人教版九年级数学下册第二十七章 相似 复习课件

△DEC C 是4以: 3点 为位似中16心: 的9 位似图形，A其位似D比为
，面积比为 .
BE
ห้องสมุดไป่ตู้
C
4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，
3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为
位似中心的位似(图4，形－. 3若) 点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则
点 B′ 的坐标为
2. 相似三角形的判定
◑通过定义 (三个角分别相等，三条边成比例) ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
3. 相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方
(2) 若 ∠ABC=45°，⊙O 的直径等于 10，BD = 8，
求 CE 的长．
A
解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，
GH
∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，
E
O
∴ BD = AD.
B
∵ BD = 8，∴ AD = 8.
DC
在 Rt△ADC中，AD = 8，AC = 10，
由勾股定理得 DC = 6，则 BC = BD + DC = 14.
正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、
EM F
AC上，△ABC 的高 AD 与边 B EF 相交于点 M，设正方形的
G DH C
边长为 x mm.
∵ EF//BC，
∴△AEF∽△ABC， ∴ EF AM .
BC AD
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
则
x 120
80 80
x，
A EM F
解得 x = 48.
B G DH C
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
例2 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，
点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.
(1) 求证：△ABD ∽△CED；
证明：∵△ABC是等边三角形，
A
∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∠ACF＝120°．
∵∠EBC = ∠DEC，∠BCE = ∠ECD，
2 21
∴△BCE∽△ECD，∴BC : CE = CE : CD，
考点二 相似的应用
例1 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树 与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
3.6m
2m 1.2m
解：如图，CD＝3.6m，
∵△BDC∽△FGE，
∴ BC EF ，即 BC 2 ，
CD GE
3.6 1.2
∴ BC＝6m.
在 Rt△ABC 中，
∵ ∠A＝30°，
∴ AB＝2BC＝12 m，
即树长 AB 是 12 m.
3.6m
2m 1.2m
例2 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？” 请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑 的高度 (画出示意图)，并说明理由．
A′
B′ O
C′ x
(3) 计算△A′B′C′的面积 S. y A′
B′ O 解：S 1 48=16. 2
C′ x
谢谢
与 △DFA 的面积之比为 .
5. 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂
足为 P，求证：PC2 ＝ PA ·PB. 证明：连接AC，BC.
∵AB是直径，
A
∴∠ACB＝90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°.
C
·O P B
D
又 ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，
∠PCB＋∠B＝90°.
E D
∵CE是外角平分线， B
∴∠ACE＝60°，
CF
∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
解：作 BM⊥AC 于点 M.
A
∵ AC＝AB＝6，
∴ AM＝CM＝3.
∵ AD ＝ 2CD，
B
∴CD＝2，AD＝4，
M
E
D
CF
在MDR＝t△1. BDM 中，BM 62 32 3 3 ，
3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上
且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF
2 或 4.5
与 △ABC 相似，则 AF =
.
A
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 1:9
你还有其他 方法吗？
针对训练 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m
远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
C
A
1.8 m
B 2m O
6m D
解：∵∠ABO=∠CDO=90°，
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
E′
D
A
BG CF
P●
DE
′
C
F′ G
′ B′
′
A′
A′
G′ A
B′C′
F′
B C
G F
P●
DE
D′ E′
(4) 平面直角坐标系中的位似 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的 比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的 坐标的比为－k.
考点讲练
考点一 相似三角形的判定和性质
针对训练 1．如图，当满足下列条件之一时，都可判定
△ADC ∽△ACB．
(1) ∠ACD =∠B
；
(2) ∠ACB =∠ADC
；
(3)
AD AC AC AB
或 AC2 = AD ·AB .
A
D
B
C
2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的
△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条 边长为 36 和 39 ．
BD BM 2 MD2 2 7 ， 由(1) △ABD ∽△CED得，
BD ED
AD，即 CD
27 ED
2，
∴ ED 7，BE BD ED 3 7.
A
M
E
D
B
CF
例3 已知：在 △ABC 中，以 AC 边为直径的 ⊙O 交
BC 于点 D，在劣弧上取一点 E 使 ∠EBC =∠DEC，
∠AOB=∠COD，
∴∴△AABOB∽BO△，C∴OD. 1.8 2，
CD DO
CD 6
解得 CD = 5.4m.
C
故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．
A
1.8 m
B 2m O
6m
D
考点三 位似的性质及应用 针对训练
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 (C )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和
△A′B′C′ 不存在位似关系的是
B
B
A
C' B
(B ) B'
A(A')
C
B'
A(A') C' C
B B'
B B'
C C C'
D A(A') A A'
C' C
3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与
∴ ∠A＝∠CPB， ∴∴ △PACPAPCPP∽CB ，△∴CPBP.C2 = AP ·PB.
例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC
＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形
零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分
别解在：设AB正、方AC形上EF，H这G个为正加方工形成零的件的边长是多少A？
第二十七章 相 似 复习课件
知识框架
相似
定 相似图义形
定义、判定、性
相似多质边形 相似三角形
平行线分线 段成比例
判定
性质
位似
性质 平面直角坐标系中的位似
应用
要点梳理
1. 图形的相似 (1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例.
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
延长 BE 依次交 AC 于点 G，交 ⊙O 于 H．
(1证) 求明证：：连A接CA⊥DB，H；
A GH
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC， E
O
∴∠DAC=∠EBC.
B
∵AC 是 ⊙O 的直径，
DC
∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC =180°－(∠EBC+∠DCA)=90°，
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、 理BE由的：长测，量就出可C算D出、纪DE念、碑BEA的B 长的，高因．为∠CED＝ ∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 根据 CD DE ，即可算出 AB 的高． AB BE