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固体物理学：第四章 能带理论

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黄昆 固体物理 讲义 第四章

黄昆 固体物理 讲义 第四章

KK
KK
KK K K K K T1ψ ( r ) = ψ ( r + a1 ) = eik ⋅a1ψ ( r )
ψ ( r ) 和ψ ( r + a1 ) 分别是相邻两个原胞中电子的波函数 —— 两者只相差一个位相因子 λ1 = eik ⋅a
K
K
K
K
KK
1
，不同的简 2）平移算符本征值量子数： k 称为简约波矢（与电子波函数的波矢有区别，也有联系） 约波矢，原胞之间的位相差不同。 3）如果简约波矢改变一个倒格子矢量： Gn = n1b1 + n 2 b2 + n3b3 ， n1 , n 2 , n3 为整数。
-3-
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固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
由于存在对易关系，根据量子力学可以选取 H 的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数。
有：
Hψ = Eψ T1ψ = λψ ψ = λ2ψ , T3ψ = λ3ψ 1 , T2
本征值的确定： λ1 , λ2 , λ3
KK ik ⋅a1
则平移算符 T1 , T2 , T3 的本征值可以表示为： λ1 = e
, λ2 = e ik ⋅a2 , λ3 = e ik ⋅a3
KK
KK
将 T ( Rm ) = T1 1 ( a1 )T2 2 ( a 2 )T3 3 ( a 3 ) 作用于电子的波函数ψ ( r )
m m m
K K K
K
K
K
( 2π ) 3 Ω
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
第四章 能带理论
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础． 在二十世纪二十年代末和三十年代初期， 在量子力学运动规律确立以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的．最 初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。 —— 说明了固体为什么会有导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距……等 —— 能带论为分析半导体提供了理论基础，有力地推动了半导体技术的发展 —— 大型高速计算机的发展， 使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结 构的计算 能带理论是一个近似的理论．在固体中存在大量的电子。它们的运动是相互关联着的，每个电子的 运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格的解显然是不可能的．能带理论是单电子近 似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动．在大多数情况下，人们 最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子 的变化是比较小的，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实．这样价电子的等效势场，包 括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用．单电子 近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里（Hartree）－福克（ΦOK）自洽场方法。 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电 子．在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响 看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场 V(r)也应具有周 期性．晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，

固体物理_第4章_能带理论

固体物理_第4章_能带理论

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板

固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性

能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上，N(E)出现奇点，对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面

等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li

固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波

固体物理(2011) - 第4章 能带论 1 布洛赫定理与布洛赫波

2 波动方程 [ V ( r )] E 2m 晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
2
两个具体近似方案
• QED！
1. 近自由电子近似：晶体势场的周期起伏比较弱，周期势能可 以看成是对自由电子平面波情况的微扰。
周期方形波怎么构成？ —— F. T.
布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符，证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
—— 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值，最后给出 电子波函数的形式
—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意格矢 势场不变
—— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
T1 , T 2 , T 3
ik a 1
, 2 e
ik a 2
, 3 e
ik a 3
作用于电子波函数
e
ik ( m1a1 m2a2 m3a3 )
(r )
ik R m (r Rm ) e (r )
—— 布洛赫定理
ik r 电子的波函数 ( r ) e u k ( r )
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动 8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动 9 能带论的局限性
把一个多粒子（电子、离子实）体系问题简化为一 个多电子体系问题。
单光子问题
第二步简化——单电子近似：认为每一个电子都是处于相

固体物理：能态密度和费米面

固体物理：能态密度和费米面

第四章 能带理论
例二
3
V N(E)
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
3
g(E) N(E) V
m1m2m3
2 2
2
2
2
E
引申情况：当m1=m2=m3时，等能面为球面； 当m1=m2≠m3时，等能面为椭球面。
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
概念：能态密度的临界点（范霍夫奇点）
第四章 能带理论 例四
费米能级EF即如何来算费米能级
费米能级数值由电子密度决定。当T=0k时，从E=0到 E=EF范围内对g(E)积分值应等于电子密度n，即：
EF gE dE n或 EF N E dE N
0
0
费米球半径kF
N个电子在k空间填充半径为kF的费米球，费米球内包 括的状态数恰好等于N，即
V
2 2 3
4
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
一、能态密度函数
第四章 能带理论
1、能态密度函数定义：
在E—E+ ΔE能量范围内的能态数目用ΔZ表示，则 能态密度函数定义为：
Z N(E) lim
E0 E
或N (E) dZ dE
单位体积能态密度g(E)：
k y dk dV dsdk
g(E) 1 N(E) V
里渊区的高对称点处。
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
以简立方晶格为例，说明紧束缚 近似下的s能带的能态密度的临界 点恰为布区的高对称点。
第四章 能带理论 例四
k E s (k ) 0的点 :
Γ点[
k
0,0,0
]是极小值点；E (k )

