2016年陕西省安康市高三理科二模数学试卷

2016届陕西省安康市高三第二次调研考试数学（文）试题本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={}01<-x x ，B={}22<<-x x ，则B A 等于A.（-1,2）B.（0,2）C.（-2,1）D.（-2,-1） 2.复数z 满足10)31(=-i z （i 是虚数单位），则复数z 等于A.-1+3iB.1+3iC.-1-3iD. 1-3i3.已知函数()x f =⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-20,tan 0,22πx x x x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf f 等于A.-1B.1C.-2D.24.为了检查某高三毕业班学生的体重情况，从该班随机抽取了10位学生进行称重，如图为10位学生体重的茎叶图（单位：kg ），其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10学生体重的平均数与中位数之差为A.0.1B.0.2C.0.3D.0.45．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥-≤-10305x y y x ，则目标函数y x z +-=的最小值为A.-2B.-1C.1D.26.已知单位向量b a ,满足)2(b a a-⋅=2，则向量b a 与的夹角为A.120 B.90 C.60 D.307.执行如所示程序框图所表达的算法，输出的结果是A.80B.99C.116D. 1208.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.31 B.32 C.35 D.34 9.已知函数()x f =)sin(ϕω+x （0>ω且2πϕ<）的最小正周期为π，且其图象向右平移6π个单位后得到函数()x x g ωsin =的图象，则函数()x f 的图象A.关于直线125π=x 对称 B.关于直线12π=x 对称 C.关于点⎪⎭⎫⎝⎛012，π对称 D.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0125，π对称 10.已知三棱锥111C B A ABC -的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球O 的表面上，且球O 的表面积为π36，则三棱锥111C B A A -的体积为A.25121 B. 1681 C.916 D. 4911.已知双曲线C;)0(182222>=-+b by b x ，点P 是抛物线x y 122=上的一动点，且P 到双曲线C 的焦点1F （0，c ）的距离与直线x=-3的距离之和的最小值为5，则双曲线C 的实轴长为A.32B.4C. 8D.3412.若存在()+∞∈,0x ，使不等式()113)1(2<-++-a ax x x e x成立，则A.10<<a B.2<a C.2<a D.1<a第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

理数试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合132M xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，函数()(ln 1f x =的定义域为N ，则M N 为（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知命题3:,log 0p x R x ∃∈≥，则（ ） A ．3:,log 0p x R x ⌝∀∈< B ．3:,log 0p x R x ⌝∃∈≤ C ．3:,log 0p x R x ⌝∀∈≤D ．3:,log 0p x R x ⌝∃∈<3．若1tan 2α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15-B ．15C ．35D ．35-4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A ．28πB ．32πC ．36πD ．40π6．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有种（ ） A ．15B ．21C ．18D ．247．若抛物线2:C y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88．如果执行如图所示的框图，输入5N =，则输出的数S 等于（ ） A ．54B ．56C ．65D ．679．曲线13x y e =在点()26,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．232eB ．23eC ．26eD ．29e10．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1,0,3f παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3±C ．3D ．3-11．定义在(),-∞+∞上的偶函数()f x ，对于[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()123f f f <-<12．若直线12:,:2l y x l y x ==+与圆22:220C x y mx ny +--=的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则m =（ ） A ．0B ．0或1C ．0或1-D ．1或1-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．()0cos x x dx π+=⎰______．14．已知单位向量12,e e 的夹角为60︒，则向量12+e e 与212-e e 的夹角为______． 15．若不等式()228a b b a b λ+≥+对任意的实数,a b 均成立，则实数λ的取值范围为______．16．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点．若P 是C 的左支上一点，(A 是y 轴上一点，求APF ∆面积的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对分别为,,a b c ．已知3a c b +==． （Ⅰ）求cos B 的最小值；（Ⅱ）若3BA BC ⋅=，求A 的大小．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对18 号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：2130 ，3140 （单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如下图所示．（Ⅰ）写出22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（Ⅱ）在统计过的参赛选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在2130 岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．如图①，在ABC ∆中，已知15,14,13AB BC CA ===．将ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成一个如图②所示的四面体A BCD -，使得图②中的11BC =． （Ⅰ）求二面角B AD C --的平面角的余弦值；（Ⅱ）在四面体A BCD -的棱AD 上是否存在点P ，使得0PB PC ⋅=？若存在，请指出点P 的位置；若不存在，请给出证明．20．