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北大数学分析考研用书推荐
以下是几本适合北大数学分析考研使用的教材推荐：
1. 《数学分析教程》（第二版）作者：卫京，庄加宁：这本教材内容丰富，结构严谨，覆盖了数学分析的基础知识和常用工具，适合考研使用。
2. 《数学分析习题与解答》作者：周民强：这本书以解题为主线，适合考研学生巩固分析知识和提高解题能力。
3. 《数学分析基础教程》作者：日本数学会：这本书由日本数学会编写，注重理论推导和证明方法的训练，适合对分析理论感兴趣的考生。
4. 《数学分析习题集》作者：罗穆桐：这本书是考研数学分析的经典习题集，包含大量习题和详细解答，适合考生进行大量练习和巩固知识。
5. 《数学分析教程与习题精解》作者：张福慧，杨昆：这本书内容系统全面，既包含了教程，也有配套的习题精解，适合考生系统学习和巩固知识。
需要注意的是，选择适合自己的教材是很重要的，可以根据个人的情况和学习风格选择合适的教材进行学习。
《数学分析》(604)考研大纲（一）实数与函数考试内容绝对值与不等式，确界原理，函数及性质。
考试要求理解和掌握邻域，有界集，上、下确界，函数，复合函数，反函数，有界函数，单调函数，奇、偶函数，周期函数等概念。
（二）极限与连续考试内容数列极限定义，收敛数列的性质，单调有界原理，柯西准则，函数极限定义（趋于无穷大时的极限，趋于某一定数时的极限），函数极限性质，归结原理，柯西准则，两个重要极限，无穷小量，无穷大量概念，无穷小量阶的比较，连续性概念，连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质，反函数连续函数，一致连续性，指数函数的连续性，初等函数连续性，实数完备性定理：区间套定理，柯西准则，聚点定理，有限覆盖定理等。
考试要求理解和掌握：数列极限的定义及计算，数列极限性质的原理及推导，单调有界原理，柯西准则及应用，函数极限的定义及计算，函数极限存在的归结原理，两个重要极限的计算，无穷小量，无穷大量概念，无穷小量阶的比较及应用，一致连续性及应用，连续性的定义及其证明，间断点及其分类，连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质，区间套定理，柯西准则，聚点定理，有限覆盖定理原理及证明，闭区间上的连续函数性质的原理及证明及应用。
（三）导数与微分考试内容导数概念，导函数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，求导法则与公式，微分概念，微分的运算法则，高阶导数与高阶微分，参数方程的一阶及二阶导数。
考试要求理解和掌握：导数概念，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，求导法则与公式，微分概念，微分的运算法则，高阶导数与高阶微分，参数方程的一阶及二阶导数。
（四）微积分基本定理，不定式极限，导数研究函数考试内容中值定理，洛必达法则，不定式极限，泰勒公式，皮亚诺余项泰勒公式，函数的单调性与极值，函数的凸性，拐点，函数的图象讨论渐进线，作图。
考试要求理解和掌握：费马定理，中值定理的原理及应用。
熟练计算不定式极限，熟练掌握泰勒公式，皮亚诺余项泰勒公式原理及应用，函数的单调性与极值，函数的凸性，拐点。
数学分析参考书1.《微积分学教程》菲赫金哥尔茨人民教育出版社推荐理由：经典的数学分析的百科全书, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面掌握数学分析理论的学生是一本较好的参考书。
2.《数学分析》华东师大数学系高等教育出版社推荐理由：本书是教育部推荐的优秀教材，内容安排自然合理，读者容易接受，选学内容加了“*”适合多层次的需求；读者可以通过附录1和附录2了解微积分的发展线索记实数理论。
3.《数学分析》北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等高等教育出版社推荐理由：本书阐述细致，引进概念注意讲清实际背景，定理证明、公式推演作了必要的分析，并提出一些值得思考的问题；通过大量不同类型例题，介绍解题基本方法和特殊技巧。
全书还配有习题集一册，其中有不少难度较大的题目。
适合要求进一步提高数学分析素养的同学。
4. 《数学分析》李成章黄玉民科学出版社推荐理由：总体内容与华东师大教材相仿. 书中有大量的习题可作为补充练习题.5. 《数学分析》陈纪修等高等教育出版社推荐理由：书中对三角级数阐述的较为详细,可供参考.6. 《数学分析习题精解》吴良森等高等教育出版社推荐理由：书中题型丰富,可供较为优秀的学生选7. 《数学分析习题课讲义》谢惠民等高等教育出版社推荐理由：李大潜院士是这样评价此书的“它的着眼点，不像现在充斥市面的各种各样的习题解答那样，消极地为读者提供一些习题的解答，而是引导学生理解课程内容，启发学生深入思考，扩大学生知识视野，力求使学生达到举一反三，由小见大，由表及里的境界，较快的高等数学的思想方法，迈进高等数学的广阔天地。
对于学生，这是一本富有启发性且颇有新意的辅导读物。
”8. 《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文高等教育出版社推荐理由：本书收录了大量的研究生数学分析入学试题，前苏联高校竞赛题。
选题具有很强的典型性，灵活性，启发性，趣味性和综合性，对培养学生的能力极为有益。
8. 《Ｃａｌｃｕｌｕｓ（微积分）》Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis郭镜明改编高等教育出版社推荐理由：本书为高等教育出版社“世界优秀教材中国版”系列教材之一。
北大数学分析考研用书
北大数学分析考研用书推荐：
1. 《数学分析导引》- 张筱雨
这本教材是国内数学分析教材的经典之作，语言简洁明了，适合初学者入门。
内容包括实数与其序理论、数列与收敛理论、函数与连续理论、无穷级数等基本概念和定理。
2. 《数学分析》- 汤家凤
这是一套由北大数学系编写的教材，深入浅出地阐述了数学分析的各个方面，包括实数与数列、一致连续性、上极限与下极限、函数的极限、连续性、间断点与连续函数等内容。
3. 《数学分析教程》- 南京大学数学系编著
这本教材注重培养学生的数学思维和证明能力，内容全面、详细，适合系统学习数学分析。
包括实数与复数、极限与连续、一元函数微分学、空间中的向量值函数微分学等内容。
