第 3 讲§7—9 一一映射，同态及同构（2课时）(Bijection Homomorphism and Osomorphism )本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。
具体要求：1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。
2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。
3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。
4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础，本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。
而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。
本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。
在教学活动中安排时间让学生展开讨论。
本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。
作业布置在本讲结束之后。
一、一一映射在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。
定义1、设ϕ是集合A 到A 的映射，且ϕ既是单的又是满的，则称ϕ是一个一一映射（双射）。
例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ϕ，其中Z n n n ∈∀=,2)(ϕ，可知ϕ显然是一个双射。
注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。
思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。
这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。
定理1：设ϕ是A 到A 的一个双射，那么由ϕ可诱导出（可确定出）A 到A 的一个双射1-ϕ（通常称1-ϕ是ϕ的逆映射）证明：由于ϕ是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。
利用ϕ的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-ϕ：a a A a A A =∈∀→--)(,,:11ϕϕ，如果a a =)(ϕ，由上述说明，易知1-ϕ是映射。
1-ϕ是满射：A a ∈∀，因ϕ是映射a a A a =∈∃⇒)(,ϕ使，再由1-ϕ的定义知a a =-)(1ϕ，这恰说明，a 是a 在1-ϕ下的逆象。
由a 的任意性，知1-ϕ是满射。
1-ϕ是单射：2121,,a a A a a ≠∈∀若由ϕ是满射21a a 及⇒的逆象分别是22111121)(,)(,a a a a a a ==--ϕϕ即及，又ϕ是单射21a a ≠⇒，这说明)()(2111a a --≠ϕϕ，所以1-ϕ是单射。
综合上述讨论知：1-ϕ是A 到A 的一个双射。
结论：设A A →:ϕ是映射，那么：（1）ϕ是双射⇔ϕ可唯一的确定一个逆映射A A →-:1ϕ，使得： ∙ 1-ϕ是双射；∙ A A 1,111==--ϕϕϕϕ；∙ ϕ也是1-ϕ的逆映射，且ϕϕ=--11)(；（2）ϕ是双射A A 与⇒同时是有限集或同时是无限集。
二、变换定义2：设A A →:ϕ是映射，那么习惯上称为是A 的变换。
当ϕ是双射（单射，满射）时，也称ϕ为一一变换（单射变换，满射变换）例2 19P三、同态（本目与高代中的线性变换类似）——对代数系统的比较。
例3、设}1,1{:-=→A Z ϕ，其中},{ Z 中的代数运算 就是Z 中的加法，而},{ A 中的代数运算 为数中的乘法。
)3()2()32(,111)1()1()1()1()3()2(,1)5()32()32(,1)3(,1)2(,,1)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ≠-≠⇒=-⨯-=--=-==+=-=-=∈∀-=即而那么现设Z n n定义3：设集合A A ,都各有代数运算 ,（称},{ A 及},{ A 为代数系统）而A A →:ϕ是映射，且满足下面等式：)()()(,,b a b a A b a ϕϕϕ =∈∀（习惯上称ϕ可保持运算）那么称ϕ是A 到A 的同态映射。
例4、设},{ Z 与},{ A 同例3，今设Z n n A Z ∈∀=→,1)(:ττ为，那么的同态映射到是即A Z n m n m n m n m Z n m ττττττ),()()(111)()(,1)(,, =∴=⨯==∈∀例5、},{ Z 与},{ A 同上，而⎩⎨⎧-=11)(为奇数为偶数n n n σ Z m n ∈∀, （1） 若m n ,均为偶数时m n +⇒为偶数，)()()(111)()(,1)()(m n m n m n m n m n σσσσσσσ =⇒=⨯==+=∴而（2）若m n ,均为奇数时m n +⇒为偶数，)()()(1)1()1()()(,1)()(m n m n m n m n m n σσσσσσσ =⇒=-⨯-==+=∴而（3）若n 奇而m 偶时m n +⇒为奇数，则)()()(11)1()()(,1)()(m n m n m n m n m n σσσσσ =⇒-=⨯-=-=+=而（4）若n 偶而m 奇时同理知)()()(m n m n σσ =.由(1)～(4)知,σ是Z 到A 的同态映射.如果同态映射ϕ是单射（满射），那么自然称ϕ是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。
