下载文档原格式
数学分析第四版答案简介《数学分析第四版》是一本经典的数学教材，主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。
本文档旨在提供《数学分析第四版》习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握数学分析的知识。
第一章简介1.1 数学分析的基本概念习题答案：1.由已知条件可知，当a=a时，a(a)=a(a)成立。
所以函数a(a)是一个常函数。
2.对于任意实数a和a，有a(a+a)=a(a)+a(a)，即函数a(a)满足加法性。
根据题意，我们需要证明a(aa)=a(a)a(a)。
证明：设实数a和a，并令a=a和 $b=\\frac{y}{x}$，根据加法性，我们有：$$ f(a+b) = f(a) + f(b) \\quad \\text{(1)} $$将a=a和 $b=\\frac{y}{x}$ 代入上式，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(x) +f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(2)} $$又根据题目条件，我们知道a(aa)=a(a)a(a)，将$b=\\frac{y}{x}$ 代入该式，得到：$$ f(xy) = f\\left(x\\cdot\\frac{y}{x}\\right) =f(x)f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(3)} $$将式 (3) 代入式 (2)，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(xy) \\quad \\text{(4)} $$根据题目条件中的函数性质，我们得到：$$ x+\\frac{y}{x} = xy $$上式可以转化为二次方程的形式，解得：$$ x^2 - xy + \\frac{y}{x} = 0 $$由上式可知，a是方程a2−aa+a=0的一个根。
根据韦达定理，该方程的两个根分别为：$$ x_1 = \\frac{y+\\sqrt{y^2+4}}{2} \\quad \\text{和}\\quad x_2 = \\frac{y-\\sqrt{y^2+4}}{2} $$由于题目中没有限制a的取值范围，所以a可以取任意实数。
高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】xt>一、判断题1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.错.2. 如果a2?0,则a?0.错.如a11?2?,a?0,但a?0.1?1?23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.1?1?2?1?3?2?6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且(a*)?1?1a. |a|8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.二、选择题1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a3．以下结论不正确的是（ c ）.(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)6．下列命题正确的是（b ）.(a) 若ab?ac，则b?c(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；(b) 当m?n时，必有行列式ab?0(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.8．以下结论正确的是（ c）(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组a*x?0的基础解系为（ c ）.（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性相关的，因此答案为（c）.由a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩阵nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0(b) a主对角线上的元素全为零11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?012．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c(d) 若b?c，则必有ab?ac13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；***t**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.aa*?ae?a.*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）234n(a) a (b) a (c) a(d) a16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?ak?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随(d)以上结论都不对18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?0? *?bb?0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)c0?aba*0?? (d) c??ab*??0利用cc*?|c|e验证.19．已知a46??135?，下列运算可行的是（ c ） ,b1?2??246?(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba【篇二：高等代数第4章习题解】题4.11、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?1(1,0,1,5) 2（2）5(0,1,2)?(1,1,0)?(1,1,1) 215517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?（2）5(0,1,2)?(1,19,0)?(1,1,1)?(0,,9) 222、验证向量加法满足交换律、结合律。