4. 《数学分析》- 同济大学数学系编著
这本教材以基础理论与应用分析相结合的方式讲解数学分析，内容涵盖实数与函数、数列与级数、一元函数微分学、一元函数积分学等知识点。
适合辅导复习和强化训练。
5. 《数学分析教程》-北京师范大学数学系编著
这本教材为全面介绍数学分析的常规内容，包括实数和实数系、数列和函数的极限、连续与界、微分学等。
书中还配有大量的例题和习题，便于学生巩固所学知识。
以上是几本北大数学分析考研用书的推荐，它们都是经典教材，对于备考考研的同学来说是很好的选择。
北大数学专业考研书籍
北大数学专业考研书籍推荐如下：
1. 高等数学（上、下册）- 林元烈：本书为高等数学的经典教材，涵盖了考研数学中的基础内容，包括函数、极限、导数、微分方程等。
2. 线性代数与解析几何- 李永乐：这本教材详细介绍了线性代
数和解析几何的基本概念和方法，其中还包括矩阵、特征值与特征向量等内容，对考研数学的线性代数部分十分重要。
3. 概率论与数理统计- 邵国华：该书系统讲述了概率论和数理
统计的基本理论和方法，内容包括随机变量、概率分布、假设检验等，是考研数学概率论与数理统计部分的常用参考书。
4. 数学分析习题课讲义- 北京大学数学系：该讲义主要包含数
学分析中的基础知识、解题方法和习题讲解，试题难度适中，适合考研数学初学者巩固基础。
5. 数学物理方法- George B. Arfken：这是一本介绍数学物理方
法应用的教材，内容包括向量分析、常微分方程、乘积空间等，对于准备考研数学物理方向的学生有很大帮助。
值得注意的是，在阅读这些书籍时应注重理解概念和方法，多进行习题训练，并结合真题进行练习和总结。
在备考过程中还建议参加相关考试培训班，加强自学能力，提高解题能力。
数学分析I参考文献及学习资料"If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants."——Sir Isaac Newton目录参考文献 (1)数学网站 (2)数学软件 (3)数学家 (5)参考文献（1）欧阳光中，朱学炎，秦曾复，《数学分析》，上海科学技术出版社，1982. （2）北京大学，《数学分析》，高等教育出版社，1986.（3）王慕三，庄亚栋，《数学分析》，高等教育出版社，1990.（4）常庚哲，史济怀，《数学分析》，江苏教育出版社，1998.（5）张筑生，《数学分析新讲》，北京大学出版社，1990.（6）黄玉民，李成章，《数学分析》（上，下），科学出版社，1999.（7）R.柯朗，F.约翰，《微积分和数学分析引论》，科学出版社，2001.（8）武汉大学数学系，《数学分析》，人民教育出版社，1978.（9）邓东皋，尹小玲，《数学分析简明教程》，高等教育出版社，1999.（10）江泽坚，吴智泉，周光亚，《数学分析》（上，下），人民教育出版社，1960. （11）吉林大学数学系，《数学分析》（上，中，下），人民教育出版社，1978. （12）吉米多维奇，《数学分析习题集》，李荣冻译，高等教育出版社，1958. （13）邹应，《数学分析习题及解答》，武汉大学出版社，2001.（14）卢丁，《数学分析原理》，赵慈庚，蒋铎译，高等教育出版社，1979. （15）吴良森等，《数学分析习题精解》，科学出版社，2002.（16）G.波利亚《数学分析中的问题与定理》，上海科学技术出版社，1981. （17）李德本，杨旭，倪宝汉，《数学分析方法及例题》，吉林教育出版社，1989. （18）杨熙鹏等《数学分析习题解析》（上，下），陕西师范大学出版社，1993. （19）汪林，《数学分析中的问题和反例》，云南科技出版社，1988.(20）陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元《数学分析习题全解指南》，高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（22）华罗庚著《高等数学引论》（第一卷），科学出版社, 1964.（23）菲赫金哥尔兹编，《微积分学教程》，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（24）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社,（1993）. （26），陈传璋等编《数学分析》高等教育出版社（1978）（27）欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，《数学分析》（上、下册），上海科学技术出版社,1983.（28）秦曾复，朱学炎编，《数学分析》（第一、二、三卷），高等教育出版社,1991. （29）张竹生编，《数学分析新讲》（第一、二、三册），北京大学出版社,1990. （30）邓东皋等编《数学分析简明教程》（上、下册），高等教育出版社,1999. （31）华东师范大学数学系，《数学分析》（第三版，上、下册），高等教育出版社,2002.（32）常庚哲，史济怀编，《数学分析教程》江苏教育出版社,1998.(33) 林源渠，方企勤编，《数学分析解题指南》 ,北京大学出版社,2003.数学网站数学教研网/吉林大学公共数学精品课网/ADMathematics/leeyc.html 同济大学高等数学精品课网/~math/武汉大学高等数学精品课网/jpkc2007/gdsx/国家精品课程网南昌大学高等数学精品课网/NCUCourseWare/SpecialCourse/kfr/宁波工程学院高等数学精品课网/ec2006/C30/Course/Index.htm惠州学院高等数学网/一起来学微积分/数学学会:中国科学院数学和系统科学研究院：中国工业和应用数学会：美国工业和应用数学会：美国数学会：美国数学联合会：欧洲数学协会：http://www.emis.de/数学网站:联数工作室主页: /国防科大数模资源：/resource.aspSAS软件爱好者天地：/哈尔滨工程大学理学院：http://218.7.43.12/12xi/more_down.htm高等数学/hxx/gaodsx/大连理工大学数学建模中心http://202.118.74.124/dlutmcm//biosoft/content.html/http://218.242.54.178数学杂志:美国数学会的web 杂志/mathweb/mi-journals.html#ejrnls 美国数学学会期刊/jams美国数学学会杂志/journals Bulletin /bull有关文章评述、书评及研究报告，含文章目录及摘要。
