北京大学2018春数学分析Ⅱ甘少波笔记
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北大数学分析讲义
156
V = π
∫
a
0
2azdz + π ∫
3a
a
(3a 2 − z 2 ) dz =
π a3 ( 6 3 − 5) 。 3
x = a( t − sin t ) 例 ７ 求旋轮线 ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 之弧长。 y = a(1 − cos t ) 解 x ′(t ) = a (1 − cos t ) ， y ′(t ) = a sin t ， S = ∫ =
f = a(1 + cos θ ) S = 2 ⋅ 1 = a 2 = a 2 =
π
0
2a
2∫
π
0
a 2 (1 + cosθ ) 2 dθ
155
P = 2π
∫
β
α
r(θ ) sin θ r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 dθ 。
这是因为这时可看成参数方程
x = r (θ ) cos θ ， x ′(θ ) 2 + y ′(θ ) 2 = r (θ ) 2 + r ′(θ ) 2 。 y = r ( θ ) sin θ
f ( x ) ， g ( x ) 连续，且 f ( x ) ≥ g ( x ) 。我们考虑从 x 到 x + dx 这个微元，它的面积可看成一
个矩形，高近似地取 f ( x ) − g ( x) ，其面积 = ( f ( x) − g ( x)) dx = dA( x) 。所以所围图形面 积为
∫ [ f ( x) − g ( x) ]dx 。
4
x
x=
1 (4 − y 2 ) 4
例 ２ 求双纽线 r 2 = a 2 cos 2θ 所围成的图形面积。 解 作图如右上。 S = 4 ⋅ 1 ∫ 4 a 2 cos 2θ dθ = a 2 。 2 0 例３ 求心脏线 r = a(1 + cosθ ) ( a > 0) 围成的面积。
北京大学2018年数学分析试题及解答
在 (0, 0)
点局部
2 阶连续可微,
∇f (x, φ(x)) =
0,
(
)
∂ijf (0, 0) 2×2
为半正定非 0 阵. 证明 f 在 (0, 0) 点取得极小值.
6.
(20
分)
证明:
e−x
+ cos(2x) + x sin x
=
0
在区间
(
)
(2n − 1)π, (2n + 1)π
恰有两个根
x2n−1
+
)) 1
sin(xn) − xn ∑ ∞ (−1)k−1 (xn)2k−2 ∑ ∞ (−1)k (xn)2k
=
=
xn
(2k − 1)!
(2k + 1)!
k=2
k=1
∫ 1 sin(xn) − xn dx = ∑ ∞
(−1)k
0
xn
(2k + 1)!(2nk + 1)
k=1
∑ ∞ ⩽
1
(2k + 1)!(2n + 1)
x4
∈ (0, 1).
证明:
对任意
λ
∈
(α, β),
存在
x5,
x6
∈
(0, 1),
使得
λ
=
f (x6) x6
− −
f (x5) . x5
3. (10 分) 设 γ 是联结 R3 中两点 A, B 且长度为 L 的光滑曲线, U 是 R3 中包含 γ 的开集, f 在 U 上连续可
微, 梯度 ∇f 的长度在 γ 上的上界为 M . 证明:
(−1)k 2k(2k+1)!
北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题
∫
b
a
f ( x) d x]2 ≤ (b − a ) ∫ f 2 ( x) d x 。
a
b
π −x
2
。
2.证明它的 Fourier 级数在 (0, 2π ) 内每一点上收敛于 f ( x) 。
北京大学 2001 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 一、 （10 分）求极限： lim
a 2n 。 n →∞ 1 + a 2 n
f ( n ) ( x) 在 [ a, b ] 上一致收敛于 φ ( x)(n → +∞) ，求证： φ ( x) = ce x ， c 为常数。
四、 （15 分）设 xn > 0(= n 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim xn = a ，用 ε − N 语言证明： lim
n →+∞
n →+∞
xn = a 。
北京大学 2002 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 一、 （10 分）求极限： lim(
x →0 1 sin x 1−cos ) x。 x
二、 （10 分）设 α ≥ 0 ， = x1 并求极限值。
2 + a ， xn= +1
2 + xn ，= n 1, 2, ⋅⋅⋅ ，证明极限 lim xn 存在
五、 （15 分）求第二型曲面积分
∫∫ ( x d y d z + cos y d z d x + d x d y) ，其中 3; z 2 = 1 的外侧。
六、 （20 分）设 x = f (u , v) ， y = g (u , v) ，w = w( x, y ) 有二阶连续偏导数，满足
x→a + x →b −
2018年数学真题及解析_2018年北京市高考数学试卷(文科)
2018年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5.00分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5.00分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5.00分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f6．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5.00分）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．8．（5.00分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5.00分）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m ﹣），则m=．10．（5.00分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．11．（5.00分）能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为．12．（5.00分）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则a=．13．（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．14．（5.00分）若△ABC 的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分。
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数 章末复习课 精品
题型探究
类型一 求函数的导数 例1 求下列函数的导数.