高等数学A1测验一参考答案年级专业班级 学号 姓名_________一、填空题（每小题3分，共12分） 1. 0lim0 .x →=2. 1(arcsin'=3.2arctan(1) .22dxx c xx =++++⎰4.(1212.3xdx -+=⎰二、选择题（每小题3分，共12分）1. 若0x 为()f x 的极大值点, 则下列命题中正确的是( D )(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''= (C) 0()f x '不存在 (D) 0()0f x '=或不存在 2. 设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在点x a =处( B )(A) ()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B) ()f x 取得极大值 (C) ()f x 取得极小值 (D) ()f x 的导数不存在 3. 设2(),txF x te dt =⎰则()( D )F x '=(A) xxe - (B) xxe (C) xxe- (D) xxe--4. 若2(),x x f e dx e C '=+⎰则()f x =( C ) (A)12xe C + (B) 2xeC + (C)323x C + (D)443x C +三、解答题（每小题6分，共18分） 1.123lim .21x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭解:212(1)2212(1)lim212lim 1621 8 10x x x x x x x x e e →∞++⋅+→∞++⎛⎫'=+ ⎪+⎝⎭'='= 原式2. 2sin limsin x x x x x→-解: xx x x x 2si nsi n lim -→613cos 1lim2=-=→xx x3. 23sin limx x t dt x→⎰解: 23sin limx x t dt x→⎰313si n lim22==→xx x四、 解答题（每小题6分，共18分）1. 已知()(21ln ,.y x x y '=-+求解: 11)1()1ln(2222--+-+='xx xx x y2. 设()2cos sin (),y f x f x =+求.dy 解：22s i n 2(c o s )()c o s ()[s i n 2(c o s )()c o s ()]y x f x f x f xd y x fxf x f xd x '''=-+''=-+3. 设 ()1sin ,0 sin cos t u x du x u y t t tπ⎧=⎪<<⎨⎪=-⎩⎰，求22, .dy d y dx dx 解: 2sin ,sin ,t dy dx dt dy t tdt t tdx===22222()sin sin d y ddy dt t t t dxdt dx dx t t===五．解答题（每小题7分，共28分） 1.()21ln dx x x ⎰解: ()21ln dx x x ⎰=()211ln ln ln d x C xx =-+⎰2.dx ⎰解:dxxx ⎰-+211cos()cos 44sin sin cos )4t t x t dt dt t tt πππ+-==++⎰⎰⎰+++=dt t t )1)4sin()4cos((21ππ1ln(arcsin )2x x C =+++3. 求曲线332y x x =-+介于两个极值点之间与x 轴所围平面图形的面积。
第四册参 考 答 案第七章 §7.41.（1）])1ln()[1(11C x x y x+-+-=-； （2）)(C e x y x n +=； （3）x e C x y sin )(-+=； （4）y y y C x ln ln ln ln ⋅-=； （5）2213y Cy x +=； （6）xx y cos 1--=π. 2.)ln 41(x x y -=. 3.)()(313133913+-=-x e x x ϕ. 4.（1）x Cx y ln 11++=； （2）2214)ln (C x x y +=； （3）)ln 2(42C y y x +-=. §7.51.（1）3221)3(C x C x C e x y x +++-=； （2）21ln C x C y +=；（3）21)cos(ln C C x y ++-=；（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'+<'+-<'+-=; 1 ),(sh , 1 ),sin( ,1 ),(sh 212121111y C C y C C y C C y C x C xC x （5）21)arcsin(C e C y x +=.2.（1）x y sec ln =； （2）41)1(+=x y . §7.61.2)(21x e C x C y +=，22x xe y =. 3.x e x C x C y ++=221；第七章 总复习题1.（1）B ；（2）C ；（3）A ；（4）A ；（5）D ；（6）D ；（7）B ；（8）A ；（9）B ；（10）C.2.（1）x C x y cos )(+=； （2）)1sin cos (21++=x C x C e y x ；（3）x x e x C e C y 21221)(--++=； （4）x x e x e x C C y 221221)(--++=； （5）Cx y x =-4)4(； （6）x x C x C y 2sin cos 21-+=； （7）)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-； （8）)ln (sin C x x x e y x +-=-； （9）1ln 2+=-x y y ； （10）x e x C C y x ++=)(21.3.（1）y e u f y e u f x x x z sin )()sin )((222'+''=∂∂，y e u f y e u f x x yz sin )()cos )((222'-''=∂∂， 代入原“偏微分方程”而化为 0)()(=-''u f u f ，故 u u e C e C u f -+=21)(； （2）由题意知yy x f y x xy xy x x f x f xy x xy x f ∂-+∂∂+'∂=-+=+''=])()([2])([)(22)(2，则)(x f满足2)()(x x f x f =+''，且1)0( ,0)0(='=f f ，求得 2sin cos 2)(2-++=x x x x f ， 再由xu y x x x y x xy P ∂∂=-++-+=]2sin cos 2[)(2 和 y x x x x Q 22sin 2cos ++-=yu∂∂=求得 xy y x x y x y y x u 2sin 2cos ),(2221++-=，故全微分方程的通解为 C xy y x x y x y =++-2sin 2cos 2221； （3）C xy y x x =-+223（全微分方程，通过凑微分即可找到),(y x u ，从而易得其解）；（4）由线性叠加原理并观察可发现：x e y y -=-31 和 x e y y y y 23123)(2)(=-+-应 是对应的齐次方程的解，所以齐次方程为02=-'-''y y y ；再把)(21y y 或代入方程的左端，可知非齐次项应为x e x x f )21()(-=，故该微分方程为x e x y y y )21(2-=-'-''； （5）这是简单的积分方程，两端求导得x