小学数学知识使用前的预备知识梳理数学是一门需要逻辑思维和抽象能力的学科，而小学阶段是培养孩子数学思维和基础知识的关键时期。
在学习具体的数学知识之前，我们需要对一些预备知识进行梳理和准备，以帮助孩子更好地理解和应用数学知识。
一、基本的数学概念在学习数学之前，孩子需要掌握一些基本的数学概念，如数字、数量、大小等。
数字是数学的基础，孩子需要通过数数、认识数字的形状和大小，理解数字的含义和用途。
数量是指事物的多少，孩子需要通过比较、分类和计数等活动，培养对数量的感知和认知能力。
大小是指事物的大小关系，孩子需要通过比较大小、排序等活动，培养对大小关系的理解和判断能力。
二、基本的数学运算数学运算是数学学习的基础，包括加法、减法、乘法和除法。
在学习数学运算之前，孩子需要掌握基本的数学概念和计数能力。
加法是指将两个或多个数相加，减法是指从一个数中减去另一个数，乘法是指将两个或多个数相乘，除法是指将一个数分成若干等份。
孩子需要通过实际操作和练习，掌握数学运算的基本规则和方法。
三、基本的数学关系数学关系是指数与数之间的联系和相互作用。
在学习数学关系之前，孩子需要掌握基本的数学概念和数学运算。
数学关系包括大小关系、相等关系、包含关系等。
孩子需要通过比较大小、判断相等和分类等活动，培养对数学关系的理解和判断能力。
四、基本的图形认知图形认知是指对图形的形状、属性和关系的认知。
在学习图形认知之前，孩子需要掌握基本的数学概念和数学关系。
图形认知包括图形的形状、图形的属性和图形之间的关系。
孩子需要通过观察、比较和分类等活动，培养对图形的认知和理解能力。
五、基本的数据处理数据处理是指对数据的收集、整理、分析和表示。
在学习数据处理之前，孩子需要掌握基本的数学概念和图形认知。
数据处理包括数据的收集、数据的整理和数据的分析。
孩子需要通过观察、统计和绘制图表等活动，培养对数据的处理和分析能力。
六、基本的问题解决问题解决是指通过数学思维和方法解决实际问题。
1．实数由于经济数学基础这门课程主要是在实数范围内研究微积分、线性代数、概率统计等问题,因此,本节课主要复习与实数有关的一些基础知识.1.1 实数中的基本概念及运算(1) 实数按照以下方法分类，形成实数系表：实数由有理数和无理数组成．有理数——能表示为两个整数相除形式的数（包括整数、分数（或表示成有限小数、无限循环小数））；无理数——无限不循环小数，即不能表示为两个整数相除形式的数．(2) 基本概念自然数——表示现实世界中“物体的个数”，自然数从 0开始，一般记为0， 1，2，…，n，…，其中n表示任意一个自然数．在实际生活中仅有自然数是不够的．例如，某班学生中男生占全班人数的五分之二，经济数学基础某学期的平均及格率为百分之六十七点二四等等.这些问题用自然数是不能准确描述的，应该分别用分数25和百分数69.24%(或小数0.692 4)来表示．正数——由正整数、正分数和正小数组成，记作a．那么，a> 0．有时用正数也不能准确描述一件事情，例如，白天的最高气温为7︒C,晚上气温下降了10︒C，达到最低气温那么应该怎样描述晚上最低温度呢？负数——在正数前面添上“－”号的数，记作-a(a>0).那么，-a< 0．用负数就可以将晚上最低温度记为-3︒C．0 是一个特殊的数.它既不是正数，也不是负数，而是一个正、负数的分界数，是一个中性的整数．正数和0通常叫做非负数，即当x是非负数时，x≥0；相反，0和负数通常叫做非正数，即当y是非正数时，y≤ 0．在我们遇到的问题中，只用有理数来描述也是不够的.例如，一个两条等边长为1分米的等腰直角三角形，其第三条边的长度是2分米.又如,圆的周长与直径之比是一个常数，叫做圆周率，用符号π表示.这里的2和π是不能被表示成两个整数之比的，这些数被叫做无理数．无理数又分为正无理数和负无理数．(2) 实数的运算规则I加法、乘法运算规则加法交换律a + b = b + a加法结合律(a + b) + c = a + (b + c)乘法交换律a⨯b = b⨯a乘法结合律(a⨯ b)⨯ c = a⨯ (b⨯ c)分配律a⨯ (b + c) = a⨯ b + a⨯cII 括号规则a + (b - c) = a + b - ca - (b - c) = a - b + ca +b -c = a + (b - c)a -b +c = a - (b - c)III正负规则a⨯ (-b) = -( b⨯ a)(-a) ⨯ b = -( b⨯ a)(-a) ⨯ (-b) = b⨯aIV比例规则a bab=⋅1(b≠0)a bcda db cbd+=⋅+⋅(b≠0, d≠0)a bcda cb d⋅=⋅⋅(b≠0, d≠0)a b c d a b d c a d b c ÷=⋅=⋅⋅ (b ≠0, c ≠0, d ≠0) V 乘方规则正数的非 0 次幂是正数；负数的非 0 偶次幂是正数，奇次幂是负数； 0 的正数次幂等于 0，非 0 数的 0 次幂等于 1． 