利用z变换解差分方程[优质PPT]

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第10章Z变换整理ppt-PPT精品文档

n 例1. x(n) a u(n)
1 Xz ( ) az 1 1 a z n 0
n n

z a 时收敛
单位圆
当 a 1 时，
x ( n ) 的DTFT存在
此时，ROC包括了单位圆。
1 X (ej) j 1 a e
Z平面
Im
a1
R e
z a
例2. x(n) u(n)
第10章
Z-变换
The Z-Transform
本章主要内容
1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。 3. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。 4. 由零极点图分析系统的特性。
5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。
6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析。
10.0 引言 (Introduction)
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要
的差异。
10.1 双边 Z 变换
The z-Transform 一.双边Z变换的定义:
零极点图可以唯一地确定一个信号。
零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特性，具有重要的用途。
10.2 Z 变换的ROC
The Region of Convergence for the z-Transform ROC的特征： 1. X ( z ) 的ROC是Z平面上以原点为中心的环形区域。 2. 在ROC内 X ( z ) 无极点。 3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可能不包括 z 0 ，或 z ）。

信号与系统5-2差分方程的Z变换解课件

电信学院
1
前向差分方程
查公式
考虑二阶系统：
y(k 2) a1y(k 1) a0 y(k) b2 f (k 2) b1 f (k 1) b0 f (k)
初始值：yzi (0), yzi (1)
两边取Z变换有：
(z2 a1z a0 )Y (z) yzi (0)z2 yzi (1)z a1yzi (0)z (b2z2 b1z b0 )F(z)
1
(z
1)( z
2)
z
1
3
z
1
z
1
3
z
2
全响应
yzs (k )
[2 3
(1)k
1 3
(2)k
] (k)
y(k)
yzi
(k)
yzs (k )
[
2 3
6(1)k
2 3
(2)k
]
(k)
电信学院返回
8
例 5.12 解法二
y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) f (k 1) 3 f (k) yzi(1)=1, yzi(2)=3
F(z)
Y (z) Yzi (z) Yzs (z) 零输入响应
零状态响应
电信学院
3
系统函数
定义
H
(z)
零状态响应的z变换激励信号的z变换
Yzs (z) F(z)
二阶系统零状态响应
Yzs (z)
b2z2 b1z b0 z2 a1z a0
F(z)
H (z)F (z)
对n阶LTI系统的系统函数
(b2z2 b1z b0 )F(z) b2 f (0)z2 b2 f (1)z b1 f (0)z
令：M (z) [ y(0) b2 f (0)]z2 [ y(1) a1y(0) b2 f (1) b1 f (0)]z

利用z变换解差分方程

于是
Y(z) =
br z−r ∑ ak z−k ∑
k＝ 0 M r＝ 0 N
M
X(z)
令
H(z) =
∑b z
r r＝ 0 N k＝ 0
−r
ak z−k ∑
则
Y(z) = X (z)H(z)
−1
此时对应的序列为 y(n) = F [X(z)H(z)]
差分方程为例：若描述离散系统的 1 1 y(n) + y(n −1) − y(n − 2) = x(n) 2 2 x(n) = 2n u(n) , y( 已知激励初始状态 −1) =1, y(−2) = 0, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r [X(z) + ∑x(m)z−m] ∑
k＝ 0 r＝ 0 m=−r N M −1
如果激励x(n)为因果序列，如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成 x(n)为因果序列
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r X(z) ∑
k＝ 0 r＝ 0 N M
8.5节已经给出利用节已经给出利用z 在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简单实例，本节给出一般规律。单实例，本节给出一般规律。这种方法的原理是基于z变换的线性和位移性，理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程转化为代数方程，从而使求解过程简化。转化为代数方程，从而使求解过程简化。
k＝ 0 l =−k r＝ 0 m=−r −1
若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态， x(n)=0,即系统处于零输入状态差分方程（差分方程（1）成为齐次方程∑a y(n −源自) =0k=0 kN