e x f x f 22)(3)(+='，即x e x f x f 22)(3)(=-' 且1)0(=f ，于是转化成了一阶线性方程的初值问题，容易求得x x e e x f 2323)(-=； （6）把二重积分化为极坐标得⎰⎰⎰=ttf f 2 0212 0212 0d )(2d )(d ρρρπρρρθπ，并对原方程两端求导得22)(28)(24⋅+='t t f e t t f t πππ，即248)(8)(t e t t f t t f πππ=-'且1)0(=f 容易求得该一阶线性方程初值问题的解为 242)14()(t et t f ππ+=；（7）旋转体的体积⎰=-=tx x f f t f t t V 1223d )()]1()([)(ππ，约去π并两端对t 求导得)()]()(2[221t f t f t t f t ='+，即)(x f y = 满足 2322y y y x x=+'，这是齐次方程，也是2=n 的贝努利方程，其通解为31x C x y +=，而要求的特解为31xx y +=； （8）当1<x 时，2)(=x ϕ，22=-'y y 的通解为121-=x e C y ；当1>x 时，0)(=x ϕ，02=-'y y 的通解为x e C y 22=.由y 在) ,(∞+-∞内连续，特别在1=x 处连续，应有22211e C e C =-，所以2212---=-=e C eC C ，故通解为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-,1 ,)(,1,1222x e e C x Ce y xx 而满足条件的特解（1=C ）为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-;1 ,)1(,1 , 1 222x e e x e y xx（9）21ln )(C x C x f +=.4.①⎰-=xta ax t et f ey 0 d )(； ② 由①知：若k x f ≤)(，则当0≥x 时，便有)1(d d )( d )()( 0x a ak xt a x a xt a x a x t a x a e t e ke t e t f e t e t f e x y -----=≤≤=⎰⎰⎰. 第八章 §8.21.2=λ；4-=μ.2.}1 ,1 ,1{31-或}1 ,1 ,1{31--.3.4-=z 时最小，最小夹角为4π.4.23-. 5.（1）)(2b a ⨯； （2）)(3c b a ⨯∙；（3）c b a ∙⨯)(2； （4）22b a ⋅.7.设},,{z y x =e ，则1222=++=z y x e ，022=+-=∙z y x c e ，又b a e 、、共面，可知 } , ,{ ,02323132-==+e z y 或 } , ,{323132--=e .8.31.双曲柱面；单页双曲面；椭圆抛物面；椭圆抛物面.2.0)2(4)(2=+-+z x z y .3.04)1(925222=--+z y x . 4.（1）绕y 轴：1222=-+y z x（单叶双曲面）；绕z 轴：194222=-+y x z （双叶双曲面）；（2）+--+--3)2(3)2(22z x y z y x 8)(3)2(22z y x x y z ++=--5.（1）0122222=-+-+z z y x ；（2）π32.§8.41.（1）直线； （2）椭圆； （3）抛物线； （4）圆.2.t z t y t x sin 3 ,sin ,cos 2323===，π20≤≤t .第八章 总复习题1.4.2.1.3.30.4.0322=-+z y x .5.0=-z y .6.043=+--z y x .7.023=++-z y x .8. )4 ,2 ,5(-.9. 0143=+-+z y x 和.0352=+--z y x第九章 §9.41.（1）3323xx xx e e e x e ++； （2）0；（3）)(2212f y f x f x '+'+； 223123223f y x f x f x ''+''+'； （4）y uv u y v uv sin )2(cos )2(22-+-； y x uv u y x v uv cos )2(sin )2(22-+--； （5）]sin cos )([12x x a z y a a e ax++-+.2.][x t x y f x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⋅++ψϕϕ. 3.证：y x f f x f22ηξ∂∂∂∂∂∂+=， x y f fyf2)2(ηξ∂∂∂∂∂∂+-=，]22[2]22[2222222y x y y x x f ff ff x f ηξηηξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++=ξηηξξ∂∂∂∂∂∂+++=f f ff y xy x 248422222 ， ①]2)2([2]2)2([2222222222x y x x y y ff f f f y f ηξηηξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+-++---= ξηηξξ∂∂∂∂∂∂-+-=f ff f x xy y 248422222， ②∴22222222)(4)(42222ηξ∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+f f y f x f y x y x0])[(4222222=++=∂∂∂∂ηξff y x . 4.证：)()(2u f u f y x z '-∂=， )()2)(()(1u f y u f y u f z-'-⋅∂=，∴ 2222)(1)()(2)(1)()(2111][][y zu f y u f u f y u f y u f u f y x xy z y x z x ==+=+'+'-∂∂∂∂.5.2112f f z y x '+'- ； 2f z y'-.6.2x e-；22222y y e y e--+-. 7.g g f f f y x f x y xy x y ''-'-''-'-''+'12221111.§9.51.（1）y x d d --； （2）-1，1.2.（1）xy e F yz F xyz e F zz x z-='-='-= , ,， ∴ xye yz F z z x -''∂=-=； （2）x zz xy y x e x z xy e e z z z ∂∂∂∂⋅+-==12 ,，∴xye yz z -∂=（3）z xy y xz x yz z e xyz e z z d d d d d d ++=⇒=xye y xz x yz z z -+=⇒d d d ，∴ xye yz x zz -∂∂=，xye xz y z z -∂∂=3.dy dx dz 2-=4.22y x uy vx +-；22yx ux vy ++. 5.1)cos (sin sin +-v v e v ； ]1)cos (sin [cos +--v v e u e v u u； 1)cos (sin cos +--v v e vu ； ]1)cos (sin [sin +-+v v e u ve u u. 6.)1)(()(yx F F y x f x y x f ''-+'++.