济南大学固体物理(黄昆)课件能带理论.ppt

济南大学固体物理(黄昆)课件能带理论.ppt


i 2 l 1
N1 = 1
cos 2 l1
l1 是任意整数
ix i 2l1
又e cosx cos2l1
2 il 1
又 e cos x i sin xe
ix
e cos 2 l 1 N 1
e 1
1 e
l1 2i N1
2 e
l2 2i N2
3 e
l3 2i N3
其中 l1 , l2 , l3 为整数 如果引入矢量:
l l l 3 2 k 1 b b b 1 2 3 N N N 1 2 3
T r a f r a a T T f r

T T T T


2 m 2 2 2 m 22 2 2 2 2 h rr h r 证明：T r ff f r Hf r TT T VV r TT Hf r r r Hf r V r r 2 2 2 2 m 2 2 m 2 m h h r a r a 2 2 h V r a f 2 2 2 2 V r a 2 h 2 r a h r r a f a rr aa a V r 2 m r r VV a f r a a 2 m a f r 2 m 2 m 2 m 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 h h r r r h h rr f r T rr f VV r TT r V r f r V r T f r 2m m 2 V r T f 2 m 2 m 2 m HT HT f f r r HT r f f r HT TT H H HT HT T Hf

能带理论

能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。

前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。

能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。

每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。

为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。

能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。

致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。

被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。

价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。

第四章 第一节 布洛赫定理


该方程可以在一个正点阵元胞内求解，属于在有 限区域内的厄米本征值问题，应该有无穷多分立 的本征值E n(k)，对应无穷多的本征函数。
2. 对于一个确定的n， 能量本征值和波函
数都是k的周期函数
我们注意到
其中 将
仍然是正点阵的周期函数 代入能量本征值方程，得到
对比
它们完全相同，因此
即
有相同的本征值，即
对所有具有时间反演对称性的晶体能谱有：
由式子4.1.20有
两边取共轭，k -> -k
能量本征值必须是实数：
结果
满足同一方程，有
5. 等能面垂直于布里渊区界面
等能面定义为k空间，所有能量相等的k构成的曲面。
布里渊区界面是K h的中垂面，因此相对于K h 和-K h的一对布里渊区界面有镜面反演对称。 设A，B为布里渊区界面上关于m对称的两个点，a, b为 布里渊区界面上关于m对称的两个点。它们之间正好 相差一个倒格矢K h。 过a,b两点等能面的法线为
这就是布洛赫定理。
当平移晶格矢量R时，同一能量本征值的波函数只增 加一个相位因子。
注意：不是R的周期函数！
布洛赫定理的另一种表达形式： 周期势场中的单电子波函数可以写成一个调幅的 平面波（布洛赫波函数）：
其中调幅因子u满足R的周期性：
很显然，该函数必然满足布洛赫定理
与自由电子波函数相比，周期场的作用只是用一 个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波。
平移算符
晶体最重要的特征是平移对称性，定义三个基本的 平移算符： 对任一函数：
它们是可对易的：
同时，平移算符 也是可对易的：
与哈密顿
即
这四个算符具有相同的本征函数，可以用它们所对 应的本征值的量子数来标志周期中的单电子态。

固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)

填充的部分（允带）和禁止填充的部分（禁带）相间组成 的能带，所以这种理论称为能带论。
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，现已证实，
在非晶固体中，电子同样有能带结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子 之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶 态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成 能带的必要条件。
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场形式和强弱也是不同的，需要针对具体 问题才能进行求解。
Hale Waihona Puke T T f r TT－ T T = 0，
晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
这里b1，b2和b3为倒格子基矢，于是有
e
ika
a b 2
r R r 1a1 2a2 3a3
1 2 3 1 2 3
T T T r r
1 2 1 2 3 3
Bloch首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数
应具有的形式，给出了周期场中单电子状态的一般特征，
这对于理解晶体中的电子，求解具体问题有着指导意义。
When I started to think about it, I felt that the main problem was to explain how the electrons could sneak by all the ions in a metal, … By straight Fourier analysis I found to my delight that the wave differed from the plane wave of free electrons only by a periodic modulation.

