两个平面的位置关系

三．两个平面的位置关系知识提要1. 空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系．2. (1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行．(2)判定 如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．3. (1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(3)性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．(2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于另一个平面的直线，也垂直于交线．4. 二面角 平面一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．5. 二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直二面角。

6. 作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解．课前练习1．α、β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它．解析：m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n （或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β⇒α⊥β）证明如下：过不在α、β的任一点P ，作PM ∥m ，PN ∥n ，过PM 、PN 作平面r 交α于MQ ，交β于NQ ． MQ PM PM m PM m ⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥αα//， 同理PN ⊥NQ ．因此∠MPN ＋∠MQN = 180°，故∠MQN = 90°⇔∠MPN = 90°即m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n2．自二面角一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补．证明：如图PQ ⊥，PQ ⊥AB ，PR ⊥，PR ⊥AB ，则AB ⊥面PQR ．经PQR 的平面交、于SR 、SQ ，那么AB ⊥SR ，AB ⊥SQ ．∠QSR 就是二面角的平面角．因四边形SRPQ 中，∠PQS ＝∠PRS ＝90°，因此∠P ＋∠QSR ＝180°．3．在60°的二面角M －a －N 有一点P ，P 到平面M 、平面N 的距离分别为1和2，求P 点到直线a 的距离．解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA ⊥M ，A 是垂足，PB ⊥N ，B 是垂足，先作了两条垂线，找出P 点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA 、PB 确定平面α，设α∩M =AC ，α∩N =BC ，C ∈a ．由于PA ⊥M ，则PA ⊥a ，同理PB ⊥a ，因此a ⊥平面α，得a ⊥PC ．这样，∠ACB 是二面角的平面角，PC 是P 点到直线a 的距离，下面只要在四边形ACBP ，利用平面几何的知识在△PAB 中求出AB ，再在△ABC 中利用正弦定理求外接圆直径2R ＝3212，即为P 点到直线a 的距离，为3212． 4．判定下列命题的真假（1）两个平面垂直，过其中一个平面一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；（2）两个平面垂直，分别在这两个平面且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；（3）两平面垂直，分别在这两个平面的两直线互相垂直。

解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体AC 1中，平面AC ⊥平面AD 1，平面AC ∩平面AD 1＝AD ，在AD 上取点A ，连结AB 1，则AB 1⊥AD ，即过棱上一点A 的直线AB 1与棱垂直，但AB 1与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是AB 1没有保证在平面ADD 1A 1，可以看出：线在面这一条件的重要性；（2）该命题注意了直线在平面，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC 1中，平面AD 1⊥平面AC ，AD 1⊂平面ADD 1A 1，AB ⊂平面ABCD ，且AB ⊥AD 1，即AB 与AD 1相互垂直，但AD 1与平面ABCD 不垂直；（3）如图,正方体AC 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，AD 1⊂平面ADD 1A 1，AC ⊂平面ABCD ，AD 1与AC 所成的角为600，即AD 1与AC 不垂直 解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。

点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个面；③直线必须垂直它们的交线。

5．设S 为ABC ∆平面外的一点，SA=SB=SC ，γβα2,2,2=∠=∠=∠ASC BSC ASB ，若γβα222sin sin sin =+，求证：平面ASC ⊥平面ABC 。

解析：（1）把角的关系转化为边的关系（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）证明：设D 为AB 的中点 SB SA = α=∠∴ASD SA AB SA AD 2sin ==α 同理SC AC SB BC 2sin ,2sin ==γβ SC SB SA == 且γβα222sin sin sin =+ A B CD A 1 D 1 C 1B 1 A BCD A 1 D 1 C 1 B 1222AC BC AB =+∴即ABC ∆为ABC Rt ∆且S 在平面上的射影O 为ABC ∆的外心则O 在斜边AC 的中点。

⊥∴SO 平面ABC⊂SO 平面SAC∴平面ASC ⊥平面ABC教学过程一．平面与平面的平行例 1 已知平面α、β，如果直线a ⊥α,a ⊥β,求证：平面α∥平面β。

证明：设1O a =α ，过O 1作11,b a 两相交直线，设a 与1a 确定的平面为γ，2a =βγ ，从而β////,12121a a a a a a a ⇒⇒⊥⊥。

同理β//1b 。

所以βα//。

例 2 已知平面α∥平面β，（1）若直线a ∥平面α，判断直线a 与平面β的位置关系。

（2）若直线a ⊥平面α，判断直线a 与平面β的位置关系。

（3）给出的三个平面γ（γ与α、β不重合），试判断平面α、β、γ之间的位置关系。

解：（1）β//a 或β⊂a 。

（2）β⊥a 。

（3）βαγ////或γβα,,都相交。

例 3 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1111A B A D 、的中点，E 、F 分别为棱1111B C C D 、的中点。