差分方程及其Z变换法求解

例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)

y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件；与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2

K2.11-差分方程的z变换解

y(2)
1
z2 3z , F(z) z
(z 1)(z 1)(z 2)
z 1
1 z 1 z 11 z , | z | 2 6 (z 1) 2 (z 1) 3 (z 2)
y(k) 1 1k 1 (1)k 11(2)k , k 0
62
i0
k 0
j0
n
n
i 1
m
[ ani z i ]Y (z) ani [ y(k i)z k ] ( bm j z j )F (z)
i0
i0
k 0
j0
2
差分方程的z变换解
Y (z)
M (z) A( z )
B(z) A( z )
F(z)
Yzi (z)
Yzs (z)
系统函数 H (z) Yzs (z) B(z) F (z) A(z)
5
差分方程的z变换解
y(k) 3y(k 1) 2 y(k 2) f (k 2)
对差分方程两边取单边z变换，得
0
1
Y (z) 3[z1Y (z) y(k 1)zk ] 2[z2Y (z) y(k 2)zk ] z2F (z)
k 0
k 0
Y
(z)
(3
2z1) y(1) 2 1 3z 1 2z 2
yzs (1) yzs (2) 0, f (k) (k)
由右移性质，对方程两边取单边z变换，得
Yzs ( z)
3z 1 yzs ( z)
2
z
Y 2 zs
(
z
)
z2F (z)
Yzs
(z)
(1
z 2 3z1
2 z 2
)
F(z)
(z

差分方程的z变换解法ppt课件

5
例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1) x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
§5-4 LTI系统Z变换分析法
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
设差分方程为： ak y(n k)

X(z)
z z1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)

3 z
1

6 z
1
2
4
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y (z) z

(z

1z 2 1)(z

1)
24
11

z
3 1

6.5 用Z变换解差分方程

上述结论可由s平面与z平面的关系以及H(s)极点分布与h(t)形状的关系直接得来
（五）由H(z)判定离散系统的稳定性
稳定系统： H z 的全部极点落在单位圆之内。
临界稳定系统：单位圆上有一阶极点，其余极点均位于单位圆内。
不稳定系统：单位圆外有极点或单位圆上有高阶极点。
第六章 z变换、离散系统的z域分析小结
解：
零状态响应，初值为0
(1) Y z 3z 1Y z 2z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z ( 2) H z 1 2 X z 1 3z 2z z2

综合

例：书：87页，例8-19
§6.5
用 z 变换解差分方程
§6利用Z变换解差分方程的一般规律；方法的原理：基于Z变换的线性和位移性将差分方程转化为代数方程使求解过程简化
线性时不变离散系统的差分方程一般形式：
a
k 0
N
k
y( n k ) br x ( n r )
N N A z n 1 k hn ZT Ak zk un k 0 z zk k 0
H z 的极点 zk ，可以是不同的实数或共轭复数，决定了 hn 的特性。
zk在单位圆内，h(n)为衰减序列
zk在单位圆外， h(n)为发散序列 zk在单位圆上且为一阶： h(n)不衰减也不发散 zk在单位圆上且为高阶： h(n)为发散序列
2） A1 2 ，B1 2,
3) Y z 2
B2 2
z z z 2 2 2 z 1 z2 z 2
n n n
4) yn 2 1 2 2 2n 2 un

