带强迫项的二阶脉冲微分方程的振动性

二阶振动微分方程二阶振动微分方程是一类常见的微积分问题，通常会在物理学、工程学等领域中遇到。

这种微分方程描述的是一个系统在受到外力作用时的振动情况，因此对理解和掌握振动学理论有重要意义。

通常我们可以将二阶振动微分方程表示为：m*y’’ + k*y = f(t)，其中m为系统的质量，k为系统的弹性系数，y为系统的位移，f(t)为外力函数。

二阶振动微分方程的求解方法有多种，下面我将介绍其中两种常用的方法。

方法一：特征方程法首先，我们可以假设y=e^(rt)，将其带入方程中，则可得到特征方程为mr^2 + k = 0。

解出特征方程的根r1,r2后，我们可以得到通解y=C1*e^(r1*t)+C2*e^(r2*t)，其中C1，C2为待定常数。

对于有阻尼的系统，我们可以使用阻尼比ζ和固有频率ω来表示特征方程的根。

此时特征方程为m*r^2 + c*r + k = 0，其中c为系统的阻尼系数。

解出特征方程的根r1,r2后，我们可以得到通解y=C1*e^(-ζωt)*cos(ω√(1-ζ^2)*t)+C2*e^(-ζωt)*sin(ω√(1-ζ^2)*t)，其中C1，C2为待定常数。

方法二：拉普拉斯变换法另一种常用的方法是使用拉普拉斯变换。

我们将原方程在两边同时施加拉普拉斯变换，即可将方程转化为代数形式，并得到解析表达式。

比如对于没有阻尼的振动系统，我们可以将方程变换为ms^2*Y(s) +k*Y(s) = F(s)，其中Y(s)为位移的拉普拉斯变换，F(s)为外力的拉普拉斯变换。

解出Y(s)后，我们再对其进行拉普拉斯反变换，得到原方程的解析表达式。

总之，二阶振动微分方程的求解方法有多种，而我们选择的方法往往会取决于具体的问题。

掌握这些方法，不仅可以帮助我们更好地理解振动学理论，还能够在实际工程中提供有力的工具支持，为实现振动控制和优化提供帮助。

带有强迫项的二阶拟线性微分方程的振动准则王培颖【摘要】In this paper,by using integral averaging functions of the formu(t)and the generalized Riccati technique,new interval oscillation criteria areestablished for forced second-order quasi-linear differential equations of the form p (t)y′(t)α-1 y′(t) ( )′+q(t)q(t)β-1 y (t)=e(t).We drop the restriction “φ′(t)≥0”in some existing results.%主要利用一元函数 u(t)型积分平均辅助函数和广义 Riccati 变换技巧，建立带有强迫项的二阶拟线性微分方程 p (t)|y′(t)|α-1 y′(t)()′+q(t)|y (t)|β-1 y (t)=e (t)的新的区间振动准则，去掉了某些已有结果中关于“φ′(t)≥0”的限制。