数学分析(mathematical analysis)课程简介一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限 (limit) —— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、内容安排1.课时分配: 第一学期16×6=96; 第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学; 第二学期一元函数积分学与级数论; 第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数（计划课时：6 时）P1—22§1 实 数（1时）一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1. 实数用无限小数表示的方法:为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x ,n a a a a x 210. 时,其中,90 i a ,0,,,2,1 n a n i 0a 为非负整数,记 9999)1(.210 n a a a a x ; 而当0a x 为正整数时,则记 9999).1(0 a x ;对于负有限小数(包括负整数)y ,则先将y 表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为 000.0.例如 010999.2011.2 , 999.78 .2. 实数的大小:定义1: (实数大小的概念)见[1]P1.定义2: (不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设 210.a a a x 与 210.b b b y 为两个实数,则y x n ,使得n n y x .例1 设x 、y 为实数，y x .证明：存在有理数r 满足y r x . [1]P17E1.3. 实数的性质:⑴.四则运算封闭性:⑵.三歧性(即有序性):⑶.Rrchimedes 性:b na N n a b R b a ,,0,,.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴:⑺.两实数相等的充要条件: . ,0 b a b a二. 区间和邻域的概念:见[1]P5三.几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 . , max a a a [1]P2 的六个不等式.2. 其它不等式: ⑴ ,222ab b a .1 sin x . sin x x⑵ 均值不等式: 对,,,,21R n a a a 记,1 )(121 n i i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121n n i i n n i a a a a a G(几何平均值) .1111111)(1121 n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H 等号当且仅当n a a a 21时成立.⑶ Bernoulli 不等式: ,1 x 有不等式 . ,1)1(N n nx x n当1 x 且 0 x , N n 且2 n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n 证 由 01 x 且 111)1(1)1( ,01 nn x n x x).1( )1( x n x n n n .1)1( nx x n ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对,0 h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h 有 n h )1( 上式右端任何一项. Ex [1]P4: 3，4，5，6；§2 确界原理（2时）一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合 ) , ( ,sin x x y y E 也是有界数集.二、无界数集: 定义, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 等都是无界数集,如集合) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 三、确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴,) 1(1n S n 则._______inf ______,sup S S⑵.),0( ,sin x x y y E 则._________inf ________,sup E E例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S 和A 是非空数集，且有.A S 则有 .inf inf ,sup sup A S A S .例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x 和,B y 都有,y x 则有.inf sup B A证,B y y 是A 的上界,.sup y A A sup 是B 的下界,.inf sup B A 例5 A 和B 为非空数集, .B A S 试证明:. inf , inf m in inf B A S 证 ,S x 有A x 或,B x 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf 或 . inf , inf m in .inf B A x B x 即 inf , inf m in B A 是数集S 的下界, . inf , inf m in inf B A S 又S A S , 的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf 是A 的下界, ;inf inf A S 同理有.inf inf B S 于是有inf , inf m in inf B A S . 综上, 有 inf , inf m in inf B A S .