(1)y＝sin 3x； 解 设y＝sin u，u＝3x，
则y′x＝y′u· u′x
＝(sin u)′· (3x)′
＝cos u· 3＝3cos 3x.
解答
1 (2)y＝ 2； 1－2x
解
设y＝ u ，u＝1－2x2，
1 2
－
1 2
则y′x＝y′u· u′x
＝－2 018sin(2 018x＋8).
解答
(2)y＝21－3x； 解 y′＝21－3x· ln 2· (1－3x)′
＝－3ln 2· 21－3x.
解答
(3)y ＝ ln(8x ＋ 6) ；
解 1 y′＝ · (8x＋6)′ 8x＋6
8 4 ＝ ＝ . 8x＋6 4x＋3
解答
(4)y＝3(2x＋1)2＋xcos x. 解 y′＝3×2×(2x＋1)· (2x＋1)′＋x′cos x＋x(cos x)′
＝( u
－
)′· (1－2x2)′
－ 3 2
1 ＝ u · (－4x) 2 3 － 1 ＝ － (1－2x2) 2 (－4x) 2
＝2x(1－2x2)
－ 3 2
.
解答
(3)y＝lg(2x2＋3x＋1)； 解 设y＝lg u，u＝2x2＋3x＋1，
则y′x＝y′u· u′x＝(lg u)′· (2x2＋3x＋1)′
(2)导函数
fx＋Δx－fx f′(x)＝ lim ， f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数. → Δ x Δx 0
2.导数的几何意义 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义. (2)求切线方程 常见的类型有两种： 一是函数 y＝ f(x)“ 在点 x＝ x0 处的切线方程 ” ，这种类型中 (x0 ， f(x0)) 是曲 线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点， 可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过 点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得 x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数
x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0,2] 上的平均变化率为 ＝ 2 ＝4. 2－0 解析
答案
类型二 求瞬时速度 例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)
题型探究
类型一 函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率 Δy； Δx
解答
Δy ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率 . Δx
解
当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
y(℃)
39
38.7 38.5
38
37.6 37.3 36.9
思考1
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？
答案 不相同．
答案
思考2
哪段时间体温变化较快？ 答案 从20分钟到30分钟变化最快．
答案
思考3
如何刻画体温变化的快慢？ 答案 用体温的平均变化率．
答案
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δs ∴当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 1，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.
解答
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
Δs st0＋Δt－st0 又 ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. Δt Δt
的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
2018学年高中数学北师大版选修2-2课件：1.2.2 分析法 精品
法二：(综合法) 因为 a，b，c∈R， 所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. 又因为 a，b，c 不全相等， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0， 所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0， 所以 2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)， 所以 a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
∵12－ ＋ttaann
α α＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，即 2tan
α＝－1.
∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证.
[探究共研型] 综合法与分析法的综合应用 探究 1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都 是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的 “猜想”.
1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明 过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.
2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析， 由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3， 即证a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 只需证 c2＋a2＝ac＋b2. ∵A，B，C 成等差数列，
∴2B＝A＋C， 又 A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. ∵c2＋a2－b2＝2accos B， ∴c2＋a2－b2＝ac， ∴c2＋a2＝ac＋b2， ∴a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立.
