下载文档原格式
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
习题课例1.(1）设A是全体奇数的集合,B是全体偶数的集合,:a→a+1,a∈A，则是A到B的什么映射？（2）设A是全体奇数的集合,B是全体偶数的集合,:a→2a,a∈A，则是A到B的什么映射？例2 设1.设G=(a)是12阶循环群，求（1）G的所有生成元的个数;(2)G的所有生成元;(3)G的所有子群；(4) |G|。
例3.设Z12＝{}是模12的剩余类环，（1）求Z12的所有零因子；(2)求Z12的特征；(3) 求Z12的所有理想；(4)求Z12的非零元关于加法的阶.例4.二次多项式在模4的剩余类环＝{}内的根为___例5 设S5是5次对称群,（1）若τ＝(1235),=(12)(35)∈S5,求τ和的阶；（2）若(123),(125）∈S5,求(123)(125),(125)(125).例6.设S3是3次对称群,证明H={(1),(123),(132)} 是S3的循环子群,并求H在S3里的指数.例7.设是群到群的同态映射,∈G,是的逆元,(1)如果,,那么=？若e,分别是G,的单位元,则？例8.设Z是整数环,求主理想(2),(3).例9.设R是偶数环,求主理想(2),(4).例10设G是群,H≤G,a,b∈G, 是的逆元,证明：(1)若b∈aH,则aH=bH; (2)若∈H,则aH=Bb.证明(1)baH,可设b=ah,hH.x∈aH,设x=at,tH.因H是子群,所以,H,tH,且a=b,x=at=b(t)bH,从而aH⊆bH,另一方面,y∈bH,设y=bs,sH, 因H是子群,所以,shH,且y=bs=ahs∈aH,从而bH⊆aH,故bH=aH。
(2)例11.设G是群,∈G,而且||=n, 是的逆元, 是的逆元,证明(1) ||=n; (2) ||=n.证明 (1)因||=n, 所以=e,e是群G的单位元，由于,这说明元的阶数不超过n,设||=m，则mn.因,所以，因||=n,得n|m,nm,从而m=n.例12.若H≤G,N≤G,证明H∩N≤G.例13.设是群到群的同态满射,是的子群。
