初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第21章不定方程试题新人教版

2021年人教版中考复习——21章一元二次方程培优复习一、选择题1.一元二次方程x 2+x-1＝0的根是（ ）A. x ＝1-√5B. x ＝−1+√52C. x ＝-1+√5D. x ＝−1±√522. 若α、β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两根，则βα＋αβ的值是( ) A ．427 B ．－427C ．－5827D ．58273．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x ，则可得方程（ ）A ．2560(1)1850x +=B ．2560560(1)1850x ++=C ．()25601560(1)1850x x +++=D ．()25605601560(1)1850x x ++++=4. 一元二次方程x 2＝2x 的根为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝2C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝－25．若关于x 的一元二次方程(k+2)x 2﹣3x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜14且k≠﹣2 B ．k≤14 C ．k≤14且k≠﹣2 D ．k≥146.如果关于x 的一元二次方程(m-3)x 2+3x+m 2-9＝0有一个解是0，那么m 的值是（ ）A. 3B. -3C. ±3D. 0或-37.用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是()A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝18．关于x的方程2210---=的根的情况（）x mx mA．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定．9.已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)-3＝0，那么x2+y2的值是（）A. -3B. 1C. -3或1D. -1或310.我市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是() A．8% B．9%C．10% D．11%11.已知一元二次方程x2-4x-5＝0的两根x1、x2，则x12-4x1+x1x2＝（）A. 0B. 1C. 2D. -112.一个长80cm，宽70cm的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm时，可根据下列方程（）A. (80-x)(70-x)＝3000B. (80-2x)(70-2x)＝3000C. 80×70-4x2＝3000D. 80×70-4x2-(80+70)x＝3000二、填空题13．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．14.若(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2＝_____．15．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是m（可利用的围墙长度超过6m）．16. 关于x 的一元二次方程2x 2－4x ＋m －32＝0有实数根，则实数m 的取值范围是__________．17.已知m 、n 是方程x 2+2x ﹣2019=0的两个根，则代数式m 2+3m+n 的值为______．19．已知2＋3是关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0的一个根，则m ＝_____．20.若方程x 2-4|x|+5＝m 有4个互不相等的实数根，则m 应满足______．三、解答题21．用你喜欢的方法解方程．（1）x 2﹣6＝0；（2）3x 2+8x ﹣3＝0；（3）x （x ﹣4）+x ﹣4＝0；（4）2x 2﹣3x ＝x 2﹣6x ﹣5．22．求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有实数根．23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售价格为x 元/件(x ＞40)，请你分别用含x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得的利润w 元，并把化简后的结果填写在表格中：求该玩具的销售价格应定为多少元/件．24、阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想−−转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=_____，x3=_____；（2）拓展：用“转化”思想求方程√2x+3=x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C. 求AP的长．25.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两实数根x1、x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a 的取值范围．26.某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？答案1. D2. C3． D4. C5． C6. B7. A8． C9. B10. C11. A12. B13． 1014. 615． 1或216. m ≤7217. 201719． 120. 1＜m ＜521．解：（1）∵x 2﹣6＝0，∴x ＝±． 即x 1＝，x 2＝﹣；（2）∵3x 2+8x ﹣3＝0，∴（3x ﹣1）（x +3）＝0，∴3x ﹣1＝0，x +3＝0，即x 1＝，x 2＝﹣3；（3）∵x （x ﹣4）+x ﹣4＝0；∴（x ﹣4）（x +1）＝0，∴x ﹣4＝0，x +1＝0，即x 1＝4，x 2＝﹣1；（4）2x 2﹣3x ＝x 2﹣6x ﹣5．∴x2+3x+5＝0，△＝b2﹣4ac＝9﹣20＜0，∴原方程没有实数根．22．略.23．（1）1000－10x，－10x2＋1300x－30000；（2）该玩具的销售价格应定为50元/件或80元/件．24、解：（1）x3+x2−2x=0，x(x2+x−2)=0，x(x+2)(x−1)=0所以x=0或x+2=0或x−1=0∴x1=0，x2=−2，x3=1；故答案为：−2，1；（2）√2x+3=x，方程的两边平方，得2x+3=x2即x2−2x−3=0(x−3)(x+1)=0∴x−3=0或x+1=0∴x1=3，x2=−1，当x=−1时，√2x+3=√1=1≠−1，所以−1不是原方程的解．所以方程√2x+3=x的解是x=3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m设AP=xm，则PD=(8−x)m因为BP+CP=10，BP=√AP2+AB2，CP=√CD2+PD2∴√9+x2+√(8−x)2+9=10∴√(8−x)2+9=10−√9+x2两边平方，得(8−x)2+9=100−20√9+x2+9+x2整理，得2+9=4x+9两边平方并整理，得x2−8x+16=0即(x−4)2=0所以x=4．经检验，x=4是方程的解．答：AP的长为4m．25. 解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝b2－4ac≥0，∴(－2)2－4×1×a≥0，∴a≤1．由根与系数的关系，得x1x2＝a，x1＋x2＝2．∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，∴a＞－2，∴－2＜a≤1．26.解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x．根据题意，得2.5(1＋x)2＝3.6，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，则该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%．(2)设再增加y个销售点．根据题意，得3.6＋0.32y≥3.6×(1＋20%)，解得y≥94，则至少再增加3个销售点．。