【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】5页(P24-28)【关键词】微分方程;区间振动准则;Riccati 变换技巧;强迫项【作者】王培颖【作者单位】广东技术师范学院天河学院，广州 510540【正文语种】中文【中图分类】O175考虑带有强迫项的二阶拟线性微分方程(p(t)|y′(t)|α-1y′(t))′+q(t)|y(t)|β-1y(t)=e(t),t≥t的振动性，其中p,q,e∈C([t0,∞),R),p(t)>0,0<α≤β(α,β是常数)，称函数 y(t)∈C1([Ty,∞),R),Ty≥t0，是方程(1)的解，如果p(t)|y′(t)α-1|y′(t)∈C1(Ty,∞)且满足(1)式.主要考虑方程(1)的非平凡解y(t)，即sup{|y(t)|:t≥T}>0,T≥Ty，如果它有任意大的零点，方程(1)的非平凡解y(t)称为振动的；否则，称之为非振动的.如果它的所有非平凡解都是振动的，方程(1)称为振动的.当0<α=β时，方程(1)转化为半线性微分方程(p(t)|y′(t)|α-1y′(t))′+q(t)|y(t)|α-1y(t)=e(t≥t当0<α<β时，方程(1)是超半线性微分方程.方程(2)和它的特殊情形(没有强迫项)(p(t)|y′(t)|α-1y′(t))′+q(t)|y(t)|y(t)=0,t≥t的振动性已经被许多学者广泛的研究，可见Elbert[3],Li和Yeh[4].拟线性微分方程(3)和线性微分方程具有类似的性质.例如，当 w=时，方程(3)可转化为方程(4)和α+1阶泛函与线性振动理论中的经典Riccati方程和二次泛函起着相同的作用.当α=1时，方程(2)转化为带有强迫项的线性微分方程对于方程(6)，1999年Wong[5]得到下面结果定理1 如果对任意T≥t0，存在T≤s1<t1≤s2<t2，使得令D(si,ti)={u∈C1[si,ti]:u(t)≠0, u( si)=u( ti)=0};i=1,2假定存在u∈ D( si,ti)，使得则方程(6)是振动的.上述定理改进了没有强迫项的微分方程的结论.2002年，Li和Cheng [6]用类似的方法和一个正的、非减的函数φ∈C1([t0,∞)，R)可以将定理1的结论推广到方程(2)的振动性.定理2 如果对任意T≥t0，存在T≤s1<t1≤s2<2，使得假定存在H∈D(si,ti)和一个正的、非减的函数φ∈C1([t0,∞),R)使得则方程(2)是振动的.当α=1,φ(t)=1,H(t)=t)时，(8)式转化为(7)式.(8)式和(5)式没有联系，并且定理2不能应用于α>1的情形.2007年，Zheng和Meng[7]将定理2推广到方程(1).定理3 如果对任意T≥t0，存在T≤s1<t1≤s2<t2，使得假定存在H∈si,ti)和一个正的、非减的函数φ∈C1([t0,∞),R)使得其中,约定00=1，则方程(1)是振动的.上述定理1-3所用的积分平均辅助函数为一元的.1999年，Manojlovic[8]利用Philos[9]提出的二元函数H(t,s)型积分平均辅助函数，研究了方程(3)的振动性，其中的一个结果如下.定理4 假设存在一个定义在 D={(t,s):t≥s≥t0}→R上的连续函数H，使得H(t,t0)=0,t≥t0,H(t,s)>0,(t,s)∈D.是定义在D上的非负连续函数.如果存在一个正的、非减的函数ρ∈C1([t0,∞),R),使得成立，则方程(3)是振动的.2001年，Wang[10]将定理4中的限制“ρ′(t)≥0”去掉.2004年，Wang和Yang[11]利用二元函数H(t,s)型积分平均辅助函数，研究了方程(3)的区间振动性，其中的一个结果如下.定理5 假设存在c∈(a,b),ρ∈([t0,∞),(0,∞)]),使得则方程(3)的每一个解在(a,b)上至少有一零点.将利用一元函数u(t)型积分平均辅助函数，建立方程(1)的新的区间振动准则.首先给出一个不等式，可见文献[29].引理1 假设X≥0,等号成立有且只有 X=Y.下面给出主要结果.定理6 如果对任意T≥t0，存在T≤s1<t1≤s2<t2,使得令D(si,ti)={u∈ C1[si,ti]:uα+1(t)>0,t∈( si,ti),u(si)=u(ti)=0};i=1,2假定存在H∈D(si,ti)和一个函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得p(t)dt>0,i=1,2其中约定00=1，则方程(1)是振动的.证明反证法.假设方程(1)有非平凡非振动解 y(t),t∈[t0,∞)，则存在T0≥t0使得当t≥Ty(t)≠0.不妨设y(t)>0.令对(10)式求导并利用方程(1)得由假设取t1>s1≥t0,因此在I1=[s1,t1],e(t)≤0，令F′(x)=0,得所以由(11)(12)得即把(13)式两边同乘以 Hα+1(t)并从si到ti积分，而且H(si)=H(ti)=0,得到令据引理1所以∫tisiφ(t) Q e(t) H α+1(t)dt≤∫ tisit)p(t)即当i=1时(14)与(9)矛盾，同理当 y(t)<0.t≥T0>t0,做和(10)式相同的Riccati变换得当 i=2时与(9)式矛盾，定理得证.推论1 若在定理6中令φ(t)≡1，式子(9)变为Qi(H)=∫tisi[Qe(t)Hα+1(t)-p(t)则方程(1)是振动的.推论2 若在定理6中令φ(t)≡1,α=β>0,式子(9)变为Qi(H)=∫tisi[q(t)Hα+1(t)-p(t)则方程(2)是振动的.注定理6去掉了定理2和定理3中关于“φ′(t)≥0”的限制.例考虑带有强迫项的拟线性微分方程方程其中λ,γ都是常数，且λ,γ>0在定理6中取，则取,对任意T≥1,当nπ=2kπ≥T,s1=2kπ,t1=(2k+1)π,于是由定理6得故即因此当时.同理，取s2=(2k+1)π,t2=(2时.所以据定理6得当0<γ<时原方程是振动的.[1]parisonAnd Oscillation Theory of Linear Differential Eq uations[M].New York:Academic Press,1968.[2]燕居让.常微分方程的振动理论[M].太原:山西教育出版社,1992.[3]A.Elbert.A half-linear second order differential equation,Colloq.Math.Soc.Janos Bolyai:Qual itative Theory of Differential Equations[J].Szeged,1979:153-180.[4]H.J.Li,CC.Yeh.Sturmian comparison theorem for half-linear second-order differential equations[J].Proc.Royal Soc. Edinburgh 125A,1995:1193-1204.[5]J.S.W.Wong.Oscillation criteria forA second-order linear differential equation[J].J.Math.Anal.Appl.,1999,231:235-240. [6]W.T.Li,S.S.Cheng.An oscillation criterion for nonhomogeneous half-linear differential equations[J].Appl.Math.Lett.2002,15:259-263.