例如， 25= 32， (-4)3= -64， (-1.3)2= 1.69， 0100= 0， a 0=1 (a ≠0)VI 开方规则正数的奇次方根是一个正数．正数的偶次方根有两个互为相反的数； 0 的n （n 为正整数）次方根是 0；负数的奇次方根是一个负数，在实数范围内，负数没有偶次方根．例如，3125= 5，38-= -2，53259±=，n 0= 0， (n 是正整数) 如果x 2=a ，那么，x 叫做a 的平方根．一个正数a (a >0)的平方根,是两个互为相反的数±a ，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根（或算术根）．如果x 3=a ，那么，x 叫做a 的立方根． 1.2 数轴与绝对值规定原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴．数轴上的 O 表示原点，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数． 数轴上的点与全体实数是一一对应的．一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，记a ． 正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0．即a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000例如，-19= 19, 256.= 2.56, 0= 0绝对值有以下性质：任何实数都有惟一的绝对值，且绝对值非负，即a≥0任何一个实数都不大于它的绝对值，且不小于它的绝对值的相反数，即a≤a≤a-互为相反的一对数，其绝对值相等，即-a=a两个实数乘积的绝对值等于两个实数绝对值的乘积，即ab=a b两个实数和的绝对值不大于两个实数绝对值之和，即+≤a+ba b两个实数差的绝对值不小于两个实数绝对值之差，即-≥a-ba b任何一个实数绝对值等于该实数平方后的算术平方根，即a=2．方程在工作和生活中，我们有时会遇到要用数学式子来表示几个量之间的关系，并要通过这些关系式来求未知量的数值．那么怎样求解呢？有哪些求解方法呢？这就是本节课要讨论的内容──方程及方程求解．2.1 方程中的基本概念用等号连接的两个式子叫做等式，含有未知量的等式叫做方程．含有n个未知量的方程叫做n元方程，未知量的最高次幂是m的方程叫做m次方程，其中‘元’就是指未知量．例如：2x-10 = 5 一元一次方程x2+ 4x-5 = 0 一元二次方程2x+ 3y=1 二元一次方程34520x y x y -=+=⎧⎨⎩ 二元一次方程组能够使方程成为恒等式的未知量的值叫做方程的解． 含有一个未知量的方程的解也叫做方程的根．例如：x 1 = -5和x 2 = 1都是方程x 2+ 4x -5 =0 的解，也是该方程的两个根． 求方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程． 两个解相同的方程叫做同解方程．性质1 方程两边都加上(减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程． 性质2 方程两边都乘(除)以一个不等于 0的数，所得方程与原方程是同解方程． 上述两个性质又叫做方程的变形规则. 解方程一般是利用这两个性质将原方程逐步变形，化简成便于求解的同解方程，然后求解． 2.2 一元一次方程只含有一个未知量,并且未知量的最高次幂是一次的整式方程叫做一元一次方程．一般式为ax + b = 0 (a ≠ 0)解法：通过同解变形（去分母、去括号、移项、合并同类项等）化成ax = -b (a ≠ 0)然后除以未知数的系数值a ，得到方程的解x = -ba ．2.3 一元二次方程只含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的整式方程叫做一元二次方程．