第21 章《一元二次方程》检测题一．选择题1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．x2﹣1＝0 B．x2+2y+1＝0C．x2﹣2＝（x+3）2D．x22．下列方程中没有实数根的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+3x+2＝0C．2015x2+11x﹣20＝0 D．x2+x+2＝03．方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和1 4．方程x2＝9的解是（）A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝9，x2＝﹣95．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣2 D．06．用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？设矩形的一边为x米，根据题意，可列方程为（）A．x（40﹣x）＝75 B．x（20﹣x）＝75 C．x（x+40）＝75 D．x（x+20）＝75 7．如果﹣2是方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为（）A．2 B．﹣4 C．3 D．48．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为（）A．3或﹣3 B．4或﹣2 C．1或3 D．279．奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（）A．4元B．6元C．4元或6元D．5元10．如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x米，则下列所列方程正确的是（）A．（18﹣2x）（6﹣2x）＝60 B．（18﹣3x）（6﹣x）＝60C．（18﹣2x）（6﹣x）＝60 D．（18﹣3x）（6﹣2x）＝60二．填空题11．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是．12．如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝63，那么a2+b2的值为．13．三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个解，则这个三角形的面积是．14．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为．15．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价元．16．有一块长方形的土地，宽为120m，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形，现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开辟成面积为3200m2的公园．若设这块长方形的土地长为xm．那么根据题意列出的方程是．（将答案写成ax2+bx+c＝0（a ≠0）的形式）17．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a*b＝，例如4﹡2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1*x2＝．三．解答题18．解方程①（x﹣2）2﹣25＝0②2x2﹣4x﹣1＝0（配方法）③3（x﹣2）2＝x（x﹣2）④（3x+1）（x﹣2）＝10．19．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．20．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．21．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？22．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫件，每件的利润是元．（用x 的代数式表示）（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．23．无锡市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p （桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？参考答案一．选择题1．解：A、是一元二次方程，故A正确；B、是二元二次方程，故B错误；C、是一元一次方程，故C错误；D、是分式方程，故D错误；故选：A．2．解：A、x2﹣x﹣1＝0，△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝9＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；B、x2+3x+2＝0，△＝32﹣4×2＝1＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；C、2015x2+11x﹣20＝0，△＝112﹣4×2015×（﹣20）＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；D、x2+x+2＝0，△＝12﹣4×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；故选：D．3．解：∵3x2﹣4x﹣1＝0，∴方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4；故选：B．4．解：x2＝9，两边开平方，得x1＝3，x2＝﹣3．故选：C．5．解：∵一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，∴m2+3m+2＝0，解得，x＝﹣1或﹣2，∵（m+1）x2+5x+m2+3m+2＝0是一元二次方程，∴m+1≠0，即m≠﹣1，∴m＝﹣2，故选：B．6．解：设长为xcm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为＝（20﹣x）（cm），得x（20﹣x）＝75．故选：B．7．解：∵x＝﹣2是方程的根，∴x＝﹣2代入方程有：4﹣m＝0，解得：m＝4．故选：D．8．解：根据题意得：简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）＝﹣27，化简得：（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，解得x＝4或x＝﹣2．故选：B．9．解：设每千克橙降应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240．化简，得x2﹣10x+24＝0解得：x1＝4，x2＝6，∵为减少库存，∴每千克脐橙应降价6元．故选：B．10．解：设人行通道的宽度为x米，根据题意可得：（18﹣3x ）（6﹣2x ）＝60， 故选：D ．二．填空题（共7小题）11．解：当m ﹣2＝0，解m ＝2，原方程变形为﹣2x +1＝0，解得x ＝；当m ﹣2≠0，即m ≠2，则△＝4﹣4（m ﹣2）＝﹣4m +12≥0， 解得：m ≤3，即当m ≤3，且m ≠2时，原方程有两个不相等实数根， 所以m 的取值范围为：m ≤3． 故答案为：m ≤3． 12．解：设a 2+b 2＝x ， 则（x +1）（x ﹣1）＝63 整理得：x 2＝64，x ＝±8，即a 2+b 2＝8或a 2+b 2＝﹣8（不合题意，舍去）． 故答案为：8．13．解：解方程x 2﹣6x +8＝0得：x 1＝4，x 2＝2，①当三角形的三边为3，4，5时，符合三角形三边关系定理， ∵32+42＝52，∴此时三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积为＝6；②当三角形的三边为3，2，5时，不符合三角形三边关系定理，此时三角形不存在； 故答案为：6．14．解：设这两年的销售额的年平均增长率为x ， 由题意得，20×（1+x ）2＝80． 故答案为：20×（1+x ）2＝80．15．解：设每千克应涨价x 元，由题意列方程得： （5+x ）（200﹣10x ）＝1500， 解得：x ＝5或x ＝10，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；故答案为：5．16．解：根据题意，得（x﹣120）[120﹣（x﹣120）]＝3200，即x2﹣360x+32000＝0．故答案为x2﹣360x+32000＝0．17．解：解方程x2﹣2x﹣3＝0得：x＝3或﹣1，当x1＝3，x2＝﹣1时，x1*x2＝32﹣3×（﹣1）＝12；当x1＝﹣1，x2＝3时，x1*x2＝（﹣1）×3﹣（﹣1）2＝﹣4；故答案为：12或﹣4．三．解答题（共6小题）18．解：①（x﹣2）2﹣25＝0，（x﹣2+5）（x﹣2﹣5）＝0，x﹣2+5＝0，x﹣2﹣5＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝7；②2x2﹣4x﹣1＝0，2x2﹣4x＝1，x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝，x2＝；③3（x﹣2）2＝x（x﹣2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，x﹣2＝0，3（x﹣2）﹣x＝0，解得：x1＝2，x2＝3；④（3x +1）（x ﹣2）＝10， 3x 2﹣5x ﹣12＝0∵b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣12）＝169， ∴x ＝，∴x 1＝3，x 2＝﹣． 19．解：设花边的宽为x 米，根据题意得（2x +8）（2x +6）＝80， 解得x 1＝1，x 2＝﹣8，x 2＝﹣8不合题意，舍去．答：花边的宽为1米．20．解：（1）∵关于x 的一元二次方程 x 2+3x ﹣m ＝0有实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝32+4m ≥0， 解得：m ≥﹣；（2）∵x 1+x 2＝﹣3、x 1x 2＝﹣m ， ∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝11， ∴（﹣3）2+2m ＝11， 解得：m ＝1．21．解：（1）过点P 作PE ⊥CD 于E ．则根据题意，得EQ ＝16﹣2×3﹣2×2＝6（cm ），PE ＝AD ＝6cm ；在Rt △PEQ 中，根据勾股定理，得PE 2+EQ 2＝PQ 2，即36+36＝PQ 2，∴PQ ＝6cm ；∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是6cm ；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ． （16﹣2x ﹣3x ）2+62＝102，即（16﹣5x ）2＝64， ∴16﹣5x ＝±8，∴x 1＝，x 2＝；∴经过s 或sP 、Q 两点之间的距离是10cm ；（3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2． ①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ，∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12， 解得y ＝4； ②当＜y ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则 BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜y ≤8时，QP ＝CQ ﹣PC ＝2y ﹣（3y ﹣22）＝22﹣y ，则 QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．22．解：（1）设降价x 元，则现在每天可销售衬衫（30+2x ）件，每件的利润是（40﹣x ）元；（2）由题意，得（40﹣x ）（30+2x ）＝1400， 即：（x ﹣5）（x ﹣20）＝0，解得x 1＝5，x 2＝20，为了扩大销售量，减少库存，所以x 的值应为20，所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元；（3）假设能达到，由题意，得（40﹣x ）（30+2x ）＝1600，整理，得x 2﹣25x +200＝0，△＝252﹣4×1×200＝625﹣800＝﹣175＜0，即：该方程无解，所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现．故答案为：（30+2x ），（40﹣x ）．23．解：（1）设日均销售量p （桶）与销售单价x （元）的函数关系为p ＝kx +b ，根据题意得解得k ＝﹣50，b ＝850，所以日均销售量p （桶）与销售单价x （元）的函数关系为p ＝﹣50x +850；（2）根据题意得一元二次方程 （x ﹣5）（﹣50x +850）﹣250＝1350， 解得x 1＝9，x 2＝13（不合题意，舍去），∵销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，∴x ＝13不合题意，答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元．。