§9.61.共有两条，两切点分别为 )1 ,1 ,1(-- 和 ) , ,(111--；点)1 ,1 ,1(--处的切线方程为 312111+--+==z y x ，而点 ) , ,(111-- 处的切线方程为 3271291131+--+==z y x .2.)3 ,1 ,3(--； 133113-++==z y x . 3.提示：视x 为参数，则曲线方程为 x z x y x x -=-==2 ,2 ,，任意点的切向量}, ,1{2211xx---=T ，所求切线为 2111211---+-==z y x ；而法平面为 0)1()2()1(21=--+--z y x . 4.0)1(2)2(=-+-y x 即 42=+y x ； 12z y x ==-- ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==--.0 ,2112z y x 5. 542=-+z y x .6.提示：曲面上任一点),,(c b a P 处的法向量为 } , , {2112f n f m f f '-'-''=n ，该法向量与定方向}1 , ,{m n =s 垂直，故切平面与定直线（以s 为方向向量）平行.7.提示：曲面上任一点),,(000z y x P 处的法向量为 } , ,{0212121z y x =n ，点P 处的切0)()()(021*******=-+-+-z z y y x x z y x ，即10=++z a z y a y x a x ，它在三坐标轴上的截距之和为a a a z y x a z a y a x a ==++=++)(000000是常数.评注：空间曲线上一点处的切线与法平面的核心是曲线在此点的切向量，而曲面上一点处的切平面与法线的核心是曲面在此点的法向量.第九章 总复习题1.（1）D ； （2）A ； （3）C ； （4）C .2.0.3.不连续.4.0.5.⎪⎩⎪⎨⎧=≠='⎪⎩⎪⎨⎧=≠='+-+).0 ,0(),(,0 ),0 ,0(),( ,),( );0 ,0(),( ,0 ),0 ,0(),( ,),(2222222223)()()(2y x y x y x f y x y x y x f y x y x x yy x xy x 6.][3222221121121f f y ye y e e e x y x x x x''+'+''+''+''+''+'ϕϕϕϕϕ.7.y x f f f z d d 12121''''+'-；121f f z ''+'； 121f x f '-'-. 8.0=ϕ或π.9.有两个，切点分别为)1 ,1 ,3(和)17 ,17 ,3(---，切平面分别为 279=-+z y x 和2717179=+--z y x . 10.26810e+.11.三角形的三个顶点分别为)2 ,0( , )1 ,3( , )1 ,3(--C B A 或)1 ,3( ),1 ,3( ),2 ,0(C B A '--''. 12.最冷点（2，-1）；最热点（0，4）.第十章 §10.3（1）1.（1）⎰⎰⎰--y x z z y x f y x 01 011d ),,(d d 2； （2）⎰⎰⎰-yx x z z y x f y x 01 01d ),,(d d 2. 2.（1）101)366(21)1(2 01 0d d d ==⎰⎰⎰---y x x z y x y x I ； （2）e z e x y I yx z y-==⎰⎰⎰+27 01 0 d d d ； （3）6π； （4）4811 01 010 222d d d ==⎰⎰⎰---y x x z z y x y x I . §10.3（2）1.（1）⎰⎰⎰--+----++2222222 2221 1 11 d )(d d y x yx x x z z y x f y x ；（2）⎰⎰⎰-+22 2212 0d )(d d ρρπρρρθz z f ；（3）⎰⎰⎰2242 0d sin )(d d r r r f ϕϕθππ.2.（1）πρρθρρπ53249 232 02d d d =⎰⎰⎰-z ；（2）πθρρθρπ522 02132 0d cos d d =⎰⎰⎰z .3.（1）原式=πϕϕθππ)258(13442 0d sin d d -=⎰⎰⎰r r ；（2）原式=467cos 2 0342 0d cos sin d d a r r a πϕϕϕθϕππ=⎰⎰⎰.4.（1）ππρρθπρππ4d sin d d 3 02 0 -==⎰⎰⎰z z I ；（2）πϕϕϕθϕϕππ1211cos 2 cos 1342 0 d cos sin d d ==⎰⎰⎰r r I ； （3）πϕϕθππ)12(d sin d d 548623 0442-==⎰⎰⎰r r I .5.1 01 0d d d d ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωyx xz y x V V . §10.41.922≤+y x D ：，y x y x y x S yz x z d d )2()2(1d d )()(1d 2222++=++=∂∂∂∂， =++=⎰⎰Dy x y x S 22d d )(41)13737(-π.2. 1≤+y x D ：，y x y x S y y yz x z d d d d )()(1d 229122-+∂∂∂∂=++=， ==⎰⎰-+Dy y y x S 91d d 22)arcsin 83(1231--. 3.32. 4.（1）b a I ab I y x 331331 ,==； （2）b a I ab I y x 3434 ,ππ==. 评注：①二重积分最直接的应用是计算曲顶柱体的体积；②用二重积分计算曲面面积的核心是：写出曲面的面元在相应的坐标面上的表示； ③用二重积分计算不同的物理量，因问题的性质的不同而有所差异.第十章 总复习题1.（1）8031；（2）39832)(a -π（⎰⎰⎰⎰--=θπππρρθρρθcos 022 222 0d d d d a aI ）.2.（1）π3250（令 x x z y === ,sin ,cos θρθρ，则 ⎰⎰⎰=523102 02d d d ρπρρθx I ）；（2）24abc π（提示：⎰⎰⎰------=222222221 01 1 d d d b ya xc axb a xb aaz z y x I 或“先二后一”为 ⎰⎰⎰⎰-==cc z D c z z ab y x z z I zd )1(d d d 22π，其中2221:c zb y a x z D -≤+是椭圆盘）.3.π3256. 4．提示：利用变限积分求导，先证明等式两端关于x 的二阶导数相等，故应有21 02210 0 0 d ))((d )(d d C x C t t x t f t t f u v x uv x ++-=⎰⎰⎰⎰，分别在上式及求导后的式子中令0=x ，可得 021==C C .5.提示：利用变换⎩⎨⎧=+=-uy x ty x 去做.