相交弦定理学习教育PPT课件

图 1－2－85 (1)求证：PA· PE＝PC· PD； (2)当 AD 与⊙O2 相切且 PA＝6，PC＝2，PD＝12 时，求 AD 的长．
【解】
(1)证明：连接 AB，CE，
∵CA 切⊙O1 于点 A， ∴∠1＝∠D. 又∵∠1＝∠E， ∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3， ∴△APD∽△CPE. PA PD ∴ ＝ ， PC PE 即 PA· PE＝PC· PD.
【答案】 2
1．解答本题的关键是先用相交弦定理求 PD，再用勾股 定理或射影定理求 AD、CD. 2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与 垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．
如图 1－2－83，已知 AB 是⊙O 的直径，OM＝ON，P 是⊙O 上的点，PM、PN 的延长线分别交⊙O 于 Q、R. 求证：PM· MQ＝PN· NR.
2.5 相交弦定理
课 标 解 读
1.掌握相交弦定理及其证 明过程． பைடு நூலகம்．能灵活运用相交弦定 理进行计算与证明.
相交弦定理 (1)文字叙述
图 1－2－81
圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相等． (2)图形表示 如图 1－2－81，弦 AB 与 CD 相交于圆内一点 P，则
PB＝PC· PD . 有： PA·
1．解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确 已知转化的方向，从而求得结论． 2．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦 定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论．
如图 1－2－85 所示， 已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A， B 两点， 过点 A 作⊙O1 的切线，交⊙O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线 分别交⊙O1，⊙O2 于点 D，E，DE 与 AC 相交于点 P.

AB是过点P的一条弦。设圆的半径为r,OP=d
求证：PA*PB= PA •PB r2d2
B
C
D
O
P
A
1. 例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
2. 求证：PC2＝PA·PB
C
A
P
B
O
D
12
2020/12/6
例4：已知：线段a、b（a＞b） a 求作：线段c，使c2=ab
b
探索尝试多种作法
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
C GA
⊙O内一点G，则有GC×GDG=B×GA , B
D
(2) 如图，弦AB垂直于⊙O直径
MN于Q，MN：QN=5：1，
AB=8，10
M
则MN= ，ຫໍສະໝຸດ 14A QN
B 2020/12/6
课堂练习（口答）
(3)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则这 两部分长6分别是2 cm和 cm.
式子：AP×PB=CP ×PD成立,我们应该怎 样用推理的方法证明这一结论呢?
A
D
O PB
C
4
2020/12/6
A
D
O PB
C
D
A
P
O
B
C
D
A
P
O
B
C
同学们，你们现在可以写出证明吗？
5
2020/12/6
证明：连结AC、BD
D
A
P
O
B
∠A= ∠D ∠C= ∠B
C
=> △PAC∽△PDB => PA∶PD=PC∶PB

相交弦定理的证明
相交弦定理的证明可以通过应用两弧之间的关系以及圆内角和弧度的关系来推导得出。
相交弦定理的应用
相交弦定理可以用于解决各种几何问题，如计算未知角度、弦长以及解决实 际问题。
实例1：计算未知角度
已知
角A的度数为30°
已知
角B的度数为40°
求解
角C和角D的度数
实例2：计算未知弦长
已知
圆的半径为5cm
已知
弦AB的角度为60°
求解
弦AB的长度
实例3：解决实际问题
已知
一个轮胎上两个相交的弦的角度分别为50°和70°
求解
两条弦的长度
已知
轮胎的半径为30cm
结论和要点
相交弦定理是解决圆内角度和弦长问题的重要工具，应用广泛且具有实际价 值。
相交弦定理ppt课件
相交弦定理是一个关于圆的几何定理，用于求解未知角度和弦长，具有广泛 的应用价值。
什么是相交弦定理
相交弦定理是指在一个圆内，两个相交的弦所对的弧的两个角度之积等于另 一对相交的弦所对的弧的两个角度之积。
相交弦定理的公式
设AB、CD为两条相交的弦，分别对应的角为∠A

