Z变换和差分方程.

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Z变换和差分方程

t z 1
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则：设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k

n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节

差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k）及其各阶差分的方程式。是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。

信号与系统 §87 用z变换解差分方程

§8.7 用z变换解差分方程
主讲教师：吕玉琴
北京邮电大学电子工程学院 2005.6
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前序
第 2
页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：时域方法和z变换方法。第七章中介绍了时域方法，求解时过程很烦琐。这一节中我们采用z变换的方法来求解，将差分方程转为代数方程，并且将边界条件直接代入，从而简化了求解过程。
验证例8-7-1
零输入响应: yzi n 3 2n 2 1n un 2
（可由解齐次方程得）
零状态响应：yz s n 2n un n 2n un 1 n 1
yn yzi n yzs n
（由卷积求得）
2 1n1 6 2n1 2n
用z变换
6
页
yn 2 2 n 2 n1 1 n1 un 1
解的形式不同，迭代结果相同， y1 0, y2 2
yn yzi n yzs n 2 1n1 6 2n1 2n 1 2n1 , n 1
X
四. 补充
第 7
页
1．两个加法器情况下，列差分方程
例题8-7-2
2. 如何由H(z)列系统的差分方程
例题8-7-3
X
X
一.应用z变换求解差分方程步骤
第 3
页
一.步骤
(1)对差分方程进行单边z变换 (移位性质)
(2)由z变换方程求出响应Y(z) (3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n)
例题8-7-1
X
第
二.差分方程响应y(n)的起始点确定 4 页
全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定
因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前

z变换求解差分方程步骤

z变换求解差分方程步骤嘿，咱今儿就来讲讲这用 z 变换求解差分方程的步骤哈。

这可就像是解开一道神秘的谜题呢！你想想，差分方程就像是一个调皮的小精灵，藏着好多秘密等我们去发现。

而 z 变换呢，就是那把神奇的钥匙啦。

首先呢，得把差分方程给它表示清楚咯，可不能模模糊糊的。

就像你要找东西，总得先知道要找啥样的不是？然后对这个差分方程进行 z 变换，这就好比给它施了个魔法，一下子就变得不一样啦。

在这个过程中啊，你得细心点儿，可别弄错啦。

这就跟走迷宫似的，一步错步步错呀。

接着呢，就会得到一个关于 z 的表达式，这可就是我们前进的线索呢。

然后呢，咱得把这个表达式给它化简化简，把那些复杂的东西都去掉，就像给苹果削皮一样，让它露出最精华的部分。

这时候可就考验咱的本事啦，得有耐心，还得有那么点儿小技巧。

再接下来呀，就得求解啦！这就像是终于找到了宝藏的位置，要把它挖出来一样。

把 z 的值求出来，这可不容易呢，但咱不能怕呀，要勇往直前！等求出了 z 的值，可别以为就大功告成咯。

还得把它变回原来的世界，也就是反变换回去。

这就像是把变了形的东西再变回来，可神奇啦。

哎呀，你说这过程是不是挺有意思的？就好像是一场冒险，每一步都充满了挑战和惊喜。

你要是能熟练掌握这 z 变换求解差分方程的步骤，那可就厉害咯，就像是拥有了超能力一样！你想想，以后遇到那些复杂的差分方程，别人都抓耳挠腮不知道咋办的时候，你就能轻松搞定，那多牛呀！这就好比别人还在走路，你都开上小汽车啦，一下子就把他们甩在后面啦。

