下载文档原格式
切割线定理
切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
也是圆幂定理之一。
我在《证明——切割线定理》一文中使用勾股定理求证，比较烦琐。
现在我不依靠切割线定理证了弦切角定理（过程在这里），就可以利用弦切角定理证明切割线定理。
如图所示。
已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P
求证：AP·BP=CP2
证明
连接AC、BC
由弦切角定理得
∠ACP=∠CBP
又∵∠APC=∠CPB（公共角）
∴△ACP∽△CBP（两角对应相等的两个三角形相似）
∴AP/CP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）
∴AP·BP=CP2（比例基本性质）。
切割线定理的证明切割线定理，也被称为Severi's定理或Sokhotski–Plemelj定理，是复变函数理论中的一个重要定理。
它描述了圆周上的切割线是满足特定条件的函数的积分路径。
首先，我们先来了解一下切割线的概念。
在复平面上考虑一个圆周C，设C的圆心为a，半径为r。
我们将这个圆周与平面割开，然后选择一个切割线L，使得它与圆周C只有一个交点。
切割线L可以看作是一个无限细长的线，在我们的讨论中，我们主要关注切割线与圆周交点的位置。
切割线定理可以被描述为：如果f(z)是一个在圆周C内解析的复变函数，那么对于切割线L上的任意点z0，方向由内指向外，切割线对应的复函数f(L)在点z0处的值可以通过下面的积分得到：f(L) = \frac{1}{2πi}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz其中，f(z)是圆周C内的解析函数，z0是切割线L上的点，C是切割线L与圆周C之间的路径。
这个定理的证明可以按照以下步骤进行。
首先，我们可以将切割线L与圆周C之间的路径C分为两段：一段位于切割线L外部，另一段位于切割线L内部。
接下来，我们需要通过引入一个小的参数ε来表示L的位置。
当我们让ε趋近于零时，切割线L就会趋近于圆周C上的一个点。
在圆周C上选择一个点Z，通过C上的路径积分，我们可以得到f(L)在点Z处的值。
根据留数定理，我们可以将路径积分转换为圆周C 内的留数求和。
但是由于该定理的前提条件是f(z)是圆周C内的解析函数，因此留数求和等于零。
因此，我们得到了f(L)在点Z处的值为零。
接下来，我们将点Z沿着圆周C移动至点z0处。
根据解析函数的性质，在点Z和点z0之间的圆周C上，函数f(z)也是解析的。
因此，我们可以得到f(L)在点z0处的值也为零。
最后，我们让点z0沿着切割线L变动。
根据切割线L的定义，我们可以观察到f(L)在点z0处的值是连续变化的。
根据复变函数理论中的连续性原理，我们可以得出结论：f(L)在点z0处的值是切割线L上所有点值的极限。
切割线定理公式及证明如果在一个平面几何图形中，有n条交叉线将其分割成了n+1个部分，并且其中交叉线的个数是最少的，那么这个平面图形的面积可以通过以下公式进行计算：S=N+1-L/2其中，S表示图形的面积，N表示图形内部的点数，L表示交叉线的个数。
证明：为了证明切割线定理，我们需要先介绍欧拉公式：欧拉公式是欧拉在数学上取得的一个重要的成果，它表明了一个多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，对于一个凸多面体来说，有以下等式成立：顶点数+面数=棱数+2接下来我们将通过对一个多边形的推导来证明切割线定理。
假设我们有一个多边形，它被交叉线切割成了n+1个部分，其中交叉线的个数是最少的。
首先我们将这个多边形切割成一个三角形和一个n边形。
我们可以通过在切割线的每个交点上添加一个小圆圈，将这个图形的每个面部都变成一个小多边形。
也就是说，一个包含n+1个面的多边形就等价于n+1个小多边形的集合。
现在我们想计算这个多边形的面积。
首先我们来计算每个小多边形内部的点数。
由于三角形内部只有一个点，所以它的内部点数为1、对于n边形来说，我们可以将它切割成一个n-2边形和一个三角形，其中n-2边形的内部点数为N-1、同样地，三角形的内部点数为1接下来我们来计算切割线的个数。
根据欧拉公式，三角形有以下等式成立：顶点数+面数=棱数+2三角形的顶点数为3，面数为1，棱数为3，代入上述公式我们可以得到：3+1=3+2两边相减，我们可以得到：顶点数-棱数=2对于n边形来说，根据欧拉公式，同样可以得到：顶点数-棱数=2我们可以看到，一个多边形与其切割后形成的小多边形的顶点数和棱数之差是相等的。
根据切割线定理的假设，n边形被切割成了n-2边形和三角形，其中交叉线的个数是最少的。
所以我们可以假设切割线的个数为L。
再次回顾一下切割线定理的公式：S=N+1-L/2根据上述的推导，我们可以得出以下结论：三角形的面积为1，其内部点数为1，切割线的个数为L。
切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)切割线定理的证明∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求线段长度。
练：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是（）．A.PC·CA=PB·BDB.CE·AE=BE·EDC.CE·CD=BE·BAD.PD·PD=PC·PA例1.如图,⊙O的割线PAB交圆O于点A和B,PA=6,AB=8,PO=10,求⊙O的半径。