人教版 初中数学 第21章 一元二次方程全章综合测试卷7姓名___________班级__________学号__________分数___________一、选择题1．一元二次方程x 2－9＝0的根为( )A ．x ＝3；B ．x ＝－3；C ．x 1＝3，x 2＝－3；D ．x 1＝0，x 2＝3；2．方程3x 2－4x －1＝0的二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3和－4；B ．3和4；C ．3和－1；D ．3和1；3．已知关于x 的一元二次方程220x x m --=两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．0m <；B ．2m <-；C ．0m ≥；D ．1m >-；4．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( )A ．－10；B ．10；C ．－6；D ．－1；5．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x = C ．23000(1)5000x +=％ D ．23000(1)3000(1)5000x x +++= 6．用一条长40cm 的绳子围成一个面积为64cm 2的长方形．设长方形的长为x cm ，则可列方程为( )A ．x (20＋x )＝64；B ．x (20－x )＝64；C ．x (40＋x )＝64；D ．x (40－x )＝64；7．已知一元二次方程x 2－6x ＋C ＝0有一个根为2，则另一根为( )A ．2；B ．3；C ．4；D ．8；8．用配方法解一元二次方程2870x x ++=则方程可变形为( )A ．2(4)9x -=；B ．2(4)9x +=；C ．2(8)16x -=；D ．2(8)57x +=； 9．若有两个相等的实根，且是△ABC 三边长，那么△ABC 形状是（ ） A ．锐角三角形；B ．钝角三角形；C ．直角三角形；D ．任意三角形；10．下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )A ．x 2＋3＝0；B ．x 2＋2x ＝0；C ．(x ＋1)2＝0；D ．(x ＋3)(x －1)＝0；11．解方程组42x y xy +=⎧⎨=⎩时，若将x ，y 看成是一元二次方程两根，则这个方程是（ ） A ．2420a a ++=；B ．2420a a +-=；C ．2420a a -+=；D ．2420a a --=；※12．下列一元二次方程两实数根和为－4的是（ ）A ．x 2＋2x －4＝0；B ．x 2－4x ＋4＝0；C ．x 2＋4x ＋10＝0；D ．x 2＋4x －5＝0；13．一元二次方程x (x －6)＝0的两个实数根中较大的根是____________．14．关于x 的方程mx 2－4x ＝2x 2＋2是一元二次方程的条件是___________．15．在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行两次比赛，共要比赛60场，若参赛队有x 支队，则可得方程________________________．16．若关于x 的一元二次方程kx 2＋2(k ＋1)x ＋k －1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是____________．17．两个连续自然数的积为30，则这两个数是_______________________．18．若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是____________．19．已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2＋β2＋2α＋2β的值为_________．※20．如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA ′等于____________．三、计算题21．解方程：x 2＋x ＝0；22．解方程x 2－2x ＋7x 2－2x＝8．四、解答题23．如果关于z 的一元二次方程06)4(22=+--x mx x 没有实数根，求m 的最小整数值．24．关于Z 的一元二次方程的两个根是方程组的解，不求x ，y 的值，求这个关于Z 的一元25．常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？※26．某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? (注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．)设每件商品降价x 元．每天的销售额为y 元．(Ⅰ)分析：根据问题中的数量关系．用含x 的式子填表：(Ⅱ) (由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解)人教版初中数学第21章一元二次方程全章综合测试卷7答案一、选择题1．C．；2．A．；3．D．；4．A．；解：∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，∴－2＋4＝－b，－2×4＝c，解得b＝－2，c＝－8∴b＋c＝－10．5．A．；6．B．；解：设长为x cm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为＝(20－x)(cm)，得x(20－x)＝64．7．C．；解：设方程的另一根为α，则α＋2＝6，解得α＝4．8．B．；9．C．；10．C．；解：A．△＝0－4×3＝－12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；B．△＝4－4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C．x2＋2x＋1＝0，△＝4－4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；D．x1＝－3，x2＝1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．11．C．；12．D．；二、填空题13．解：∵x＝0或x－6＝0，∴x1＝0，x2＝6，∴原方程较大的根为6．14．m≠2；15．x(x－1)＝60；16．解；∵a＝k，b＝2(k＋1)，c＝k－1，∴△＝[2(k＋1)]2－4×k×(k－1)＝8k＋6≥0，解得：k≥13-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．故本题答案为：k≥13-，且k≠0．17．5、6；18．5；19．10；20．解：设AC 交A ′B ′于H ，∵∠A ＝45°，∠D ＝90°∴△A ′HA 是等腰直角三角形设AA ′＝x ，则阴影部分的底长为x ，高A ′D ＝12－x∴x •(12－x )＝32∴x ＝4或8，即AA ′＝4或8cm ．故答案为：4或8．三、计算题21．解：x (x ＋1)＝0，x 1＝0，x 2＝－1；22．解：设y ＝x 2－2x ，原方程可化为y ＋7y＝8．解之得y 1＝1，y 2＝7． 当y ＝1时，由x 2－2x ＝1，得x ＝1± 2 ；当y ＝7时，由x 2－2x ＝7，得x ＝1±2 2 ．经检验，x ＝1± 2 和x ＝1±2 2 都是原方程的根．∴原方程的解为x 1＝1＋ 2 ，x 2＝1－ 2 ，x 3＝1＋2 2 ，x 4＝1－2 2 ．四、解答题23．解：原方程整理，得,068)12(2=+--x x m .88486)12(4)8(422+-=⨯---=-m m ac b∴原方程无实数根∴48880m -+<且m m m ∴>∴=/-,611,012的最小整数值为2． 24．提示：关于Z 的一元二次方程若设为Z pZ q 20++=，关键求出p q ，的值，又因为x y ，是关于方程组的解，因此只要求出x y +与x y ·的值就行了。