设O 是坐标原点，椭圆22:36C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，且,P Q 是椭圆C 上不同的两点，（Ⅰ）若直线PQ 过椭圆C 的右焦点2F ，且倾斜角为30︒，求证：11,,F P PQ QF 成等差数列；（Ⅱ）若,P Q 两点使得直线,,OP PQ QO 的斜率均存在，且成等比数列，求直线PQ 的斜率．21．设函数()ln xf x e x =-，（Ⅰ）求证：函数()f x 有且只有一个极值点0x ；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点0x 的近似值x '，使得00.1x x '-<； （Ⅲ）求证：() 2.3f x >对()0,x ∈+∞恒成立．（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946e ≈≈≈≈≈）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为O 的直径，,C F 为O 上的两点，OC AB ⊥，过点F 作O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E ．求证：2DE DA DB =⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy 中，已知圆221:4C x y +=，圆()222:24C x y -+=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆1C 与圆2C 的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =+-． （Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围．陕西省2016届高三下学期教学质量检测（二）理数试题参考答案一、选择题二、填空题13．22π14．23π15．[]8,4-16．6三、解答题17．解：（Ⅰ）∵()(2222222929cos 1222ac a c ac b a c bB ac ac ac ac--+--+-====- 291132a c ≥-=+⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………………………………………………………………4分 当且仅当ac c ==时，取得最小值13．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵3BA BC ⋅=，∴cos 3a B =．由（Ⅰ）中可得9cos 1B ac=-． ∴1cos 2B =．……………………………………………………………………………………………………8分当a =时，sin sin 132a A Bb ==⋅=．∴2A π=．同理，当a =6A π=．…………………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）根据题意，列出22⨯列联表如下：……………………………………………………………………………………………………………………2分由列联表计算得()22120107010303201004080K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯．因为3 2.706>，所以有90%以上的把握认为答对歌曲名称和年龄有关．…………………………………4分（Ⅱ）由于在2130 岁年龄段的人数与在3140 岁年龄段的人数之比为1:2，因此按年龄段选取9名选手中在2130 岁年龄段的人数为3人，在3140 岁年龄段的人数为6人．……………………………6分设抽取的3名幸运选手中在2130 岁年龄段的人数为X ，则随机变足X 的取值可以是0,1,2,3，且相应的概率分别为：()()0312363633995150,12128C C C C P X P X C C ⋅⋅======，()()213036363399312,31484C C C C P X P X C C ⋅⋅======．……………………………………………………10分所以，随机变量X （抽取的3名幸运选手中在2130 岁年龄段的人数）的分布列为：随机变最X （抽取的3名幸运选手中在2130 岁年龄段的人数）的期望为515310123121281484EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由已知,AD BD AD CD ⊥⊥，故二面角B AD C --的平面角为BDC ∠． 在图①中，设,BD x AO h ==，则14CD x =-．在ABD ∆与ACD ∆中分别用勾股定理可得：()22222215,1413x h x h +=-+=．解得9,12x h ==．从而可知12,9,5AD BD CD ===．…………………………………………………4分在图②的BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠，即，2221195295cos BDC =+-⋅⋅⋅∠，解得1cos 6BDC ∠=-． 所以，二面角B AD C --的平面角BDC ∠的余弦值为16-．………………………………………………6分 （Ⅱ）假设在棱AD 上存在符合题意的点P ，则由0PB PC ⋅=可得 ()()0PB PC PD DB PD DC =⋅=+⋅+………………………………………………………………………8分222115009562PD PD DB PD DC DB DC PD PD ⎛⎫=+⋅+⋅+⋅=+++⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．……………………10分故12PD =< 符合题意．即在棱AD上存在符合题意的点P ，此时2PD = ．………………12分 20．解：设,P Q 两点的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y ，由题意可知()22,0a F =．……………12分（Ⅰ）直线PQ的方程为)2y x =-，由方程组)22236y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，可得2210x x --=．则有12122,1x x x x +==-．∴1233PQ x x =-==．……………………………………4分由1112214F P PQ QF F P PF F Q QF a ++=+++==∴112F P QF PQ +==． ∴11,,F P PQ QF 成等差数列．（Ⅱ）由题意，设():0PQ y mx n n =+≠，联立方程组2236y mx n x y =+⎧⎨+=⎩可得方程()222316360m x mnx n +++-=，则有2121222636,3131mn n x x x x m m -+=-=++．………………9分 由直线,,OP PQ QO 的斜率成等比数列得21212y y m x x ⋅=．即21212y y m x x =． ∴()()()2212121212y y mx n mx n m x x mn x x n =++=+++．∴()2120mn x x n ++=∴()22213031n m m -=+．∴m =． 即直线PQ 的斜率为12分21．证明：（Ⅰ）由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()1x f x e x'=-．……………………1分 ∵函数1x y e =与21y x =-均在()0,+∞上递增，∴()121xf x y y e x '=+=-在()0,+∞上递增．又∵()f x '在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像是连续的，且()120,1102f f e ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭，∴()f x '在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个零点，记为0x ，且()f x '在0x 左右两侧的函数值异号． 综上可知，函数()f x '有且只有一个变号零点0x ． 