预备数学月考2

预备数学第二学期第二次月考复习卷（一）班级 学号 姓名 分数一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1、下列方程组中属于二元一次方程组的有（ ）（1）21,1;x y y z -=⎧⎨=+⎩ （2）0,3;x y =⎧⎨=⎩ （3）0,235;x y x y -=⎧⎨+=⎩ （4）21,2 1.x y x y ⎧+=⎨+=-⎩（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x x y 132（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．2、六（6）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人.如果六（6）班学生数为x 人，分成y 组，那么可得方程组为 （ ）.（A ）6374x y x y +=⎧⎨-=⎩ （B ）6374y x y x =+⎧⎨+=⎩ （C ）6374y x y x =-⎧⎨=+⎩ （D ）6374y x y x =+⎧⎨=-⎩3、如图，线段AD =90cm ，B 、C 是这条线段上两点，AC =70cm ，且CD =31BC ，则AB 的长是（ ）（A ）20cm;（B ）15cm; （C ）10cm; （D ）8cm .4、下列说法正确的是 （ ） (A) 两个相等的角不可能互余; (B) 角的平分线是一条射线;(C) 一个角的补角一定比这个角大;(D) 联结两点的线段叫这两点间的距离.5、下列作图属于尺规作图的是（ ）(A)延长线段AB 至点C ； (B)画线段MN=3cm ； (C)用量角器画出∠AOB 的平分线D ．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB ，使∠AOB=2∠α 6、如图，∠BOC =2∠AOB ，OP 平分∠AOB ，已知∠AOP =12º，则∠POC =……（ ） (A)45° (B) 60° (C) 75° (D)90° 二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 7、若2-=x 是方程04=+kx 的解，则=k __________．8、把方程432=+y x 变形，用含x 的代数式表示y ，则=y __________．9、已知方程组⎩⎨⎧=+-=-by x a y x 2)1(5有无数解，则a +b 等于 .10、若5x −6y =0，且xy ≠0，则yx yx 310410--的值等于BCA D第4题图AP BC第5题图O11、根据右图填空：CD +=____BD =____-AD ．12、若点C 是线段AB 的中点，则BC ＝______AB ．13、比较图中B OC ∠、BOD ∠的大小：因为OB 和OB 是公共边，______在BOD ∠的内 部，所以B OC ∠______BOD ∠．（填“>”，“<”或“=”）14、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数 . 15、.已知,'3853︒=∠α则α∠的补的度数 . 16、一个角和它的补角相等，那么这个角等于 .17、如果一个角和它的补角的比是1∶5，那么这个角的度数是 度 18、如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果∠l=44°18′30″，那么∠2= ．19、已知点A 、B 、C 在同一条直线上，AB=5厘米，BC=3厘米，则AC= ； 20、小明从O 点出发向北偏西40°走了500米到达A 点，小丽从O 点出发向南偏东40°走了300米到达B 点，这时A 、B 两点之间的距离是 米． 三、计算题（本大题共4题，每题5分，满分20分）21、解不等式：()()524633+>++x x 22、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+->-．x x x x 221,223、解方程组：⎩⎨⎧=---=．02583,82y x x y 24、解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-．522,22,73z x z y y x第12题图DCBADCBAO第13题图第18题图四、解答题（本大题共6题，每题5分，满分30分） 25、已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．26、已知a 是自然数，关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值．27、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。