第二十一章 一元二次方程检测题一.填空题(每题5分，共25分)1. 方程1)32)(13(=-+x x 化成一般式是__________,其中二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______。

2. 关于x 的方程02)1()1(22=-++-x k x k ，当k____时，它是一元二次方程；当k____时，它是一元一次方程。

3. 方程)3(5)3(2-=-x x x 的根是____________。

4. 如果方程0622=--+k kx x 的一个根是-3，那么另一个根是____，k=______。

5. 假设方程043222=-+-a x x 有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围为_______，那么a a a 81622-+--的值等于________。

二. 选择题〔每题6分，共30分〕6. 以下关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 〔 〕A . 023)3(2=---x x m B. 0652=++k x kC .0214222=--x x D. 02132=-+xx 7. 关于x 的方程0122=---m mx x 的根的情况 〔 〕 A . 没有实数根 B . 有两个相等的实数根C . 有两个不相等的实数根D . 不能确定。

8. 方程04322=-+x x 的两根倒数之和为 〔 〕A . 43B . 43-C . 23D . 以上答案都不对。

9. 在实数范围内分解因式364-x 的结果正确的选项是 〔 〕A . )6)(6(22-+x x B . )6)(6)(6(2-++x x xC .)6)(6()6(2-++x x x D . 以上答案都不对。

10.某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，假设二、三月份每月平均增长的百分率是x ，那么所列方程是 〔 〕A . 1500)1(12002=+x B . 1500)1(12002=+xC . 1500)21(1200=+xD . 1500)1(12002=+x x 三.用适当的方法解方程〔每题5分，共20分〕11.027)2(2=--x 12. 01452=--x x13. 12)3(22=+-y y 14. x x 32132=+四.用配方法解方程：〔此题5分〕 15. 05622=-+x x五.(此题6分)16. k 为什么数时，关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k 有两个实数根？六.〔此题7分〕17.：关于x 的方程02)12(22=-+++k x k x 的两个实数根的平方和等于11，求k 的值。