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E 为数集.⑴E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若E max 存在, 必有 .sup max E E 对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th (确界原理).Ex [1]P9: 2，4，5.§3 函数概念 ( 2时 )一. 函数的定义:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数: 一 一对应, 反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二.分段函数:函数1 ,,1 ,2,1 ,1)(2x x x x x x f 和 1 ,,1 ,2)(2x x x x x g ,123)( x x f 去掉绝对值符号.例2 .1 ,1,1 ,)(x x x x x f 求 ).2( ),1( ),0(f f f例3 设 .10 ,)5(,10 ,3)(x x f f x x x f 求 ).5(f三. 复合函数:例4 .1)( ,)(2x x g u u u f y 求 ).()(x g f x g f 并求定义域. 例5 ⑴ ._______________)( ,1)1(2 x f x x x f⑵ .1122x x x x f则) ( )( x fA. ,2xB. ,12 xC. ,22 xD. .22 x四. 初等函数:1. 基本初等函数:2. 初等函数:3. 初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则⑴ )( x f 是初等函数, 因为 .)( )( 2x f x f⑵ )( , )(m ax )(x g x f x 和 )( , )(m in )(x g x f x 都是初等函数, 因为 )( , )(m ax )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f ,)( , )(m in )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f .⑶ 幂指函数 0)( )()( x f x f x g 是初等函数,因为 .)()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g五. 介绍一些特殊函数:1. 符号函数2. Dirichlet 函数3. Riemann 函数4. 取整函数5. 非负小数部分函数Ex [1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7, 8；§4 具有某些特性的函数 ( 1时 )一、有界函数: 有界与无界函数的概念. 例1 验证函数 325)(2 x xx f 在R 内有界.解法一 由,62322)3()2(32222x x x x 当0 x 时,有.3625625325325 )( 22 x xx xx xx f 30 )0( f ,对 ,R x 总有 ,3 )( x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二 令 3252 x xy 关于x 的二次方程 03522 y x yx 有实数根.22245 y .2 ,42425,02 y y解法三 令2,2 ,23t tgt x 对应). , ( x 于是tt tt tg tgt tgt tgtx x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625)( ,2sin 625t x f t例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数 (略) ，参阅[1]P17—19， Ex [1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；。
附录I 实数理论一、建立实数的原则：1、集合F构成一个阿基米德有序域的三个条件：(1)F是域. 在F中定义了加法与乘法两个运算，使得对于F中任意元素a,b,c成立：加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；加法交换律：a+b=b+a；乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)；乘法交换律：a·b=b·a；乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.在F中存在零元素和反元素：在F中存在一个元素“0”,使得对F中任一元素a，有a+0=a，则称“0”为零元素；对每一个元素a∈F，有一个元素(-a)∈F，使得a+(-a)=0，则称-a为a的反元素.在F中存在单位元素和逆元素：在F中存在一个元素“e”,使得对F中任一元素a，有a·e=a，则称“e”为单位元素；对每一个非零元素a∈F，有一个元素a-1∈F，使得a·a-1=e，则称a-1为a的逆元素.(2)F是有序域. 在F中定义了关系“<”具有如下(全序)性质：传递性：对F中的元素a,b,c，若a<b, b<c, 则a<c；三歧性：F中任意两个元素a与b之间，关系a<b, a=b, a>b(即b<a)三者必居其一，也只居其一.当序与加法、乘法运算结合起来，则有如下性质：加法保序性：若a<b，则对任何c∈F，有a+c<b+c；乘法保序性：若a<b 且c>0，则ac<bc.(3)F 中元素满足阿基米德性. 对F 中任意两个正元素a,b ，必存在自然数n ，使na>b.有理数系Q 满足上述三个条件，所以它是一个阿基米德有序域。