2022-2023学年云南省玉溪高一下学期2月月考数学试题一、单选题1．函数在区间上的最小值为（ ）243y x x =-+[]1,1-A ．8B ．3C ．0D ．－1【答案】C【解析】依据二次函数图象的对称轴的位置来求函数的最小值.【详解】二次函数图象的对称轴方程为，因为，2x =21>故在为减函数，故当时函数取最小值，故.243y x x =-+[]1,1-1x =min 0y =故选：C.【点睛】本题考查二次函数在给定范围上的最小值，一般地，依据开口方向和对称轴与给定区间的位置关系来求最值.本题为基础题.2．函数的图象关于（ ）()21f x x =-A ．轴对称B ．轴对称x y C ．坐标原点对称D ．直线轴对称y x =【答案】B【分析】先看函数的定义域，再看函数的奇偶性，结合函数的奇偶性，来研究函数的图象的对称性．【详解】函数f （x ）的定义域是实数集R ，关于原点对称，，()()()2211f x x x f x -=--=-=是偶函数，∴函数f （x ）图象关于y 轴对称，故选：B ．3．已知集合A ＝{x |2x ﹣4＜0}，B ＝{﹣1，0，2}，则A ∪B ＝（ ）A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，2]【答案】D【分析】化简集合，根据并集的定义，即可求解.A 【详解】,{|}{|2},{}240102A x x x xB =<--<＝＝，，所以.(,2]A B =-∞4．已知，则（ ）．π1sin 123θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5πcos 12θ⎛⎫+=⎪⎝⎭A ．B ．CD ．1313-【答案】B【分析】利用诱导公式由求解.6π5ππcos cos sin 12121212πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【详解】因为，π1sin 123θ⎛⎫-=⎪⎝⎭所以，1cos 5π6ππcos co sin 1212123s 12122θθθπππθ⎛⎫⎛⎫==--=-⎪⎛⎫⎛⎫+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎭⎝⎝故选：B.5．若函数，则（ ）2()3log (2)f x x x =+-10(5)()3f f +=A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】D【分析】把自变量代入解析式求值即可.【详解】因为，所以.22104(5)15log 3,10log 33f f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭210(5)25log 4272f f ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查求函数值. 把自变量代入解析式求值.若是分段函数求值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．(())f f a 6．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）①()f x =()g x =②与()1f x =()1g m =③与2()1f x x =-2()(1)2(1)g x x x =+-+④()f x =()g x =A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【分析】根据各项函数的解析式，由各函数的对应法则、定义域判断是否为同一函数即可.【详解】，对应法则不同，①不是同一函数；()||,()f x x g x x ====与对应法则、定义域都相同，②同一函数；()1f x =()1g m =与对应法则、定义域都相同，③同一函数；2()1f x x =-()()()221211g x x x x =+-+=-，④不是同一函数．()f x =(1,),()g x ∞+=[1,)+∞故选：B7．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面SN 的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W 增大到原来的1.1倍，信噪比从1000提升到SN 16000，则C 大约增加了(附：)（ ）lg 20.3≈A ．21%B ．32%C ．43%D ．54%【答案】D【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和16000时C 的比值即可求解.【详解】解：由题意，所以C 大约增加221.1log 16000lg1600034lg 21 1.11 1.110.54log 1000lg10003W W +-=⨯-=⨯-=了54%.故选：D.8．已知正实数a ，b 满足，则的最小值是（ ）24ab +=222a b ++A ．B．4C ．D ．949234【答案】D【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】设，则，故，其中，2,x a y b =+=2,a x b y =-=28x y +=2,0x y >>，()2212214226288x y x y a b x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭由42x yy x +≥当且仅当，时等号成立，(4242x y y x y x =⇒⇒=)81y =此时，满足，2x >0y >故的最小值为222a b ++(13684+=故选：D.二、多选题9．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单()f x R ()g x R ()f x ()g x (],0-∞调递减，则（ ）A ．B ．()()()()12f f f f <()()()()12f g f g <C ．D ．()()()()12g f g f <()()()()12g g g g <【答案】BD【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，()()12f f <逐项判断即可.