阿基米德折弦定理的四种常规证法

阿基⽶德折弦定理阿基⽶德折弦定理⼀、取劣弧中点时已知：M点是弧AB的中点，AC+CB是圆中折弦，过M点作MN⊥AC交AC于N点．结论：AN=NC+CB．法⼀：截长取ND=NC，连接DM，则DM=CM，∠MAD+∠AMD=∠MDC=∠MCD=∠MAB=∠MAD+∠BAC，∴∠AMD=∠BAC=∠BMC，易证：△MDA≌△MCB（SAS）∴AD=BC，∴AN=AD+DN=NC+CB．法⼆：补短延长AC⾄D点使得CD=CB，∠MCB+∠MAB=180°，∠MCD+∠MCA=180°，且∠MAB=∠MCA，∴∠MCB=∠MCD易证：△MCB≌△MCD（SAS）∴MD=MB=MA，∴NC+CB=NC+CD=ND=NA，即NA=NC+CB．法三：作垂线连接MA、MB，则MA=MB，考虑∠MAN=∠MBC，过M作MH⊥BC交BC延长线于H点，易证：△MAN≌△MBH（AAS）可得：AN=BH；易证：△MCN≌△MCH（AAS）可得：CN=CH．∴AN=BH=BC+CH=BC+CN．法四：作对称作MP∥AC交圆O于点P，作PQ⊥AC交AC于Q点，连接AP、PM、MC．易证：AQ=CN，QN=OM=CB，∴AN=AQ+QN=CN+CB法五：作平⾏作BD∥AC交圆O于点D，连接AD，连接MD交AC于点E，可证：∠AED=∠MDB=∠ADE，∴AD=AE，⼜BC=AD，∴BC=AE．可证：∠MEC=∠MCE，∴EN=NC，∴AN=AE+EN=BC+BC．⼆、取优弧中点时已知：若M点在劣弧AB上，作MN⊥AC交AC于N点．结论：NC=AN+BC．法⼀：取点C使得CD=CB，易证：△CDM≌△CBM，易证：△DNM≌△ANM可得：NC=AN+BC．法⼆：延长CA⾄C'使得AC'=BC，易证：△MBC≌△MAC'易证：△MNC≌△MNC'可得：NC=NC'=AN+BC．法三：过点M作MN'⊥CB交CB延长线于N'点，易证：△MNA≌△MN'B，易证：△MCN≌△MCN'，可得：NC=N'C=AN+BC．法四：作MP∥AC交圆O于点P，过点P作PQ⊥AC交AC于Q点，连接AM、CP、BM，易证：AM=CP，易证：AM=BM，∴BM=CP，∴MP=BC，∴NC=NQ+QC=PM+AN=BC+AN．。

阿基米德折弦定理详解
《阿基米德折弦定理详解》
阿基米德折弦定理是一种有关三角形的重要定理，它由古希腊数学家阿基米德提出。

它指出：在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方之和减去两倍这两边之间的夹角的余弦。

具体来说，设ABC是一个三角形，a、b、c分别是三边的长度，α、β、γ分别是三个内角的角度，那么阿基米德折弦定理可以表述为：a²=b²+c²-2bc·cosα，b²=a²+c²-2ac·cosβ，
c²=a²+b²-2ab·cosγ。

阿基米德折弦定理由三角形的三条边和三个内角共同构成，它没有任何关于三角形的形状的要求，可以用于任何形状的三角形，即直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。

阿基米德折弦定理不仅可以用来求解三角形的面积，而且还可以用来求解三角形的边长，以及求解一些复杂的三角形几何问题。

因此，它在几何学中十分重要，也是许多数学问题的重要理论基础。

阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理，也称为阿基米德定理，是数学中的一个重要定理，与圆和三角函数有关。

该定理最早记载于公元前250年的古希腊数学家阿基米德的著作《圆的测量》中。

阿基米德折弦定理陈述如下：对于任意一条弧，该弧两端的弦的长度之积等于从弦中点引垂线得到的两条线段的长度之积。

即，在一个圆的内部任取一条弧，该弧的两个端点连成一条弦，然后在这条弦的中点处竖直一条线段，将弦分成两条线段，两条线段的长度之积等于从中点引垂线得到的两条线段的长度之积。