任务：运用戴德金分划说，构造实数系R.二、分析能使确界原理得以成立的有序域为具有完备性的有序域.引理1：一个有序域如果具有完备性，则必具有阿基米德性. 证：设α,β为域中正元素，若序列{n α}中没有一项大于β， 则序列有上界β. 又由完备性假设，存在{n α}的上确界λ,对一切自然数n 有λ≥n α，同时存在某自然数n 0，n 0α>λ-α，从而有 (n 0+2)α≤λ<(n 0+1)α，即α<0，与假设α>0矛盾，∴完备的有序域必有阿基米德性.引理2：一个有序域如果具有阿基米德性，则它的有理元素必在该域中稠密，即对有序域中任意两个不同的元素α,β，在α与β之间必存在一个有理元素(从而存在无穷多个有理元素).证：设α,β为有序域中两个不同的元素，且α<β. 由阿基米德性，存在正整数N ，使得N(β-α)>1，或N 1<β-α. 令d=N1, 它是一个有理数，再任取一个有理数γ0<α, 在等差序列{γ0+nd}中，由阿基米德性，总有某项大于α，设在该序列中第一个大于α的项为γ0+n0d，∵γ0+(n0-1)d≤α，若γ0+n0d≥β，两式相减得：d≥β-α，矛盾，∴α<γ0+n0d<β，即γ0+n0d就是所求的有理数，得证.推论：若存在完备的有序域R，则有理数必在其中稠密。
实数理论§1.1 从自然数到有理数实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？有两个集合A 和B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从A 到B 的映射，它是的，又是满的．这时我们说f 11−A 和B 具有相同的势．我们首先承认空集φ是存在的，考虑一个集合}{φ，它不是空集，凡与}{φ等价的集合都有相同的势，我们把}{φ简写为0．再考虑集合}}{,{φφ，它与}{0φ=是不等价的，我们把它简写为1．一般地如果有了之后，可以定义它的跟随n },{n φ，简写为1+n ．这样我们就得到了自然数N ．在N 上可以定义加法：},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ，还可以证明加法满足结合律和交换律：p m n p m n ++=++)()(，n m m n +=+．这样我们就从空集出发，定义出自然数N ．这是一个最抽象的定义，比如说1，它不指一个人，也不指一个物，而是指一个集合}}{,{φφ，这个集合有两个不同的元素{}φ和φ．凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是一个人，一个物……，都具有相同的势，按我们的理论，用}}{,{φφ作为它们的代表．在集合{}中，考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~：),(n m ~),(n m ′′当且仅当，容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系． 整数Z 现在定义为：Z =~},:),{(N ∈n m n m ． 在Z 上可以定义加法：),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+，还可以定义减法：．可以验证它们在Z 中封闭，而且互为逆运算．在Z 中我们用0表示N }，即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′−∈n n n :),({ =−=−=22110，这就是作为整数的0. 用表示k ∈+k n n )k n ,:,({N }，即 =−+=−+=2)2(1)1(k k k ，用1−表示∈+n n n :)1,({N }，即=−=−211 =−32．在集合{Z ，}中，考虑一个关系∈q p q p ,:),(0≠q ~：),(q p ~),(q p ′′当且仅当，它也是一个等价关系，有理数Q 现在定义为：q p q p ′=′Q =~}0,:),{(,≠∈q q p q p Z ．在Q 中我们可以定义加法，减法，乘法，除法，还可证明加减法互为逆运算，乘除法互为逆运算等性质，在Q 中我们用q p ，且1),(=q p , 表示其中一个有理数，比如用21表示．)2,(n n 这样我们完成了从空集φ出发到有理数集Q 的定义．在2500年前，毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成，而原子有一个固定长度，比如假定单位线段由个原子组成，被测量的线段由个原子组成，则线段之长为：q p q p ，即有理数可以度量一切长度．但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时，对角线长不能由有理数表示，希伯斯因此受到迫害．但后来发现有很多长度不能用有理数表示，比如简单地取正方形边长为1，由勾股定理，它的对角线长度的平方应为2，我们记之为2，如果它是有理数，就应该有：nm =2， 1),(=n m ， 0≠n ． 两边平方，得，因为，都是整数，表明中含2因子，即m 中含2因子，设，则，同样推理表明中也含因子，与222m n =m n 2m p m 2=222p n =n 21),(=n m 矛盾，所以2不是有理数．这表明只有有理数是不够的，必须引入新的数，即无理数，它们合在一起称为实数．§1.2 实数的定义（戴德金分割）定义实数有不同的方法，戴德金分割是一个比较标准的方法．直观地看，有理数Q 在实轴上没有填满，还有很多“孔隙”，戴德金分割就是在数轴上割一刀，把现有的有理数Q 分成两部分，如果这一刀恰好砍在某个有理数上，这一分割对应的就是这个有理数，如果没碰到任何有理数，这个分割就定义出一个无理数．定义1 将有理数全体组成的集合分成A ，B 两类，使满足以下性质：1） A 与B 都至少包含一个有理数（不空）；2） 任一有理数，或属于A ，或属于B （不漏）；3） A 中任一数均小于a B 中任一数b ，即A a ∈，b a B b <⇒∈（不乱）； 4） A 中没有最大的数，即A a ∈，A a ∈′∃，使a a ′<．则称A ，B 为有理数的一个分划，A 称为分划的下类，B 称为分划的上类，记作．)|(B A 定义中4）不同于1）—3），它是非实质性的，只是为了推理的方便．定义中4）用到有理数的稠密性（即两个有理数之间必有一有理数），如A 有最大数，将此数放入B ，则它是B 的最小数，这时A 就无最大数；若A 还有最大数，根据有理数的稠密性，A 的最大数与B 的最小数之间必有一有理数，这个有理数被漏掉了，这与分划的定义矛盾．注意定义没有用到有理数的极限，只用到有理数性质和集合概念．由分划的定义知，若为下类的任一数，则小于a 的任何有理数也属于下类；b 为上类中的任一数，则大于b 的任何有理数也属于上类．a 下面用Q 记有理数的集合．例1 ；},1|{Q ∈<=x x x A ．},1|{Q ∈≥=x x x B 容易看出A 、B 构成有理数的一个分划，这时上类B 有最小数1．