()()()0012g g g =>>【详解】因为是定义在R 上的偶函数，是定义在R 上的奇函数，且两函数在上()f x ()g x (],0-∞单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，()f x [)0,∞+()g x [)0,∞+()g x R 所以，，()()12f f <()()()0012g g g =>>所以，，，()()()()12f g f g <()()()()12g f g f >()()()()12g g g g <所以BD 正确，C 错误；若，则，A 错误.()()12f f >()()()()12f f f f >故选：BD10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，我们把函数（[x ]指不超过x 的最大整数）称为“高斯函数”，下列对“高斯函数”描述正确的是（ ()[]f x x =）A ．B ．()11.1111f =()2.53f -=-C ．为奇函数D ．为增函数()f x ()f x 【答案】AB【分析】根据高斯函数的定义可判断AB ，结合函数的奇偶性的定义可判断CD.【详解】因为函数（[x ]指不超过x 的最大整数），()[]f x x =所以，，故AB 正确；()11.1111f =()2.53f -=-由题可得，而，()2.53f -=-()2.52f =所以，，()()2.5 2.5f f -≠-()()2.5 2.5f f -≠所以函数不是奇函数，也不是偶函数，故CD 错误.()f x 故选：AB.11．命题：“，”.命题：p ()7,12x ∀∈()cos 10lg x x-≠q“，”.下列结论判断正确的是（ ）x ∃∈R ()443228243215x x x x x -<-+-+A ．是存在量词命题p B ．是假命题p C ．的否定为“，”q x ∀∈R ()443228243215x x x x x --+-+ D ．是假命题q【答案】BCD【分析】根据全称命题与特称命题的概念、否定、以及命题的真假逐项判断即可.【详解】解：对于A ，命题是全称量词命题，故A 不正确；p 对于B ，因为，即，使得，则是假命题，故()cos 1010lg101-==()107,12∃∈()cos 1010110g -=p B 正确；对于C ，是否定为“，”，故C 正确；q x ∀∈R ()443228243215x x x x x --+-+ 对于D ，因为，所以是假命题，故D 正确.()()()4224322228243216x x x x x x x -=--=-+-+q故选：BCD.12．已知角为锐角，则（ ）αA ．B ．()tan 900α+︒>()sin 1800α+︒<C ．D ．()cos 900α-︒>()cos 1800α-︒<【答案】BCD【分析】先根据题意确定，再逐一判断选项中的角所在的象限和对应三角函数值的正负090α︒<<︒即可.【详解】因为角为锐角，即，所以，为第二象限角，则α090α︒<<︒9090180α<+<︒︒︒90α+︒，选项A 错误；()tan 900α+︒<同理，，为第三象限角，则，B 正确；180180270α︒︒<+<︒180α+︒()sin 1800α+︒<，为第四象限角，则，C 正确；90900α-<-︒<︒︒90α-︒()cos 900α-︒>，为第三象限角，则，D 正确．18018090α︒︒-<-<-︒180α-︒()cos 1800α-︒<故选：BCD ．三、填空题13．若，，则__________．3cos 5θ=-3,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用两角和的正弦公式计算可得；sin θ【详解】解：因为，，所以，因为3cos 5θ=-22cos sin 1θθ+=4sin 5θ=±3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以4sin 5θ=-所以43sin sin cos cos sin 44455πππθθθ⎛⎫+=+=--= ⎪⎝⎭故答案为：14．，，，______.tan 2α=π2π4k β=+k ∈Z sin 2()αβ+=【答案】35-【分析】由,可求出和,由可求出和,进而可求出π2π4k β=+sin 2βcos 2βtan 2α=2sin α2cos α和,然后利用两角和的正弦公式将展开,可得出答案.cos 2αsin 2αsin 2()αβ+【详解】由题意,,则,,π2π4k β=+ππ4π2sin 2sin sin 12k β⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ππ42cos 2cos cos 02k πβ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+,则,解得,则.sin tan 2cos ααα==22sin cos 1sin 2cos αααα⎧+=⎨=⎩224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23cos 22cos 15αα=-=-则.33sin 2()sin 2cos 2sin 2cos 2055αβαββα+=+=-=-故答案为:.35-【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了三角函数的求值,考查了学生的计算能力,属于基础题.15．已知第三象限角，且，则________．α3tan()4απ+=cos α=【答案】##-0.845-【分析】结合三角函数的诱导公式，求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解.3tan 4α=【详解】因为，可得，即，即，3tan()4απ+=3tan 4α=sin 3cos 4αα=3sin cos 4αα=又由，可得，解得，22sin cos 1αα+=223(cos )cos 14αα+=216cos 25α=又因为第三象限角，可得，所以.