第三章 三角恒等变换章末复习

题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等． 例1 已知α、β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139. ∵β是锐角，故cos β＝91050. 跟踪训练1 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)． ∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0， ∴－π<α－β<－π2. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1，∴2α－β＝－3π4. 题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sin x －cos x ＝t )．例2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域．解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4知t ∈[－2，2]， 又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2.∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. 当t ＝12时，y max ＝54； 当t ＝－2时，y min ＝－2－1.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－2－1，54. 跟踪训练2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值． 解 设sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x即g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]． 当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1.此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z . 当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12. 此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1. 解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z . 综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12. 题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．例3 求证：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .证明 ∵左边＝tan 32x －tan x 2＝sin 32x cos 32x －sin x 2cos x 2＝sin 32x cos x 2－sin x 2cos 32x cos x 2cos 32x ＝sin x12(cos 2x ＋cos x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边．∴tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x. 跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值． 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝sin 2x ＋2sin 2x cos x cos x 1＋tan x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x .∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875. 题型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．例4 已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求证：tan A ＝2tan B .(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35，sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25，cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2. ∴tan A ＝2tan B . (2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35， ∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6， 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.跟踪训练4 已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8 的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝2 1＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. [呈重点、现规律]本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．。

第三章 三角恒等变换一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 5．（1）积化和差公式sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)]（2）和差化积公式 sin α+sin β=2cos2sin2βαβα-+sin α-sin β=2sin2cos2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos2cos2βαβα-+ cos α-cos β= -2sin2sin2βαβα-+tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos 22α 1-cos α=2sin22α1±sin α=(2cos2sinαα±)26。

第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 26、22tan tan 21tan ααα=-． 27、⇒（后两个不用判断符号，更加好用） 28、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

)sin αϕA +B ，其中tan ϕB =A． 29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。