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关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理中一个重要的理论，说明了每个静电场系
统有唯一的电场强度，且不会改变。
这个定理的本质就是给电场的描
述赋予了确定性，因而被称为“唯一性”。
它宣称，一个静电场系统里
有唯一的电势差和电势强度，并且这个数值的变化应该是可以计算的，而不会由于外部因素造成变化。
由于静电场唯一性定理的实用性，它被广泛应用在电动学问题中，有
助于计算电力和其他重要物理量。
因此，它也被认为是物理学中最基
本的定律之一。
此外，它还可以用来解释为什么只有恒定的电压供应，而不会因外界因素而变化。
唯 性定 唯一性定理汪 毅静电问题的唯一性定理均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域Vi， 每个均匀区域的电容率为ε 设 内有给定的自由 每个均匀区域的电容率为 i，设V内有给定的自由 电荷分布ρ(x)。
电势ϕ在均匀区域Vi内满足泊松方 ρ ϕ 程：ρ ∇ ϕ =− εi2在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系：ϕi = ϕ j∂ϕ j ∂ϕi εi =εj ∂n ∂n静电问题的唯一性定理要完全确定V内电场，还必须给出V的边界S上的一 些条件。
下面提出的唯 性定理具体指出所需给定 些条件。
下面提出的唯一性定理具体指出所需给定 的边值条件： 1）给定边界S的电势 2）给定边界S的电势法向偏导数 或者说V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满 足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系， 并在 的边界上满足给定的ϕ或者∂ϕ/∂ 并在V的边界上满足给定的ϕ或者∂ϕ/∂n唯 性定理证明 唯一性定理证明 证明：假定泊松方程有两个解 ϕ1 , ϕ 2 ，满足：在边界上：ρ ∇ ϕ1 = ε2ρ ∇ ϕ2 = ε2ϕ1 S = ϕ 2令：S=ϕ S∂ϕ1 ∂nS∂ϕ ∂ϕ2 = = ∂n S ∂nSΦ = ϕ1 − ϕ2 ∇2Φ =∇2ϕ1 −∇2ϕ2 = 0 ∇ ∇唯一性定理证明Φ S = ϕ1 S − ϕ2 S∂ϕ2 ∂ϕ1 ∂Φ − =0 = ∂n S ∂n ∂n S =0S考虑第i个均匀区域Vi的界面Si上的积分∫Siε i Φ ∇Φ ⋅ dS∫根据格林第一公式： 根据格林第 公式Si ViεiΦ ∇Φ⋅ dS = ∫ ∇ (εiΦ ∇Φ )dV ∇Φ ∇⋅= ∫ εi (∇Φ ) dV + ∫ ϕεi∇ Φ dV2 2 Vi Vi唯一性定理证明 2 ε i Φ ∇Φ ⋅ dS = ∫ ε i (∇Φ ) dV ∫S Vi i对所有分 域 求 对所有分区域Vi求和∑∫iSiε i Φ ∇Φ ⋅ dS = ∑ ∫ ε i (∇Φ ) dV2 i ViΦ 在两均匀区域Vi和Vj界面上， 和ε ∇Φ 的法向分 量分别相等，但 dSi = − dS j ，因此上式左边的和 式中，内部分界面的积分互相抵消，因此只剩下整 式中 内部分界面的积分互相抵消 因此只剩下整 Φ 个V的边界面S上的积分。