具体公式为：AB×CD=BC×DE其中，AB表示弦的长度，BC为弦的中点到圆的距离，CD和DE分别为弦的两边到圆的距离。

该定理可以用来推导出三角函数之间的关系，因此在三角函数的求解中也有着广泛的应用。

证明：如图，以弧AB所对的圆心为O，过弦AB中点C引一条竖直线段DE交弦AB于点F。

因为OF=CD=DE，所以FC=EF。

在ΔBOF中，根据勾股定理有：(BO)²=(OF)²+(BF)²由于OF=CD=DE，可以写成：(BO)²=(CD)²+(BF)²在ΔCFC'中，根据勾股定理有：(CF)²=(CC')²+(FC')²但是，因为CF=EF，且CC'为BC的中垂线，即CC'=BC/2，所以可写成：(CF)²=(BC/2)²+(FC')²又因为BC=2CF，所以可以简化成：(CF)²=(CF)²+(FC')²即，(FC')²=CF²-FC²在ΔDEF中，根据勾股定理有：(DF)²=(DE)²+(EF)²由于EF=FC，可以写成：(DF)²=(DE)²+(FC)²同理，在ΔCEF中，根据勾股定理有：(FC)²=(CE)²+(EF)²因为EF=FC，所以：(FC)²=(CE)²+(FC)²即，(CE)²=0这说明点E恰好位于圆的直径上。

阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M 是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理3种证明方法【方法1】补短法如图，延长DB至F，使BF=BA,∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，∵M、B、A、C、四点共圆，∴∠MCA+∠MBA=180°.∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,∵MD⊥CF,∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.【方法2】截长法如图，在CD上截取DG=DB，∵MD⊥BG，∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.∵M是弧ABC的中点,∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA. 又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,∴∠BMA=∠GMC.∵MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,∴CD=CG+GD=AB+BD【方法3】垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC，∵MD⊥BC，∴∠MDC=90°=∠H.∵∠MAB=∠MCB，∴△MHA≌△MDC，∴AH=CD，MH=MD.又∵MB=MB，∴Rt△MHB≌Rt△MDB，∴HB=BD，∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC·AB.【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB·BC.。

阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！这个名字听起来就很酷炫，是不是？那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗？别着急，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！我们来了解一下什么是阿基米德三角形。

阿基米德三角形是一个古老的几何图形，它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。

这个图形看起来有点像一个金字塔，但是它有很多神奇的性质和结论哦！1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。

这个结论很简单，因为每个小三角形的内角都是60度，而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和，也就是180度。

2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。

具体来说，如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是：(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。

这个关系式告诉我们，无论阿基米德三角形的大小如何变化，它的边长比总是保持不变。

3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。

海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式，它的形式是：S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。

阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到，即：S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。

4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。

这个结论可能有点难以理解，但是它可以帮助我们解决很多实际问题。

比如说，我们知道一个正方形的面积是边长的平方，那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。

具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形，然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积，最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。

5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。

比如说，我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。

阿基米德折弦定理详解及详解
阿基米德折弦定理(Thales Theorem)又称塔尔特定理，它的定义如下：
如果有三角形ABC，在它的外接圆上有三个点A′,B′,C′，则这三个点满足AA′:BB′:CC′=1:1:1。

阿基米德折弦定理使申明了一个三角形最外面包含了一个外接圆，而这个外接圆分别在三角形每一条边对应的延长线上，但是满足一定的比例关系，也就是说，无论多大的三角形，其外接圆上所确定的三点连接后都存在一个等腰三角形。

在数学上，阿基米德折弦定理的意义在于，它的一个充分必要条件是圆的半径r （OA•OB）与三角形的边长之比等于常数C，即：
OA•OB=C*AB
从而可以推得：
AB²= 2*r*C* AB
此式两边同时乘以AB，可以得出：
AB³= 2*r*C*AB³
即：
AB³:AC³:BC³= 2*r*C:AC³:BC³
将以上式子改形，可以得出：
AB: AC: BC= √(2*r*C):AC:BC
即：
AB:AC:BC = √(2*r*C):√(2*r*C):√(2*r*C)
也就是说，只要知道外接圆的半径，就可以知道三角形ABC折弦定理的等比例。

圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦模型、米勒最大张角(视角)模型、弧中点模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。