例2 ； },200|{2Q ∈<>≤=x x x x x A 且或 ． },20|{2Q ∈>>=x x x x B 且显然A 、B 不空、不乱，因为没有有理数平方等于2，所以不漏，下面证A 无最大数．设，，要证存在有理数，使0≥a 22<a 0>r 2)(2<+r a ．即要证 ，或 ．2222<++r ar a 2222a r ar −<+当1≤r 时，只要，也就只要222a r ar −<+1222+−<a a r ．所以取有理数r 满足}122,1min{02+−<<a a r 时，即有，故2)(2<+r a A 中存在有理数a r a >+． 当时，属于0<a A 的有理数即大于，这就证明了0a A 无最大数．因此是有理数的一个分划． B A |这个分划中，上类B 无最小数．事实上，设B b ∈，即且，要证存在有理0>b 22>b数，使，且，即0>r 0>−r b 2)(2>−r b ， 或 ． 2222>+−r br b 2222−<−b r br 要使上式成立，只要， 222−<b br b b r 222−<．由于0222>−b b ，根据有理数的稠密性，知存在有理数r 使得b b r 2202−<<，又由b bb <−222，推知b r <，对这样的r ，满足，，这就证明了，在0>−r b 2)(2>−r b B 中找到了比b 更小的有理数，所以r b −B 无最小数．可见，有理数的分划可以分为两类，第一类型是上类B 有最小数，我们称这类分划为有理分划；第二类型是上类B 无最小数，我们称这类分划为无理分划．显然，任一有理分划与其上类的最小有理数对应，反之任一有理数b ，总可确定一有理分划：},|{Q ∈<=x b x x A ；},|{Q ∈≥=x b x x B ．这样，有理数可以与有理分划建立一一对应，我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”．于是有如下定义．定义2 有理数的任一无理分划称为无理数．为了一致起见，称有理数的任一有理分划为有理数．有理数和无理数统称为实数．§1.3 实数的性质为了研究实数的性质，我们回顾有理数的一些熟知性质，如有理数是全序域，所谓全序域，简单地说就是可以比较大小，而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算．有理数集是稠密的，即对任意有理数、b a )(b a <，总存在有理数c ，使得．由稠密性虽得不出有理数连续地分布在数轴上，但却是密密麻麻地分布在数轴上．另外，有理数满足阿基米德原理，即对任意有理数b ，必存在自然数，使得．b c a <<0>>a n b na >1 实数的运算我们用 ,,,z y x 表示实数，即表示有理数的分划，用表示有理数．用记号R 表示实数的集合，记号Q 表示有理数的集合．为了书写方便，用表示实数 ,,,c b a x A x 的下类，表示实数x B x 的上类，表示去掉最小数的集合．0x B x B 定义1 设有实数x 、，y（1）若集合，则称y x A A =y x =；（2）若集合，，则称y x A A ≠y x A A ⊂x 小于y ，或y 大于x ，记作y x <或x y >． 当x 、为有理分划时，这定义与把y x 、看成有理数的相等和大小关系是一致的．y 与有理数0对应的有理分划仍记为，若，称00>x x 为正实数；若，称0<x x 为负实数．设实数y x <，由定义存在有理数，使1q y A q ∈1，x A q ∉1．再由无最大数，所以存在有理数，，使y A 2q 3q 321q q q <<， y i A q ∈， x i A q ∉ )3,2(=i ．有理数产生的有理分划记作，容易看出2q z y z x <<，即实数集是稠密的．为了定义加法，我们需要下面引理．引理1 设x 、y 为实数，令},|{2121y x A a A a a a A ∈∈+=，A B −=Q ．则是有理数的分划．)|(B A 证明：A 、B 满足分划不漏的条件是显然的，集合A 无最大元素也是明显的．只要证满足分划的不空和不乱条件即可．先证A 、B 不空． A 不空是显然的，证B 不空． 因集合，不空，，，只要证．x B y B x B b ∈∃1y B b ∈2B b b ∈+21假设不然，即，由A b b ∈+21A 的定义，x A a ∈∃1，y A a ∈2，使，而由分划2121a a b b +=+x 、不乱条件得，y 11b a <22b a <，即得2121b b a a +<+．故矛盾，所以．B b b ∈+21再证不乱．设，，要证A a ∈B b ∈b a <．假设不然，，由b a ≥A 的定义，x A a ∈∃1，y A a ∈2，使得b a a a ≥+=21，因此，由分划12a b a −≥y 的不乱，得y A a b ∈−1，于是A a b a b ∈−+=)(11，故矛盾．所以．b a <因此是有理数的分划．)|(B A 定义2 在引理1条件下，称实数为实数)|(B A x 与y 的和，记作y x +．当x 、为有理分划时，和也为有理分划，且和的定义与把y x 、看成有理数时和的定义是一致的．y 由上看出，这种证明没有什么困难，所以，下面我们只叙述定义，而略去证明．要定义减法只要定义负数即成．负数的定义 给定实数x ，令，}|{0x B a a A ∈−==B A −Q ，则是有理数的分划，我们称为实数)|(B A )|(B A x 的负数，记作x −．由负数定义，容易证明下面性质：（1）若，则有；0<x 0>−x （2）若y x =，则y x −=−；（3）；x x =−−)(（4）)()()(y x y x −+−=+−．为了定义乘法，我们先要定义绝对值． 设0≠x ，称x 与x −中的正实数为x 的绝对值，记作，规定||x 0|0|=，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=.0,0,00,||x x x x x x 当当当；；乘法的定义 设有实数，，令0>x 0>y },0|{}00|{2121Q ∈≤∈<∈<⋅=a a a A a A a a a A y x ∪，；=B A −Q ．则是有理数的分划，我们称实数是实数)|(B A )|(B A x 与y 的积，记作y x ⋅．对于一般的情形，我们定义：⎪⎩⎪⎨⎧==⋅−⋅=⋅).00(0)(|),||(|)(|,|||y x y x y x y x y x y x 或异号同号，；、；、显然，有 ．||||||y x y x ⋅=⋅要定义除法，只要定义倒数．