2018学年高中数学北师大版选修2-2课件：4.2 微积分基本定理 精品
[再练一题]
1.2x－x2 1dx＝________. 1
【解析】
21x－x2 1dx＝121x－x12dx
＝ln
x＋1x02
＝ln
2＋12－(ln
1＋1)＝ln
2－12.
【答案】 ln 2－12
求分段函数的定积分
计算下列定积分.
sin
x，0≤x<2π，
(1)f(x)＝1，π2≤x≤2，
求4f(x)dx； 0
阶
阶
段
段
一
三
§2 微积分基本定理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解微积分基本定理的含义.(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)
[基础·初探] 教材整理 微积分基本定理 阅读教材 P82～P84，完成下列问题. 1.微积分基本定理 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，则有bf(x)dx
x－1，2<x≤4，
(2)2|x2－1|dx. 0
【精彩点拨】 (1)按 f(x)的分段标准，分成0，π2，π2，2，(2，4]三段求定 积分，再求和.
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分.
【自主解答】 (1)40f(x)dx＝0π2sin xdx＋π221dx＋24(x－1)dx
2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与 积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念.
[再练一题] 3.已知k(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )
0
A.0 C.0或1
B.1 D.以上都不对
【导学号：94210072】
【解析】
2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：1.2.1+2+3 充分条件与必要条件 充分条件与判定定
1．判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． 2．除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集 合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．
必要条件的判断
在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5； (2)p：y＝x2，q：函数是偶函数； (3)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 【精彩点拨】 要判断p与q的关系，主要看是p⇒q，还是q⇒p.
阶 段
§2 充分条件与必要条件
阶 段
1
3
2.1 充分条件与必要条件
2.2 充分条件与判定定理
阶 段
2
2.3 必要条件与性质定理
学 业 分 层 测
评
1．理解充分条件、必要条件的概念．(重点) 2．掌握充分条件、必要条件的判断．(难点)
[基础·初探] 教材整理 充分条件与必要条件 阅读教材P6～P7的部分，完成下列问题．
[再练一题] 2．将本例中的“充分条件”改为“必要条件”，其他不变．
【解】 由x2－x－2＞0/⇒4x＋p＜0，所以不存在实数p使4x＋p＜0是x2－x－ 2＞0的必要条件．
充分条件和必要条件
[探究共研型]
探究1 充分、必要条件具有传递性吗？
【提示】 充分、必要条件都具有传递性，具体如下： 若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即p⇒q，q⇒s，则有p⇒s，即p是s的 充分条件； 若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即q⇒p，s⇒q，则有s⇒p，即p是s的 必要条件．
2．也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”．条件乙“x∈B”．若A ⊇B，则甲是乙的必要条件．
[再练一题] 1．分析下列各项中p与q的关系． (1)p：α＝π3，q：cos α＝12； (2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.
数学分析二知识点总结公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
（3）求积分比求微分困难——
1）没有万能旳积分法；
2）有旳初等函数旳积分不是初等函数，从而“积
不出来”，如
积分对数
ex x
dx
和
dx ln x
，
积分正弦
sin x
x
dx
、 积分余弦
cos x
x
dx
，
及更一般的形式
ex xn
dx
、
x ln n
x
dx
、
sin n x
x dx 、 cosn x
x dx ，
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数旳积分
分 表
一、主要内容
1、原函数与不定积分旳概念。 2、不定积分: (1)存在性;(2)唯一性;(3)怎样求？
3、不定积分运算与微分运算旳互逆关系。 4、积分表。 5、不定积分旳计算： （1）基本思想——化归为积分表中旳积分； （2）常用积分措施：
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17) cot xdx ln sin x C
(23)Байду номын сангаас
(18) sec xdx ln(sec x tan x) C
(24)
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C
1 dx arcsin x C
a2 x2
a
1
dx x2 a2 ln( x x 2 a 2 ) C
还有 ex2dx 、 sin( x2 )dx 、 cos( x2 )dx 、 1 x4dx
另外：每一种具有第一类间断点旳函数都没有原函数.