折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

【模型证明】方法1.:补短法如图，延长DB 至F ，使BF =BA∵M 是ABC 的中点∴∠MCA =∠MAC =∠MB C ∵M 、B 、A 、C 四点共圆∴∠MCA +∠MB A =180°∵∠MB C +∠MB F =180°∴∠MB A =∠MB F ∵MB =MB ,BF =BA∴△MB F ≌△MB A ∴∠F =∠MAB =∠MCB∴MF =MC ∵MD ⊥CF∴CD =DF =DB +BF =AB +BD 方法2.截长法如图，在CD 上截取DG =DB∵MD ⊥BG∴MB =MG ，∠M GB =∠MB C =∠MAC ∵M 是ABC 的中点∴∠MAC =∠MCA =∠MGB 即∠M GB =∠MCB +∠BCA =∠MCB +∠BMA又∠M GB =∠MCB +∠GMC∴∠BMA =∠GMC ∵MA =MC∴△MB A ≌△MGC (SAS )∴AB =GC ∴CD =CG +GD =AB +BD方法3.垂线法如图，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。

∵M 是ABC 的中点∴MA =MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H∵∠MAB =∠MCB ∴△MHA ≌△MDC (AAS )∴AH =CD ，MH =MD又∵MB =MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB (HL )∴HB =BD ∴CD =AH =AB +BH =AB +BD例1.(2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．其部分证明过程如下：证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，∵∠A =∠C ，∴△MAB ≌△MCG (SAS )，∴MB =MG ，⋯⋯任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，DE =7，则O 到DE 的距离是____________，O 到AC 的距离是____________，⊙O 的半径是____________．变式1.(2022秋·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =______；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =______________．变式2.(2022秋·江苏泰州·九年级统考期中)早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，AC 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ACB 是圆的一条折弦)，BC >AC ，M 是ACB的中点，过点M 作MD ⊥BC ，垂足为D ，小明通过度量AC 、CD 、DB 的长度，发现点D 平分折弦ACB ，即BD =AC +CD ．小丽和小军改变折弦的位置发现BD =AC +CD 仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”(如图2)，在BD 上㵶取BE ，使得BE =AC ，⋯⋯小丽则采用了“补短法”(如图3)，延长BC 至F ，使CF =AC ，⋯⋯小明采用了“平行线法”(如图4)，过M 点作ME ∥BC ，交圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，⋯⋯(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，△ABC 内接于⊙O (A 、B 、C 均是格点)，点A 、D 关于BC 对称，连接BD 并延长交⊙O 于点E ，连接CE ．①请用无刻度的直尺作直线l ，使得直线l 平分△BCE 的周长；②求△BCE 的周长．变式3.(2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德(公元前287年一公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al -Binmi (973年一1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD =AB +BD ，过程如下：证明：如图2所示，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ，⋯(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD ，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，则AE 的长度为_________；(3)如图4，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =8，D 为AC上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 于点E ，求△BDC 的周长．模型2.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

阿基米德折弦定理详解及详解阿基米德折弦定理是一个古老而又重要的定理，追溯到古希腊数学家阿基米德时期。

它描述的是一条三角形的有关特性，它声称对于任意一个三角形，用它的三条边长度来构造一个有一定比例关系的三个弦（线段），这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且三角形三边长和等腰三角形的边长具有相同的比例关系。

这一定理被广泛应用于几何中，其思想也被引入到现代数学推导中。

下面介绍这一定理的详细内容：1、阿基米德折弦定理：给定任意一个三角形，其三条边的长度为a,b,c，则它的三条边能够形成一个有一定比例关系的三个弦（线段），这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且这三边长度与等腰三角形的三边长具有相同的比例关系。

2、阿基米德折弦定理的证明：假设给定的任意一个三角形ABC的三条边长为a,b,c，那么由阿基米德折弦定理，我们可以构建出一个有一定比例关系的三条弦，用它们重新构造出一个等腰三角形，其中：（1）弦AB的长度为a;（2）弦BC的长度为b;（3）弦CA的长度为c;（4）等腰三角形MNP的三边长度为m、n、p，其中m=a,n=b,p=c;由于已知三角形ABC和等腰三角形MNP是相似的，根据相似三角形的性质，有：（1）a/b=m/n;（2）a/c=m/p;（3）b/c=n/p;因此可知：m/n=a/b=a/c=b/c=m/p;由此可以得出，对任意一个三角形，用它的三条边长度来构造一个有一定比例关系的三个弦，这三条弦能够重新构造出一个等腰三角形，并且三角形三边长与等腰三角形的边长具有相同的比例关系，从而证明了阿基米德折弦定理的正确性。

3、阿基米德折弦定理的应用：（1）在算术中：阿基米德折弦定理可以被用来证明平行线论，具体来说，两个平行线之间的夹角一定是相等的。

同时，它还可以用来证明垂直线论，即两条垂直线的夹角一定是直角。

（2）在几何中：阿基米德折弦定理可以用来证明任意一个三角形的中点和边的对称性，同时也可以用来证明任意一个三角形的外心构造等等。