高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习

高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

，求f(x)的解，待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。

x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。

三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进展分析。

【模拟试题】(答题时间：30分钟)一. 选择题1、函数y ＝f 〔x 〕的值域是［－2，2］，那么函数y ＝f 〔x ＋1〕的值域是〔 〕 A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔x 〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔x 〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔x+1〕的图象是由y=f 〔x 〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔x+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔x+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔x 〕＝x 2－2x ，那么函数f 〔x 〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2x 〔x ≤10〕 B.y ＝20－2x 〔x<10〕C.y ＝20－2x 〔4≤x<10〕D.y ＝20－2x 〔5<x<10〕解：Y=20-2X Y>0，即20-2X>0，X<10， 两边之和大于第三边， 2X>Y ， 即2X>20-2X 4X>20 X>5。

此题定义域较难，很容易忽略X>5。

∴5 4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，那么区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y=4，x=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，那么函数y ＝f 〔x ＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤x ≤4 那么3+2 ≤x+2≤4+2，所以5≤x+2≤6 所以 y=f(x)的定义域为[5,6] 那么5≤x+5≤6，那么0≤x ≤1 所以y ＝f 〔x ＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕。

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

函数专题之解析式问题求函数解析式的方法f(x)的解析式。

，∴f(x)=2x+7待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。

x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。

三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

换元法()f x 211(1)(1)1f x x+=-2211(2)()f x x x x+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式22()(1)12f t t t t∴=--=-11tx+=（1）解：令11t x=-1t ≠则且2()2f x x x=-(1)x ≠即换元法2()2f x x ∴=-(2)x ≥凑配法x1x x+用替代式中的12x x+≥又考虑到211()()2f x x x x+=+-（2）解：【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。

【知识要点】一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：1、待定系数法：假设函数解析式的类型〔函数是二次函数、指数函数和对数函数等〕时，可以用待定系数法.2、代入法：假设原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.3、换元法：假设复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元〞的范围.4、解方程组法：假设抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式. 【方法讲评】【例1】()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .【点评】〔1〕此题由于函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.〔2〕由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比拟等式两边的系数分别相等列方程组.【例2】函数)sin(ϕ+ω=x A y 〔0,||)2πϖφ><的图形的一个最高点为〔2，2〕，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过〔6，0〕，求这个函数的解析式.【解析】由题得)A y wx φ=∴=+【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过条件找到关于待定系数的方程 〔组〕.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.【反响检测1】()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且(0)1f =,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式.【例3】函数2()21f x x x =+-，求函数(1)f x -的表达式. 【解析】由题得22(1)2(1)(1)123f x x x x x -=-+--=-【点评】此题就是原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用“1x -〞代换原函数中的“x 〞即可.这就是代入法求函数的解析式.【例4】函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求当)0,(-∞∈x 时，)(x f 的函数解析式.【点评】此题就是某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式. 一般先在所求的函数的图像上 任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中数学常见到的一种题型，要好好地理解和掌握. 学科.网【反响检测2】设函数1()f x x x=+的图象为1C ，1C 关于点(2,1)A 对称的图象为2C ， 求2C 对应的函数()g x 的表达式.【例5】(1)lg f x x +=，求()f x .【解析】令21t x +=〔1t >〕，那么21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，所以2()lg (1)1f x x x =>-.【点评】〔1〕此题就是复合函数的解析式，求原函数的解析式.一般先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式.〔2〕换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.【反响检测3】 (1cos )cos 2,f x x -=求()2x f 的解析式.方法四 解方程组法使用情景 抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量.解题步骤利用构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即可.【例6】()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ． 【解析】12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-． 【点评】在的方程中有自变量x 和1x ，它们互为倒数，所以可以把方程中x 的地方统一换成1x，从而又得到一个关于1(),()f x f x 的方程，解关于1(),()f x f x的方程组即可.【反响检测5】定义在区间(1,1)-上的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 的表达式. 方法五 实际问题法 使用情景 实际问题解题步骤一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义域.【例7】某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车分开A 地的路程()x km 表示为时间()t h 〔从A 地出发是开场〕的函数，再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数．【点评】实际问题中求函数的解析式难度比拟大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变量的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关系.在写函数的解析式时，要注意函数的定义域.【反响检测6】 某公司消费一种产品的固定本钱为0.5万元，但每消费100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数()252x R x x =- ()05x ≤≤万元，其中x 是产品售出的数量〔单位：百件〕.〔1〕把利润表示为年产量的函数()f x ； 〔2〕年产量为多少时，当年公司所得利润最大.高中数学常见题型解法归纳及反响检测第05讲：函数解析式的求法参考答案【反响检测1答案】21()212f x x x =++ 【反响检测1详细解析】(0)bx c a ++≠2设二次函数的解析式为f(x)=ax 【反响检测2答案】12(4)4y x x x =-+≠- 【反响检测2详细解析】设(,)x y 是函数()g x 图象上任一点 ，那么关于(2,1)A 对称点为(4,2)x y --在()y f x = 上，即：1244y x x -=-+-即：124y x x =-+- 故1()2(4)4y g x x x x ==-+≠-. 【反响检测3答案】242()241(f x x x x =-+≤≤【反响检测5答案】21()lg(1)lg(1)(11)33f x x x x =++-+-<< 【反响检测5详细解析】【反响检测6答案】〔1〕()()()219105;242120.255x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩〔2〕当年产量为475件时，公司所得利润最大.〔2〕当05x ≤≤时，()()2121.56254.7522f x x =--+∴当年产量为475件时，公司所得利润最大， ∵该产品最多卖出500件，∴根据问题的实际意义可得，当年产量为475件时，公司所得利润最大.。