博士后数学数学分析知识点归纳总结
博士后数学数学分析知识点归纳总结数学分析是数学中的重要分支，涵盖了诸多基础概念和技巧。
作为博士后的你，对数学分析的理解和掌握至关重要。
本文将对博士后需要了解的数学分析知识点进行归纳总结，帮助你系统地复习和学习这一领域的知识。
1. 极限理论数学分析的基石之一是极限理论。
理解和运用极限的概念对深入理解和应用数学分析具有重要作用。
在研究极限时，需要掌握以下几个重要的概念和技巧：1.1 数列的极限：了解数列极限的定义和性质，懂得如何判定数列的极限存在与求解具体数值。
1.2 函数的极限：掌握函数极限的定义和性质，熟悉一些基本的极限求解方法，如夹逼准则、洛必达法则等。
1.3 无穷小和无穷大：理解无穷小和无穷大的概念，掌握它们的性质和运算规则。
2. 连续性与一致连续性连续性是数学分析中一个核心的概念，揭示了函数图像的平滑性和连续性。
在研究连续性时，需要掌握以下几个重要的概念和技巧：2.1 函数的连续性：了解函数连续性的定义和性质，懂得如何判定函数的连续性和间断点。
2.2 闭区间上连续函数的性质：熟悉闭区间上连续函数的最大最小值定理、魏尔斯特拉斯逼近定理等重要结果。
2.3 一致连续性：理解一致连续性的概念和性质，能够运用一致连续性解决一些具体问题。
3. 导数和微分导数和微分是数学分析的重要内容，揭示了函数变化率和斜率的概念。
在研究导数和微分时，需要掌握以下几个重要的概念和技巧：3.1 导数的定义与性质：了解导数的定义、导数存在的条件以及导数的性质，掌握导数的基本运算法则。
3.2 微分的概念与运算：理解微分的概念，熟悉微分的计算方法和微分形式的应用。
3.3 高阶导数与高阶微分：了解高阶导数和高阶微分的定义和性质，能够求解高阶导数和高阶微分。
4. 积分与积分学积分是数学分析中一个重要的工具，具有求面积、求体积等多种应用。
在研究积分和积分学时，需要掌握以下几个重要的概念和技巧：4.1 积分的定义与性质：了解积分的定义、积分存在的条件以及积分的性质，掌握积分的基本运算法则。
2018版数学北师大版选修2-2学案：第二章 变化率与导数
2.2 导数的几何意义学习目标 1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点一 割线思考 函数y ＝f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为ΔyΔx，由下图你能说出它的几何意义吗？答案ΔyΔx表示过点A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的斜率． 梳理 割线的定义函数y ＝f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为ΔyΔx ，它是过A (x 0，f (x 0))和B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))两点的直线的斜率．这条直线称为曲线y ＝f (x )在点A 处的一条割线． 知识点二 导数的几何意义如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1，2，3，4，…)，P 的坐标为(x 0，y 0)，直线PT 为在点P 处的切线．思考1 割线AB n 的斜率k n 是多少？ 答案 割线AB n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.思考2 当点B n 无限趋近于点A 时，割线AB n 的斜率k n 与切线AT 的斜率k 有什么关系？ 答案 k n 无限趋近于切线AT 的斜率k .梳理 (1)切线的定义若A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))是曲线y ＝f (x )上的点，当Δx 趋于零时，点B 将沿着曲线y ＝f (x )趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l .直线l 和曲线y ＝f (x )在点A 处“相切”，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线． (2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． (3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y－f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点为P (2,4)． ∴lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →013(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4，∴k ＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2，5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3解析 ∵lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4，∴k ＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2，5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1，0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx ＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1，0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1，0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求函数y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋x 的图像上过原点的切线方程．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋x 0，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋x 0) ＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2－6x 0Δx ＋(Δx )3－3(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx －6x 0＋1＋(Δx )2－3Δx ， ∴f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx＝3x 20－6x 0＋1. ∴切线方程为y －(x 30－3x 20＋x 0)＝(3x 20－6x 0＋1)·(x －x 0)． ∵切线过原点，∴x 30－3x 20＋x 0＝3x 30－6x 20＋x 0，即2x 30－3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝32， 故所求切线方程为x －y ＝0或5x ＋4y ＝0. 类型二 求切点坐标例3 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，求x 0的值．解 对于曲线y ＝x 2－1，k 1＝lim Δx→0ΔyΔx＝2x 0. 对于曲线y ＝1－x 3，k 2＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.引申探究1．若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x 0的值． 解 ∵k 1＝2x 0，k 2＝－3x 20.由曲线y ＝x 2－1与y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相垂直，知2x 0·(－3x 20)＝－1，解得x 0＝3366. 2．若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程． 解 由例3知x 0＝0或－23.