即函数()f x 有且只有一个极值点为0x ．（Ⅱ）∵35535ln ln 5ln 30.51353e =-≈<⇒>，且()f x '在13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象连续，351350,0253f f e ⎛⎫⎛⎫''<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x '的零点013,25x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()f x 的极值点013,25x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()00.5,0.6x ∈．……………………6分∴0x 为的近似值x '可以取0.55x '=，此时的x '满足00.60.50.1x x '-<-=．…………………………7分（事实上，极值点0x 的近似值x '的取值在区间()00.48,0.67x ∈内都是可以的，只要说理充分即可．）（Ⅲ）∵47747ln ln 72ln 20.56474e =-≈<⇒>，且()f x '在14,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象连续，471470,0274f f e ⎛⎫⎛⎫''<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x '的零点014,27x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ()f x 的极值点00144,277x x ⎛⎫∈⇒< ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………6分 由（Ⅰ）知()00010x f x e x '=-=，且()f x 的最小值为()000001ln ln x f x e x x x =-=-． ∵函数()1ln g x x x =-在()0,+∞上递减，且047x <， ∴()()04 1.752ln 2ln 7 2.31 2.37g x g ⎛⎫>=--≈> ⎪⎝⎭． ∴()()0001ln 2.3f x f x x x ≥=->对()0,x ∈+∞恒成立．………………………………………………12分22．证明：连接OF ，则由FD 是O 的切线可知90OFD ∠=︒． 故90OFC CFD ∠+∠=︒．……………………………………………………………………………………3分∵OC OF =，∴OCF OFC =∠∠．又∵OC AB ⊥，∴90OCF OCE ∠+∠=︒．∴CFD CEO DEF ∠=∠=∠，∴DF DE =．……………………………………………………………8分 ∴DF 是O 的切线，∴2DF DA DB =⋅．∴2DE DA DB =⋅．………………………………………10分23．解：（Ⅰ）圆1C 极坐标方程为2ρ=，圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩得2,23k πρθπ==±，其中k Z ∈，………………………………………………………3分故圆1C 与圆2C 交点的极坐标为2,2,2,233k k ππππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k Z ∈．……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆1C 与圆1C交点在直角坐标系下的坐标为((,1,，……………………8分故圆1C 与圆2C公共弦的参数方程为(1x y t t =⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩．……………………………………………10分 24．解：（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩……………………………………………………2分则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩……………………………………5分 解得5x ≤-或7x ≥． 故该不等式的解集是{5x x ≤-，或}7x ≥．…………………………………………………………………7分 （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域． 由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞，∴2log 1a ≤，解得<≤．………………………………………………………………………………10分a02。

2016年陕西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M=｛x｜}，函数f(x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1]B．[,1) C．（0，］D．(0，)2．已知命题p:∃x∈R,log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜03．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9,则a1=（）A．B． C．D．5．某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是(）A．28πB．32πC．36πD．40π6．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有（）种．A．15 B．18 C．21 D．247．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点,若｜AF｜=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．88．如果执行如图所示的框图,输入N=5，则输出的数S等于（）A．B．C．D．9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（) A．B．3e2C．6e2D．9e210．已知函数f（x）=Asin(ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈(0,），则cos（2)=(）A．B．C．﹣D．11．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1,x2∈[0，+∞）(x1≠x2)，有，则（)A．f（﹣2）＜f（1)＜f（3）B．f（1)＜f（﹣2）＜f(3） C．f（3）＜f（﹣2）＜f(1）D．f（3）＜f(1）＜f（﹣2)12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等,则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13．（x+cosx）dx=_______．14．已知单位向量,的夹角为60°，则向量与的夹角为_______．15．不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为_______．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y 轴上一点，则△APF面积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ)若=3，求A的大小．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎）,选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段:21～30，31～40（单位：岁)，统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关,说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P(K2≥k0）0.1 0.05 0.01 0。