一般式:ax 2 + bx + c = 0 （a ≠ 0）其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数，c 叫做常数项．一元二次方程最基本的解法是公式法，有时也可以用配方法或因式分解法求解，尤其是当二次项系数a = 1，即原方程变为x bx c 20++=时．1. 公式法：利用求根公式x b b ac a =-±-242求方程的根（见例5）．一般先用判别式b ac 24-判断方程解的情况，在有解的情况下，再用求根公式求解．当b ac 240-≥时，方程有两个不同的实数解a acb b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=当042=-ac b 时，方程有两个相同的实数解212x a bx =-=当b ac 240-<时，方程无实数解．2．配方法：将方程中常数项移到等号右边，即ax 2 + bx = -c然后在等号的两边分别加上一次项系数一半的平方，得222)2()2()(b c b bx ax +-=++,44)2(22c b b ax -=+ 若b 2 - 4c ≥ 0（否则无解）再开方，即可求得方程的解（见例2）． 3．因式分解法：设方程可以写成两个一次项的乘积，即x bx c x p x q 2++=++()()由()()()x p x q x p q x pq ++=+++2即pq x q p x c bx x +++=++)(22比较等式两边x 的同次幂的系数，得到b p q =+，c pq =也就是说，将x bx c 2++因式分解时，只需找到两个数p 和q ，使它们满2．方程上节课我们讨论了一元一次方程、一元二次方程的求解方法．这节课将要讨论另一类方程——二元一次方程和二元一次方程组．在讨论二元一次方程（组）之前，先介绍直角坐标系的有关概念．2.4 直角坐标系一、直角坐标系在一平面上，两条数轴成直角相交，构成一个直角坐标系．规定：水平方向的数轴叫做x轴，垂直方向的数轴叫做y轴，两条数轴的交点叫做坐标原点（记为O），x轴的原点右边为正方向，y轴的原点上方为正方向．(见图)平面上点P (x,y)有序实数对x表示点P 到y轴的距离，叫做点P 的横坐标；y表示点P 到x轴的距离，叫做点P的纵坐标．坐标平面分为四个象限，每一个象限中点的横坐标和纵坐标的符号如下第一象限：(+, +)第二象限：(-, +)第三象限：(-, -)第三象限：(+, -)在x 轴上的点的纵坐标为0，即(x ,0)；在y 轴上的点的横坐标为 0，即(0,y )． 二、两点之间的距离公式设点P 1的坐标为(,)x y 11，点P 2的坐标为(,)x y 22， 则P 1, P 2两点之间的距离d 的计算公式为21221221)()(y y x x P P d -+-==两点之间的距离非负，而且只有在这两点位置 相同的情况下，它们之间的距离才等于 0． 距离公式的几何说明见右图． 2.5 直线方程二元一次方程——含有两个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的方程．一般式为0=++c by ax其中a b ,是未知量的系数，c 是常数．满足二元一次方程的点 (,)x y 的轨迹是一条直线，因此，二元一次方 程又叫做直线方程． 画直线的两点法：当c =0时,先求满足直线方程的一点（原点除外），然后通过该点与原 点画出直线方程所表示的直线．当c ≠0时,可先分别求直线在x 轴上的截距（令y = 0,得a cx -=）和直线在y 轴上的截距（令x =0，得b cy -=）, 然后在坐标轴上画出这两个点（a c -，0）和（0，b c-）， 并通过这两个点画出直线方程所表示的直线．画直线的点斜法：通过直线上一点与直线的斜率确定直线．直线的斜率表示直线的方向,可通过直线上任意两点的坐标计算斜率． 设点(,)x y 11与(,)x y 22是直线l 上的两点，那么直线l 的斜率为k y y x x =--2121 ()x x 12≠当x x 12=时，直线l 的斜率没有定义，即直线l 垂直于x 轴． 下面给出求直线方程的几种方法：1． 如果点(x y 11,)和(x y 22,) 是直线上的两点，且x x 12≠，那么该直线的两点式方程为)(112121x x x x y y y y ---=-2．以k 表示两点式方程式中的斜率y y x x 2121--，那么该直线的点斜式方程为)(11x x k y y -=-即已知直线的斜率k 和直线上的一点(x y 11,)，就能写出直线方程． 