当x 0＝0时，两平行切线方程为y ＝－1或y ＝1.当x 0＝－23时，曲线y ＝x 2－1的切线方程为12x ＋9y ＋13＝0.曲线y ＝1－x 3的切线方程为36x ＋27y －11＝0.∴所求两平行切线方程为y ＝－1与y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0与36x ＋27y －11＝0. 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0，得切点坐标．跟踪训练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标．解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx ＝3x 20－4x 0， 由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点坐标为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，∴a ＝12127.当切点坐标为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2，3)．类型三 导数几何意义的应用例4 (1)已知函数f (x )在区间[0，3]上的图像如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)(2)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为________．答案 (1)k 1>k 3>k 2 (2)⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π 解析 (1)由导数的几何意义，可得k 1>k 2. ∵k 3＝f (2)－f (1)2－1表示割线AB 的斜率，∴k 1>k 3>k 2. (2)设P (x 0，y 0)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )＋23－x 30＋3x 0－23Δx ＝3x 2－3， ∴切线的斜率k ＝3x 20－3，∴tan α＝3x 20－3≥－3，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π. 反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题时常与函数、方程、不等式等知识相结合．跟踪训练4 已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为________． 答案 －7解析 设点P (x 0，2x 20＋a )． 由导数的几何意义可得f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx ＝4x 0＝8.∴x 0＝2，∴P (2，8＋a )．将x ＝2，y ＝8＋a ，代入8x －y －15＝0， 得a ＝－7.1．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.2.已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图像可知f ′(x A )<f ′(x B )．3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1答案 D解析 由图像可得函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线是l ，与x 轴交于(4，0)，与y 轴交于(0，4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1，故选D. 4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． 答案 (3，30)解析 设点P (x 0，2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3，30)．5．已知抛物线y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．解 ∵抛物线过点P ，∴a ＋b ＋c ＝1， ①又y ′＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )＋c －(ax 2＋bx ＋c )Δx＝2ax ＋b ，∴f ′(2)＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1.② 又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．课时作业一、选择题1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)＝0C ．f ′(x 0)<0D ．f ′(x 0)不存在答案 C解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0. 2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π4答案 B解析 ∵lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →012(1＋Δx )2－2－(12－2)Δx＝lim Δx →0(1＋12Δx )＝1，∴倾斜角为π4.3．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26C ．y ＝9x ＋26D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26答案 D解析 设P (x 0，x 30－3x 20＋1)，k ＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋1－(x 30－3x 20＋1)Δx＝3x 20－6x 0＝9，即x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝－1或3. ∴点P 的坐标为(－1，－3)或(3,1)．∴切线方程为y ＋3＝9(x ＋1)或y －1＝9(x －3)， 即y ＝9x ＋6或y ＝9x －26.4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图像可能是()答案 B解析 由y ＝f (x )的图像及导数的几何意义可知，当x <0时，f ′(x )>0，当x ＝0时，f ′(x )＝0，当x >0时，f ′(x )<0，故选B. 5．设f (x )为可导函数，且满足lim Δx→f (1)－f (1－x )2x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 答案 D解析 ∵lim Δx →012·f (1)－f (1－x )x＝12lim Δx →0f (1)－f (1－x )x ＝12f ′(1)＝－1， ∴f ′(1)＝－2.由导数的几何意义，知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.6．设P 为曲线C ：y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4，π2]，则点P 的横坐标的取值范围为( ) A ．(－∞，12]B ．[－1，0]C ．[0,1]D ．[－12，＋∞)答案 D解析 设点P 的横坐标为x 0，则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为 tan α＝f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋2.∵α∈[π4，π2]，∴tan α∈[1，＋∞)，∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－12.∴x 0的取值范围为[－12，＋∞)．二、填空题7．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.