下载文档原格式
![相交弦定理[上学期] 浙教版(PPT)3-2](https://uimg.taocdn.com/5e1e5c78eff9aef8941e06a2.webp)
（完整版）相交弦定理课件相交弦定理教学⽬标：1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运⽤它们进⾏有关的简单证明和计算；2．学会作两条已知线段的⽐例中项；3．通过推论的推导，获取由⼀般到特殊的思想⽅法．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．教学难点：在定理的叙述和应⽤时，我们往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从⽽导致证明中发⽣错误，因此务必清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三⾓形相似，从⽽就可以⽤对应边成⽐例的结论直接写出定理．1、图形变换：①观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．②进⼀步得出：△APC∽△DPB．③如果将图形做些变换，去掉AD和BC，图中线段PA，PB，PC，PD之间的关系会发⽣变化吗?为什么? 2、证明：已知：弦AB和CD交于⊙O内⼀点P．求证：PA·PB＝PC·PD．（⼆）定理及推论1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．结合图形让学⽣⽤数学语⾔表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD．2、从⼀般到特殊，发现结论．对两条相交弦的位置进⾏适当的调整，使其中⼀条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?指出：PC2＝PA·PB．．推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的⼀半是它分直径所成的两条线段的⽐例中项．3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论⼜可叙述为：半圆上⼀点C向直径AB作垂线，垂⾜是P，则PC2＝PA·PB．若再连结AC，BC，则在图中⼜出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·ABC=A B=D（三）应⽤、反思例1 已知圆中两条弦相交，第⼀条弦被交点分为12厘⽶和16厘⽶两段，第⼆条弦的长为32厘⽶，求第⼆条弦被交点分成的两段的长．例2 已知：线段a，b．求作：线段c，使c2＝ab．分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a⼗b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．反思：这个作图是作两已知线段的⽐例中项的问题，可以当作基本作图加以应⽤．练习1 如图，AP＝2厘⽶，PB＝2．5厘⽶，CP＝1厘⽶，求CD．变式练习：若AP＝2厘⽶，PB＝2．5厘⽶，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB ⊥CD，垂⾜为P，AP＝4厘⽶，PD ＝2厘⽶．求PO的长．练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB 上⼀点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C．求证：PC2＝PA·PB（四）⼩结知识：相交弦定理及其推论；能⼒：作图能⼒、发现问题的能⼒和解决问题的能⼒；思想⽅法：学习了由⼀般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想⽅法．切割线定理教学⽬标：1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运⽤它们进⾏计算和证明；2．掌握构造相似三⾓形证明切割线定理的⽅法与技巧，达到从⼏何图形归纳出⼏何性质的能⼒3．能够⽤运动的观点学习切割线定理及其推论教学重点：理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常⽤到的重要定理．教学难点：定理的灵活运⽤以及定理与推论问的内在联系是难点．（⼀）问题1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内⼀点．如果两弦延长交于圆外⼀点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图当其中⼀条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为⼀点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT 之间⼜有什么关系？2、猜想：引导学⽣猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB．3、证明：让学⽣根据图2写出已知、求证，并进⾏分析、证明猜想．分析：要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以PA·PT为边的三⾓形与以PT，BP为边的三⾓形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B⼜∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．4、切割线定理从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项．（⼆）切割线定理的推论1、问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．2、组织学⽣⽤多种⽅法证明：⽅法⼀：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三⾓形和以PD，PB为边的三⾓形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．(如图4)⽅法⼆：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三⾓形和以PC、PB为边的三⾓形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，⼜∠P=∠P．因此△PAD∽△PCB．(如图5) ⽅法三：观察图2，⽴即会发现．PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD推论：从圆外⼀点引圆的两条割线，这⼀点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）（三）初步应⽤例1 已知：如图，⊙O的割线PAB 交⊙O于点A和B，PA=6厘⽶，AB=8厘⽶，PO=10.9厘⽶，求⊙O的半径．分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的⼀条割线，⽽OD⼜恰好是⊙O的半径，于是运⽤切割线定理的推论，问题得解．例2 已知如图7，线段AB和⊙O 交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，求证：AE＝BF．分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同⼀直线上，且AC＝BD，AD＝BC．因此它们的积相等，问题得证．（四）⼩结知识：切割线定理及推论；能⼒：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；⽅法：在证明切割线定理和推论时，所⽤的构造相似三⾓形的⽅法⼗分重要，应注意很好地掌握．。
