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三角形射影定理几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C =90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=B D·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（B D+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c 在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为B D、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
三角形的射影定理
三角形的射影定理(也称为三角形的面积定理)是几何学中一个
基本的定理,描述了三角形的三个顶点位置以及对应边长之间的关系。
该定理可以用于计算三角形的面积、周长、角度等。
射影定理的表述如下:如果一个三角形的三个顶点分别为A、B、C,且AB、AC、BC为边长,则有以下关系:
在直角三角形ABD中,点D的射影是线段AD。
在直角三角形ABC中,点C的射影是线段BC。
在直角三角形ACD中,点D的射影是线段CD。
这个定理可以拓展到n个顶点的三角形,即对于n个顶点的三角形,每个顶点的射影都可以表示为线段n。
射影定理的实际应用非常广泛,例如可以用来计算三角形的面积,求解三角形中的角度问题,以及推导其他几何定理等。
拓展:
除了直角三角形之外,其他形状的三角形也可以使用射影定理进
行计算。
例如,如果一个等边三角形的三个顶点分别为A、B、C,则点C的射影是线段AB。
如果一个等腰三角形的三个顶点分别为A、B、C,则点C的射影是线段AC。
如果一个等边/等角三角形的三个顶点分别为A、B、C,则点C的射影是线段BC。
直角三角形射影定理证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形射影定理，也称为锐角三角形的射影定理，是解决三角形中高度、中线、中位线等特殊线段长度之间关系的一个重要定理。
这个定理的证明过程相对比较简单，但需要通过严谨的推理和几何知识的运用来完成。
下面我们将详细说明关于直角三角形射影定理的证明过程。
我们先来说明三角形的射影定理的定义：在一个直角三角形ABC 中，假设AD是BC边的高，BD是BC的中线，CD是BC的中位线，那么有以下关系成立：AD²=BD×CD。
证明如下：首先我们利用勾股定理得到直角三角形ABC中的三条边长度关系。
假设AB=c，BC=a，AC=b。
在三角形ABC中，根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²b² = c² + a²下面我们来分别研究BD和CD的长度。
我们来研究BD的长度。
根据三角形中线的性质可得：BD = 1/2 * BCBD = 1/2 * aBD = a/2接着，我们来研究CD的长度。
根据三角形中位线的性质可得：CD² = 1/2 * AC² + 1/2 * AB² - 1/4 * BC²CD² = 1/2 * b² + 1/2 * c² - 1/4 * a²CD² = 1/2 * (c² + a²) - 1/4 * a²CD² = 1/2 * (b²) - 1/4 * a²CD² = 1/2 * b² - 1/4 * a²通过严谨的推理和几何知识的运用，我们成功证明了直角三角形射影定理成立：在一个直角三角形ABC中，假设AD是BC边的高，BD是BC的中线，CD是BC的中位线，那么有AD²=BD×CD的关系成立。
直角三角形的射影定理
学习目标：
了解射影的概念，掌握射影定理,会用射影定理解决简单问题。
学习过程：
一、学习准备——什么叫“射影”
1．如图，太阳光垂直于l 照在A 点，留在直线l 上的影子应是点'A ，线段AB 留在MN 上的影子是线段''B A .
定义：过线段AB 的两个端点分别作直线l 的垂线，垂足'A ，'B 之间的线段''B A 叫做线段AB 在直线l 上的正射影，简称射影.
随堂练习一：
1.如图：CD 是直角三角形ABC 的斜边AB 上的高， 顶点C 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边AC 在斜边AB 上的射影是：______， 直角边BC 在斜边AB 上的射影是：______.
2.画出图中各线段在直线MN 上的射影.
二、学习新知——“射影定理”
1.已知：如图，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D .
(1) 图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?
(2) 观察第(1)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?
(3) 由上可得到哪些等积式? 能否用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?
2.直角三角形的射影定理：
直角三角形斜边上的高是 的比例中项； 两直角边分别是 的比例中项. 请同学们自己写出已知条件并证明. 已知： 求证： 证明：
M
N
A
D
C
几何语言：
∵︒=∠90ACB ，AB CD ⊥
∴
三、巩固新知——“射影定理”的使用
例1 已知：ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，AB CD ⊥于D . ⑴若6=AD ，24=BD ，求CD ,AC ,BC ；
⑵若4=AC ，3=BC ， 求BD ,DA ,CD ；
⑶若23=
AD ，2
5
=AC ，求AB ,BC ,CD .
随堂练习二：
1.如图，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ,已知6=AD ，4=BD ，则图中其他线段的长 CD =_______，AB =________，AC =_______，BC =_________.
2.如图，已知︒=∠90BAC ，BC AD ⊥于D , 4=AB ，6=AC . 求BD 、DC 的长.
注意：①要用射影定理需有直角三角形，有斜边上的高线.
②射影定理的每一个乘积式中，含有三条线段，需已知其中两条，通过方程就可以求出第三条.
③在解题过程中，要注意和勾股定理联系起来，要注意选择适当的简便方法.
D
C B A
例2 如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .
求证：AC AF AB AE •=•.
拓展 如图，CD 是ABC ∆的高，CB DF CA DE ⊥⊥,.
求证：CEF ∆∽CBA ∆.
随堂练习三：
1.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，BC DE ⊥. 求证：BC CE BD AD •=•.
2.如图，ABC ∆中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD •=2
. 求证：ABC ∆是直角三角形.
B
A
四、课堂练习
1.在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD
CD
=（ ） A.34 B.43 C.169 D.916
2.ABC ∆中，︒=∠90A ，BC AD ⊥于点D ，6=AD ，12=BD ， 则CD= ，AC= ，22
:AB AC = .
3.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，6=AC ，6.3=AD ， 则BC = .
4.已知，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D .（1）若8=AD ，2=BD ，求AC 的长.（2）若12=AC ，16=BC ，求CD 、AD 的长.
5.如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AM 是BC 边的中线，AM CN ⊥于N 点，连接BN ，求证：AM MN BM •=2
.
C
B
五、课后作业
班级 姓名
1.如图，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，3=AD ，2=BD ，
则BC AC :的值是 ( ) A ．3：2 B ．9：4 C ．3：2 D ．2：3
2.在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥交AB 于点D ，若9=AD cm ，4=BD cm 则AC 的值为 （ ） A ．13cm B ．13cm C ．132cm D ．133cm
3.CD 是ABC Rt ∆斜边上的高,
⑴已知9=AD ，6=CD ，求BD ,BC ；
⑵已知25=AB ，15=BC ， 求BD ,CD .
4.设AD 是ABC Rt ∆斜边BC 上的高，且60=AC ，45=AB , 求 AD ,BD ,CD .
5.在ABC ∆中，90BAC ∠=，AD 是斜边上的高，DE 是ABD ∆的高，
且5=AC ，2=CD ,求 DE .
6.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，CE 平分BCD ∠
求证：AB AD AE •=2 .
7.如图，︒=∠=∠90C B ，BAD ∠，ADC ∠的平分线AE 、DE 交于BC 上一点
E ,AD E
F ⊥于F ，求证：2EF AB DC =•.
8.已知：在ABC Rt ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 上一点，BE CF ⊥于F ，求证：BFD ∆∽BAE ∆.
9如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，延长CA 到E ，使CA EA =，连接BE ，DE ，求证：BE AE AB DE •=•.
E
A
B
B
E。