αcos 0α<4cos 5α=-故答案为：45-16．已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭()f x x α=(,0)-∞标原点，则____________．α=【答案】2-【分析】根据幂函数的单调性与定义域判定即可【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，()f x x α=0α<()f x x α=(,0)-∞故2α=-故答案为：2-四、解答题17．已知函数）为奇函数，()ln 1x mf x x +=-（()12x g x +=-(1)求实数m 的值；(2)，使得f ）在区间]上的值域为]，求()120,x x ∞∈+，2x （[12x x ，()()2122ln ln a g x a a g x a ⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅--⋅-⎝⎭，（实数a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)（0）29，【分析】（1）根据奇函数的定义列等式求解参数即可；（2）根据（1）中所得函数解析式确定函数的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再()2xf 根据单调性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围.【详解】解：（1）∵f （x ）为奇函数，∴…()()0f x f x +-=∴在定义域内恒成立，ln ln 011x m x m x x +-+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭即在定义域内恒成立，111x m x m x x +-+⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭整理，得在定义域内恒成立.2221x m x -=-∴21m =解得1m =±当时，的定义域为，关于原点对称，1m =()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()(),11,∞∞--⋃+当时，的定义域为，不关于原点对称，舍去.1m =-()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭{}|1x x ≠综上， ；1m =（2）任取，且，令()120,x x ∞∈+，12x x <()2x H x f =则ln ()()()()12122122ln 21x x x x H x H x f f +-=-=-1121211221212122ln 212122x x x x x x x x x x +++--+=---+易知12212222x x x x-<-∴()()120H x H x ->∴H （x ）在（0，+∞）上单调递减.∵H （x ）在区间上的值域为[[]12,x x ()()2122lnln ]ag x a ag x a ⎛⎫ ⎪ ⎪----⎝⎭），∴，即()()1122122122121221x x x x ln ln ag x a ln ln ag x a ⎧⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫+⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎩11122211212212212212x x x x x xa aa a ++⎧+=⎪⎪-⋅-⎨+⎪=⎪-⋅-⎩令2(1)xb b =>易知，关于b 的方程在（1，+∞）上有两个不等实数根b 1，，1212b b ab a +=--2b 等价于关于x 的方程在（1，+∞）有两个不等实数根.()222200ax a x a a +-+-=>（）令，对称轴()()2222G x ax a x a=+-+-1124x a =- 解得，()()()20111242820120a a a a a G a >⎧⎪⎪->⎪⎨⎪∆=--->⎪=>⎪⎩则209a <<∴a 的取值范围是（0）.29，18．已知函数的定义域为R ，其图像关于原点对称，且当时，．()y f x =0x >()243f x x x =-+(1)请补全函数的图像，并由图像写出函数在R 上的单调递减区间；()f x ()f x (2)若，，求的值．24log 5log 100m =-3log 23n =()f m n -【答案】(1)作图见解析；单调减区间是和[)2,0-(]0,2(2)0【分析】（1）由图象关于原点对称，补出另一部分，结合图可求出函数的单调减区间，（2）先求出的值，然后根据函数的奇偶性和解析式求解即可,m n 【详解】（1）因为函数的图像关于原点对称，()y f x =所以是R 上的奇函数，故()y f x =()00f =由对称性画出图像在R 上的单调减区间是和()f x [)2,0-(]0,2（2）242225log 5log 100log 5log 10log 110m =-=-==-，3log 232n ==所以()()()()()2123334330f m n f f f -=--=-=-=--⨯+=19．已知是定义在上的奇函数，当时，为二次函数且顶点为，.()f x R 0x >(1,1)(2)0f =（1）求函数在上的解析式；()f x R （2）若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围.