2016年陕西省安康市高考数学二模试卷(理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x|x＞2｝，n=｛x|1＜x≤3｝，则N∩（∁R M）等于（）A．（1，2］B．[﹣2，2］C．（1，2) D．[2,3］2．复数z满足z（1+i3）=i(i是虚数单位），则复数z在复平面内位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f(x）=，则f（f（））等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．若x，y满足约束条件,则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．已知单位向量，满足•（﹣2）=2，则向量与的夹角为（）A．120°B．90°C．60°D．30°6．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1,s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．,s1＞s27．执行如所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（）A．80 B．99 C．116 D．1208．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B．C．D．9．已知函数f(x)=sin2（ωx)﹣(ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（)A．B． C．D．10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形,侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为36π，则此三棱锥A﹣A1B1C1的体积为（）A． B．C．D．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0)与函数y=（x≥0）的图象交于点P,若函数y=的图象与点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣4,0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．若存在x∈(0，+∞），使不等式e x(x2﹣x+1）（ax+3a﹣1）＜1成立，则(）A．0B．a C．a D．a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数g(x)=sinx•log2（+x）为偶函数，则t=．14．已知二项式（x5﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为．15．已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心,以｜FA｜为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为．16．如图，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足,若DE=2，求cosA=．三、解答题(共5小题，满分60分）17．在数列{a n｝中，已知a1=4，a n+1=3a n﹣2n+1，n∈N+．(1)设b n=a n﹣n，求证：数列{b n｝是等比数列;（2）求数列｛a n}的前n项和S n．18．雾霾天气严重影响我们的生活，加强环境保护是今年两会关注的热点,我国的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0﹣50为优秀,各类人群可正常活动．某市环保局对全市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15］，（15，25］，(25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2)根据样本数据，试估计这一年的空气质量指数的平均值;（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级",则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，矩形ABCD所在平面与直角梯形CDEF所在平面互相垂直，其中∠EDC=∠DEF=,EF=ED=CD=1,AD=．(1）若M为AE的中点，求证：EC∥平面BDM；（2）求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，D为短轴上一个端点，且△DOF的内切圆的半径为，离心率e是方程2x2﹣5x+2=0的一个根．(1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线与椭圆C交于A,B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C 于M,N两点,是否存在常数λ，使得｜AB|2=λ|MN|？若存在,请求出λ；若不存在,请说明理由．21．已知函数f（x)=mlnx+2nx2+x（x＞0，m∈R,n∈R）．（1）若曲线y=f（x)在(1，f（1))处的切线方程为2x+y﹣1=0，求f（x）的递增区间；（2)若m=1，是否存在n∈R,使f（x）的极值大于零?若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．［选修4—1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦ED,CB的延长线交于点A．（1）若BD⊥AE，AB=4,BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=，=，求的值．［选修4—4:坐标系与参数方程］23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=sin（)．（1）求曲线C的直角坐标方程；(2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．［选修4-4：不等式选讲］24．设对于任意实数x，不等式｜x+6｜+｜x﹣1｜≥m恒成立．（I）求m 的取值范围;（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9．2016年陕西省安康市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x｜x＞2},n=｛x|1＜x≤3｝，则N∩（∁R M）等于（）A．（1，2]B．[﹣2，2]C．（1，2）D．［2，3］【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行化简、运算即可．【解答】解：集合M=｛x｜x＞2}，n=｛x｜1＜x≤3}，∴∁R M=｛x｜x≤2｝,∴N∩（∁R M)={x｜1＜x≤2}=（1,2］．故选：A．2．复数z满足z（1+i3）=i(i是虚数单位），则复数z在复平面内位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z（1+i3）=i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数z在复平面内表示的点的坐标,则答案可求．【解答】解：由z(1+i3）=i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，）,位于第二象限．故选：B．3．已知函数f（x）=，则f（f（））等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f(x)=，∴f（)=﹣tan=﹣1，∴f（f（)）=f（﹣1)=﹣2×（﹣1)2=﹣2．故选：C．4．