高考数学_高中数学函数解析式六解法汇总
一、待定系数法：
在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例题1、设 f（x）是一次函数，且 f [ f（x）] = 4x + 3 ，求 f（x）的解析式。

解：设 f（x）= ax + b （a ≠ 0），则
∴ f（x）= 2x + 1 或 f（x）= -2x - 3
二、配凑法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式，求 f（x）的解析式， f [ g（x）] 的表达式容易配成 g（x）的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数 f（x）的定义域不是原复合函数的定义域，而是 g（x）的值域。

例题2、
求 f（x）的解析式。

解：
三、换元法：
已知复合函数 f [ g（x）] 的表达式时，还可以用换元法求 f（x）的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例题3、已知
求 f（x + 1）的解析式。

解：
四、代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例题4、已知：函数 y = x^2 + x 与 y = g（x）的图象关于点（-2,3）对称，求 g（x）的解析式。

解：
五、构造方程组法：
若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例题5、
解：
例题6、
解：
六、赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例题7、
解：。

---------------------------------------------------------------1 函数解析式的七种求法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

---------------------------------------------------------------2 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

求函数的解析式一、解析式的表达形式——解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。

1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：b kx y )0(k；二次函数：c bx axy2)0(a 反比例函数：x k y)0(k；正比例函数：kxy )0(k2、分段式：函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。

例1、设函数,1,log 1,,2)(81xx x x f x，则满足41)(x f 的x 的值为。

3、复合式：若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a xx g u u f y ，那么y 关于x 的函数b a x x g f y,,)(叫做f 和g 的复合函数。

例2、已知3)(,12)(2xx g xx f ，则)(x g f ，)(x f g 。

二、解析式的求法—根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。

1待定系数法——若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

例3、已知二次函数)(x f y满足),2()2(xf xf 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y的解析式。

分析：二次函数的解析式有三种形式：①一般式：)0()(2a c bx axx f ②顶点式：为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2③双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121x f x x ax x x xa x f2、换元法——例4、已知：11)11(2xxf ，求)(x f 。

注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。

3、配凑法——例5、已知：221)1(xxx xf ，求)(x f 。

注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制； 2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。

高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、定义法：根据函数的定义求解析式用定义法。

【例1】【例2】【例3】【例4】二、待定系数法：（主要用于二次函数）已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

【例1】【解析】【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ①f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b②由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得解得故f（x）= x2+7x.【例3】三、换元（或代换）法：道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。

实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】【解析】【例2】【例3】【例4】（1）在（1（2）1（3）【例5】（1（2）由【例6】四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．【例1】解则解得，上，(五)配凑法【例1】：2x当然，上例也可直接使用换元法即由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

【例2】：分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。

和换元法一样，最后结果要注明定义域。