和∠BOC是 什么关系的角？
互为邻补角
A
C
·
O
B
2、图中∠1的邻补角有几个？
2
哪几个？它们的大小关系？ 1
3
2个，∠2和∠4， 相等。
4
由今天所学知识知：∠2和∠4是对顶角
是不是对顶角都会相等？
对顶角的性质： 对顶角相等
∵∠1+∠2=180° ∠1+∠4=180°
∴∠2=∠4(同角的补角相等)
D
A
B O
C
小结
(1)相交是同一平面内两条直线的一种位置关系。 而垂直是相交的一种特殊情况.
(2)对顶角 对顶角相等
(3)邻补角 互为邻补角的两个角一定互补，但是互 为补角的两个角不一定是邻补角
互为对顶角
B
1.顶点相同.
C
20
2.角的两边互为反向延长线. 1
3
4
A
D
∠1 与∠3、 ∠2与 ∠4 互为对顶角
请判断:下列的∠1与∠2是否是对顶角?
1 2
(1) 1
2 (3)
1
2 (5)
12 (4)
12 (6)
1 2 (2)
(7) 21
3、 ∠1 与∠2在位置上有何联系？
互为邻补角
A
2
D
1
3
1.有一条公共边
例1：如图，直线 a与直线b相交，∠1＝40°，
求∠2，∠3，∠4的度数。
a
2
1
3
4 b
练一练 1、课本P3 练习
2、下列说法正确的是（ A ） A、对顶角的角平分线在一条直线上 B、相等的角是对顶角 C、一个角的邻补角只有一个 D、补角即为邻补角

圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半。
三角函数与解三角形
01
三角函数
正弦、余弦、正切等三角函数在圆中的定义及性质，如正弦值等于对边
比斜边等。
02
解三角形
利用三角函数及圆的性质解决与三角形有关的问题，如求三角形的面积
、角度等。
03
三角形的内心与外心
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心
相交弦定理是关于圆的两条相交弦的性质定理，即圆内的两条相 交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理的证明方法
通过相似三角形或者圆的性质进行证明，理解证明过程有助于加深 对定理的理解。
相交弦定理的应用
在几何题目中，相交弦定理常用于求解与圆有关的线段长度或角度 问题。
复习建议：如何巩固所学知识
1 2
回顾课堂笔记和教材
重新阅读课堂笔记和教材，加深对相交弦定理的 理解。
做相关练习题
通过做大量的练习题，熟练掌握相交弦定理的应 用。
3
与同学讨论
与同学一起讨论相交弦定理的相关问题，互相学 习，互相帮助。
思考题与练习题：检验学习效果
01
02
03
思考题
思考相交弦定理在实际生 活中的应用场景，提高学 习兴趣。
练习题
通过做练习题，检验自己 对相交弦定理的掌握程度 ，查漏补缺。
拓展题目
尝试解决一些与相交弦定 理相关的拓展题目，提高 自己的解题能力。
THANKS
感谢观看
相交弦定理的应用举例
通过具体的例题，展示相交弦定理在 解决实际问题中的应用，加深学生对 定理的理解和掌握。

变式2：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？ 解:设∠1=x°,则∠2=3x°
根据邻补角的定义,得 x+3x=180 所以 x=45 则∠1=45°
根据对顶角相等,可得 ∠3=∠1=45°
今天我们学了什么？
邻补角、对顶角概念 邻补角、对顶角性质
今天我们学了什么？
两直线相交
C
2
B
1
3
4
A
D
位置 特征
1、两直线相交，形成小于平角的角有哪几个？
2、以∠1和∠2为例分析这两个角存在怎样的
位置关系和大小关系？像这样的角还有哪些？
3、以∠1和∠3为例分析这两个角存在怎样的
位置关系？像这样的角还有哪些？
C
2
B
1 o3
4
A
D
动手画出两条相交直线
1、两条直线相交，形成的小于平角的角
有哪几个？
C
2
B
1
o3
4
A
1 2
（1）不是
1 2
（2） 是
1 2
（3） 不是
1
2
（4） 不是
2 1
（5）是
7、你能得到对顶角∠1和∠3的大小关系吗？
C
2
B
动动手：（1）、用量角器测
1
o3
量对顶角∠1和∠3，比较他们
4
的大小
A
D
（2）将对顶角∠1和∠3
进行翻折，比较它们的大小？
4、你能得到对顶角∠1和∠3的大小关系吗？
猜猜看：若直线CD绕点O转 C
例、如图,直线a、b相交，∠1=40°,求
∠2、∠3、∠4的度数。
b
解：由邻补角的定义可知 ∠2=180°-∠1

