优秀参赛课件 《假如我是欧拉……多面体欧拉定理的发现》教案及说明

§9.10 研究性课题：多面体欧拉定理的发现（1）教学目标： 1. 通过探索发现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；2. 体会数学家的创造性工作，掌握“实验－归纳－猜想－证明”的研究方法；3. 通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神.教学重点：如何发现欧拉公式教学难点：怎样证明欧拉公式教学过程：1.创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.如图，C60 是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体. 这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60 中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的关系. 我们知道，在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2. 实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表：多面体 F V E四面体 4 4 6正方体 6 8 12五棱柱7 10 15四棱锥 5 5 8非凸多面体 6 6 10正八面体8 6 12“屋顶”体9 9 16截顶立方体7 10 15（电脑显示各多面体，学生数数填表）问题1：你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的关系吗？（1）由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。

并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；（2）对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12 正八面体：F=8，V=6，E=12。

这说明了什么？好像隐约透露出某种联系. 为了弄清这个问题，整理资料，将上表按E 增加的顺序重排，得：多面体 F V E四面体 4 4 6四棱锥 5 5 8 非凸多面体 6 6 10正方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15 截顶立方体7 10 15“屋顶”体9 9 16 观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V 随E的增加而增加。

多面体欧拉公式的发现”教学设计“多面体欧拉公式的发现”教学设计一、研究性课题：多面体欧拉公式的发现二、教学目标：1、使学生经历欧拉公式的发现与证明的历程，体验公式发现与证明过程中体现的数学思维方法，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。

2、培养学生实验、观察、归纳及大胆猜想的能力和主动参与探究的学习意识，激发学生学习数学的兴趣，培养学生善于发现、勇于探索的创新精神。

3、学会用计算机进行学习，能访问Internet，成功收集Internet上的相关资料，学会数学主题阅读；对所收集的资料进行分析整理、归纳，并制作电子讲稿或网页来与他人交流共享。

4、能与他人合作，加强协作学习的能力与团队意识、合作精神。

三、教材分析欧拉公式是高中二年级立体几何第9.10节中的研究性课题。

欧拉公式的探讨使学生更深刻理解多面体的性质。

本节内容是大学拓扑学领域内的知识，欧拉示性数刻划了多面体的不变性质。

同时本节内容的学习，对化学学科中分子结构的研究具有重要作用。

因此它具有承上启下、逐类旁通的作用，是不可多得的研究性学习课题之一。

四．教学设计原则：本设计以建构主义理论为指导，充分利用信息技术手段，进行基于资源、基于问题、基于研究、基于活动等方面的教与学，使学生在意义丰富的情景中主动建构知识。

本设计遵循《普通高中数学课程标准》的要求，注重信息技术与数学课程的整合。

本设计的基本原则是：①以学生为中心，设计让学生主动参与学习活动，自主探索，教师是学习的促进者，引导、帮助、监控和评价学生的学习过程。

②改变教师是唯一的“信息源”，充分利用各种信息资源、人力资源来支持学生。

③以“任务驱动”与“问题解决”作为学和研究活动的主体。

④强调“协作学习”。

五、教学时间：一周（两课时及一些课余时间）六、必备技能：Windows 98的操作、上网查阅资料的技能，PorwerPoint演示文稿的制作能力。

七、教学过程：1、准备工作分好若干小组，要求每个小组用纸和细棍（或火柴）等材料制作五种正多面体和一些棱柱、棱锥、棱台的模型。

多面体欧拉定理的发现（1）一、课题：多面体欧拉定理的发现（1） 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；2．掌握欧拉定理．三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程：（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体．说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．2．填表：将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：正多面体 顶点数V面数F 棱数E 正四面体 44 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：2F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=．（欧拉公式） 4．定理的证明：（方法一）以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形 后都没有变。

因此，要研究V 、E 和F 的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．ABCDEA 'B 'C 'D 'E '对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。

例如去掉BC ，就减少一个面ABC ． 同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ． 由于1F E -、V 的值都不变，因此1V F E +- 的值也不变．（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少 一个顶点。

