答题9．求下列二次函数的解析式：(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)；(2)已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，且f (x ＋1)－f (x )＝2x .10．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数值为非负数，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．11．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a 、c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11.(1)求a 、c 的值；(2)若对任意的实数x ∈[12，32]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．。

高一数学必修一二次函数练习题及一、选择题:1.(2003?大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是().A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2004?重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在().A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2004?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有().A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac4,那么AB的长是().A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2004?河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.(2003?新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003?天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004?武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个知足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003?黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2002?北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别讲出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出知足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题1.(2003?安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(2004?济南)已知抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B 两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种讲法写出来.3.(2004?南昌)在平面直角坐标系中,给定下面五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线知足以平行于y?轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如下图).(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,?请用约定的方法逐一表示出来;(2)在(1)中能否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?假如存在,试求出解析式及直线的解析式;假如不存在,请讲明理由.能力提高练习一、学科内综合题1.(2003?新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,?与y 轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并讲明理由;(2)假如点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式.二、实际应用题2.(2004?河南)?某市近年来经济发展速度很快,?根据统计:?该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据合适一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005?年该市国内生产总值将到达多少?3.(2003?辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,?公司经历了从亏损到盈利的经过.下面的二次函数图象(部分)?刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s 与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可到达30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?4.(2003?吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB?的宽为20m,假如水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如下图的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,?突然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位到达桥拱最高点O 时,禁止车辆通行),试问:假如货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请讲明理由;若不能,?要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?三、开放探索题5.(2003?济南)?某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a 变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并讲明理由;(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般〞的思想,?你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜测表述出来吗?你的猜测能成立吗?若能成立,请讲明理由.6.(2004?重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,?点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-a,0)且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,?设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,?请求出最大值;若没有,请讲明理由.。

二次函数练习题1、抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：容易看出，()20-，是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________． 2、已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式．3、已知二次函数222y x x c =-++的对称轴和x 轴相交于点()0m ，，则m 的值为____________．4、二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的对应值如下表：则使y <5、已知抛物线2y ax bx c =++经过点（1，2）与（1-，4），则a+c 的值是．6、一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（） A．5元 B ．10元 C．0元 D ．3600元 6、二次函数2y ax bx =+和反比例函数by x=在同一坐标系中的图象大致是（ ）7、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x =．Ａ．Ｂ．9、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100X 床位的旅馆，当每X 床位每天收费10元时，床位可全部租出．若每X 床位每天收费提高2元，则相应的减少了10X 床位租出．如果每X 床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每X 床位每天最合适的收费是（） A ．14元B ． 15元 C ．16元D ． 18元10、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =，且经过点(30)P ，．则a b c ++的值为 ( )Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 11、小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ） A ．4cm 2 B ．8cm 2 C ．16cm 2 D ．32cm 2 12、二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（ ） Ａ．()13-，Ｂ．()13，Ｃ．()13--，Ｄ．()13-，13、求二次函数221y x x =--的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．14、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：2240w x =-+．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式；（2）当x 取何值时，y 的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？15、如图，抛物线223y x x =--与x 轴分别交于A ，B 两点． （1）求A ，B 两点的坐标；（4分）（2）求抛物线顶点M 关于x 轴对称的点M '的坐标，并判断四边形AMB M '是何特殊平行四边形（不要求说明理由）．(6分)[注：抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．]解：16、某种爆竹点燃后，其上升的高度h （米）和时间t （秒）符合关系式201(02)2h t gt t υ=-<≤，其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以020υ=米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由． 17、已知抛物线的函数关系式：222(1)2y x a x a a =+-+-（其中x 是自变量）， （1）若点(23)P ，在此抛物线上，①求a 的值；②若0a >，且一次函数y kx b =+的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；（2）设此抛物线与x 轴交于点1(0)A x ，，2(0)B x ，．若12x x <<，且抛物线的顶点在直线34x =的右侧，求a 的取值X 围． 18、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图4）. 若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为2ym .（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？19、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件． （1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且110x ≤≤），求出y 关于x 的函数关系式；（2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．20、隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长 BC 为8 m ，宽AB 为2 m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线 的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m . (1) 求抛物线的解析式；(2) 一辆货运卡车高5.4m ，宽4.2m ，它能通过该隧道吗？(3) 如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有4.0m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？。

高一数学上册二次月考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^2 + bC. y = ax + cD. y = a(x - h)^2 + k2. 如果二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值应该是：A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 03. 二次函数y = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是：A. (0,1)B. (3/2, -1/2)C. (1, 2)D. (-1, 2)4. 对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，当a > 0且b^2 - 4ac > 0时，方程的解的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多5. 已知二次函数f(x) = x^2 + 2x - 3，当x = 1时，函数值f(1)为：A. -2B. 0C. 1D. 26. 抛物线y = -3x^2 + 6x - 5的对称轴方程是：A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 37. 如果二次函数f(x) = kx^2 + 2x + 1的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围是：A. k < 0B. k > 0C. k ≠ 0D. k ≥ 08. 已知二次函数f(x) = x^2 - 2x + 3，当x ∈ [0, 3]时，函数的最小值是：A. 0B. 1C. 3D. 49. 抛物线y = 4x^2 - 12x + 9的顶点坐标是：A. (0, 9)B. (3, 0)C. (-3, 9)D. (1, 4)10. 对于二次方程x^2 - 4x + 4 = 0，其判别式b^2 - 4ac的值是：A. 0B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题2分，共20分）11. 二次函数f(x) = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是______。