若两条弦中有一条弦变成直径，而另一条弦
与它垂直时，你又能得到什么新的结论？
推论：如果弦与直径垂直相交，
那么弦的一半是它分直径所成的
Ｃ
两条线段的比例中项．
Ａ 相交弦定理及推论说明，经过
Ｏ•
┍
Ｐ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｂ
圆内一定点作圆的弦可以作无
Ｄ
数条，但是这些弦被定点内分
的两条线段的乘积是一个确定
的值．
二、教学过程 (1)复习:
在相似三角形中,见过如下几个基本图形
A A
C
A
D
E BE
B
┍ DC
B
C
D
△ADE∽ △ABC △ABE∽ △DCE △BDA∽ △ADC
AD:AB＝AE:AC AE:DE＝BE:CE AD2 BD • CD
有一个环，但是拉塞尔的发现还是值得怀疑，因为实际王星的环太暗了不可能被拉塞尔用他的仪器发现。中文名海卫一外文名Triton别称特里同/崔顿分类卫 星发现者威廉·拉塞尔发现时间8年月日质量.7×kg平均密度.g/cm直径7.8±.8km表面温度低于k逃逸速度km/s大气成分氮（99%）和其他成分（%）表面 积,8,km体积,8,,km大气压.毫巴目录详细资料?基本数据?发现过程?命名过程?物理特性其他资料?运行轨道?季节变化?地质情况?表面形态?地形特点观察和探 索生命可能性其他相关?海王星俘获?海王星详细资料编辑基本数据发现者威廉·拉塞尔发现日8年月日轨道特性长轴,8km偏心率.轨道周期-.877日(逆行)倾 角.7°（相对于黄道）7.°（相对于海王星赤道）.°（相对于海王星轨道）含有空气：氮气99%其他气体%发现过程旅行者号989年8月日摄于距离海卫一万 千米处海卫一是环绕海王星运行的一颗卫星。它是海王星的卫星中最大的一颗。它是太阳系中最冷的天体之一，具有复杂的地质历史和一个相对来说比较年 轻的表面。8年月日威廉·拉塞尔（WilliamLassell）发现了海卫一（这是海王星被发现后第7天）。拉塞尔以为他还发现了海王星的一个环。虽然后来发现海王 星的确；https:// 新视觉 ；有一个环，但是拉塞尔的发现还是值得怀疑，因为实际王星的环太暗了，不可能被拉塞尔用他的仪器发现。命 名过程海卫一海卫一(张)海卫一在国际上的名字是Triton，它是以希腊海神崔顿命名的。这个名字是88年卡尔米·弗拉马利昂提出的发现者拉塞尔本人似乎想 不出应该怎样给这颗卫星命名但是他给他后来的发现土卫七和天卫一、天卫二命名了继弗拉马利昂后还有一些人建议使用这个名字，但出于各种原因这个名 字一直没有成为正式的名字直到99年的书里还标记有“不常用的名字”。当时一般将海卫一称为“海王星的卫星”，直到海卫二被发现后特里同才于99年被 定为正式名称。物理特性海卫一的平均密度为.g/cm，在地质上估计含有%固态冰，以及其他岩石物质。它拥有一层稀薄大气，其主要成份是氮，以及含有少 量甲烷，整体大气压约为.毫巴。它的表面温度低于K，但是至少为.K。这个最低温度的原因在于在这个温度下固体氮的相态发生变化，从六角形的晶体相态 变为立方体的晶体相态估计的最高温度的来源在于通过测量氮在海卫一大气中的蒸汽压，在这个蒸汽压下固态与气态平衡的温度低于K。这说明海卫一的表面 温度甚至低于冥王星的表面温度（K）。虽然如此海卫一地