高中新课标选修3－5《多面体欧拉定理的发现》教学设计温州中学黄振【教学背景】数学不应看作真理的汇集，而主要的应看成人类活动的一种创造性的活动。

因而在教学中，如何积极引导学生主动地探索，深刻剖析知识的产生、形成和发展过程，提高学生发现问题和解决问题的能力，这是我经常思考的问题。

过去我认为教师讲得越细，学生学得就越容易，课堂教学效率更高，就像钻山洞一样，老师领着学生钻比学生自己摸索可能更快一些。

可是我没想到，这样做会使学生养成不动脑筋的习惯，只限于被动地听课，而不愿主动地学习。

本节课试图在这一方面做一个尝试。

【教学目标】1.知识目标了解多面体的概念；理解多面体欧拉公式；了解公式的发现过程和证明方法。

2.能力目标①初步了解数学概念和结论的产生过程，提高学生发现问题和解决问题的能力。

②培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、人际交往能力和协作能力。

③发展学生的创新意识和创新能力。

3.情感目标①以欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。

②体验数学的简洁美（V+F-E=2），激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】欧拉定理的发现和证明。

【教学难点】欧拉定理的证明。

【教学设计】一.创设情境，提出问题播放世界杯主题曲，引出足球话题：四年一度的足球世界杯，被戏称为“绿茵场上的战争”，它令世人瞩目，吸引并造就了无数的球迷。

你也许是一个狂热的球迷，但是你知道足球的黑块和白块是什么图形吗？各有多少块？如果将它看成由这些多边形所围成的几何体，你能算出它的顶点数和棱数吗?（设计意图：让学生体验数学与“现实世界”息息相关，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与的程度。

）二.探究猜想，导入定理多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱的相交形成顶点。

那么在多面体中，它的顶点数、面数和棱数之间有什么关系？请你来猜一猜。

首先让学生单独思考，然后同桌之间相互讨论。

学生一般会在已学过的多面体（棱柱、棱锥等）中进行探索，得到结果。

假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现一、教学目的1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。

2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象；3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力；4、让学生再次体验几何体的美；5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。

二、教学重点1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面；2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。

三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。

四、教学过程t教案设计说明本节课设计为“研究性学习课题”。

以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。

本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。

在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。

并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。

在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。

其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。

通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。

1《多面体欧拉定理的发现（1）》教学设计温州第51中学 谢尚鸽教学设计前记: 1.教学实践:前年我上过该课,发现该课有下面几个地方比较难处理.(1)引入课题时怎样更好地激发学生的求知欲及探索欲.(2)课堂上如何省时,准确地数出多面体的顶点数,面数与棱数.（3）怎样引导学生构造反例(4)如何自然地提出简单多面体地概念(5)如何更生动地介绍欧拉(6)如何构造平台，让学生自然地证明欧拉公式 (7)课堂上如何有效地促进学生参与(8)如何完整地展现 “发现—猜想—证明”的探索过程. 2.教育理论:美国著名心理学家布鲁纳针对传统的讲授式教学，提出了发现学习的基本模式。

其主要环节是：⑴创设问题情景⑵提出假设⑶检验假设针对以上教学实际中碰到的8个问题,再结合布鲁纳的发现学习理论,下面我谈谈《多面体欧拉定理的发现》第1课时的教学设计. 一.教学目标 (1)知识目标识记欧拉公式，了解公式的发现过程。

(2)能力目标① 培养学生动手、观察、发现、归纳、猜想、探索、解决数学问题的能力。

② 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力. ③ 培养学生的团结协作能力、创新意识和创新能力. （3）德育与美育目标① 以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。

② 通过数学家业绩的介绍，培养学生学习数学大师严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神,从而促进学生非智力因素的发展.③ 体验数学的简洁美（2=-+E F V ）和对称美，激发学生学习数学的兴趣。

二.教学的重点与难点重点是组织全体学生积极地参与多面体欧拉公式的发现。

难点是欧拉公式的证明 三．教学过程 课前准备:课前先把学生分成8个学习小组，确定组长，负责组织讨论及收集数据.上课时把有关多面体顶点数,棱数,面数的数据统计表发给每位同学,同时发给每组一个足球。

1.创设情境:让学生观察足球,提问足球表面有哪些图形?你们知道足球表面有几个顶点,几条棱,几个面? 以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。