所以呀，可得好好学这 z 变换求解差分方程的步骤哦，别偷懒，多练练，肯定能掌握得牢牢的。

到时候，不管啥样的难题都难不倒你啦！这多棒呀，是不是？。

差分方程的求解

计算机控制技术课程讲义
17
4.6 方框图及其分析
脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件 —— 采样开关
4.6.1 采样开关位置与脉冲传递函数的关系
1、连续输入，连续输出 2、连续输入，离散输出 3、离散输入，离散输出 4、离散输入，连续输出
例：方框图分析
例1、例2、
计算机控制技术课程讲义 18
计算机控制技术课程讲义 2
做Z反变换，由于 Y ( z) 1 1 1 2 z z 3z 2 z 1 z 2 z z 则Y ( z ) z 1 z 2 查Z变换表可得 y (k T) Z 1[Y ( z )] (1) k (2) k , k 0,1,2,...
两个环节中间无采样开关时
a z (1 e aT ) G ( z ) Z [G1 ( s )G2 ( s )] Z s ( s a ) ( z 1)( z e aT )
G1 ( z )G2 ( z ) G1G2 ( z )
计算机控制技术课程讲义 13
T
Y (s)
D( z ) G1 ( z ) R( z ) Y ( z ) G2 ( z ) D( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
Y ( z) G( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z )
计算机控制技术课程讲义
脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。
但是，对离散系统而言，串联环节的脉冲传递函数不一定如此，这由各环节之间有无同步采样开关来确定
计算机控制技术课程讲义
10
二、离散系统串联环节 1、串联各环节之间有采样器的情况
G( z)
G1 ( z ) G2 ( z )

Z变换及差分方程的求解

Z变换及差分⽅程的求解第⼆讲离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析2.1离散时间函数与Z变换⽬的要求：通过本节的学习使学⽣掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使⽤Z变换的性质解决问题，掌握差分⽅程及离散时间系统的运动分析⽅法。

教学内容：我们经常会遇到利⽤离散时间函数表⽰的差分⽅程或差分⽅程组，这在经济管理中经常遇到。

现介绍离散时间函数，差分⽅程后⾯介绍。

⼀、离散时间函数例1 ⼈⼝离散时间函数设全国⼈⼝普查每年进⾏⼀次。

每年的7⽉1⽇凌晨零点的⼈⼝数代表该年的⼈⼝数。

我们以t=0 代表1990年7⽉1⽇凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表⽰1991年、1992年、1993年等各年度7⽉1⽇凌晨零点。

各年度普查的实际⼈⼝数如下表所⽰中国实际⼈⼝数据（亿⼈）x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171,x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121,x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,……由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数例2 国民⽣产总值GNP(gross national product)离散时间函数。

则，GNP(t)表⽰第t年的GNP数值。

GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,……例3 企业⽉产量离散时间函数。

表为电视机⼯⼚⽣产⽉报表（万台）则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,……可以看出，经济管理实践中基本上采⽤离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。

其⾃变量为离散时间。

⼆、Z 变换及其逆变换导⾔：Z 变换是怎么发明出来的？⽜顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分⽅程及⽅程组。

在求解⽅程时总结经验，简化计算，如⽤符号s 表⽰微分运算s=d/dt,即s 〃f(t)=df(t)/dt 。

差分方程及其Z变换法求解

依此类推，可得n阶差分方程： y[(k + n)T ] + a1 y[(k + n − 1)T ] + .......an −1 y[(k + 1)T ] + an y[kT ]
= b0 r[(k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm−1r[(k + 1)T ] + bm r (kT )
zX 1 ( z ) − zx1 (0) = X 2 ( z )
x2(kT)
z −1
x1(kT) z −1 x2(z) y[(k+1)T] KT
-
x1(0) 1 x1(z)
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k + 1)T ] = -( KT -1) y (kT ) + KTr (kT ) r(kT)+ 1)T ] + ( KT -1) y (kT ) = KTr (kT ) y (k + 1) + ( K -1) y (k ) = Kr (k )
KT-1
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k + n)T ] = −a1 y[(k + n − 1)T ] − ...... − an −1 y[(k + 1)T ] − an y[kT ] + b0 r[( k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm −1r[( k + 1)T ] + bm r (kT )
y (kT ) = 0.446 + 1.429(-0.4) k -1.875(-0.6) k

matlab用z变换求解差分方程

matlab用z变换求解差分方程Z变换是一种非常重要的信号分析工具，在MATLAB中，可以使用Symbolic Math Toolbox进行Z变换的计算和求解差分方程。