若x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C（5,3）时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，此时z min=﹣5+3=﹣2．故选：A．5．已知单位向量，满足•（﹣2）=2，则向量与的夹角为（)A．120°B．90°C．60°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可由条件得到,从而进行数量积的运算便可由得到,这样由向量夹角的范围即可得出向量的夹角．【解答】解:根据题意，;∴=;∴；又；∴向量与的夹角为120°．故选：A．6．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示,设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差,、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（)A．,s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s2【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图知甲、乙两名运动员测试的成绩，利用平均数、方差公式计算后比较大小．【解答】解：由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为=×（18+19+22+28+28）=23．方差为s12=×[（18﹣23）2+（19﹣23）2+(22﹣23）2+(28﹣23）2+（28﹣23）2]=;乙动员测试成绩的平均数为=×（16+18+23+26+27)=22,方差为s22=×[（16﹣22)2+（18﹣22）2+（23﹣22)2+（26﹣22)2+（27﹣22）2]=;∴＞，s12＜s22，∴s1＜s2．故选：B．7．执行如所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（)A．80 B．99 C．116 D．120【考点】程序框图．【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过8次运算后输出的结果即可．【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1),故有：第一次进入循环体后s=3，n=2，第二次进入循环体后s=3+5，n=3,第三次进入循环体后s=3+5+7,n=4,第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5，…第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+17,n=9．由于n=9＞8，退出循环．故该程序运行后输出的结果是：s=3+5+7+9+…+17=80．故选:A．8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥,底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2．三棱锥的体积为：==．故选D．9．已知函数f(x)=sin2(ωx)﹣（ω＞0)的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．B． C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值,可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2(ωx）﹣=﹣=﹣cos2ωx,∴=,解得：ω=2，∴f（x）=﹣cos4x，∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0)，得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a)，∴cos4a=0,∴4a=kπ+,k∈Z，当k=0时，a的最小值为．故选:D．10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直,底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍,若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为36π，则此三棱锥A﹣A1B1C1的体积为（）A． B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案．【解答】解:如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上,∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，再设球的半径为r，由球O的表面积为36π，得4πr2=36π，∴r=3．设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=a，∴32=a2+（a）2，∴a=．则三棱柱的底面积为S==．∴三棱锥A﹣A1B1C1的体积为××2×=．故选：B．11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0)与函数y=(x≥0)的图象交于点P,若函数y=的图象与点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣4，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标为（m，）,求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出m=4,根据双曲线的定义求出a，c即可．【解答】解：设P的坐标为（m，）,左焦点F(﹣4，0），函数的导数f′(x）=，则在P处的切线斜率k=f′(m）==，即m+4=2m，得m=4，则P（4，2），设右焦点为A（4，0），则2a=｜PF｜﹣｜PA｜==2（），即a=，∵c=4,∴双曲线的离心率e==，故选：D12．若存在x∈（0，+∞），使不等式e x（x2﹣x+1)(ax+3a﹣1）＜1成立，则（）A．0B．a C．a D．a【考点】特称命题．【分析】分类参数a＜，构造函数y=,利用导数，观察法等判断函数的单调性，求解最值问，来解决存在性问题．【解答】解:∵x∈（0,+∞),∴e x＞0,（x2﹣x+1)＞0，x+3＞0，∵e x(x2﹣x+1）（ax+3a﹣1）＜1，∴a＜令y=,∵y=e x（x2﹣x+1），∴y′=e x（x2+x）＞0,x＞0∵y=x+3在(0，+∞)上单调递增,y=x+3＞0，∴y=在[0,+∞）上单调递减．∴y max==，∴存在x∈（0，+∞），使a＜成立，即a＜,故选:C．二、填空题（共4小题,每小题5分，满分20分）13．函数g（x）=sinx•log2(+x）为偶函数，则t=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵g（x)=sinx•log2（+x）为偶函数，∴g（﹣x）=g(x），即﹣sinx•log2（﹣x）=sinx•log2（+x），即log2(﹣x）=﹣log2（+x)，则log2(﹣x）+log2（+x）=0，即log2(﹣x）(+x)=log2(x2+2t﹣x2)=log22t=0，即t=，故答案为：．14．已知二项式(x5﹣)n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为6．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式中x项的指数等于0，求出n与r的关系,再结合n为正整数,即可得出答案．【解答】解:由二项式系数的性质,可得其展开式的通项公式为T r+1=C n r（x5）n﹣r(﹣）r=C n r(﹣1）r（x）5n﹣6r，根据题意,其展开式中有非零常数项，则有5n﹣6r=0，解得r=，即5n为6的整数倍,且n为正整数;所以n的最小值为6．故答案为：6．15．