第22章[]x与{}x22.1.1★求1-的值．解析因为1200712006+,又1200720071=+=<,所以200612007<．故12006=．22.1.2★若n是正整数,求的值．解析因为3321n n n n<+++()3323311n n n n<+++=+,所以1n n<=+,所以n=．22.1.13★数1232008A=⨯⨯⨯⨯的末尾有多少个连续的零?解析A的质因数分解式中,5的最高次方幂为23420082008200820085555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦40080163499=+++=,所以1232008A=⨯⨯⨯⨯的末尾有499个零．评注在()!12n n=⨯⨯⨯中,质数p的最高次幂是()2!mn n np np p p⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,其中m p n≤,且1m p n+>．22.1.4★★设2221111232007S=++++,求[]S．解析要求[]S,只需证明S介于两个连续的整数之间．所以需要对S进行适当的变形,通过放大、缩小的手段求出S的范围,从而确定[]S的取值．由题设知,1S >．考虑到()2111111k k k k k<=---,k =2,3,4,…,2007,可以得到 11111111122320062007S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1222007=-<, 所以[]1S =．评注 上述解题过程中,首先对S 进行了“放缩”,又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分,使和式化简,从而得到了S 的范围．在对和式取整时,利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要,需要在平时的学习中多积累一 些和式的性质以及变形技巧．22.1.5★★ 计算和式23123223100101101101⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值．解析 因为（23,101）=1,所以,当1,2,,100n =时,23101n 都不是整数,即23101n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都不为零．又因为()2310123101101n n -+ ()()23101231012323101101101101n n n n --⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫=+++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭ =23,而()231012302101101n n -⎧⎫⎧⎫<+<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,且()2310123101101n n -⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭是整数,所以 ()23101231101101n n -⎧⎫⎧⎫+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, 则()231012323122101101n n -⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 从而,可以把231101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦,232101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,23100101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦首尾配对,共配成50对,每一对的和为22,所以 23123223100101101101⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2251100=⨯=． 22.1.6★★ 已知01a <<,且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,求[]10a 的值． 解析 因为122902303030a a a <+<+<<+<,所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,…,2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知,其中有18个等于1,所以12110303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,1213291303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以110130a <+<, 121230a +<≤． 故183019a <≤,于是196103a <≤,所以[]106a =． 22.1.7★★ 求满足{}[]25125x x +=的所有实数x 的和．解析 原方程可化为{}[]12525x x -=,所以[]1250125x -<≤,可得[]100125x <≤,于是[]x =101,102,…,125,从而,满足条件的实数x 为[]{}[][][]1252452525x x x x x x -=+=+=+ 24101525⋅=+,24102525⋅+,…,24125525⋅+, 它们的和为 ()24255101102125283725⨯++++=．22.1.8★★ 已知20032004T <<,如果要求[]{}x x ⨯是正整数,求满足条件所有实数x 的和． 解析 显然,[]2003x =,2003是质数,{}01x <<,设{}2003x p =,由题设,p 是整数,12003p <≤．20032003p x =+,p =1,2,3,…,2002． 和1232002200320022003S ++++=⨯+ 4011007=． 22.1.9★ 解方程[]722x x -=． 解析 原方程可改写为[]722x x =+, 将其代人[][]l x x x <+≤,可得[][][]72l 2x x x +<+≤． 解此不等式组,有 []7522x -<-≤, 即[]3.5 2.5x -<-≤,所以[]3x =-．将[]3x =-代入原方程,得52x =-． 所以,原方程的解是52x =-． 评注 若一次方程中同时出现x 和[]x 的一次项,可以通过以下的步骤进行求解：（1）从方程中解出[]x 或x ,分别代入不等式组[]1x x x -<≤或[][]1x x x <-≤,求解后得到[]x 或x 的范围,从而求得[]x 的“可能取值”（注意不一定是解!）．（2）将这些“可能值”代人原方程进行求解．（3）检验．因为在（1）中将[]x 或x 代人不等式组,实际上是“放大”了x 的范围,所以必须验根！22.1.10★ 解方程：[]13122x x +=-．解析 设[]31x n +=,则n 为整数,且()0311x n +-<≤, ① 由原方程知122x n -=,即1124x n =+． ②3301124n n ++-<≤, 即7322n -<-≤．所以,3n =-或2n =-．代入②,得134x =-,254x =-．22.1.11★★ 解方程：[]33x x -=．解析 由原方程可化为[]33x x =-,代入不等式组[]1x x x -<≤,有[]313x x x x -<-=≤．整理后得到()2213x x <-≤．当0x <时,因为()210x x ->,所以210x -<,即10x -<<,所以()211x x -<,与()221x x <-矛盾． 当0x >时,因为()212x x ->,所以210x ->,即1x >．又因为()213x x -≤,所以2x <．所以12x <<,故[]1x =．代入原方程,得x =．22.1.12★★ 解方程[]2440510x x -+=．解析 这是一个关于x 的二次方程,如果从方程中解出[]x 或x ,并代入不等式组将会使问题复杂化．可 以利用[]x 的性质,通过建立不等关系缩小[]x 的取值范围,从而得到[]x 的可能取值．由原方程知,0x >．因为[][]1x x x <+≤,所以将[]x x =和[]1x x =+分别代入[]244051x x -+中,得到不等式组 [][][]()[]22440510,4140510,x x x x ⎧-+⎪⎨+-+>⎪⎩≤ 即[][][]317,22115,22x x x ⎧⎪⎪⎨⎪><⎪⎩≤≤或 所以[]3522x <≤或[]111722x <≤,[]x =2,6,7,8． 代入原方程得,得x经检验知,x =22.1.13★★ 已知x 、y 、z 满足：[]{}[]{}{}[]0.9,0.2,1.3,x y z x y z x y z ⎧++=-⎪++=-⎨⎪++=⎩①②③对于数a ,[]a 表示不大于a 的最大整数,{}[]a a a =-．求x 、y 、z 的值．解析 首先注意到,对于任意有理数a ,[]a a ≤,所以{}0a ≥．①+②+③得2220.6z y z ++=,即0.3z y z ++=． ④④－①得到{}[] 1.2y z +=,从而{}0.2y =,[]1z =；④－②得到{}[]0.1x y +=,从而{}0.1x =,[]0y =；④－③得到{}[]1x z +=-,因此{}1x =-,[]0z =．故0.9x =-,0.2y =,1z =．22.1.14★★ 解方程[][]999x x x x +=+（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）．解析 若x 是整数,则[]x x =,于是非零整数都是原方程的解．若x 不是整数,则[]x x ≠,由题设得[]()[]()990x x x x --=,所以[]99x x =．设[]x n =,则x n a =+,01a <<．代入上式得()99n a n +=．当0n >时,()2991n n n <<+,这样的整数n 不存在．当0n <时,()2199n n n +<<,只有整数10n =-满足,此时0.1a =．于是9.9x =-．综上所述,原方程的解为所有非零整数和－9.9．22.1.15★★ 证明：对于任意实数x ,有[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦．解析 设{}[x x x =+,其中{}01x <≤,则有[]{}1122x x x +=++,[]{}222x x =+．当{}102x <≤时,{}11122x +<≤,{}102212x <⨯=≤,所以[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦,[][]22x x =,于是[][][]1222x x x x ⎡⎤++==⎢⎥⎣⎦． 当{}112x <≤时,{}13122x +<≤,{}12212x <⨯=≤,所以[]{}[]11122x x x x ⎡⎤⎡⎤+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,[][]{}[]22221x x x x =+=+⎡⎤⎣⎦,于是[][][]12122x x x x ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦．所以,对于任意实数x ,[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦恒成立．说明 本题中的等式有更为一般的形式：对任意实数x ,有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,其中n 为大于l 的一切正整数．这个等式称为埃尔米特（Hermite ）恒等式．22.1.16★★ 设x 、y 为正整数,(),1x y =,求证： ()()()11122y x x y x x y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．解析 设r 为整数,且11r y -≤≤,则有()y r x yxrx rx x y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1rx x y ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦, 两边同时叠加,得到()()121x y x y x y y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()1211x y x x y x y y y ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭． 所以()12y x x x y y y ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭()()112x y --=．评注 对任意实数x ,有[][][]1,,x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩，．当不是整数当是整数（请读者自证）22.1.17★★★ 如果n 是正整数,求证：解析 任意正整数n ,总存在正整数m ,满足()221m n m <+≤,不妨设2n m k =+,其中02k m ≤≤．（1）当01k m -≤≤时,即221m n m m +-≤≤．则m12m =+． ①又因为2211m n m m +++≤≤,所以12mm <+． ②由①、②式,得221m m <<+,所以2m =．另一方面,224242442m n m m +++-≤≤,2m =<21m +,即2m =． 故当01k m -≤≤时,等式成立．（2）当2m k m ≤≤时,2222m m n m k m m +=++≤≤,1m +,1m =+．22m +． ③又,+因为 ()22m m =+, 所以 ()()221m m m m +++++()()()222221441m m m m m m m m >++++++=++．即()2221m >+．21m >+． ④由③、④式,得21m =+． 另一方面,2244242482m m n m m +++++≤≤,21m +22m =+．所以21m =+．故当2m k m ≤≤时,等式亦成立．综上所述,原等式成立．22.1.18★★ 设a 、b 、c 是正实数,求a b b c c a u c a b +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的最小值． 解析 对于实数x ,有[]1x x >-,所以a b b c c a u c a b +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3a b b c c a c a b+++>++- 3a b b c c a b a c b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22233++-=≥．由于u 是整数,所以4u ≥．当6a =,8b =,9c =时,4u =．故u 的最小值为4．22.1.19★★ 在1,2,…,2005这2005个正整数中,有多少个可以表示成[]x x ⎡⎤⎣⎦的形式,其中x 是正实数．（这里[]a 表示不超过a 的最大整数．）解析 令{}[]x x x =-,则{}[0,1)x ∈,于是[][]{}()[][]{}[]2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦,因为{}[][]0x x x <≤,所以{}[][]01x x x ⎡⎤-⎣⎦≤≤,令[]x n =,则[]x x ⎡⎤⎣⎦可以表示数2n ,21n +,…,21n n +-．由于2444319792005+=<,24520252005=>,所以,欲求的数的个数为 444512449902⨯+++==． 22.1.20★★★ 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去,剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ：2,3,6,7,10,11,…．数列{}n a 的前n 项之和记为n S ,其中n =1,2,3,…．求2006S S ⎡=+++⎣的值．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 解析 易知2142n a n -=-,241n a n =-,1n =,2,…,因此()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++()5132183n =++++- ()258322n n n n +-==+, ()22122441n n n S S a n n n -=-=+--()221n n =-+, 所以()()222221n n S n <<+,()()2221212n n S n --<<, 故[]22n S n =,[]2121n S n -=-,从而[]n S n =,于是 [][][]122006S S S S =+++ 200620071220062⨯=+++= 2013021=．22.1.21★★★★ 在212006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,232006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,220062006⎡⎤⎢⎥⎣⎦中,有多少个不同的整数?（其中,[]x 表示不超过x 的最大整数）解析 设()22006n f n =,则当n =2,3,…,1003时, 有()()()221120062006n n f n f n ---=- 2112006n -=<, 而,()10f =,()210031003501.52006f ==,所以,从0到501的整数都能取到． 当n =1004,1005,…,2006时,有()()()221120062006n n f n f n ---=- 2112006n -=>, 而()()22100311004100420062006f +== 1501.515022006=++>, 所以,210042006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,210052006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,220062006⎡⎤⎢⎥⎣⎦是互不相同的整数． 从而,在212006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,232006⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,220062006⎡⎤⎢⎥⎣⎦中,共有50210031505+=个不同的整数．。

