第21 讲§6. 多项式环(Rings of polynomials )本讲的教学目的和要求:在高等代数中,已经建立了数域F上的多项式环的一般理论,但是在处理某些问题时常会遇到诸如整系数多项式，矩阵系数多项式(譬如 —矩阵)等环上的多项式,它们与数域的多项式相比,有很多本质上的差异故此,有必要讨论环上多项式环的一般理论,这正是本讲的目的.为此对学习本讲,提出如下要求:1、明确代数元和超越元的概念以及什么是R上的关于超越元的多项式歪.(本教材称超越元为半定元—与高等代数中的称呼一致)2、超越元(半定元)的存在性定理和多项式环存在性定理的证明需要弄懂.3、对多元多项式的本质上的理论问题需要清楚.本讲的重点和难点: 本讲是高等代数中多项式环(定义在数域上)的推广,是本章中众多类型中的“另类”.由于环的“型”不同，故研究的方法也不同，这是难点之一。
如何清醒地认识到不能直接用“高代”的理理论直接套用，是关键。
而本讲的重点“存在性定理”的证明。
一、多项式环的定义。
设R 是一个含有单位元1R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R∈01，现考察0R 中含R 及任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα 显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个 子环)()()∑∑====∀nj jj mi ii b g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j j b a g f 0ααα, 必定假设021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中∑=+=kj i j i k b a C又 ()()∑∑==-=-=-mi ii mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,,∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环. 显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么[]2Z中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象: ()02210=++++=nn a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论.定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即 002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义 4. 设()()0210≠++++=n n n a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
思考题1. ∙ 为什么不能在定义1中同时定义多项式的次数。
∙ 为什么要规定“0≠n a ”？∙ 若α是R 的未定元时，有可能R ∈α吗？ 由上，我们已看到未定元的重要性，但对给定的环里未定元是否一定存在？例如： 设{}Z R Z b a ib a R =∈+=,,0，则知0R 是可换的幺环，而R 为0R 的子环,但R 的未定元不存在。
事实上，若ib a +=α是未定元，则发现有()()02222=+-++ααa b a这与α是未定元矛盾。
由α的任意性s R ⇒没有R 的未定元。
二、未定元存在定理。
定理 1. (未定元存在定理) 设R 是可换的幺环.那么必存在R 的扩环()00R R R ≤,使得0R 中含有R 的未定元x .证明: (1) 利用题设的R 构造一个表示环P . 设)0,,,,210≠∈=i i a R a a a a P 只有有限个 规定: ()() ,2,1,0,,,,,,,210210==⇔=i b a b b b a a a i i现在P 中定义加法和乘法:加法: ()()() ,,,,,,,,1100210210b a b a b b b a a a ++=+ 乘法: ()()(),,,,,,,,,,210210210 c c c b b b a a a =其中 () ,2,1,0==∑+=k b a C ji k ii k 可以验证: {}⋅+,,R 做成一个环,其中.(ⅰ)P 中的零元为(),,0,0,0 (这理R ∈0) (ⅱ) P 是变换环( R 是可换的)(ⅲ)P 中有单位元 (),,0,0,0 (R 11=)(2) 利用p ,构造一个能包含R 的扩环0R . 设=R ()∅=∈∀R a a ,0,0,,显然()(),,0,0,,,0,0,R b a ∈∀()()().,0,0,,0,0,,0,0,R b a b a ∈-=- ()() ,0,0,,0,0,b a () ,0,0,ab = R ∈ R ⇒是P 的一个子环.现令 ϕ:,R R →其中 ()()R a a a ∈∀= ,0,0,ϕ可知, ϕ是一个环同构,即 0R R ϕ≅显然.()∅=-R R P????图由“挖补定理”知，我们可得到一个新的环0R ，其中0R R ⊆且P R ∅≅0，0R 中的单位元就是R 中单位元R 1.(3) 须证0R 含有R 上的未定元 令().,0,0,1,0 =x .因为0R R P x R x ⊆-∈⇒∈又注意到,()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 0,0,1,0,,0,0个k kx (证略)下面证明: x 就是R 的未定元.令0,,2210=++n n x a x a x a a()R a i ∈ …… (*)在环同构中之下: P R →0 () ,0,0,00a a →() ,0,0,11a a →() ,0,0,n n a a → () ,0,0,00→由(*)⇒()()()() ,0,0,0,0,,0,0,,0,0,10=+++n n x a x a a 利用P 中元素乘法的x 定义和的特点上式变为: ()() ,0,0,0,,,210=a a a ∴0210=====n a a a a∴ x 是的R 上的未定义练习题: 设R 为整环,而F 是R 的子环,如果αα,R ∈∀都是F 上的代数元,那么R 本就是一个域. 