（1）求证：E 、F 、B 、D 共面；（2）证明：平面AMN ∥平面EFDB 。

证明：（1）EF//B 1D 1，B 1D 1//BD ，∴EF//BD ，∴E 、F 、B 、D 共面。

（2）NE//A 1B 1，A 1B 1//AB ，∴NE//AB ，且NE=AB ，∴ABEN 是平行四边形。

∴AN//平面BEFD 。

同理：AM//平面BEFD 。

∴平面AMN ∥平面EFDB 。

二．平面与平面的垂直例 4 已知平面α∥平面β，平面γ⊥α，求证：β⊥γ。

证明：设,a =γα 在γ作γβγββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⊥c c c a c //。

例 5 在三棱锥S ABC -中，∠ASC =∠60ASB =︒，∠90BSC =︒，SA SB SC a ===，求证：平面SAB ⊥平面SAC 。

证明：作BD ⊥SA 于D ，DE ⊥SC 于E ，连接BE ，设SD=x,则SB=2x ，2,23,3x SE x DE x BD ===， 又41744,2222222x x x SE SB BE BSE =+=+=∴=∠π， 又41743322222x x x DE BD =+=+， 所以222BE DE BD =+，所以BD ⊥DE ，又BD ⊥AS ，从而BD ⊥面SAC 。

所以平面SAB ⊥平面SAC 。

三．二面角例 6 在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC 且分别交AC 、SC 于D 、E ，又,SA AB SB BC ==，求以BD 为棱，以BDE 、BDC 为面的二面角的大小。

解：E 为SC 的中点，SB=BC ，∴BE ⊥SC ，又DE ⊥SC ，∴SC ⊥平面BDE ，∴BD ⊥SC ，又BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC ，∴∠EDG 为二面角E-BD-C 的平面角。

设SA=AB=1，则SB=BC=2，∴SC=2，∴∠SCA=300，∴∠EDC=600， 所以二面角E-BD-C 的的大小为600。

例7 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点． AC ，BD 交于O 点．（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小：（Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．解析：（Ⅰ）解：连QO ，则QO ∥PA 且QO ＝21PA ＝21AB ∵ PA ⊥面ABCD∴ QO ⊥面ABCD面QBD 过QO ，∴ 面QBD ⊥面ABCD故二面角Q －BD －C 等于90°．（Ⅱ）解：过O 作OH ⊥QD ，垂足为H ，连CH ．∵ 面QBD ⊥面BCD ，又∵ CO ⊥BD ，∴CO ⊥面QBD ，∴CH 在面QBD 的射影是OH 。

∵ OH ⊥QD ，∴ CH ⊥QD ，于是∠OHC 是二面角的平面角．设正方形ABCD 边长2，则OQ ＝1，OD ＝2，QD ＝3．∵ OH ·QD ＝OQ ·OD ，∴ OH ＝32．又OC ＝2，在Rt △COH 中：tan ∠OHC ＝OH OC ＝2·32＝3 ∴ ∠OHC ＝60°，故二面角B －QD －C 等于60°．例8 河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤脚的水平线AB 的夹角为30°，沿着这条直道从堤脚上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？ 解析： 已知 所求河堤斜面与水平面所成角为60° E 到地面的距离利用E 或G 构造棱上一点F 以EG 为边构造三角形解：取CD 上一点E ，设CE ＝10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度．在河堤斜面，作EF ⊥AB ．垂足为F ，连接FG ，由三垂线定理的逆定理，知FG ⊥AB ．因此，∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成的二面角的平面角，∠EFG ＝60°．由此得：EG ＝EF sin60°＝CE sin30°sin60°＝10×21×23≈4.3（m ） 答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．例9 四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB 垂直面ABCD ，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．解析：：注意到题目中所给的二面角，面PAD 与面PCD 的棱为PD ，围绕PD 而考虑问题解决途径．证法一：利用定义法经A 在PDA 平面作AE ⊥PD 于E ，连CE ．因底是正方形，故CD ＝DA ．△CED ≌△AED ，AE ＝EC ，∠CED ＝∠AED ＝90°，则CE ⊥PD ．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成二面角的平面角．设AC 与BD 交于O ，连EO ，则EO ⊥AC ．a OA a OA =∴=2,22 ，而AE ＜AD ＜a ． 02)2)(2(2)2(cos 222<⋅-+=⋅-+=∠ECAE OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC ． 所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．证法二：运用三垂线法∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB，∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD．过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD．在面PBC作PGBC，连GD．经C作CF⊥面PAD于F，那么连结EF，有EFAD．经F作FH⊥PD于H，连CH，则∠FHC是所求二面角平面角的补角．因CF⊥FH，故∠FHC是锐角．则面PAD与面PCD所成二面角大于90°．所以，此结论证明过程中与棱锥高无关．证法三：利用垂面法找平面角．在证法一所给图形中连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD，∴AC⊥PD．经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE，即PD⊥CE．故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角．以下同证法一．。