定义4：若ϕ是},{ A 到},{ A 的同态满射，那么习惯上称A A 与同态，并记为A ～A ；习惯上称A 是A 的同态象.定理2. 如果ϕ是},{ A 到},{ A 的同态满射，那么（1） 若 满足结合律 ⇒也适合结合律；（2） 若 满足交换律 ⇒也适合交换律.证明：（1）任取ϕ因,,,A c b a ∈是满射b b a a A c b a ==∈∃⇒)(,)(,,,ϕϕ使，又因为A 中 的满足结合律c b a c b a )()(=⇒即))(())((c b a c b a ϕϕ=，但是ϕ是同态映射。
)()]()([)()()())((c b a c b a c b a c b a ===ϕϕϕϕϕϕc b a c b a c b a c b a )()()]()([)()()))((===ϕϕϕϕϕϕ 所以c b a c b a )()(=同理可以证明（2）定理3、设},,{⊕⊗A 和},,{⊕⊗A 都是代数系统，而映射A A →:ϕ关于⊕⊗,以及⊕⊗,都是同态满射，那么：（1） 若⊕⊗,满足左分配律⇒⊕⊗,也适合左分配律；（2） 若⊕⊗,满足右分配律⇒⊕⊗,也适合右分配律。
证明：（1）ϕ因,,,A c b a ∈∀是满射c c b b a a A c b a ===∈∃⇒)(,)(,)(,,,ϕϕϕ使. 又因为ϕ是关于⊕⊗,及⊕⊗,的同态映射⇒)()()]()([)]()([)()()]()[()]([))()(()()(c a b a c a b a c a b a c a b a c b a c b a c b a ⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊗⊕⊗=⊕⊗=⊕⊗=⊕⊗ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 即)()()(c a b a c b a ⊗⊕⊗=⊕⊗.同理可证明（2）。
思考题1：在定理2及定理3中，都要求映射ϕ是满射，似乎当ϕ是同态满射时，才能将A 中的代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”到A 中，那么：（1） 当ϕ不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理2，3成立吗？）（2） 即使ϕ是满射，“传递”的方向能改变吗？（即A 中的性质能“传递”到A 中去吗？）（3） 依照定理2，3的思路，若将ϕ换成同态单射后，能获得什么结论？四、同构定义4、设ϕ是},{ A 到},{ A 的同态映射，若ϕ是个双射，那么称ϕ是同构映射，或称A 与A 同构，记为A A ≅。
例6、设 与而},,3,2,1{},,3,2,1{---====-+Z A Z A 都是整数中通常的加法“+”，现作A n n n A A ∈∀-=→,)(},{},{:ϕϕ其中 ，那么ϕ是同构映射. 事实上，（1）ϕ是单射：当ϕϕϕ∴=-≠-=≠∈)()(,,m m n n m n A m n 时且是单射.（2）ϕ是满射：ϕϕ∴∈=--=-∈-∈∀A t t t A t A t )()(,,且则是满射.（3）ϕ是同态映射：)()()()()()()()()()(,,m n m n m n m n m n m n m n A m n ϕϕϕϕϕϕ =∴=-+-=+-=+=∈∀由（1），（2），（3）知，ϕ是同构映射，即A A ≅。
定理4、设ϕ是},,{+ A 到},,{+ A 的同构映射，那么（1）“ ”适合结合律⇔“ ”也适合结合律；（2）“ ”适合交换律⇔“ ”也适合交换律；（3）“ ”和“+”满足左（右）分配律⇔“ ”和“+”满足 左（右）分配律。
注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的，主要的。
于是，我们需要阐明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。
在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。
于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。
我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。
因此，同构的代数体系由于完全相同的代数结构。
研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。
而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。
课堂练习：设},3,2,1{},,3,2,1,0{ ==*N N ，那么，},{},{++*N N 与不可能同构.证明：（反证法）若N N ϕ≅*，那么ϕ是同构映射。
设 推出矛盾中没有但而,00)1()0()1(,110,)1(,)0(N n m n m m N n =⇒+=+==∴=+=∈=ϕϕϕϕϕ 思考题2：试证：（1）},{},{⋅⋅*N N 与不同构（为普通乘法）。
（2）},{},{⋅+Z Z 与不同构.（3）},{},{⋅+*Q Q 与不同构（其中*Q 为非零有理数集）.思路：（1）（反证法）若N N ≅*，且ϕ是*N 到N 的同构映射。
则 推出矛盾令,1)0()0()00()0(),1()0(,1)1(2=∴==⋅==∴≠∴==a a a a a ϕϕϕϕϕϕ（2）（反证法）若Z Z ≅，且ϕ是Z 到Z 的同构映射。
则推出矛盾令),(2)()()()0(12)(,1)0(n n n n n n -=-=-==∴==ϕϕϕϕϕϕϕ.（3）（反证法）若*≅Q Q ，且ϕ是Q 到*Q 的同构映射。