()f x [1,2]a --【答案】（1）（2）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩(]1,3【解析】（1）当时，设出二次函数顶点式，结合求得二次函数解析式.根据奇函数的0x >(2)0f =性质，求得当时，的解析式，从而求得在上的解析式.0x <()f x ()f x R （2）由（1）画出的图像，结合在区间上单调递增列不等式，解不等式求得()f x ()f x [1,2]a --的取值范围.a 【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，()f x R∴且()()f x f x -=-()00f =当时由已知可设，又解得0x >2()(1)1(0)f x a x a =-+≠(2)0f =1a =-所以，0x >2()2f x x x =-+当时，，∴0x <0x ->()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦又满足∴()0f ()22f x x x =+()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩（2）由（1）可得图象如下图所示：由图可知的增区间为 ()f x [1,1]-∵在区间上单调递增，∴()f x [1,2]a --121a -<-≤解得：∴a 的取值范围为：(]1,3a ∈(]1,3【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数解析式的求法，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.20．若某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：.()21400,0500275000,500x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(1)将利润（单位：元）表示为月产量x 的函数；()f x (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）【答案】(1)()2130020000,0500255000100,500x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩(2)当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润总收入总成本即可得到R x =-答案；（2）分和时，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出最值，比较即可0500x ≤≤500x >得到答案．【详解】（1）解：由题可知总成本为，20000100x +∴.()2130020000,0500()20000100255000100,500x x x f x R x x x x ⎧-+-≤≤⎪=--=⎨⎪->⎩（2）解：当，，0500x ≤≤()()21300250002f x x =--+∴时，有最大值25000；300x =()f x 当时，是减函数，500x >()55000100x x f =-∴.()550001005005000f x <-⨯=∴时，有最大值25000.300x =()f x 即当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.21．已知a 、且都不为1，函数．0b >()x x f x a b =+(1)若，，解关于x 的方程；2a =12b =()()1f x f x =+(2)若，是否存在实数t ，使得函数为上的偶函数？若存在，求出t 的2b a =()()2log x f x g x tx a =+R 值，若不存在，说明理由．【答案】(1)12x =-(2)存在，12t =-【分析】(1)根据题意可得，解方程即可；112222x x x x -+--+=+(2)由题意可得，结合偶函数的概念可得，进而()()2log 12x g x tx =++()()()21log 12x g x t x -=-+++得到，解方程即可.()1tx t x =-+【详解】（1）因为，，所以，2a =12b =()22x x f x -=+方程即为，()()1f x f x =+112222x x x x -+--+=+化简得，所以，解得；122x x --=1x x =--12x =-（2）因为，故，2b a =()()()212xx x x f x a a a =+=+，()()()22log log 12x x f x g x tx tx a =+=++因为是偶函数，故对任意的实数x 成立，()g x ()()g x g x -=而，()()()()22212log 12log 1log 122xx x x g x tx tx t x -+-=-++=-+=-+++于是对任意的实数x 成立，解得．()1tx t x =-+12t =-22．已知函数，且.()2=-a f x x x ()922f =(1)求实数的值并判断该函数的奇偶性；a (2)判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明.()f x 【答案】(1)，函数为奇函数1a =-1()2f x x x =+(2)在上是增函数，证明见解析()f x ()1,+∞【分析】（1）根据，代入函数解析即可求解；()922f =（2）利用函数单调性的定义证明即可.