例2.如图：自圆外一点P作直线PA切⊙O于A，过PA中点M，作割线交⊙O于B、C．求证：∠MPB=∠MCP．例3.如图，C,D是⊙O的弦AB的三等分点，弦EF过点C，弦GH过点D。
求证：FC·CE=HD·DG。
切割线定理推论切割线定理是一个基本的几何定理，它描述了在一个圆中，连接圆心和圆上一点的线段（称为半径）与通过这个点的切线之间的关系。
具体来说，切割线定理指出，当一条直线与一个圆相交时，它所截下的弧长相等的两个部分所对应的两条切线长度相等。
这个定理可以用来解决许多几何问题。
例如，在一个圆中，如果我们知道了两条切线的长度以及它们之间夹角的大小，那么我们可以计算出圆的半径和弧长。
同样地，如果我们知道了圆上某一点到圆心的距离以及通过这个点的切线长度，那么我们也可以计算出另一条切线长度。
除此之外，切割线定理还有一个重要推论：当一条直线与一个圆相交时，在该直线上任意取两点A和B，则这两点到圆心O距离OA和OB之积等于这两点在直线上所成小角α对应弧AB之积。
证明如下：首先，在图中连接OA、OB、OC三条辅助线，并做垂足CD。
因为AC是弦，则∠OAC=∠OBC（同弧所对角相等）。
同理，∠OCA=∠OAB。
因此，△OAC与△OBC相似，△OCA与△OAB相似。
根据相似三角形的性质，得到：OA/OC=OC/OBOA×OB=OC²同理可得：OB×OD=OE²将两式相乘，得到：OA×OB×OD×OE=OC²×OE²因为CD是直线，则α对应弧AB+α对应弧DE=π（圆周角定理）。
由于三角函数中sinα/2=sqrt[(1-cosα)/2]，则有：sinα/2=sqrt[(1-cosα)/2]sinα/2×cosα/2=sqrt[(1-cos²α)/4]=(sinα)²/4因此，有：AB×DE=(OA-OB)²/4将上式代入前面的式子中，并整理得到：OA×OB=(AB+DE)²/4-OD²代入圆周角定理中的等式中得到：(O A+OB)²=(AB+DE)²+4OD²即为切割线定理的推论。
切割线定理的证明引言切割线定理是数学中的一个重要定理，它在几何学和分析学中有广泛的应用。
本文将详细探讨切割线定理的证明过程，以及其在不同领域中的应用。
切割线定理的定义在数学中，切割线定理是指：对于任意一个凸多边形，存在一条直线，将该多边形分割成两个面积相等的部分。
证明过程证明切割线定理的过程如下：步骤一：连接多边形的两个不相邻的顶点首先，我们连接多边形的两个不相邻的顶点，得到一条直线。
步骤二：计算两边的面积我们计算连接线两边的面积。
设连接线两边的长度分别为a和b，相应的面积分别为S1和S2。
步骤三：判断面积大小判断S1和S2的大小。
如果S1等于S2，则证明切割线定理成立。
如果S1不等于S2，则我们需要调整连接线的位置。
步骤四：调整连接线的位置调整连接线的位置，使得S1和S2的面积尽可能接近。
我们可以通过改变连接线的倾斜角度或者位置来实现。
步骤五：重新计算面积重新计算连接线两边的面积，并判断它们是否相等。
如果相等，则证明切割线定理成立。
如果不相等，则继续调整连接线的位置，重复步骤四和步骤五，直到找到满足条件的连接线。
切割线定理的应用切割线定理在几何学和分析学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：圆的切割线在圆的几何中，切割线定理可以用来证明圆内任意两点之间连线的长度小于等于圆的直径。
多边形的分割切割线定理可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
这在计算几何学中有重要的应用，例如计算多边形的重心或者质心。
积分的应用在分析学中，切割线定理可以用来证明积分的性质。
通过将函数曲线分割成两个等面积的部分，可以推导出积分的对称性和平均值定理等重要结论。
优化问题切割线定理可以用来解决一些优化问题。
例如，在给定一定面积的情况下，如何找到一个凸多边形使得周长最小，或者如何找到一个凸多边形使得某个属性的值最大化。
总结切割线定理是数学中的一个重要定理，它可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
本文通过详细的证明过程和应用场景的介绍，希望读者对切割线定理有更深入的理解。
切割线定理与射影定理
射影定理：
如图，ABC为直角三角形，AD为斜边BC 上的高，那么有下面的性质成立：AD²=BD×DC，AB²=BD×BC，AC²=CD×BC 这个性质的证明很简单，可以用相似三角形的原理来证明，在这里就忽略，感兴趣的朋友可以自己搜索搜索。
切割线定理：
PT是切线，另外两条是割线，则有：PT²=PB×PA=PD×PC。
证明过程网上也是一搜一大堆。
这两个定理的结论是否看起来形式上有点相似？是的，其实他们根本就是说的一个东西……这两个定理其实就是一个结论，如果学生可以将这两个定理归结于一个，那么怎么说，都是大有好处的，理由如下：
如下图所示，以AB的中心，AB的一半为半径做圆，因为AD⊥BD，那么D点必在
又由于AC⊥AB，故可以知道。
CA其实就是该圆在A 点的切线。
CB是一条割线，那么根据切割线定理，AC²=CD×CB……！这不刚好就是射影定理吗？同理你也可以解释AB²=BD×BC。
有点特色的就是第一条了。
以此就可以看出来，射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
要说的是根据AD²=BD×DC可以得出一个著名的不等式——均值不等式。