直线方程除两点式和点斜式外，还有以下几种形式：3．截距式方程 x a y b +=14．斜截式方程 y kx b =+ 5．铅垂式方程 x x =1 6．水平式方程 y y =1x,轴上的截距．其中，a b,分别是y2.6 直线方程组直线方程组——由几个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组．直线方程组亦叫做二元一次方程组．设有两条直线l1，l2，那么，这两条直线间有以下三种关系：（1）l1与l2上的所有点相同，表示两条直线重叠，这两条直线对应的直线方程组有无穷多解；（2）l1与l2只有一个公共点，表示两条直线相交，它们交点的坐标是该方程组的惟一解；（3）l1与l2没有公共点，表示两条直线平行，它们对应的方程组无解．求解直线方程组常用的方法是加减消元法．用消元法求解方程组主要是进行以下两种变换:（I）用一个非 0 数乘某一个方程；（II）一个方程加上另一个方程的倍数．这两种变换叫做方程的初等变换．另外， “将两个方程的位置互换”也是一种初等变换． 方程组经过初等变换，形式改变了，但是方程 组的解是不变的，也就是说初等变换不改变方 程组的解，变换后与变换前的方程组是同解方 程组．3．不等式前几节课我们讨论的都是一种相等关系的问题．但在很多地方存在不等关系的问题，而且常常要求解含有未知量的不等关系．不等式——用大于号“>”、 大于等于号“≥”、小于号“<”、 小 于等于号“≤” 等不等号将两个代数式连结起来的式子． 不等式的解——能够使不等式成立的未知量的值． 不等式具有下列性质，这些性质希望大家熟记．（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个表达式，不等号不变．即当b a >时，a c b c +>+，a c b c ->-．（2）不等式两边都乘（或除）以同一个正数，不等号不变．即当b a >，c >0时，ac bc >，a c bc >．（3）不等式两边都乘（或除）以同一个负数，不等号反向．即当b a >，c <0时，bc ac <，a c b c <．（4）不等式有传递性，即当b a >，c b >时，c a >． 3.1 一元一次不等式一元一次不等式——含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式． 一元一次不等式组——含有相同未知量的几个一元一次不等式所组成的不等式组． 不等式组的解——同时满足不等式组中每一个不等式的解． 注意：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似；在不等式组的求解过程中，一般利用数轴确定它们的解，是一种比较方便的方法．下面通过例题说明．例1 解下列不等式17)10(2283--≤--x x x解 去分母，即不等号两边同乘14，得1473841014x x x --≤--()()去括号，得 14440562114--≤+-x x x合并同类项，即将未知量的项移到不等号的一边，常数项移到不等号的另 一边，然后合并，得 303-≤-x 不等号两边同除 –3，由性质(3)得 10≥x例2 解不等式组533235231()()()()x x x x ->--<-⎧⎨⎩解 去掉第一个不等式中的括号，得96155->-x x 合并同类项，得 x <-6去掉第二个不等式中的括号，得 51033x x -<- 合并同类项，得 x <35.由右图知，不等式组的解，即同时满足不等式组中两个不等式的解为6-<x3.2 一元二次不等式一元二次不等式 ——含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的不等式． 任何一个一元二次不等式，总可以写成下列两种形式中的一种02≥++c bx ax 或 ax bx c 20++≤ （a ≠0）如何求解一元二次不等式呢？我们通过例子介绍．例3 解不等式 x x 23100-->解 将不等式左边分解因式，得()()x x +->250上式相当于下列不等式组x x +>->⎧⎨⎩2050 或 x x +<-<⎧⎨⎩2050由第一个不等式组得x >-2 且 x >5所以第一个不等式组的解为x >5． 由第二个不等式组得x <-2 且 x <5所以第二个不等式组的解为x <-2．