倒数的定义 设，令0>x },0|{}1|{0Q ∈≤∈=a a a B a a A x ∪， =B A −Q ．则是有理数的分划，我们称实数是实数的倒数，记作或)|(B A )|(B A 1−x x 1． 当时，定义，或 0<x 11||−−−=x x ||11x x −=．总之我们用有理数的加法和负数，来定义分划的加法和负数；对正实数情形，用有理数的乘法和倒数，来定义分划的乘法和倒数，对一般的实数乘法和倒数，又化到正实数情形． 2 实数集是域要证集合R 是域，即要对上面定义的加法和乘法运算，满足下列性质：（1）交换律：∈∀y x ,R ， x y y x +=+， x y y x ⋅=⋅；（2）结合律：∈∀z y x ,,R ，)()(z y x z y x ++=++，)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅；（3）R ， ， ∈∀x x x =+0x x =⋅1；（4）R ， ， ；∈∀x 0)(=−+x x )0(11≠=⋅−x x x （5）分配律： z x y x z y x ⋅+⋅=+⋅)(．其中，记号1表示由有理数1所确定的有理分划．前三条性质证明比较简单；第四条性质的证明，用到有理数的阿基米德原理；第五条性质证明较烦琐．我们不打算讨论这些性质的证明，只以第四条加法为例，给出证明的示范．证明0)(=−+x x 的困难，在于每一个负有理数，能否看成集合中的元素，与集合中的元素相加而得，或能否看成集合中的元素，减去集合中的元素而得，为此我们需要下面引理．x A x A −x A 0x B 引理2 给定实数x ，有理数∀0>ε，则x A a ∈∃，，使0xB b ∈ε=−a b ． 证明：由分划的不空性，x A a ∈∃0，x B b ∈0，根据阿基米德原理，∃自然数，使得n 00a b n −>ε，考察数：，0a ε+0a ，ε20+a ，， εn a +0)(0b >．在这有限个数中，总存在一个位于x 下类中最大的数，记作x A k a a ∈+=ε0 )(n k < ．若ε)1(0++=k a b 不是上类的最小数，、b 即为所求．若是上类的最小数，取a b ε)21(0++=k a a ， ε)23(0++=k a b 即成．证，即要证0)(=−+x x 0)(A A x x =−+．设，即，)(x x A a −+∈21a a a +=x A a ∈1，x A a −∈2．由负数定义知，x x B B a ⊂∈−02所以，得，即12a a >−021<=+a a a 0A a ∈，因此．0)(A A x x ⊂−+反之，若，有，根据引理2，存在0A a ∈0>−a x A a ∈1，，且，由负数定义，01x B b ∈a a b −=−11x A b −∈−1，再由加法定义，知)(1111)(x x A b a b a a −+∈−+=−=，因此 ．)(0x x A A −+⊂合起来得，即)(0x x A A −+=)(0x x −+=．3 实数集是全序域实数集是全序域，是指实数集R ，对前面所定义的“小于”关系，满足下面四条性质：1） ，R ，下列三式有且仅有一个成立：x ∀∈y y x =，y x <，x y <；2） 若y x <，，则z y <z x <（传递性）；3） 若y x <，R ，则∈z z y z x +<+；4） 若y x <，，则0>z z y z x ⋅<⋅．证明 1） 若下类，由定义知y x A A =y x =，其它两式不成立； 若，则或，或不是这样．若是前者，则y x A A ≠y x A A ⊂y x <，其它两式不成立；若是后者，必有，而，由此得．这时必有．因x A a ∈'y A a ∉′y B a ∈′x y A A ⊂y A a ∈∀有a a ′<，推出，所以，即x A a ∈x y A A ⊂x y <．2） 由条件得，；，y x A A ⊂y x A A ≠z y A A ⊂z y A A ≠，因此，，即z x A A ⊂z x A A ≠z x <．3） 由y x <，推出，使，而c ∃y A c ∈x A c ∉，因而x B c ∈．由无最大数，推出y A c ′∃，使．令 y A c c ∈′<0>=−′εc c ．由引理2，z a A ∃∈，z b B ∈，且c c a b −′==−ε．于是，z y A a c +∈+′z x B c a c b +∈′+=+，所以z y z x +<+．4）因，根据分划的乘法定义，知0)(>−+x y 0)]([>−+⋅x y z ，由分配律，利用0)(>−⋅+⋅x z y z 0)(=−+x x ，可得)()(x z x z ⋅−=−⋅，所以0)]([>⋅−+⋅x z y z ，即得 z y z x ⋅<⋅．4 实数集的连通性将有理数用直线上的点表示时，发现直线上还留有许许多多“孔隙”．我们用无理数来填充这些“孔隙”，现在问题是这些“孔隙”是否被填满了，如果被填满了，对实数作分划时，就不可能产生新的“数”，否则类似于有理数分划产生无理数一样，对实数分划还可得出新的“数”．事实上，戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言，给出有理数是不连通的、实数是连通的定义，经反复研究，发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言，对有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类也可以无最小数，所以按定义有理数是不连通的；而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时，若下类无最大数，则上类必有最小数，所以按定义实数是连通的．下面我们严格的说明这一点．定义3 把实数集R 分成两个子集X 、Y ，使满足：1） X 、Y 至少包含一个实数（不空）； 2） 每一实数或属于X ，或属于Y （不漏）；3） 任一属于X 的实数，小于任一属于Y 的实数（不乱）；4） X 中无最大数（用到实数稠密性）．则称X 、Y 为实数的一个分划，记作，)|(Y X X 称分划的下类，Y 称分划的上类．戴德金定理（连通性） 设为一实数分化，则Y 必有最小数．)|(Y X 证明 首先我们定义一实数．令},|{X x A a a A x ∈∈=； =B Q A −．则是一有理数的分划，为此要证它满足分划的四个条件．)|(B A ⅰ）A 的不空是显然的．证B 不空．