27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解.故a+b+c≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。

第21章 不定方程§21.1 二元一次不定方程★求不定方程2x y -=的正整数解．解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是2,,x n y n =+⎧⎨=⎩其中n 可以取一切正整数．★求11157x y +=的整数解．解析1 将方程变形得71511y x -=． 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215,111,x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 为整数． 解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得()()1141531⨯-+⨯=，所以()()114715377⨯-⨯+⨯⨯=，可取028x =-，021y =．从而 2815,2111,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 为整数． 评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax by c +=①有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为00,,x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩其中0t =，±1，±2，±3，…．★求方程62290x y +=的非负整数解．解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得31145x y +=． ①由观察知，14x =，11y =-是方程3111x y +=②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为()00454180,45145,x y =⨯=⎧⎪⎨=⨯-=-⎪⎩ 所以方程①的一切整数解为18011,453.x t y t =-⎧⎨=-+⎩因为要求的原方程的非负整数解，所以必有180110,4530.t t -⎧⎨-+⎩≥③≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能．当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是15,0,x y =⎧⎨=⎩4,3.x y =⎧⎨=⎩ ★求方程719213x y +=的所有正整数解．解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解．用方程719213x y +=①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y y x y --==-+．② 因为x 、y 是整数，故357y u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255u u y u --==-+．③令325u v -= (整数)，由此得 253u v +=．④由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于 是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为2519,27.x t y t =-⎧⎨=+⎩0,1,2,t =±±由于要求方程的正整数解，所以25190,270.t t ->⎧⎨+>⎩ 解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为25,2,x y =⎧⎨=⎩6,9.x y =⎧⎨=⎩★求方程3710725x y +=的整数解．解析 因为10723733=⨯+，371334=⨯+，33841=⨯+．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37=37×(-26)+107×9,由此可知126x =-，19y =是方程371071x y +=的一组整数解．于是()02526650x =⨯-=-,0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为650107,22537,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 是整数． ★求方程92451000x y z +-=的整数解．解析 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．原方程可化为38,351000.x y t t z +=⎧⎨-=⎩①②用前面的方法可以求得①的解为38,3,x t u y t u =-⎧⎨=-+⎩u 是整数． ②的解为20005,10003,t v z v =+⎧⎨=+⎩v 是整数． 消去t ，得6000815,200035,10003,x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩,u v 是整数．★求方程23723x y z ++=的整数解．解析 设23x y t +=，则23,723.x y t t z +=⎧⎨+=⎩①② 对于①，0x t =-，0y t =是一组特解，从而①的整数解为3,2,x t u y t u =--⎧⎨=+⎩u 是整数． 又02t =，03z =是方程②的一组特解，于是②的整数解为3,27,z v t v =-⎧⎨=+⎩v 是整数． 所以，原方程的整数解为273,272,3.x v u y v u z v =---⎧⎪=++⎨⎪=-⎩u 、v 是整数．★求方程组57952,35736x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的正整数解． 解析 消去z ，得 210z y +=． ①．易知04x =，02y =是它的一组特解，从而①的整数解为4,22,x t y t =-⎧⎨=+⎩t 是整数． 代入原方程组，得所有整数解为4,22,2.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩t 是整数．由0x >，0y >，0z >得12t -<<，所以t =0，1，故原方程组的正整数解为4,2,2;x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3,4,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩★求方程351306x y +=的正整数解的组数．解析 因为130651435233y y x y -+==-+，所以0x =437，01y =-是一组特解．于是方程的整数 解为4375,13.x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 是整数． 由43750,130.t t ->⎧⎨-+>⎩ 得143735t <<. 所以t =1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法? 解析 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y +=．①所以1427222855x x y x --==--． 由于7x ≤142，所以x ≤20，并且由上式知()5|21x -．因为(5，2)=1，所以5|1x -，从而 x =1，6，11，16．①的非负整数解为1,6,11,16,27;20;13; 6.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩所以，共有4种不同的支付方式．评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买x 、y 、z 只，由题意列方程组153100,3100.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩①② ①化简得159300x y z ++=.③③-②得148200,x y +=即74100.x y +=解741x y +=得1,2.x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为00100,200.x y =-⎧⎨=⎩所以74100x y +=的所有整 数解为1004,2007,x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 是整数． 由题意知，0x <，y ，100z <，所以，01004100,02007100.t t <-+<⎧⎨<-<⎩解得2550,241428.77t t <<⎧⎪⎨<<⎪⎩ 故425287t <<. 由于t 是整数，故t 只能取26，27，28，而且x 、y 、z 还应满足100x y z ++=．所以即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO 次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?解析 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，套中小狗z 次，则根据题意得95261,10.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 我们要求这个方程组的正整数解．消去z ：从①中减去②×2得7341x y +=，于是4173x y -=．③ 由③可以看出417x <．从而x 的值只能是1，2，3，4，5．将③写成 21323x y x -=-+， 由于y 是整数，所以2x -必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．但2x =时，9y =，1z =-不是正整数．在5x =时，2y =，3z =是本题的解．因此小鸡被套中5次．评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?解析 设甲、乙、丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有 100,589700.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩其中060x ≤≤，0≤y ≤60，0≤z ≤47．