由此可得原不等式的解为x >5或x <-2，如右图． 3.3 二元一次不等式二元一次不等式 ——含有 两个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式． 二元一次不等式的一般形式是ax by c ++≥0 或 ax by c ++≤0其中 a b c ,,为常数，且a b ≠≠00,二元一次不等式组——由几个二元一次不等式组成的不等式组．求解二元一次不等式或二元一次不等式组的常用方法是图解法，下面通过例子介绍． 例4 用图解法解不等式 230x y +≥解 首先在直角坐标系中画直线(见右图) l 1：032=+y x ． 由右图可知，直线l 1将坐标平面分成左下、右上两个半平面．然后在右上半平面中任取一点，如（1，1），代入不 等式，得2x + 3y = 2⨯1 + 3⨯1= 5 > 0由此可知，右上半平面内的所有点都是 不等式230x y +≥的解．显然，直线l 1 上的点也是230x y +≥的解．所以，原 不等式的解是包含直线l 1的右上半平面 内的全部点，如右图中的阴影部分． 注意：二元一次不等式的解是直角坐标系中的半个平面．当不等号是“≤”或“≥”时，解的半平面包含直线， 而当不等号是“<”或“>”时，解的半平面不含直线，在图中用虚线表 示．例5 用图解法求解不等式组240210x y x y -+<++≥⎧⎨⎩解 在直角坐标系中画直线(见右图)l 1: 42+-y x = 0 取点（0，0），代入直线方程得 2⨯0 - 0 + 4 = 4 > 0即点（0，0）不在240x y -+<表示的 半平面内，因此240x y -+<的解是直 线l 1的左上半平面．再画直线 l 2: 12++y x = 0取点（0，0），代入直线方程得 2⨯0 + 0 + 1 = 1 > 0即点（0，0）在2x + y + 1 ≥ 0表示的半平面内，因此2x + y + 1 ≥ 0的解是直线l 2的右上半平面．取两个半平面的重叠部分（在右图中用阴影表示），得到原不等式组的解．注意： 由例5可知，求二元一次不等式组的解，就是在直角坐标系中分别画出不等式组中每一个不等式所对应的半平面．如果这些半平面有重叠的区域，不等式组就有解，且解的区域可能是无界区域，也可能是有界区域．如果这些半平面没有重叠的部分，则不等式组无解. 4. 集合与区间集合与区间是经济数学中基本的概念．在学习微积分和概率论中的一些章节的内容时，将涉及集合和区间的有关知识． 4.1 集合的基本概念集合——具有确切含义的若干事物的全体． 元素——组成集合的事物．例如，某企业生产的一批全自动洗衣机组成一个集合，其中的任意一台洗衣机就是该集合的一个元素．坐标平面上所有的点组成一个集合，平面上的一点(,)x y ，就是该集合中的一个元素． 用A , B , C , …表示集合，用a , b , c , …表示集合的元素．如N ——自然数集合 Z ——整数集合 Q ——有理数集合 R ——实数集合若a 是集合A 中的元素，则称a 属于A ，记作a ∈ A ； 若a 不是集合A 中的元素，则称a 不属于A ，记作a ∉ A ．集合A 中元素的数目叫做A 的基数．有限集合——集合中的元素为有限数的集合．如一个专业全体学生的集合． 无限集合——集合中的元素不是有限数的集合．如有理数集合． 表示一个集合的方法：列举法——列出集合的所有元素，并用花括号括起来．例如， A = {a b c z ,,,, }描述法——将集合中元素的共同属性描述出来．例如 B = {12=-x x 且x ∈R }文氏图——用一个简单的平面区域 代表一个集合，如右图．集合内的元素用区域内的点表示．注意：集合中的元素是彼此不同的，同一集合中不能重复出现同一元素． 集合中的元素是无序的，可以任意列出．若集合B 中的每个元素都是集合A 中的元素，那么将B 叫做A 的子集，记作B ⊆A ． 若B 不是A 的子集，记作例如 N ⊆ Q ⊆ R ， 但若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记作A =B ． 若A 与B 不相等，记作A ≠B ．若B ⊆A ，且B ≠A ，则称B 为A 的真子集，记作 B ⊂A ．见右图． 若B 不是A 的真子集，记作B ⊄A ．例如 N ⊂ Q ⊂ R 空集——不含任何元素的集合，记作∅．例如{x x 210+=且x ∈R }=∅．因为12+x =0无实数解，所以它的实数解集是空集．