答案 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又k ＝lim Δx →0a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2，∴a ＝1，b ＝2，故ba＝2.8．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋1在点M 处的瞬时变化率为－4，则点M 的坐标为________．答案 (－1，3) 解析 设点M (x 0，y 0)， f ′(x 0)＝lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝4x 0＝－4，∴x 0＝－1，则y 0＝3，∴M (－1，3)．9．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝lim Δx →012(1＋Δx )＋2－12－2Δx ＝lim Δx →012Δx Δx ＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.10．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 答案 4解析 设在P 点处切线的斜率为k ，则k ＝lim Δx →0(－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx ＝－5，∴切线方程为y ＝－5x .∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10， 将P (－2，10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 三、解答题11．若曲线y ＝f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，求a 的值． 解 ∵f ′(a )＝lim Δx →0(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2， ∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，切线与x 轴的交点为(23a ，0)．∴三角形的面积为12|a －23a |·|a 3|＝16，得a ＝±1.12．过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx.∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx＝1＋Δx . 又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.13．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2]＝3x 20＋2ax 0－9， 即f ′(x )＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23， 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值，为－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3， 又a <0，∴a ＝－3.四、探究与拓展14．已知抛物线y ＝f (x )＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，Δy Δx趋于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴切线的斜率为tan45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1，3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．15．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解 (1)∵lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx ＝2x ＋1， ∴在(1,0)处的切线l 1的斜率为3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，解得x 0＝－23. ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1，0)，(－223，0)， ∴所求三角形的面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.。
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数
与函数图像的切线有关.解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，
再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练3
已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，
O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求
一点P，使△ABP的面积最大.
解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1，1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大， 故P(1，1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
答案 f′(2)＝2，f′(1)＝1，f′(－2)＝－2.
答案
思考2
对思考1中的函数f(x)，试求f′(x0).
1 1 2 2 fx0＋Δx－fx0 2x0＋Δx －2x0 f′(x0)＝ lim ＝ lim ＝ x 0. Δx Δx Δx→0 Δx→0
答案
答案
思考3
对思考 2 中的 x0 可以取任意实数吗？当 x0 变化时， f′(x0) 的值变
π (6)y＝cos( －x). 2 π 解 ∵y＝cos( －x)＝sin x， 2
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
解答
反思与感悟
若给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化 简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.
跟踪训练1 (1)下列结论：
①(sin x)′＝cos x； ②( x )＝x ；
解 1 ∵y＝(1－ x)(1＋ )＋ x x
1－x 1 1 － ＝ ＋ x＝ ＝ x 2， x x
2018学年高中数学北师大版选修1-2课件：3.2 分析法 精品
跟踪训练 1 已知 a、b 是正实数,求证：a＋2 b≥1a＋2 1b. 证明 要证a＋2 b≥1a＋2 1b, 由于 a,b 是正实数,1a＋1b＞0, 只需证：(a＋b)a1＋1b≥4,
即证：1＋ba＋1＋ab≥4, 也就是证ba＋ab≥2, 因为 a,b 为正实数,所以ba＋ab≥2 成立.
知识点二 分析法证明的思维过程
用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图表 示为： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→ …―→ 得到一个明显成立的条件
思考 用分析法证明不等式时，是否要找使结论成立的充要 条件？分析法证题过程如何写？ 答 (1)证明不等式时往往误用分析法，把“逆求”作“逆 推”，分析法过程没有必要“步步可逆”，仅需寻求充分条 件即可，而不是充要条件. (2)分析法的过程要正确使用一些联结关联词，如“要证 明”“只需证明”“即证”等.
2.分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证……, 只需证……, 只需证……, … 由于…显然成立(已知,已证…), 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.