第十一章 §11.31.421a π（用格林公式化为⎰⎰+Dy x y x 22d d )(再利用极坐标计算）. 2.（1）0（直接用格林公式，yP y x x y xQ∂∂+-∂∂==22222)(）； （2）π2（“挖掉原点”再用格林公式：设εC 是以原点为心，半径为ε的顺时针圆周，则在由C 和εC 所围成的闭区域εD 上用格林公式得0d d )( =-=⎰⎰⎰∂∂∂∂+εεD yPx Q CC y x ，所以，⎰⎰⎰-=-=εεC C C，其中-εC 是逆时针圆周：)20( sin ,cos πθθεθε≤≤==y x ，把这方程代入上式右端积分的被积表达式中而化为定积分πθπ2d 2 0=⎰）.3.（1）0（直接用格林公式）； （2）π2（参照2（2）“挖掉原点”再用格林公式）.4.281ma π（添加直线段OA 围成封闭曲线OA L C +=再用格林公式，则 原式2221 )(0d d d d a DOAC m y x m y Q x P π⋅=-=-+=⎰⎰⎰⎰）. 评注：利用格林公式是简化平面内封闭曲线上曲线积分计算的重要而有效的方法，可分三种情况：①曲线是封闭的，且被积表达式中的函数在曲线所围成的闭区域上有连续的一阶偏 导数，则直接用格林公式简化（如题1、2（1）和3（1））；②曲线虽是封闭的，但被积表 达式中的函数在曲线所围成的闭区域内有“奇点”，则不能直接用格林公式，而是要用很小 的圆包住奇点再“挖掉”它，在曲线与圆所围成的“多连通区域”上用格林公式，达到简化 的目的（如题2（2）和3（2））；还可以直接化为定积分计算；③曲线不是封闭的，可考虑 添加某段曲线（通常都是直线段，最简单），使之围成封闭曲线，再用格林公式（如题4）. 你会发现：格林公式确实大大简化了曲线积分的计算，因此，要很好的掌握这种方法.5.由题意：0)()(212=+'+x f x f x x ，解此微分方程，再利用1)0(=f ，得211)(x x f +=.6.23-（在0>x 右半平面曲线积分与路径无关，选择折线段化为定积分直接计算；或者： 原式232112)2,1()1,2()2,1( )1,2( ][)()(d -=--=-=-=⎰x yx y）. 评注：当曲线积分与路径无关时，选择最简单的直线段来做积分是简化其计算的最直接而有效的方法（如题6、7的第一种算法）；还可以利用“原函数”的概念如同牛顿——莱布尼兹公式那样去计算（如题6、7的第二种算法）；利用曲线积分与路径无关还可以求解含有曲线积分的积分方程中的未知函 数（如题5）. 7.⎰⎰+-==),( ),( d d ),( ),( 002200d ),(y x y x y x x y y x y x y x u y x u ⎰⎰++-+=y y x x x x y y 02202200d d ηξηξy y x x x y ====+-=ηηηξξξ000arctan arctan y yx x 0000arctan arctan arctan arctan -+-= ,arctan arctan ]cot arc [arctan arctan arctan 2000000π-+=+-+=y x x y y x y x y x x y 故 C y x u x y +=arctan ),(（C 为任意常数）. 8.把原表达式拆分成两部分为n n y x yy x x y x x y y x )(d d )(d d 2222+++-+，由上题知：当1=n 时，第一部分为yarctan d ，而此时第二部分恰为 )]ln([d 221y x +， 故 1=n ，从而 C y x y x u x y+++=)ln(arctan ),(2221（C 为任意常数）.9.证：因)(u f 连续，所以，表达式)d d )((y x y x f ++是某二元函数的全微分，从而左端的积分处处与路径无关，于是，左⎰⎰⎰⎰++=+=ba b a a a y y a f x x f 0),( )0,( )0,( )0,0( d )(d )(==+=⎰⎰⎰++ba ba aa x x f x x f x x f 00 d )(d )(d )(右.§11.41.提示：)1(2:y x z S --=在xoy 面的投影为10 ,10:≤≤-≤≤x x y D xy ，=S dy x y x yz x z d d 3d d )()(122=++∂∂∂∂，原式201d d 3)1(2=⋅--⋅=⎰⎰xyD y x y x xy .2.提示：由对称性，上下半球面上的积分相等，221y x z S --=：上在xoy 面的投影为122≤+y x D xy ：（是圆盘），y x y x S y x y x y y x x d d d d 1d 222222221111------=++=，原式210 12 01122d d 2d d 2222πρρθρρπ==⋅+=⎰⎰⎰⎰---xyDy x y x y x .3.提示：由对称性，前后两半柱面上的积分相等，22y R x S -=：前在yoz 面的投影为H z R y R D yz ≤≤≤≤-0 ,：（是矩形），y z y z S y R R y R y d d d d 01d 22222--=++=，原式H HzR RRy R Dy R R z R z y R z y yzarctan 2d d 2d d 20 1 1 12222π==⋅=⎰⎰⎰⎰+---+. 4.提示：22y x z S +=：在xoy 面的投影为122≤+y x D xy ：（是圆盘），第一象限的部分记为1D ，y x y x S d d )(41d 22++=，原式⎰⎰+++=xyDy x y x y x xy 2222d d )(41)(⎰⎰+++=12222d d )(41)(4D yx y x y x xy=⋅+⋅⋅⋅⎰⎰=1222d 41sin cos d 4ρρρρθρθρθπ极坐标)15125(4201-.5.提示：22y x z S +=：在xoy 面的投影为ax y x D xy 222≤+：（是圆盘），第一象限的部分记为1D ，=S d y x y x y x y y x x d d 2d d 1222222=++++，并利用奇偶性和对称性，得原式⎰⎰⎰⎰+=+++=xyxyD Dy x y x x y x y x y x xy 22 22d d 22d d 2])([41564cos 2 02 02d cos d 22a a =⋅⋅⎰⎰=θπρρρθρθ极坐标.6.提示：222y x a z S --=：在xoy 面的投影为ax y x D xy ≤+22：（是圆盘），第一象限的部分记为1D ，=S d y x y x y x a ay x a y y x a x d d d d 122222222222------=++，由对称性得)1(2d d 2d d2d 2cos 012221222-===⎰⎰=⎰⎰⎰⎰---πθρπρρθa a yx S S a a D y x a a S极坐标. 7.提示：密度22),,(y x z y x +=ρ，上半球面222y x R z S --=：在xoy 面的投影为222R y x D xy ≤+：（是圆盘），球面的面元为=S d y x y x R Rd d 222--，由对称性得⎰⎰⎰⎰+==SSS y x S z y x m 22 d 2d ),,(2ρ⎰⎰--+=xyD y x R Ry x y x 22d d 2222⎰⎰=-⋅RR R 02d d 4222ρρρθρπ极坐标32 0d 4222R R RR πρπρρ==⎰-.