全集—— 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子 集，则称这个集合为全集，记作U ． 4.2 集合的运算并集A ⋃B ——所有属于A 或属于B 的元素组成的集合．即A ⋃B ={x ∣x ∈A 或x ∈B }交集A ⋂B ——既属于A 又属于B 的所有元素组成的集合．即A ⋂B ={x ∣x ∈A 且x ∈B }如果两个集合A 和B 没有公共元素，即A ⋂B =∅，集合A 与B 叫做不相交集． 并集A ⋃B , 交集A ⋂B , A 与B 不相交的文氏图见下图(a )，(b ), (c )．差集A -B ——属于A 而不属于B 的所有元素组成的集合．即A -B ={x ∣x ∈A 且x ∉B }补集A ——由U 中所有不属于A 的元素组成的集合．即A ={x ∣x ∈U 且x ∉A }其中U 为全集，A ⊆U ．补集A 可以看作全集U 与集合A 的差集，即A =U -A ．差集A -B ，补集A 的文氏图表示见下图(d )，(e )．下面是集合运算的主要运算律，其中A ,B ,C 是任意集合，U 是全集． 1. 交换律 A ⋃B =B ⋃A A ⋂B =B ⋂A2. 结合律 (A ⋃B )⋃C =A ⋃(B ⋃C ) (A ⋂B )⋂C =A ⋂(B ⋂C )3. 分配律 A ⋃(⋂C )=(A ⋃B )⋂(A ⋃C ) A ⋂(B ⋃C )=(A ⋂B )⋃(A ⋂C )4. 吸收律 (A ⋃B )⋂A = A (A ⋂B )⋃A =A5. 摩根律 B A B A B A B A ⋃=⋂⋂=⋃4.3 区间设R 为实数集合，∈b a ,R 且a b <．有限区 间为：开区间(,)a b ——满足不等式a x b <<的所 有实数x 的集合，即(,){}a b x a x b =<<见右图(a )．闭区间[,]a b ——满足不等式a x b ≤≤的所 有实数x 的集合，即 [,]{}a b x a x b =≤≤ 见由图(b )．半开区间(,]([,))a b a b 或——满足不等式a xb <≤(或a x ≤<b )的所有实数x 的集合，即(,]{}a b x a x b =<≤[,){}a b x a x b =≤< 见右图(c ),(d )．区间长度——有限区间右端点b 与左端点a 的差b a -．几何上表示点a 与点b 之间的线段长度，开区间不包括端点，闭区间包括端点． 引入记号+∞(读作“正无穷大”)和-∞（读作“负无穷大”），可 以有以下几种无限区间：(,){}a x a x +∞=< [,){}a x a x +∞=≤ (,){}-∞=<b x x b (,]{}-∞=≤b x x b}{),(+∞<<∞-=+∞-∞x x ， 即实数集合．邻域(点x 0的δ邻域)——在数轴上以点x 0为中心，长度为2δ的开区间(,){,}x x x x x 0000-+=-<>δδδδ将(,)x x 00-δ和(,)x x 00+δ分别叫做点x 0的左邻域和右邻域．一般地，δ 是一个很小的正数．例如，x -<201.，是以点x 02=为中心，长度为0.2的邻域，也就是 开区间(1.9, 2.1)． 5． 排列与组合排列与组合是概率计数的基础，它们主要研究在某种条件下完成某件事的方法数. 这节课先介绍加法法则与乘法法则，然后介绍不重复排列和重复排列的概念，及其排列数的计算公式.5.1 加法法则与乘法法则加法法则——如果完成事件A ， 必须且只须完成有关的事件A 1, A 2, …, A n 中的一个就算完成；设完成事件A 1, A 2, …, A n 的方法数分别为m 1, m 2, …, m n ，且其中任何两者方法都不相同，那么完成事件A 的方法数为m 1＋m 2＋…＋m n例如， 从北京到济南可乘3种交通工具到达，每天火车有10个车次，飞机有3个航班，汽车有2个班次，那么一天内从北京到达济南共有10＋3＋2＝15种不同到达方式.乘法法则——如果完成事件A ，必须且只须依次完成有关的事件A 1, A 2, …, A n 后才算完成；设完成事件A 1, A 2, …, A n 的方法数分别为m 1, m 2, …, m n ，那么完成事件A 的方法数为m 1⋅m 2⋅…⋅m n例如，一个班里有15名男生，20名女生．要在该班选一名男代表和一名女代表，从15名男生中选一名代表，有15种选法；从20名女生中选一名代表，又有20种选法. 