利用z变换解差分方程 ppt课件

利用z变换解差分方程
6
于是令则
M
br z r
Y(z)
r＝0 N
X (z)
ak zk
k＝0
M
br z r
H (z)
r＝0 N
ak zk
k＝0
Y(z)X(z)H (z)
此时对应的序列为 F y(n) 1[X(z)H (z)]
利用z变换解差分方程
7
例：已知系统的差分方达程式表为
y(n)0.9y(n1) 0.05u(n) 若边界条y件(1) 1,求系统的完全响应。
5
若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于零起始状态，此时式(2)变成
N
M
1
a kz k[Y (z)b rz r[X (z) x (m )z m ]
k ＝ 0
r＝ 0
m r
如果激励x(n)为因X(z)
k＝ 0
r＝ 0
利用z变换解差分方程
3
线性常系数差分一方般程形的式为
N
M
ak y(nk) brx(nr)
k0
r0
（1）
将等式两边取换单，边利z用变z 变性换得位移特
N
1
M
1
akzk[Y(z) y(l)zl] brzr[X(z) x(m)zm] （2）
k＝0
lk
r＝0
mr
利用z变换解差分方程
§7.7 利用z变换解差分方程
• 主要内容
•z变换解差分方程的一般步骤 •举例说明
• 重点：利用z变换解差分方程的一般步骤
利用z变换解差分方程
1
解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）卷积和解法（3）Z变换解法

信号与系统-08信号的z变换ppt课件

极点z
z
的系数
m
X(z)
A0
A1z z z1
A2z z z2
AN z z zN
x(n) A0 (n) A1(z1)n A2(z2 )n AN (zN )n, n 0
26
第
高阶极点（重根）页
设
s
X(z)
Bjz
j1 (z zi ) j
z zi为s阶极点。
则
Bj
1 ds j
(s
6
说明
第页
n 1 z的正幂级数构成左边序列
0n
z的负幂级数构成右边序列
若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序
列） n 存0 在的序列取z变换
X (z) x(n)zn , n0
单边z变换
§8.2 z变换的定义、典型序列的 z变换
8
z变换的定义
第页
单边z变换 X (z) x(n)zn n0
n
对任一信号x(n)的（双边）z变换式为
X (z) x(n)z n n
5
三．对z变换式的理解
第页
X (z) x(n)z n n
x(2)z2 x(1)z1
z的正幂
x(0)z 0 x(1)z1 x(2)z 2 x(n)zn
z的负幂
X z是z 1的幂级数级数的系数是 xn 幂 n中的n指出 xn 的位置
za
za
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 an
第页
n 1
12
13
第
五．正弦与余弦序列
页
单边余弦序列 cos0nun
因为 cos ω0n
e e jω0n jω0n

数字信号处理WD6Z变换性质解差分方程频域特征PPT课件

k0
k0
1、稳态解（无初始条件下的解，直接利用z变换） 2、暂态解（已知N个初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)）
2.5.5 复序列的共轭
设 X(z)Z[T x(n),] RxzRx，则 Z[T x*(n)]X*(z*) , RxzRx
证明：
ZT[x*(n)] x*(n)zn (x(n)(z*)n)*
n
n
*
x(n)(z*)n
n
X*(z*) , Rx z Rx
2.5.6 翻转序列
设 X (z)Z[x T (n),] R xzR x ，则
2.5.4 序列的线性加权
设则证明
X(z)ZT[x(n)] RxzRx
ZT[nx(n)]zdX(z) dz
RxzRx
dX (z) d [
x(n)zn]
x(n) d [zn]
dz
dz n
n
dz
nx(n)zn1 z1 nx(n)zn
n
n
z1ZT [nx(n)]
ZT[nx(n)] z dX (z) dz
Z[x T ( n) ]X (z 1) , R x 1zR x 1
2.5.7 初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］
x(0)limX(z) z
证Байду номын сангаас
X(z) x(n)zn x(0)x(1)z1x(2)z2
n0
因此
limX(z)x(0)
z
2.5.8 终值定理
若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则
z
z
maRxx,R (yvmiRnx,(Ry)