评注：根据曲面方程的具体形式，把对面积的曲面积分化成相应坐标面上的二重积分，是计算对面积的曲面积分的最基本的方法；关键是曲面在相应坐标面的投影区域的确定以及曲面面元的表达式；并且奇偶性和对称性的使用也是常采用的手段之一；最后再根据所化成的二重积分的具体形式选择合适的坐标系来算出这个二重积分.§11.51.提示：三部分积分分别化为二重积分计算.S 相对于x 轴正向而言是后侧，其方程为-=x221y x --，S 在yoz 面的投影为0 ,0 ,122≥≥≤+z y z y D yz ：（是41单位圆盘），于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=----=yzyzD D Sz y z y z y z y z y x 22 222 2d d )1(d d )1(d d ；S 相对于y轴正向而言是右侧，其方程为221z x y --=，S 在xoz 面的投影为,122≤+z x D xz ：0 ,0≥≤z x （是41单位圆盘），于是，=--=⎰⎰⎰⎰xzD Sx z z x x z y 222 2d d )1(d d⎰⎰--yzDx z z x 22d d )1(，与第一部分积分正好抵消；S 相对于z 轴正向而言是上侧，其方程为221y x z --=，S 在xoy 面的投影为0 ,0 ,122≥≤≤+y x y x D xy ：（是41单位圆盘），于是，822 222 2d d )1(d d )1(d d π=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyxzD D Sy x y x y x y x y x z ， 2.34R π（提示：由对称性可知：三部分积分相等，都等于334R π； 或用高斯公式化为⎰⎰⎰Ωd 3 V 球V 3=）. 3.h R 441π（提示：柱面S 在xoy 面的投影面积为0，所以第三部分积分为0；而 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-后半后前半前S S Sz y yz x z y yz x z y yz x 3 3 3d d )(d d )(d d )(（两部分yz -的积分正好抵消，而3x 的积分相等）443 322d d )(2hR z y y R yzD π=-=⎰⎰； =-⎰⎰S x z y x2d d 2⎰⎰⎰⎰-+-左半左右半右S S x z y x x z y x 2 2d d 2d d 2（两部分相等）⎰⎰--=zxD x z x R x 222d d 22421hR π-=. 注意：体会积分号中的“前半前”、“后半后”、“右半右”和“左半左”的含义，理解了这几句话，你也就对曲面的“侧”理解得差不多了）.4.0（每一部分积分都“分片”计算，其结果正好相互抵销（很麻烦）；最简单的方法是直接利用高斯公式而化为0d 0 =⎰⎰⎰ΩV ）. 评注：根据曲面方程的具体形式，以及曲面所指定的“侧”，把对坐标的曲面积分化成相 应坐标面上的二重积分，是计算对坐标的曲面积分的最基本的方法；它远比对面积的曲面积分复杂，牵涉到曲面的“侧”（曲面换个侧，积分差一负号），曲面往相应坐标面投影时有正 负号的选取问题，这是与第一型曲面积分最大的区别；分清楚给定曲面的“侧”是基础；曲 面在相应坐标面投影区域的确定是关键；有些积分要“逐片”分别来计算，很麻烦，要小心.第十一章 总复习题1.提示：由对称性，只需求曲线在第一象限的积分.曲线的参数方程为40 ,sin 2cos ,cos 2cos πθθθθθ≤≤==a y a x ， 原式)1(4d sin 4d )()(sin 2cos 422242422-=='+'=⎰⎰a a y x a ππθθθθθθθ. 2.提示：曲线的参数方程为20 ,sin ,cos 3232πθθθ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==a y a x 为第一象限的部分，再由对称性，原式3734344d cos sin 3sin 8d 224 a a a s y C =⋅==⎰⎰πθθθθ.3.提示：以x 为参数，22)d d (2422222)d ()d ()d ()d ()d ()d (zy y x x x a x x z y x s +++=++= 22241)d )(298(2x a ax x z ++=，（可理解为“广义勾股定理”）原式⎰⎰-+=++=a a x a a x x a ax x 02256172169 02221d )(2d 298aa a a a a a a x x x x 0256172169169512172561721692169222)(ln )(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+=+ ]ln 21727219200[1738425225121+--=a a a .（此题难且复杂）4.b a a a b 22212)(+-π（提示：添加直线段OA 围成封闭曲线OA C L +=再用格林公式）. 5.x xQ2=∂∂，则)(),(2y f x y x Q +=，再由⎰⎰=),1( )0 ,0( )1 ,( )0 ,0( t t 求得12)(-=y y f ，从而12),(2-+=y x y x Q .6.令λλ)( ,)(224224y x x Q y x xy P +-=+=，则P Q ∂∂=，可知1-=λ，于是C y Q x P y x u x y x y x +=+=⎰200arctan d d ),(),( ),( .7.提示：把曲线的参数方程直接代入被积表达式之中而化为定积分直接计算得)(3331h a +. 8.614（参照§10.4的题1化为二重积分计算）.9.π62417（先写出上半椭球面上点),,(z y x P 处的切平面 +-+-∏)()(2y Y x X x y： 0)(2=-+z Z z ，则2232232)2()()(2)()(),,(z x z z y x x y yz y x ++-+-+-=ρ298222942223224242y x zy x z y x --++++==，而椭球面的面元为y x S zy x d d d 242982--=，于是，⎰⎰S z y x z S ),,(d ρ=⋅=⎰⎰----xyD zy x y x z y x 2424d d 29822982⎰⎰--xyDy x y x 298241d d )4(（再令θρθρsin 3 ,cos 2==y x ，叫广义极坐标，则 πθρ20 ,10≤≤≤≤，而 θρρθρρd d 6d d 32d d ==y x ）πρρθρθρθπ6d )sin 3cos 24(d 6241712298222 041=⋅--=⎰⎰）. 10.