第1章 偏好、效用与消费者的基本问题

由隐函数定理可知：
dx2 u u dx2 u 0, x1 x1 x2 dx1 dx1 u x2
dx2 定义商品1对于商品2的边际替代率为 ,记为MRS1,2 dx1 所以，MRS1,2 dx2 u dx1 x1 u x2
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由于无差异曲线凸向原点，可以看出，随 着x1消费数量的增加，其切线斜率的绝对值 在不断下降，也就是说， x2对x1的边际替 代率在不断下降。 怎样从数学上严格地证明这一点？？
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二、效用函数的导数：边际效用
边际效用是新增一个单位商品的消费所增加的 总效用。 边际效用的数学表达式就是效用函数的一阶偏导 数。 边际效用递减规律： 边际效用随着商品消费数量的增加而不断减小。

边际效用递减规律的数学含义是什么？
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三、边际替代率

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偏好与效用函数

当且仅当偏好关系是严格单调的，那么代表该 偏好关系的效用函数是严格递增的； 当且仅当偏好关系是凸的，那么代表该偏好关 系的效用函数是拟凹的；当且仅当偏好关系是 严格凸的，那么代表该偏好关系的效用函数是 严格拟凹的。

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效用函数的正单调变换
x1
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（6’）严格凸性：
x0
如果x1 x0 , 且x1>x0 ,则对于所有的 (0,1),都有x1 (1 ) x0
x2
x1
x
0
x

x2
x1
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x2
y
X
x (1 ) y

x
O
凸集偏好
x1
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L( x1 , x2 , ) u ( x1 , x2 ) y p1 x1 p2 x2
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运用最大化一阶条件，可以得到：
L u p1 0 x1 x1 L u p2 0 x2 x2 L y p1 x1 p2 x2 0

代表某一偏好关系的效用函数不是唯一的；
若u(x)是代表某一偏好关系的效用函数，若存 在另一函数f，且当u1>u2 时有： f(u1)>f(u2) 也即f(u)为原效用函数的单调变换，则f(u) 也是 一个代表这一偏好关系的效用函数。

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常见的单调变换的例子：
1.对原效用函数乘上一个正数； 2.对原效用函数加上任意一个数； 3.对原效用函数取奇次幂； 4.指数函数和对数函数互为单调变换函数。
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（4）消费集是凸集
凸集的数学表示形式：
1 1 2 2 2 2 x1 ( x1 , x2 , , x1 ) X x ( x , x , , x n 1 2 n ) X 则对 0 1
x (1 ) x X R
1 2
n
n
代表偏好关系的函数：
对于所有的x , x R , u ( x ) u ( x )，
0 1 n 0 1
当且仅当x 0
x1。
效用函数
偏好关系
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效用函数的存在定理

定理1：如果消费集是有限集，且偏好关系是 理性的，则存在一个代表该偏好关系的效用函 数。

定理2：如果理性的偏好关系满足连续性和严 格单调性，那么必存在一个可以代表该偏好关 系的连续的效用函数。
三、无差异曲线
如果消费集中只有两种商品，则消费者所有的无 差异集都可以表示在二维平面上，公理5’和6 使得它的图像有如下性质： 1.是一条斜率为负的曲线； 2.凸向原点； 3.消费者更偏好距离原点较远的无差异集； 4.不同的无差异曲线不能相交。
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L x R, u( x) a

n Rn x , x , , x : x R, x 0, i 1,2, , n ,x R 1 2 n i i
消费集可表示为：
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消费集的性质
（1）消费集是商品空间的子集，但不是空集
X R
n
（2）消费集X是闭的 消费集中的所有的极限点都包含在该集之中 （3）消费集的下限 指消费者可以不消费 0 X
即任意两个消费计划的线性组合仍包含在该 消费集内。
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y

z x (1 ) y
x
凸组合
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二、偏好关系
1.偏好的定义 消费集中的一种两元关系，用 来表示，若 a b，则消费者认为“a至少和b一样好”。 在经济学中，一般都会对偏好的性质做出一些 限制。
x
0
x
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1
（6）偏好的凸性与严格凸性： 凸性：即任意两个消费束的线性组合至少应当 与原来的消费束中的偏好一样好。
如果x1 x0 , 则对于所有的 [0,1],都有x1 (1 ) x0 x0
x2
x
1
x

x2
a.注意λ的定义域。 b.凸性表示无差异集不可能 有凹向原点的线段，为什 么？
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2.偏好关系的公理
（1）偏好关系的完备性：
1 2 x x 对于任意X中 有：
x
1
x 和x
2
2
x 两者必有一个成立
1
这就是说，任意两个消费束之间是可以进行比较 的。
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（2）偏好关系的自反性：一个消费束至少应当 与其自身一样好。 x x x X
（3）偏好关系的传递性：
u 解得， p1 x1
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u p2 x2
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（ u x） （ u x） x1 x2 ＝ P P2 1

等边际法则 Lagrange Multiplier 的经济学含义： 收入增加1元所带来的边际效用
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u 由 p1 x1 u x1 p1 u x2 p2
是在保证效用水平不变的条件下，若消费者减 少一种商品的消费数量则需要增加的另一种商 品的数量。 用图形表示，边际替代率就是无差异曲线切线 斜率的绝对值。

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x2
A
两类商品的边际替代率
x2
B
O
x1
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x1
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无差异曲线的表达式为：u u( x1 , x2 ) u 0
0 1
2
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x2
y p2
a
B
p1 p2
（1）预算线的斜率。 （2）预算集表示消费者的选 择空间。
x
* 1
y p1
x1
预算集与预算线
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二、效用最大化基本问题
ma x
x
u( X ) px y
s.t
等价于： m a x u( X )
x
s.t
px=y
n x(p,y) R 最优的消费束可以表示为：
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消费者的预算集可表示为：
n
n B {x | x R , px pi xi y} i 1

若只有两种商品，则预算约束集为：
2 B x R , p1 x1 p2 x2 y
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x
A
2
B
B O
x
1
34Leabharlann 2014-12-19n 对于所有的x 0 R 和 0,
x B x 0
n R ，使得x
x0 。
n R
含义:消费者的欲望是无 限的
x0 · x ·
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（5’）偏好的强单调性：即消费者总是偏好更多的 商品，或者在心理上反映为多多益善。
x2 x1
2 x
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无差异集中没有斜率 为正的线段

u ( x) a
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x0
不同水平的无差异曲线
u ( x) a3 u ( x) a2 u( x) a1
O
x
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1
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A3


A 1
不同的无差异曲 线不能相交

A2
U1
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U2
§2.效用函数
一、效用函数与偏好关系
一个实函数u : R R, 在下列条件下被称为
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经典消费者理论的图示
Preference Utility Function
Demand
Budget Constraint
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一、消费集

是指消费者在进行消费时所能选择的商品的范 围（或称选择域），也称为消费束。 它可以用一个n元商品组合的向量描述，记为 n X，X R 在数学上x为n维欧式空间上的一点。
u p2 可知 x2
dx2 u(x) x1 MRS12 dx1 u(x) x 2
dx2 p1 MRS12 dx1 p2 边际替代率等于价格之比（相对价格）