【详解】（1）∵，且，()2a f x x x =-99(2),4222a f =∴-=∴；1a =-所以，定义域为关于原点对称，1()2f x x x =+{}|0x x ≠∵，111()2()2(2)()f x x x x f x x x x -=-+=--=-+=--∴函数为奇函数.1()2f x x x =+（2）函数在上是增函数，()f x ()1,+∞证明：任取，设，则()12,1,x x ∈+∞12x x <12212121212121121111()()2(2)2()(2()(x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+-+=-+-=-+2112211212()(21)1()(2x x x x x x x x x x --=--=∵，且，()12,1,x x ∈+∞12x x <∴，210x x ->1212210,0x x x x ->>∴，即，()()210f x f x ->()()21f x f x >∴在上是增函数.()f x ()1,+∞。

预备年级月考数学试卷姓名 得分：___________一．填空题（每空2分，共34分）1． 计算：5714630⨯÷=__________ 2． 计算：3.22335-+=___________________. 3． 正方形的边长是53dm ，它的周长是___________dm 4． 填空()1564=，432的倒数是 =___________ 5． 化简比 15∶25 =___________，4∶6∶10 =____________________. 6． 求比值 1∶32=_________，12cm ∶1dm =_________，41小时∶15分钟 =_________ 7． 将百分数化成最简分数(或整数): 300% =__________,145% =__________.8． 将下列小数(或分数)化成百分数: 0.3 =_____________31=_______________ 9． 商场在双休日期间对服装进行打折促销,已知一套时装七五折后的售价是300元, 问此服装的原价是_________元10． 若圆的直径是10, 则它的周长是________11． 掷一枚骰子，偶数点朝上的可能性大小是______12． 某市2004年的工业总产值1000亿元,计划今年在去年的基础上工业总产值增长1个百分点,那么2005年的工业总产值是_____________亿元.二． 选择题（3分×4=12分）13．若比的前项扩大2倍,比的后项不变,对应的比值 （ ）（A ）不变 （B ）扩大2倍（C ）缩小2倍 （D ）无法确定14某班男生有16人，女生有20人，则下列叙述正确的是 （ ）（A ）男生人数是女生人数的125％（B ）女生人数是男生人数的80％（B ）男生人数比女生人数少20％（B ）女生人数比男生人数少20％15．下列说法错误的是 （ ）（A ）对折就是原价的50% （B ）以原价的120%出售,盈利率就是20%（C ）以原价的70%出售,亏损率就是70%（D ）打八折就是原价的80％16．铺一条3千米长的管道要7天完成，平均每天铺设的长度是 （ ）（A ）17 （B ）37 （C ）17千米 （D ）37千米 三． 简答题（6分×6=36分）17．求比值32∶9818．已知 a ∶b =2∶3, b ∶c = 0.2∶0.5,求a ∶b ∶c19．已知4∶322=x ∶211,求x20.计算：147315242⎛⎫-⨯⎪⎝⎭21.计算：2170.75538⎛⎫⨯-+÷⎪⎝⎭50％22.解方程：523 ()1375 x--=÷四. 解答题(4分+5分+5分=14分)23．小明妈妈2005年元旦在上海银行存款5000元,年利率2%,请你帮助算一算,2006年新年元旦时小明妈妈能从银行取回税后本利和多少元?24.台北风味的卤味熟食渐渐成为人们喜爱的休闲食品. 乳山路上的一家店十月份的平均日营业额比炎热的九月份日营业额增长60% ；然而,自禽流感疫情在我国局部地区零星出现后,十一月份的此店的日营业额平均比十月份下降40% .若十月份的日营业额是960元, 问:(1) 十一月份的日营业额是几元?(2) 九月份的日营业额是几元?25.硬币的一面是字,另一面是图,随意上抛一枚硬币,落地后硬币面向上的情况是两种等可能结果:字或图 .若随意上抛两枚硬币, 那么(1)落地后的等可能结果是哪几种,逐一写出?(2)一字一图面朝上的这种结果出现的概率是多少?五.能力题(2+2=4分)26.圣诞节来临之际,蒋老师准备用艺术节获奖的奖金买礼物赠给全班36个同学.礼物标价2元,在A店每买十件就赠一件;在B店每买五件就赠一元。

2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（ ）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（ ）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（ ）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（ ）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（ ） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（ ） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】 连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可． 【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。