提示：先补上有向平面)( 02221a y x z S ≤+=：（取下侧）和)( 32222a y x z S ≤+=：（取上侧），并用高斯公式得原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==++2121 S S S S S S （1S 的积分为0）222 6333d d 3d )111( a a a y x V xyD πππ=-⋅=-++=⎰⎰⎰⎰⎰Ω.提示：利用两类曲面积分之间的关系、高斯公式证明.12.因为2,0 ,z y x z z y x x R Q P ++++===，则R Q P , ,在S 所围成的闭区域上有不连续点（不妨叫“奇点”），所以，高斯公式不能用.可分片计算如下：⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++==xyD R y x R R z zy x z Sy x y x d d d d 22222222上上，⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++--=++-==xyD R y x R R z zy x z Sy x y x )()( d d d d 22222222下下，与上面积分正好抵消；R z y z y yzD z R y R S z y x x S21 d d 2d d 222π===⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-++前侧. 13.解法一：原式⎰⎰++=上S ay x a z z y ax 21]d d )(d d []d d d d d d )([ 21⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=后半前前半后上S S Sa z y ax z y ax y x a z⎰⎰⎰⎰------=yzxyD D a z y z y a a y x y x a a 222 22221d d d d )([ ]d )d ( 222⎰⎰---+yzD z y z y a a321 222 22221]d d 2d d )([a z y z y a a y x y x a a yzxyD D a π-=------=⎰⎰⎰⎰. 解法二：补上有向平面⎩⎨⎧=≤+,0,:222*z a y x S （取下侧），则原式⎰⎰++=上Say x a z z y ax 21]d d )(d d []d d )(d d d d )(d d [**2 21⎰⎰⎰⎰++-++=+SSS a y x a z z y ax y x a z z y ax （前一个用高斯公式）]d d d )23([ 2 1⎰⎰⎰⎰⎰++-=ΩxyD y x a V z a （Ω为下半球体，xy D 为区域222a y x ≤+）322 041441]d d d 2[]d 22[22a z z a a V z a a a aaπρπρρθπππ-=--=+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω. 14.100小时.第十二章 §12.31.（1）)3 ,3[-； （2）) ,[3131-； （3）)2 ,2(-； （4）)0 ,1[-； （5）]3 ,3[-； （6）) ,(∞+-∞.2.（1）x x x S x x -+=-+arctan ln )(211141 （11<<-x ）； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=,0 , ,0 ),2ln()(211x x x x S x （22<≤-x ）；（3）3)1(2)(x x S -= （11<<-x ）； （4）x x x x S cos sin )(+= （+∞<<∞-x ）.§12.41.) ,( ,!)(ln 0∞+-∞∈∑∞=x x n a n nn .2.（1）) ,( ,)!2(24)1(21022∞+-∞∈⋅-+∑∞=x x n n nn n ； （2）)1 ,1( ,]321[01-∈+-∑∞=+x x n n n ；（3）∑∞=--∈-+11] ,( ,)1(ln n n nn a a x x na a ；（4）) ,( ,)!12)(12()1(012∞+-∞∈++-∑∞=+x x n n n n n . 3.1 , )0( )!1(11=≠+∑∞=-S x x n n n n . 4.（1）)2 ,0( ,)1)(1()1(0∈-+-∑∞=x x n n n n ；（2）]2 ,0( ,)1()1(10ln 111∈--∑∞=-x x n n n n . 5.∑∞=--+--11212)3()!12(3)1(n n n nx n π，) ,(∞+-∞∈x .6.∑∞=+++-11)4)(3121(n nn n x ，)2 ,6(--∈x . §12.51.（1）1.0986； （2）0.9994.2.5.3.nn n x n n ⋅∑∞=4cos !20π，) ,(∞+-∞∈x . 第十二章 总复习题1.（1）C ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）D .2.（1）发散； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛； （5）收敛； （6）收敛.3.提示：以2)!(n n u nn =为通项的正级数由比值判别法可知是收敛的，从而通项趋向于零.4.当10<≤β，α为任意实数时，原级数收敛；当1>β，α为任意实数时，原级数发散； 当1=β时，若1-<α，则原级数收敛；若1-≥α，则原级数发散.5.提示：2424224 0dtan tan d )1(sec tand tan ----=-==⎰⎰⎰n n n nn a x x x x x x x a πππ2423401d sec tan tan )2(tan------=⎰n n n a x x x x n xππn n n n n a n a n a a a n )2()1(1])[2(1222----=-+--=---，∴ 211---=n n n a a ，即 n n n a a -=++112，从而 112++=+n n n a a .于是 （1）11)(11141313121211111121=+-++-+-+-=⋅=++∞=+∞=+∑∑ n n n n n n n n n a a ； （2）显然，对一切N ∈n ，0d tan4 0 >=⎰πx x a nn ，又由 112++=+n n n a a 可知： 对一切N ∈n ， 110+=<n n a ， 故对任意的常数0>λ，级数∑∑∑∞=+∞=∞=<+⋅<11111111n n n nn n n n a λλλ 收敛（11>+=λp 的 p -级数）.6.（1）条件收敛； （2）1<a 时，原级数绝对收敛；1>a 时，原级数发散；1-=a 时，原级数发散；1=a 时，原级数条件收敛.7.提示：由0lim )(0=→x x f x ，又)(x f 在0=x 的邻域内具有连续的二阶导数，可推出=)0(f0)0( ,0='f .将)(x f 在0=x 的某邻域内展成一阶泰勒公式（即麦克劳林公式）221221)()()0()0()(x f x f x f f x f ⋅''=⋅''+'+=ξξ（ξ在0与x 之间）. 