由不空，Y Y y ∈∃，又y B b ∈∃，有理数b 一定属于B ．若不然，有，由A b ∈A 的定义，X x ∈∃，x A b ∈，由关于实数的“小于关系”的定义，知x y <，这与分划不乱矛盾，所以)|(Y X B b ∈．ⅱ） A 、B 满足不漏条件是显然的；ⅲ） 证满足不乱条件．设，A a ∈B b ∈，要证b a <．假设不然，，由a b ≤A 定义，X x ∈∃，x A a ∈，更有x A b ∈，因此，这与矛盾，所以．A b ∈B b ∈b a <ⅳ） A 无最大数也是明显的．既然是一有理数的分划，所以它为一实数，记作)|(B A )|(B A z =．其次证．假若不然，由X z ∉X 无最大数，X x ∈∃，x z <，根据小于定义，有理数，使，∃c x A c ∈B B c z =∈．由A 的定义，A c ∈，可是B c ∈，故矛盾，所以．X z ∉最后证且是Y 的最小数．因不漏，所以Y z ∈)|(Y X Y z ∈．假设不是Y 的最小数，zY y ∈∃，z y <，∃有理数，使c A A c z =∈，y B c ∈．由，A c ∈X x ∈∃，，再由x A c ∈y B c ∈及小于定义，知x y <，这与不乱矛盾，所以是Y 的最小数． 证毕．)|(Y X z 至此，我们证明了实数集是全序域，且是连通集．我们称连通的全序域为实数空间，仍用记号R 表示．这里我们用R 不能分解成两个不空、不漏、不交的开区间来定义R 的连通性，这定义只对R 适用．对一般空间，需要有开集的概念， 我们用空间不能分解成两个不空、不漏、不交的开集来定义连通性．在这个定义下，实数集R 也是连通的．5 实数的表示给定实数，若由实数我们能确定一个记号，又由记号返回去去确定实数，那么这个记号就可以作为实数的一种表示．)|(B A x =由阿基米德原理，∃整数M 、N 分别属于A 、B ，A M ∈，B N ∈．由M 逐次加1，必能求得两个相邻整数，，0c 10+c A c ∈0，c B ∈+10．可以是正数、负数或零．用，，，，分，间隔为十等分，必有一个是属于下类的最大数，设0c 10⋅c 20⋅c 90⋅c 0c 10+c A c c ∈⋅10， B c c ∈+⋅10110． 其中为中某一数字．1c 9,1,,0 继续分下去，在确定了数码之后，可确定，使121n-c ,,c ,c n c A c c .c c n ∈ 210， B c c c c n n ∈+101.210 ， 其中为中某一数字i c 9,1,,0 )21(n ,,,i =，由此可得一记号n c c c c 210.，称为无限小数，它是实数的一种表示． 当k k c c c 101.10+ 是上类的最小数时，容易看出)(9k n c n >=；又中一定有无限个数字不为零，否则下类中就有最大数．n c 反之，任给一有无限个不为零的无限小数，总可找到一个实数n c n c c c c 210.x ，刚好被它所表示．为此考察有理数n n c c c c a 210.=， n n n c c c b 101.10+= ，显然 ，n n b a <），， 21(=n ． 现在定义有理数的一个分划：把一切大于的有理数归为上类n a B ，把一切余下的有理数归为下类A ，则是一个有理分划．显然)|(B A A a n ∈，∀自然数，当时，有， 当时，有m m n ≥m n n b b a ≤<m n <m m n b a a <≤．由的任意性，所以m B b n ∈），， 21(=n ．这说明A 、B 不空．满足不漏条件是显然的．再证满足不乱条件：设，A a ∈B b ∈，由A 、B 定义，n ∃，使．否则大于一切，应属于n a a ≤a n a a B ，矛盾．再由b 大于一切，即得n a b a a n <≤．由无穷多个不为零，所以n c A 无最大数．这样我们得到实数)|(B A x =．因，，所以是A a n ∈B b n ∈ n c c c c 210.x 的无穷小数表示．还可证明，当实数y x ≠时，这种表示式也不相同．假设x 、y 有相同的无限小数表示：且设 n c c c c 210.y x <，则∃有理数，使c y A c ∈，x B c ∈．由集合无最大数，，y A c ′∃y A c c ∈′<，x B c ∈′，记号，意义同上，因，由得，又因及n a n b x n A a ∈x B c ∈c a n <y n B b ∈y A c ∈′得c b n ′>，这样 n n n a b c c 1010=−<−′<． 由阿基米德原理，∃自然数，使 n 1)(>−′c c n ，更有，矛盾．这矛盾是由于假设1)(10>−′c c n x 、有相同的无限小数表示引起的，所以y y x ≠时，有不同的表示式．上面我们建立了实数与无限小数之间的一一对应关系，现在我们称无限小数为实数，这样，我们又回到了对以前实数的认识．习题1．求证：∀自然数，n )2(+n n 是无理数．2．求证：为无理数．10cos 3．设)(21+∞→→+++n a na a a n ， 求证：0lim=+∞→n a n n ．4．设（为有限或无限）．求证： a x n n =+∞→lim a a n x x x n n =++++∞→ 21lim． 5．设．求证： a a a n n n =−++∞→)(lim 1a n a n n =+∞→lim． 6．设序列且)(+∞→→n a x n ),2,1(0 =>n x n ．求证：调和平均序列)(11121+∞→→+++=n a x x x ny n n ．7．设且．求证： 0>n a a a n n =+∞→lim a a a a n n n =+∞→ 21lim ．8．设数列{}满足如下条件：{}n n y x ,（1）{严格递增；}n y （2）+∞=+∞→n n y lim ； （3）a y y x x nn n n n =−−+++∞→11lim ． 求证：a y x nn n =+∞→lim ． 9．求证1ln 1211lim =++++∞→n n n 10．求证13221lim 23=++++∞→n n n 11．设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为)(x f ],[b a M 和．求证：必存在区间)(M m m <],[βα，满足条件：（1）m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα；（2）M x f m <<)(，当),(βα∈x ．。