解方程组可得2004,3100.y x z x =-⎧⎨=-⎩由0200460,0310047.x x -⎧⎨-⎩≤≤≤≤ 得3549x ≤≤．又35x =，60y =，5z =和49x =，4y =，47z =均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最 多可用49克．§21.2 勾股数★★★满足方程222x y z +=的一切基本勾股数x 、y 、z （y 为偶数)，都可表示为以下形式：22x p q =-，2y pq =，22z p q =+，①其中p 、q 为正整数，(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶．解析 设正整数p 、q 满足(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶，则()()2222222x y p q pq +=-+ 42242224p p q q p q =-++()2222p q z =+=． 所以一切形如①的正整数x 、y 、z 都是方程222x y z +=的解．下面证明这样的x 、y 、z 是基本勾股 数．设(),,x y z d =，由于p 、q 一奇一偶，所以22p q -是奇数，由22|d x p q =-，于是d 是奇数．又由22|d p q +，得()()2222|d p q p q ++-，即2|2d p ，同理2|2d q ．因为d 是奇数，所以2|d p ，2|d q ，于是()22|,d p q ．由(),1p q =得()22,1p q =，所以1d =．这就证明了由①确定的x 、y 、z 是一组基本 勾股数．反过来，设x 、y 、z 是一组基本勾股数，且y 是偶数，x 和z 都是奇数，则2z x -和2z x +都是整数． 设,22z x z x d -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则存在正整数a 和b ，使 2z x da -=，2z x db +=，(),1a b =，于是()z d b a =+，()x d b a =-．由于(),1z x =，所以1d =，即,122z x z x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由222x y z +=得2222y z x z x +-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭． 这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设22z x p +=，22z x q -=， 这里0p q >>．(,)1p q =，于是可得2222,2,x p q y pq z p q =-==+．由于z 是奇数，所以p 、q 一奇一偶．这就证明了方程222x y z +=的任意一组解x 、y 、z (y 为偶数) 都可由①表示．评注 如果正整数x 、y 、z 满足方程222x y z +=，那么就称x 、y 、z 是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．在勾股数x 、y 、z 中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果 （x ，y ，z ）=1d >，那么设x dx =′，y dy =′，z dz =′，则有（x ′，y ′，z ′）=1，并且由222x y z +=得222222d x d y d z '+'='，两边除以2d ，得222x y z '+'='．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数x 、y 、z 中，x 和y 必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：假定x 和y 的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：①x 和y 同奇，②x 和y 同偶．如果x 和y 同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以22x y +是4的倍数加2，于是2z 是偶数，z 也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以x 和y 不能都是奇数．如果x 和y 都是偶数，那么z 也是偶数，这与x 、y 、z 是基本勾股数矛盾，所以x 和y 中一奇一偶．由此也可推出z 是奇数．★设x 、y 、z 是勾股数，x 是质数，求证：21z -和()21x y ++都是完全平方数． 解析()()222x z y z y z y =-=+-．因为x 是质数，所以2x 只有1、x 、2x 三个正约数．由于0z y z y +>->，所以有2,1.z y x z y ⎧+=⎨-=⎩由此得221z x -=，()21222x y x y ++=++()222121x x x =+-+=+， 所以21z -和2(1)x y ++都是完全平方数．★求证：222n n +、21n +、2221n n ++(n 是正整数)是一组勾股数．解析 因为n 是正整数，2222122n n n n ++>+，222121n n n ++>+．由 ()()2222221n n n +++ ()22222441n n n n =++++ ()()222222221n n n n =++++ ()22221n n =++, 所以222n n +、21n +、2221n n ++是一组勾股数．★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为21n +、222n n +、2221n n ++，其中n 为正整数．解析 设弦长为c ，股长为1c -，勾为x ．因为（c ，1c -）=1，所以x 、1c -、c 为一组基本勾股数．又c 为奇数，1c -为偶数，则x 为奇数． 设21x n =+，则()()222211n c c ++-=，得2221c n n =++，2122c n n -=+． 所以，勾股数组具有形式21n +、222n n +、2221n n ++．★★求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数． 解析 当n 是大于1的奇数时，212n -和212n +都是正整数，并且 222221122n n n ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当n 是大于2的偶数时，214n -和214n +都是正整数，并且222221144n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边n 可取大于2的任何正整数． ★★求证：在勾股三角形中， (1)必有一条直角边的长是3的倍数； (2)必有一条直角边的长是4的倍数； (3)必有一条边的长是5的倍数．解析 设该勾股三角形的三边的长分别为a 、b 、c （c 是斜边)，则222a b c +=．只要证明a 、b 、c 是基本勾股数时的情况．不失一般性，设b 为偶数，则 22a p q =-，2b pq =，22c p q =+，其中p 、q 满足上述定理中的条件．(1)若p 、q 中至少有一个是3的倍数，则b 是3的倍数；若p 、q 都不是3的倍数，设 31p k =±，31q l =±，则()()22223131a p q k l =-=±-±()22996k l k l =+±±是3的倍数．(2)由于p 、q 一奇一偶，所以2b pq =是4的倍数．(3)若a 、b 都不是5的倍数，则2a 的末位数是1或9；2b 的末位数字是4或6． 1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以 222c a b =+的末位数只可能是5．于是c 的末位数是5．评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数． ★★求基本勾股数组，其中一个数是16． 解析 设勾股数组x 、y 、z ，其中x =16． x =16=2×4×2=2×8×1，若4m =，2n =，有(,m n )-2≠1，从而只有8m =，1n =，(,)1m n =，且m 和n 为一奇一偶．于是22228163y m n =-=-=，22228165z m n =+=+=．从而，只有一组基本勾股数16、63、65．评注 若不要求基本勾股数，则x =16=2×4×2，设4m =，2n =，得 2212y m n =-=，2220z m n =+=．即16、12、20为一组勾股数．又22164322x ==⨯⨯，设232m =，22n =，得 2230y m n =-=，2234z m n =+=．即16、30、34为一组勾股数．★★设p 、m 、n 为一组勾股数，其中p 为奇质数，且n >p ，n >m ．求证：21n -必为完全平方数． 解析 因为p 、m 、n 为一组勾股数，n p >，n m >，则有222n m p =+． ()()222m n p n p n p =-=+-，m n p >-．设()1m n r r p =-<≤，则有()()222222p n m n n r r n r =-=--=-．因为1r p <≤，p 为奇质数，则1r =(否则，若1r p <<，则|r 2p ，矛盾)． 由1r =，得221p n =-，从而21n -是完全平方数．★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和 最小值分别是多少?解析 设直角三角形的三边长分别是35，b ，c ，则 22235b c +=，即()()1225c b c b +-=．1225的大于35的正约数可作为c b +，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的 最大值是 35+1225=1260， 最小值是35+49=84．★★设n 为大于2的正整数．证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长 恰为n ．解析 只需证明不定方程222x n z +=，有正整数解．利用()()2z x z x n -+=，结合z x -与z x +具有相同的奇偶性，故当n 为奇数时，由（z x -，z x +）=（1，2n ），可得不定方程的一组正整数解 （x ，z ）=2211,22n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 而当n 为偶数时，由条件，知n ≥4．利用 （z x -，z x +）=22,2n ⎛⎫⎪⎝⎭，可得不定方程的一组正整数解 （x ，z ）=2244,44n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 综上，可知命题成立。