又由题设知)(x f ''在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续，从而有界，因此，存在正数0>M ，使得M x f ≤'')(，于是 2221)()(x x f x f M ≤''=ξ，令nx 1=，则 2121)(n Mnf⋅≤，因为∑∞=121n n 收敛，故∑∞=11)(n nf 绝对收敛. 8.（1）⎩⎨⎧=⋃-∈--+=;0 ,0),1 ,0()0 ,1( ),1ln()1(1)(1x x x x S x（2）2)2(1)(x x x S --=，)2 ,0(∈x ；（3）221)(x xx S -=，),(2222-∈x ； （4）224)1()(2xx x ex S ++=，) ,(∞+-∞∈x .9.)1(11-. 10.（1）1；（2）)1sin 1(cos 1+. 11.∑∞=+++-022)22)(12()1(n n nx n n ，]1 ,1[-∈x . 12.∑∑∞=--∞=---+--112102)21()!12()1(21cos 2)21()!2()1(21sin 2n n n n n n x n x n ，) ,(∞+-∞∈x . 13.-1； 0. 14.∑∞=---=122)12cos()12(1425)(n x n n x f ππ，]1 ,1[-∈x ；62π. 15.∑∞=++-=0222)12(cos )12(18)(n x n n x f ππ，]2 ,0(∈x .。
高等数学第四部教材解析高等数学是大多数理工科专业的重要基础课程之一，第四部教材是高等数学课程的延续和深化。
本文将对高等数学第四部教材进行解析，分析其主要内容和特点，以及对学生的学习帮助和应用价值。
一、第四部教材的主要内容高等数学第四部教材主要包括以下几个方面的内容：1. 多元函数与偏导数：涉及多元函数的定义、性质和分类，以及偏导数的概念、计算方法和应用等内容。
学生需要掌握多元函数的极限、连续性，以及相关的导数和微分。
2. 重积分与曲线积分：介绍重积分的定义和计算方法，以及曲线积分的概念和性质。
学生需要熟练掌握重积分的计算技巧，理解曲线积分与路径无关的条件，以及曲线积分在物理和几何上的应用。
3. 曲面积分与体积：讲解曲面积分的定义和计算方法，以及体积的相关内容。
学生需要理解曲面积分与曲线积分之间的联系，能够应用曲面积分求解曲面的面积、质量和质心等问题，掌握体积的计算方法。
4. 向量场与无散场：介绍向量场的概念、性质和求解方法，以及无散场的特点和应用等。
学生需要深入理解向量场的散度和旋度，能够应用向量场的理论解决物理和几何上的问题。
5. 曲线与曲面的方程：讨论曲线和曲面的参数方程和一般方程，以及与之相关的几何性质。
学生需要学会通过参数方程和一般方程描述和分析曲线曲面，掌握曲率和法线等概念。
二、第四部教材的特点高等数学第四部教材具有如下特点：1. 知识延伸与拓展：第四部教材是对前三部内容的延伸和拓展，引入了更多的变量和维度，涉及更复杂的函数和积分。
学生需要通过学习第四部内容，进一步提高问题解决的能力和数学建模的思维方式。
2. 应用导向与实践性强：第四部教材关注数学在实际问题中的应用，强调理论与实际的结合。
学生通过学习第四部内容，可以更好地理解数学在物理、工程和经济等领域中的应用，培养数学建模和解决实际问题的能力。
3. 前后内容联系紧密：第四部教材与前三部内容有机联系，形成了一个系统完整的高等数学知识体系。
高等数学教材四答案完整版第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$，当$n$趋向于无穷时，如果存在实数$a$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么我们称$a$为数列$a_n$的极限，记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。
1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$c$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。
1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$，其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时，$x^n$与$x$同阶无穷小。
2) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$x^n$同阶无穷大（$a>1$，$n$为正整数）。
3) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$b^x$同阶无穷大（$a>1,b>1$）。
第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。
第四章 样本及其分布练习4.1 简单随机样本一、填空题(略) 二、解：)1061051039492(51++++=x =100， 412=S [(92–100)2+(94–100)2+(103–100)2+(105–100)2+(106–100)2]=42.6三、解：利用y i =100(x i –80)，得变换后样本数据：–2, 4, 2, 4, 3, 3, 4, -3, 5, 3, 2, 0, 2这时，有131=x [(–2+4+2+4+3+3+4–3+5+3+2+2)1001+80×13]=80.02 1212=S [(42+4+0+4+1+1+4+25+9+1+0+4+0)/10000]=5.75×10-4四、解：∵ E (X i )=p ，D (X i )=p (1-p )，)(11)(11122212∑∑==--=--=ni i i n i X n X n X X n S , ∴p p n n X E n X n E X E i n i n i i =⋅===∑∑==1)(1)1()(11；)1(1)1(1)(1)1()(2121p p n p np n X D n X n D X D i n i n i i -=-⋅===∑∑==；)]()([1)(1)(11)(222212X E X E n n X E n n X E n S E in i --=---=∑= =)]()([1]}))(()([)]([)({122X D X D n n X E X D X E X D n n --=+-+- =)1()()(11)](1)([1p p X D X D nn n n X D n X D n n -==-⋅-=--。
五、解：∵ E (X i )=λ, D (X i )=λ, )(111222∑=--=ni i X n X n S ，∴ λλ=⋅==∑=n n X E n X E i n i 1)(1)(1；n n nX D n X D i n i λλ=⋅==∑=2121)(1)(；)]()([1)(1)(11)(222212X E X E n n X E n n X E n S E in i --=---=∑= =λλλ=-⋅-=--)(1)]()([1nn n X D X D n n 。