[7]Zhaowen Zheng,Fanwei Meng.Oscillation criteria for forced second-order quasi-linear differential equations[J]put.Modelling,2007,45:1-2,215-220.[8]J.V.Manojlovi’c.Oscillation criteria for second-order half-linear differential equations[J]put.Modelling,1999,30:109-119.[9]Ch.G.Philos.Oscillation theorems for linear differential equations of seco nd order[J].Arch.Math.(Basel),1989,53:482-492.[10]Qi-Ru Wang.OscillationAndAsymptotics for second-order half-linear differential equations[J]put.,2001,122:2,253-266. [11]Qi-Ru Wang,Qi-Gui Yang.Interval criteria for oscillation of second-order half-linear differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,2004,291:1,224-236.[12]Y.G.Sun.New Kamenev-type oscillation criteria for second-order nonlinear differential equations with damping[J].J.Math.Anal.Appl.,20 04,291:341-351.[13]Qi Long,Qi-Ru Wang.New oscillation criteria of second-order nonlinear differential equations[J]put.,2009,212:2,35 7-365[14]Yin-Lian Fu,Qi-Ru Wang. Oscillation criteria for second-order nonlinear damped differential equations.Dynam.SystemsAppl.18(200 9),no.3-4,375-391.[15]D.Cakmak,A.Tiryaki,Oscillation criteria for certain forced second-order nonlinear differential equations[J].Appl.Math.Lett.,2004,17: 275-279.[16]J.Jaros,T.Kusano,A Picone type identity for second order half-linear differential equations[J].Acta enian. 1999, 68 (1):137-151.[17]J.Jaros,T.Kusano,N.Yoshida.Generalized Picone’s formulaAnd forced o scillation for in quasilinear differential equations of the secondorder[J].Arch.Math.(Bero),2002,38:53-59.[18]A.Wintner.A criterion of oscillatory stability[J].Quart.Appl.Math.,1949,7: 115-117.[19]I.V.Kamenev.Integral criterion for oscillation of linear differential equati ons of second order[J].Mat.Zametki,1978,23:249-251.[20]parison theorems for linear differential equations of se cond order[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1962,13:603-610.[21]Q.Kong.Interval criteria for oscillation of second-order linear differential equation[J].J.Math.Anal.Appl.,2001,258:244-257. [22]H.L.Hong,W.C.Lian,C.C.Yeh.The oscillation of half-linear differential equations withAn oscillatory coefficient[J]put. Modelling,1996,24:77-86.[23]J.S.W.Wong.Second order nonlinear forced oscillations[J].SIAM J.Math. Anal.,1988,19:667-675.[24]Qi-Ru Wang.Oscillation criteria for nonlinear second order damped differentia l equations[J].Acta Math.Hungar.,2004,102:117-139.[25]Qi-Ru Wang.Interval criteria for oscillation of certain second order nonlinear d ifferential equations[J].Dynam.Cont.Discrete Impulsive Syst.SeriesA:Math.A nal.,2005,12:769-781.[26]Qi-Ru Wang.Interval criteria for oscillation of second-order nonlinear differential equations[J]put.Appl.Math.,2007,205:1,2 31-238.[27]H.W.Wu,Q.R.Wang,Y.T.Xu.OscillationAndAsymptotics for nonlinear seco nd-order differential equations[J].Comput.Math.Appl.,2004,48:61-72. [28]Q.G.Yang.Interval oscillation criteria forA forced second order nonlinea r ordinary differential equations with oscillatory potential[J].Appl.Math.Co mput.,2003,135:49-64.Key words:differential equations; interval oscillation criteria; generalized ric cati transformation; forcing term。