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例：若描述离散系差统分的方程为
y(n) 1 y(n1 ) 1 y(n2 ) x(n)
2
2
已知激励 x(n)2nu(n,)初始状态 y(1)1,y(2)0,
求系统的零输入响零应状、态响应和全响应。
解：第一步将差分两方边程取 z变换
得 Y(z) 1[z1Y(z)y(1)] 1[z2Y(z)z1y(1)y(2)] X(z)
A 10.5 A 20.45
Yz0.5z 0.45z
z
z1 z0.9
y n 0 .5 0 .4 0 5 .9 n n 0
思考题
• 1. 求差分方程的方法有哪些？ • 2. 怎样利用z变换求差分方程？
9
92 9
全响应为
y(n) y zi (n) y zs (n) [ 4 ( 1) n 1 ( 1 ) n 2 (2) n ]u(n)
9
18 2 9
例：已知系统的差分方达程式表为
y(n)0.9y(n1) 0.05u(n) 若边界条y件(1) 1,求系统的完全响应。
mr
若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时差分方程（1）成为齐次方程
N
ak y(nk) 0
k0
而（2）式变为
于是
N
1
akzk[Y(z) y(l)zl]0
k＝ 0
N
lk 1
ak zk y(l)zl
Y(z) k＝0 N lk
ak zk
2
2
将上式整理，得
1 y(1)(z1 1) 1 y(2)
Y(z) 2
2

1
X(z)
1 1 z1 1 z2
1 1 z1 1 z2
22
22
Yzi(z)Yzs(z)
第二步求零输入响应的象函数 Yzi(z)
将y(1) 1, y(2) 0代入Yzi(z)表达式中得
第四步：同理求 Y zs (z), Y(z), 及 y zs (n), y(n)
将X(z)

z
z
2
代入零状态响应象函数
，得
Y
zs (z)

1
1
1 z 1
1
z 2
X(z )

z2
z
z2 1 z 1 z 2
2
2
22
2z 1z 8z

9 z1

9 z 1

9 z2
2
故 y zs (n) [ 2 ( 1) n 1 ( 1 ) n 8 (2) n ]u(n)
§7.7利用z变换解差分方程
•
•利用z变换解差分方程的一般步骤
•
•
•••Fra bibliotek••
•
•
•
• 重点：利用z变换解差分方程的一般步骤
解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）卷积和解法（3）Z变换解法
一、利用z变换解差分方程的一般步骤
在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简单实例，本节给出一般规律。这种方法的原理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程转化为代数方程，从而使求解过程简化。
线性常系数差分一方般程形的式为
N
M
ak y(nk) brx(nr)
k0
r0
（1）
将等式两边取换单，边利z用变z 变性换得位移特
N
1
M
1
akzk[Y(z) y(l)zl] brzr[X(z) x(m)zm] （2）
k＝0
lk
r＝0
解：方程两端取z变换
Y z0 .9z 1 Y zy1 0 .05 z z1 Yzz 0 1 .0 zz 5 20.90.9 zy 0 .9 1z
YzA1z A2z
z z1 z0.9
YzA1z A2z
z z1 z0.9
1 (z1 1)
1 z(z 1) 1 z(z 1)
Yzi ( z )

1
2 1
z 1

1
z2

2 z2 1 z 1

2 (z 1)(z 1)
22
22
2
2z 1z

3 z 1

6 z1
2
第三步， z i(求 z)Y的z逆变换查表得 z i(ny)[32(1n)61(21)nu(n)
N
M
akzk[Y(z) brzrX(z)
k＝ 0
r＝ 0
于是令则
M
br z r
Y(z)
r＝0 N
X (z)
ak zk
k＝0
M
br z r
H (z)
r＝0 N
ak zk
k＝0
Y(z)X(z)H (z)
此时对应的序列为 F y(n) 1[X(z)H (z)]
k＝0
对应的响应序列是上式的逆变换，即
F y(n) 1[Y(z)]
若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于零起始状态，此时式(2)变成
N
M
1
a kz k[Y (z)b rz r[X (z) x (m )z m ]
k ＝ 0
r＝ 0
m r
如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成