Z变换是一种将离散时间信号从时间域转换到复平面域的方法。

它与拉普拉斯变换的关系类似，但适用于离散时间信号的分析。

在MATLAB 中，使用syms函数创建符号变量来表示Z变换的变量，然后使用ztrans函数进行Z变换的计算和求解差分方程。

下面将通过一个简单的例子来说明如何使用MATLAB进行Z变换求解差分方程。

假设有一个差分方程：y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]=x[n]首先，使用syms函数创建符号变量：syms z定义输入信号和初始条件：x=z^2;%输入信号y0=1;%初始条件y[-1]y1=0;%初始条件y[-2]然后，使用ztrans函数进行Z变换计算：Y = ztrans(y[n], n, z);X = ztrans(x, n, z);差分方程中的Y和X分别表示Y(z)和X(z)，因此可以写出差分方程的Z变换方程：Y-0.5*z^(-1)*Y+0.25*z^(-2)*Y=X然后，将方程转化为Y(z)的表达式：Y = solve(Y - 0.5*z^(-1)*Y + 0.25*z^(-2)*Y == X, Y);至此，Z变换方程求解完成，可以使用ilaplace函数从Z域转换回时间域，以获得Y[n]的表达式：y = ilaplace(Y, z, n);最后，可以将结果绘制出来：n=-10:10;%时间范围y_n = subs(y, n, n); % 计算y[n]的值stem(n, y_n); % 绘制离散时间信号综上所述，我们可以使用MATLAB的Symbolic Math Toolbox进行差分方程的Z变换求解，这对于信号分析和系统设计非常有用。

差分方程及其Z变换法求解

例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)

y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件；与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2

6.5 用Z变换解差分方程

上述结论可由s平面与z平面的关系以及H(s)极点分布与h(t)形状的关系直接得来
（五）由H(z)判定离散系统的稳定性
稳定系统： H z 的全部极点落在单位圆之内。
临界稳定系统：单位圆上有一阶极点，其余极点均位于单位圆内。
不稳定系统：单位圆外有极点或单位圆上有高阶极点。
第六章 z变换、离散系统的z域分析小结
解：
零状态响应，初值为0
(1) Y z 3z 1Y z 2z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z ( 2) H z 1 2 X z 1 3z 2z z2

综合

例：书：87页，例8-19
§6.5
用 z 变换解差分方程
§6利用Z变换解差分方程的一般规律；方法的原理：基于Z变换的线性和位移性将差分方程转化为代数方程使求解过程简化
线性时不变离散系统的差分方程一般形式：
a
k 0
N
k
y( n k ) br x ( n r )
N N A z n 1 k hn ZT Ak zk un k 0 z zk k 0
H z 的极点 zk ，可以是不同的实数或共轭复数，决定了 hn 的特性。
zk在单位圆内，h(n)为衰减序列
zk在单位圆外， h(n)为发散序列 zk在单位圆上且为一阶： h(n)不衰减也不发散 zk在单位圆上且为高阶： h(n)为发散序列
2） A1 2 ，B1 2,
3) Y z 2
B2 2
z z z 2 2 2 z 1 z2 z 2
n n n
4) yn 2 1 2 2 2n 2 un

差分方程Z变换

第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A递推解B古典解C Z变换求解Z变换3.2.1 Z变换的定义3.2.2 Z变换的性质3.2.3 Z反变换A长除法B留数法C部分分式法离散时间系统的Z域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C 留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4 离散化方法小结线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第3章线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n--+++-++++==+++-++++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律:或写成∑∑==-+--+=+m i nj j i j n k y a i m k u b n k y 01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。

推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。

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Z变换和差分方程.

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