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∴DE＝PE－PD 18 2 10 ＝4 2－ 7 ＝ 7 2. ∵AE· BE＝DE· CE， DE· CE ∴BE＝ AE 10 7 2×3 2 30 ＝ ＝7. 2
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1.解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从 而求得结论. 2.在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割 线时要想到切割线定理及推论.
阶 段 一
阶 段 三
2.5
相交弦定理
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
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1.掌握相交弦定理及其证明过程. 2.能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.
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[基础· 初探] 教材整理 相交弦定理
图 12104
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(1)文字叙述 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等. (2)图形表示 如图 12104，弦 AB 与 CD 相交于圆内一点 P，则有： PA·PB＝PC·PD .
又 P 为 AB 的中点，∴PC· PD＝AP2.在 Rt△PAO 中再使用射影定理即可.
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【证明】 连接 OP，
∵P 为 AB 的中点， ∴OP⊥AB，AP＝PB. ∵PE⊥OA， ∴AP2＝AE· AO. ∵PD· PC＝PA· PB＝AP2， ∴PD· PC＝AE· AO.
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1.在⊙O 中，弦 AB 和 CD 相交于点 P，PA＝3 cm，PB＝5 cm，PC＝2.5 cm， 则弦 CD 的长为( ) 【导学号：96990033】 A.6 cm C.8 cm B.7.5 cm D.8.5 cm

BC：AC=1：2
图中有哪两个含AD、BC的相似三角形？
ADC ACB 想一想：CD：AD=？
CD：AD=BC：AC=1：2
由相似你能得出哪些比例？
AD DC ,即AC DC AD BC 4 5m2 AC BC
若设CD=x，你能表示AC吗？ AC 5x
能列出方程？ 5x x 4 5m2 x 2m
相等 于是你又能得到哪两个角相等？G DBG
那么DG与谁相等？ DB 由对称性DB又与谁相等？
BC
你会做了吗？写出过程
答案： DG BC 4 5
变式；
（2020.武候一诊）如图，圆O是∆ABC的外接圆，AB是 图O的直径，在∆ABC外作∠CAD= ∠CAB，过C作AD的垂 线，垂足为D，交AB的延长于P。
1 BC 2
AM
1 2
4
2
42
2
8
2 8
B
A F
OD
MC
二、切割线定理
1、认识定理
如图，PA是 O 的切线，切点为A，PC交圆O于B、C，
求证：PA2 PB PC
A
分析
PA PC PB PA
PAB PCA P
B
Oj
C
你能证明吗?
你能用语言叙述这个结论吗?
从圆外一点向圆引切线和割线，切线长的平方 等于这点到割线与圆的两个交点的距离之积
故三角形ABC为等边三角形
而AO=4，故AB= 4 3
3
2
SABC 4 4 3 12 3
ii）当∠COD=90°时，（如图 ）∵OB=OC=4,∴△OBC 是等腰直角三角形
延长AO 交BC 于点M 则由前面可知:AM⊥BC,
BC 4 2, BM OM 2 2

θ
f
(M+m)g
例4 、如图，有一斜木块，斜面是光滑的，倾角为θ，放在水
平面上，用竖直放置的固定挡板A与斜面夹住一个光滑球，球
质量为m，要使球对竖直挡板无压力，球连同斜木块一起应向
(填左、右)做加速运动，加速度大小左是
.
gtanθ N
解: 画出小球的受力图如图示:
合力一定沿水平方向向左,
F=mgtanθ
BC
B、b球先落地
C、两球落地时速率相等
D、a球先落地
例1、物A、B、C均静止在同一水平面上，它们的质量分 别为mA,mB,mC，得到三个物体的加速度a与其所受拉力F 的关系如图所示，图中A、B两直线平行，则下列由图线 判断的关系式正确的是 （ ）
AB、、BmμDAA==μmB=B<μmC C C、mA>mB>mC D、μA<μB=μC
∴a= gtan θ
mg
例5 、一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升
的电梯中，加速度为a，如图所示．在物体始终相对于斜面静
止的条件下，下列说法中正确的是 (
)
BC
（A）当θ 一定时，a 越大，斜面对物体的正压力越小 （B）当θ 一定时，a 越大，斜面对物体的摩擦力越大 （C）当a 一定时， θ 越大，斜面对物体的正压力越小 （D）当a 一定时，θ 越大，斜面对物体的摩擦力越小
证明：
EM=FN
EM+MN=FN+MN
A
EN=FM AM ·BM=EM ·FM CN ·DN =FN ·EN
AM ·BM=CN ·DN
E M
B
C NF D
练习3 如图，M是⊙O1与 ⊙O2 的公共弦AB上的一点， CE，DF 分别是⊙O1 ，⊙O2 的弦，他们相交于点M。 求证：MD ·MF=ME ·MC