1.叙述实数序列{x n}的Cauchy收敛原理,并且使用Bolzan0-Weierstrass(波尔查诺-威尔斯特拉斯)定理证明.
2.序列{x n}满足x1=1,x n+1=√
4+3x n,n=1,2,...,证明此序列收敛并求极
限.
3.计算∫∫∫
Ω
√
x2+y2dxdydz,其中Ω是曲面z=
√
x2+y2与z=1围成的有界
区域.
4.证明函数项级数+∞
∑
n=1
x3e−nx2在[0,+∞)一致收敛.
5.讨论级数+∞
∑
n=3
ln cos
π
n
的敛散性.
6.设函数f:R n→R在R n\0可微,在0点连续,且lim
p→0∂f(p)
∂x i
=0,i=1,2,...,
n.证明f在0处可微.
7.设f(x),g(x)是[0,1]上的连续函数,且sup
x∈[0,1]f(x)=sup
x∈[0,1]
g(x).证明存在
x0∈[0,1],使得e f(x0)+3f(x0)=e g(x0)+3g(x0).
8.记Ω={p∈R3||p|≤1},设V:R3→R3,V=(V1,V2,V3)是C1向量场,V在
R3\Ω恒为0,∂V1
∂x +
∂V2
∂y
+
∂V3
∂z
在R3恒为0.
(1)设f:R3→R是C1函数,求∫∫∫
Ω
▽f·V dxdydz.
(2)求∫∫∫
Ω
V1dxdydz
9.设f:R→R是有界连续函数,求lim
t→0+∫+∞
−∞
f(x)t
t2+x2
dx.
10.设f:[0,1]→[0,1]是C2函数,f(0)=f(1)=0,且f′′(x)<0,∀x∈[0,1].记曲线{(x,f(x))|x∈[0,1]}的弧长是L.证明L<3.