二阶超线性脉冲微分方程解的振动性
梁超平
【期刊名称】《广东技术师范学院学报》
【年(卷),期】2009(000)012
【摘要】使用黎卡提交换和平均积分的技巧研究了一类二阶超线性强迫脉冲微分方程的振动性，得到了方程一切解振动的判定准则。

【总页数】4页(P6-9)
【作者】梁超平
【作者单位】广东技术师范学院,广东广州510665
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.二阶线性微分方程解的非振动性与振动性 [J], 张弘强
2.一类二阶非线性时滞脉冲微分方程解的振动性质 [J], 徐化忠
3.二阶非线性脉冲微分方程解的振动性 [J], 陈星荣
4.二阶非线性阻尼脉冲时滞微分方程解的振动性 [J], 陈星荣;潘立军
5.一类二阶非线性脉冲常微分方程解的振动性 [J], 谢婉雯;申淑媛
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性振动性可以定义为在一定的振幅和频率的情况下，在一定的时间或
空间上线性或非线性微分方程的响应。

考虑带有阻尼项的二阶非线性
微分方程的振动性，首先我们可以阳：
1. 非线性振动：即当微分方程中含有非线性项时，解会由定常状态到
非定常状态，最终回到定常状态，或者具有周期振荡性质，例如弹性
振动，气动振动和发电机振动。

2. 二阶微分方程的振动：考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程，其
解会受到限制，使得振动的振幅在时间的推移中总是变小，最终静止。

这种现象叫做振动的衰减。

同时，当振幅的变化振幅的变化频率与所
考虑的二阶微分方程的特征频率相符时，振幅就会得到增大，这种现
象被称为谐振扩大。

3. 阻尼对振动性方面的作用：当出现外力耧能驱动振动时，阻尼项能
够使振动的衰减加快，使得振动效果变得比较低，从而有节约能量的
功能；反之，当出现被动振动时，阻尼项则使振动的衰减减小，从而
提高了振动的持续时间和振幅，从而克服了振动的衰减而保持良好的
振动特性。

4. 动态效应：考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性，在某
些极端情况下，振动可能会非常剧烈，甚至出现振子不稳定的现象，
这是由于振子受外力驱动和阻尼影响而产生的动力学效应。

引起振动
的频率越高，该现象就越明显，从而使得振动性的改变变得更为显著。

总之，考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性，可以得到振
动的非线性行为、二阶微分方程的振动衰减以及阻尼对振动特性的影响，以及动态效应等多种现象，由此可以明确振动性的改变规律，可
以为后续优化及控制振动提供帮助。