已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心,以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形,当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为y2=16x．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意得|BC|=｜AF｜=p，利用△ABC的面积是，由抛物线的定义可得×p×p=，求出p，可得抛物线的方程．【解答】解：由题意得|BC|=|AF|=p，∵△ABC的面积是，∴由抛物线的定义可得×p×p=，∴p=8，∴抛物线的方程为y2=16x．故答案为:y2=16x．16．如图，在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足,若DE=2，求cosA=．【考点】余弦定理．【分析】由已知可得∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x,由正弦定理在△BCD中，在△AED中，可得,联立即可解得cosA的值．【解答】解：∵C=，BC=4，点D在边AC上,AD=DB，DE⊥AB，E为垂足,DE=2，∴∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x，∴在△BCD中,=，可得:，①在△AED中，=，可得：,②∴联立可得：=，解得：cosA=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在数列｛a n｝中，已知a1=4，a n+1=3a n﹣2n+1,n∈N+．（1）设b n=a n﹣n，求证：数列{b n｝是等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】(1）利用a n+1=3a n﹣2n+1，化简可知b n+1=3b n，进而可知数列｛b n｝是首项、公比均为3的等比数列；（2）通过(1）可知a n=n+3n，进而利用分组求和法计算即得结论．【解答】（1）证明：∵a n+1=3a n﹣2n+1，∴b n+1=a n+1﹣（n+1）=3a n﹣2n+1﹣n﹣1=3（a n﹣n)=3b n，又∵b1=a1﹣1=4﹣1=3，∴数列｛b n}是首项、公比均为3的等比数列；(2)解:由（1）可知a n﹣n=3n，即a n=n+3n，∴S n=+=+．18．雾霾天气严重影响我们的生活,加强环境保护是今年两会关注的热点，我国的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0﹣50为优秀,各类人群可正常活动．某市环保局对全市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15］，（15，25]，（25，35]，（35，45］，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图．（1）求a的值;（2）根据样本数据,试估计这一年的空气质量指数的平均值；（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】(1）由频率分布直方图可得样本数据在各组的频率，再由频率和为1求得a值；（2）直接由每个矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；(3）求出“特优等级”的天数ξ的值，利用二项分布求出概率，列出频率分布表，代入期望公式求期望．【解答】解:（1）由频率分布直方图可得，样本数据在(5，15］，（15，25]，（25，35］，（35，45]的频率分别为：0.18,0.32，10a，0。

陕西省高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·公安期中) 设，集合M={x|x≤3}，则下列各式中正确的是（）A . a⊆MB . a∉MC . {a}⊆MD . {a}∈M2. （2分）(2017·新乡模拟) 设a∈R，若复数z= （i是虚数单位）的实部为2，则复数z的虚部为（）A . 7B . ﹣7C . 1D . ﹣13. （2分） (2015高二下·赣州期中) 6名同学排成一排，则甲乙恰好相邻排在一起的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 如图，F1、F2是双曲线 =1（a＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（）A . 8B . 8C . 8D . 165. （2分）(2017·广安模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 166. （2分）设Sn为数列{an}的前n项和且Sn=，则=（）A .B .C .D . 307. （2分）(2017·唐山模拟) 函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（π）=（）A .B . ﹣C . 1D . ﹣18. （2分） (2020高二下·商丘期末) 若实数x，y满足约束条件则的最大值是（）A . 2B . 0C . 1D . －49. （2分） (2016高二上·右玉期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±x12. （2分） (2019高三上·汕头期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2018高三上·湖北月考) 已知平面向量且，则________．14. （2分）(2019·浙江模拟) 已知二项式的展开式中，第项是常数项，则 ________．二项式系数最大的项的系数是________．15. （1分）(2017·民乐模拟) 已知数列{an}的首项a1=m，其前n项和为Sn ，且满足Sn+Sn+1=3n2+2n，若对∀n∈N+ ， an＜an+1恒成立，则m的取值范围是________．16. （2分） (2019高一上·涪陵月考) 已知函数，则f(2)=________；若则 =________.三、解答题 (共7题；共45分)17. （10分） (2019高一下·邢台月考) 在中，内角所对的边分别是，的面积为，若 .（1）求角 ;（2）若，，求 .18. （5分） (2019高三上·浙江月考) 如图，在四棱锥中，，，，，平面，是线段靠近的三等分点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.19. （10分）(2020·福建模拟) 金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：愿意不愿意男生6020女士4040附：，其中．0.050.010.0013.841 6.63510.828（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．20. （5分）(2017·河北模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2018高二上·佛山期末) 已知函数（其中）.（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）讨论的单调性.22. （5分）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1 ， P2 ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．23. （5分）(2017·荆州模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|2x﹣3|+2．（Ⅰ）解不等式|g（x）|＜5；（Ⅱ）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共45分) 17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、。