固体物理学中的能带理论

固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。

其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。

这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。

在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。

1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。

它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。

能带是指具有类似能量水平的电子能级。

禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。

2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。

最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。

然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。

在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。

经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。

3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。

首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。

它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。

其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。

通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。

例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。

而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。

例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。

它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。

总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。

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能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体中
的电子的波函数按此函数集合展开。
将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式中的 系数应满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征 值。
电子波函数的计算
根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数, 得到具体的波函数。
在不同的能带计算模型和方法中,采取的理论框架相 同，只是选取不同的函数集合。
பைடு நூலகம்
(#) (#)中
能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律，把原 本复杂的多体问题经过一定的近似处理后，转化为一个电子在 周期性势场中的运动，晶体中其它所有电荷的影响均可以用此 单电子的周期性势场来概括。有时也称能带理论为固体的单电 子理论。
单电子近似最早用于研究多电子原子，称为哈特里 ----福克自洽场方法。
E
2P 2S
1S
0
a
离子间距
能带重叠示意图
晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一 能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 N(2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能 带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
解定态薛定格方程，可以得出两点重要结论：
1.电子的能量是分立的能级; 2.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个晶体中运动, 称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是共有化电子。
能带 (energy band)
晶体中的电子能级 有什么特点？
第四章 能带理论
晶体的周期性结构决定了声子的色散关系。周期 性结构导致晶体中的电子处于周期性（而不是恒定的） 的势场之中。20世纪30年代，布洛赫和布里渊等人 研究了在周期性势场中运动的电子性质，为固体物理 奠定了基础。
能带理论是研究固体中电子运动的主要理论基础。 能带理论对固体中电子的状态进行了较为精确的物理 描述，成功地解释了固体的导电性，所以它一直是固 体物理学的核心部分之一。
从多体问题的角度,电子之间的相互作用不能简单地用 平均场代替;
金属中的价电子系统，不能用电子气来描述了, 必须把 价电子系统看成量子液体。
4. 电子与晶格之间的作用
电子和晶格相互作用，在离子晶体中电子的运动 会引起周围晶格畸变，电子带着这种畸变一起前进 的， 电子不再是在周期场中的运动。
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。
2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
能带理论强调了共有化的价电子以及在波矢 空间中的色散关系，在解释实验现象和预测物理 性质方面都取得了可观的成功。说明了导体、非 导体的区别，是研究半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
能带理论是一个近似理论，存在着一定的局限性。
注意:能带理论的局限性
1. 一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小, 自由程与晶格间距相当, 电
子不为原子所共有, 周期场失去意义，能带理论不适 用了。
2.非晶态固体 非晶态固体和液态金属只有短程有序，两种物质的电
子能谱显然不是长程序的周期场的结果。
3. 电子与电子之间的作用
能带理论的出发点：电子不再束缚于个别的原子， 而在整个固体内运动，即共有化电子。
共有化电子的运动状态：假定原子实处在平衡 位置，把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰。
理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场具有周期性
电子在晶格周期性的等效势场中运动的波动方 程为：
晶格周期性势场
电子受到周期性势场的作用。
a
按量子力学须解定态薛定格方程。
晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理步骤：
第一步简化 —— 绝热近似 离子实质量比电子大，运动慢，离子固定在瞬时位置上
第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法 多电子问题简化为单电子问题，每个电子在离子势场 和其它电子的平均场中运动。
第三步简化 —— 周期性势场 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
量子力学计算表明，晶体中若有N个原子，由 于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每 一个能级,在晶体中变成了N条靠得很近的能级,称 为能带。
能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。 3. 两个能带有可能重叠。