摘要不定方程是初等数论的一个重要内容,在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法;最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程;二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life。

This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution， secondly is further discussed。

For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics， civil servants for test and other subjects， and illustrated with examples。

人教版 初中数学 第21章 一元二次方程全章综合测试卷22姓名___________班级__________学号__________分数___________一、选择题1．如果2是一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0的一个根，则常数k ＝( )A ．1；B ．2；C ．－1；D ．－2；2．方程x (x －1)＝x 的解为( )A ．x ＝2；B ．x ＝1；C ．x ＝0或x ＝1；D ．x ＝0或x ＝2；3．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ＜－1；B ．m ＜1；C ．m ＞－1；D ．m ＞1；4．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是( )A ．x 2＋1＝0；B ．x 2＋x ＋1＝0；C ．x 2－x ＋1＝0；D ．x 2－x －1＝0；5．用配方法解方程x 2－2x －1＝0，原方程应变形为( )A ．(x －1)2＝2；B ．(x ＋1)2＝2；C ．(x －1)2＝1；D ．(x ＋1)2＝1；6．用配方法解方程x 2＋2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6；B ．(x －1)2＝6；C ．(x ＋2)2＝9；D ．(x －2)2＝9；7．一元二次方程3x 2－2x ＋1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．没有实数根；D ．有一个根为1；8．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若a ＋b ＋c ＝0，则访方程一定有一个根为( )A ．0；B ．1；C ．－1；D ．2；9．一元二次方程x 2＋x －2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．只有一个实数根；D ．没有实数根；10．用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( )A ．(x ＋2)2＝9；B ．(x －2)2＝9；C ．(x ＋2)2＝1；D ．(x －2)2＝1；11．若方程3x 2－6x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A ．；B ．；C ．；D ．；※12．已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，则b a ＋a b的值是( ) A ．7； B ．－7； C ．11； D ．－11；二、填空题13．关于x 的方程x 2＋2(k ＋1)x ＋k 2＝0两实根之和为m ，且满足m ＝－2(k ＋1)，关于y 的不等于组4y y m >-⎧⎨<⎩有实数解，则k 的取值范围是______________________．14．已知13a a +=，则221a a +=____________．15．以1和为根的一元二次方程是 ．16．方程x 2＋2kx ＋k 2－2k ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 12＋x 22＝4，则k 的值为____________．17．方程0322=--x x 的根是____________．18．若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0的两根互为倒数，则k ＝____________．19．已知关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则m ＝____________，另一个根为____________．20．若x 2－x －2＝0，则()2221x x x x -+--的值等于____________．三、计算题21．解方程：x 2－4x ＋1＝0．22．解方程：x 2－3x －1＝0．四、解答题23．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．24．如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O 处．甲沿着喀什路以4m/s 的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s 的速度由南向北走．当乙走到O 点以北50m 处时，甲恰好到点O 处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m 时各自的位置．25．已知是的三边。