3.综合法与分析法的比较 (1)综合法是由因导果,步骤严谨、逐层递进、步步为营,书 写表达过程条理清晰、形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹. 缺点是探路艰难、困于思考、不易达到所要证明的结论. (2)分析法是执果索因,方向明确、利于思考、思路自然,便 于寻找解题思路.缺点是思路逆行、易表述出错.
a＋b
b＋c
a＋c
由公式 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2 ≥ ac>0.
又∵a,b,c是不全相等的正数,
a＋b b＋c a＋c ∴ 2 · 2 · 2 > a2b2c2＝abc.
一类CA的遍历理论
一类CA的遍历理论
甘少波
【期刊名称】《北京大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1996(32)3
【摘要】一类特殊ＣＡ的遍历理论。
主要结果有：关于这类ＣＡ的Ｒｕｅｌｅ＇ｓＰｅｒｒｏｎＦｒｏｂｅｎｉｕｓ定理；Ｇｉｂｂｓ测度的存在性；
【总页数】9页(P293-301)
【关键词】符号动力系统;Gibbs测度;遍历理论;细胞自动机
【作者】甘少波
【作者单位】北京大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.99
【相关文献】
1.一类奇异 Markov链的遍历性 [J], 李冬霞;李星星;逯玲娜
2.一类随机动力系统的遍历性 [J], 蒋倩;韩新方;马丽
3.一类Markov算子的遍历性 [J], 郭新伟;喻建华;齐海涛
4.一类GARCH-M模型的遍历性研究 [J], 张兴发;李元
5.一类随机互惠模型的遍历性和最优收获策略 [J], 罗俊威
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2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件高二下学期数学北师大版选择性(1)
性质3:当b2-3ac≤0时,f(x)无极值.
当b2-3ac>0时,
-- 2 -3
(1)若 a>0,f(x)在 x1=
3
-+ 2 -3
处有极大值 f(x1);f(x)在 x2=
3
处有极小值
f(x2).
-- 2 -3
(2)若 a<0,f(x)在 x1=
f(x2).
3
f(x)单调递增.
∴当x=1时,函数f(x)有极小值,不符合题意,舍去.
若a=-1,f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),
可得当-1<x<1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时函数
f(x)单调递减.
∴当x=1时,函数f(x)有极大值,则f(x)=-x3+3x+4.
∴m的取值范围是[-22,+∞).
规律方法
1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类
题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)
已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式
的单调性问题求参数.
2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高次函数与导
法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了.
【例1】
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-
2
3与x=1时都取得极值.
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求实数c的取值范围.
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8.2 定积分中值定理 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9 习题课笔记 (3)
24
10 课堂笔记 (7): 定积分中值定理 (2)、定积分的应用 (1)
26
10.1 定积分第二中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12 习题课笔记 (4)
31
13 课堂笔记 (9): 定积分的应用 (3)
32
13.1 旋转体的侧面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
13.2 在物理学上的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.2 定积分的计算 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8 课堂笔记 (6): 定积分的计算 (2)、积分中值定理 (1)
22
8.1 定积分的计算 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16 习题课笔记 (5)
38
17 课堂笔记 (11): 无穷积分的审敛法 (2)、瑕积分
40
17.1 无穷积分的审敛法 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.2 微元法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.3 极坐标表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 课堂笔记 (4): 定积分的性质
14
6 习题课笔记 (2)
17
7 课堂笔记 (5): 变限定积分与定积分的计算 (1)
20
7.1 原函数的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10.2 定积分的应用 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
11 课堂笔记 (8): 定积分的应用 (2)
29
11.1 参数方程表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 习题课笔记 (1)
11
4 课堂笔记 (3): 可积的充要条件、可积函数类
12
4.1 可积的充要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 可积函数类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
14 定积分补充: 不等式
34
15 课堂笔15.1 无穷积分的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
15.2 无穷积分的审敛法 (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 课堂笔记 (2)：微积分基本定理、达布理论
7
2.1 微积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 达布理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
11.4 截面面积已知的立体的体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.5 曲线的弧长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
数学分析 (二) 笔记
目录
1 课堂笔记 (1)：课程介绍、定积分的定义
5
1.1 课程介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 定积分的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5