证明: (只需证∙R 中每个元都可逆即可)∙∈∀R α,由题设知,α是F 上的代数元,即存在不全为零的F a a a a n ∈ ,,,210使02210=++++n n a a a a ααα并可保证00≠a 即零次项0≠.(这是因为:由于n a a a ,,,10 不全为零,设i a 是从左数第一个不 为零的元⇒().01111=+++=+++-=++n n i i i n n i i i i a a a a a a αααααα但α不是零因子i α⇒不是零因子⇒⇒=+++-++01i n n i i a a a αα零次项0≠所以上述假设是合理的) 0a 可逆于是()⇒+++=--ααα1210n n a a a a11a -=()ααα121-+++n n a a a∴ 011a -=-α()ααα121-+++n n a a a 可逆.由α的任意性R ⇒为域.三、多元多项式环设0R 是可变换的幺环,而R 是0R 的子环且R R∈01.现任取0R 中n 个元素n ααα,,,21 ,我们可以依次做如下工作:首先作上的1α的多项式环[]1αR . 再作[]1αR 上的2α的多项式环 [][]21ααR最后作上[][][]121-n R ααα 的n α的多项式环[][].1n R αα 其中,()[][][]⇒∈∀N n R f αααααα 2121,,n n i ni i i i i a ααα 212121∑= 其中,,21R a nii i ∈ 系数只有有限个0≠.定义 3. 上述描述的每个()n f ααα,,,21 称为R 上的n ααα,,,21 的多元多项式,而每个ni i i a 21叫作()n f ααα,,,21 的系数.习惯上, R 上的n ααα,,,21 的多项式环[][].1n R αα 写成对于多元多环中加法和乘法的运算为:(n nn i ni i i i i i a αα 11211∑)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑n n j n j j n j j j j b αα 11211()nnn ni ni i i i i i i b aαα ∑+=11111(n nn i n i i i i i i a αα 11211∑)(nnnj n jj j j j bαα 1111∑)∑=nnnk k knk k k C1111αα 其中, ∑=+=mm m nnnk j i j j i i k k b aC 111同样,上多元多项式环中元素仍存在着表示不唯一的问题. 所以与一元多项式环一样,要定义无关未定元.定义 6. 设R ,0R 如上,而0R 中n 个元n x x x ,,21叫做R 上的无关未定元,如果它们满足:R 上的任一个关于n x x x ,,21的多项式为零⇔该多项式的系数全为零.定理 2. 设R 是一个可变换幺环,任取定一个自然数n ,一定存在上R 的无关未定元存nx x x ,,21在,使多项式环[]n x x x R ,,21存在.证明: (数学归纳法)当 1=n ,由定理直接可得,假设时1-n 定理成立,即有可变换环[]11,-n x x R其中121,,,-n x x x 为R 上的无关未定元.对n 的情形:首先可知,由定理1⇒有环[]11,-n x x R 上的未定元n x , 使 [][]n n x x x R 11,- 为环.下面说明:n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元.()⇒==∀∑0111111n nn i n ii i i i n x x a x x f()⇒=∑--0111111nnn ni n i i i n i i i x x x a01111111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑---nnn n n i n i i i i n i ii x x x a n x 是[]n x x R 1上的未定元01111111=⇒---∑n n nni n i i i i i x x a∴但11-n x x 又是R 上的无关未定元.01=⇒nii a∴ n x x 1是R 上的无关未定元.四、未定元的重要性质设0R ,R 如上,如果0R ∈α,且x 为R 上的未定元.那么一元多项式环[]x R 与[]αR 有什么联系?首先,这两者的区别是明显的(元素表示法的唯一性) 其次,这两者具有许多类似性质,事实上,有下列结论. 结论:设00,,R R R x ∈∈α,x 为R 上的未定元,那么环[]x R 与[]αR 有关系: []x R ～[]αR证 : 取 :ϕ[]x R →[]αR .其中()()αf x f →,即 ()x f ()i i ni i i a f x a αα∑∑=→==0 ()R a i ∈由于x 是未定元()x f ⇒的表示法唯一,所以ϕ是映射. 尽管()x f 的表示法可能不唯一,但()[]a R x f ∈∀,必有()[]x R x f ∈使 ()()()αϕf x f = ∴ 是满射.而且知, ()()()()()()αϕϕg f x g x f +=+()()()()()()()x f x f x g x f ϕϕϕ= ∴ [][]αϕR x R ~现将上述结论推广到()1 n n 个未定元上,则得到下定理定理3. 设[]n x x x R ,,,21 和[]n R ααα,,,21 都是可换幺环R 上的多项式环,且n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元,而n ααα,,,21 是上的任意元,那么[]n x x x R ,,,21 ～[]n R ααα,,,21 证明(略)由上结论可知:在[]x R 中若干个多项式通过加法和乘法做成的某等式.当用x 换成0R 中任一个元素α后,该等式仍成立.于是有相应的推论.在[]x R 中,设()()(),x g x f x u += ()()()x g x f x v ⋅= 那么在[]αR 中有()()()αααg f u +=, ()()()αααg f v ⋅=.顺着这样的思路,利用定理3也可得到类似的多元多项式的推论。