所以在该班选一名男代表和一名女代表可能有15×20=300种选举结果.5.2 排列从n 个不同元素中，不重复地任取m ( m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一行，称为从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列. 这样取出的所有排 列的个数， 称为从n 个不同元素中取出的m 元排列数，记作mn P . 显然，NP m n ∈.当m ＝n 时，称为全排列，简记P n .从n 个不同元素中取出的m 元排列数的计算公式为m n P =n (n －1)(n －2)…(n －m +1)当m ＝n 时P n = n (n -1)…2⋅1＝n ! (读作n 的阶乘)于是有P n r =n (n -1)(n -2)…(n - r +1)=n n r !()!-规定0!=1．对于n ≥0，规定P n 0=1.从n 个不同元素中，允许重复地任取m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一行，称为从n 个不同元素中取出的m 元可重复排列（简称重复排列）. 这样取出的重复排列的个数，称为m 元重复排列数.记作m n R . 有 m m n n R =5． 排列与组合上节课介绍加法法则与乘法法则，以及排列的概念与排列数的计算公式. 这节课主要介绍组合概念及组合数的计算公式.5.3 组合从n 个不同元素中，不重复地任取m ( m ≤ n )个元素，组成一组，称为 从n 个不同元素中取出的m 个元素的组合(简称m 元组合)，这样取出的所有m 元组合的个数，称为从n 个不同元素中取出的m 元组合数. 记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n .例如，由矩形ABCD 的任意三个顶点所确定的三角形个数问题, 就是一个从4个不同元素中任取3个元素的组合问题. 显然所确定的三角形为∆ABC ，∆ABD ，∆ACD ，∆BCD共4个，即434=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.注意，每个三角形由它的三个顶点 惟一确定，与三顶点的顺序无关. 一般地，任意一个m 元组合只与它的m 个元素有关，而与元素之间的顺序无关. 可以证明)!(!!!m n m n m P m n m n -==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛于是，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n m P m n !例1 10个人相约，每二人互通电话一次，并各通信一次，问共通话多少次？通信多少封？解 二人互通电话没有顺序，是组合问题；而通信是有顺序的，是排列问题. 通话次数为：45!8!2!10210==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛通信封数：910210⨯=P ＝90由组合数的计算公式，容易推出组合数的下列性质：性质1：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n n m n ； 性质2：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11m n m n m n .。
高中数学预备知识点总结数学，作为一门重要的学科，有着广泛的应用和深远的影响。
在高中数学学习中，掌握并理解一些基础的预备知识点对于学生日后的学习和发展至关重要。
本文将对高中数学预备知识点进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、代数与方程1. 代数运算代数运算是数学中最基本的一部分，包括加法、减法、乘法和除法。
掌握运算的基本规则，如加法交换律、结合律和分配律，能够帮助我们在解决代数表达式和方程时更加灵活和准确。
2. 一次方程与二次方程一次方程和二次方程是最常见的方程形式，我们需要掌握如何解这些方程。
对于一次方程，我们可以通过移项和消元法来解；对于二次方程，我们可以使用配方法、求根公式等解法。
3. 不等式不等式在数学和实际问题中都有重要应用。
掌握不等式的性质和解法，能够帮助我们理解和解决一些关于大小关系的问题。
二、函数与图像1. 函数的概念函数是数学中一种重要的关系。
我们需要理解函数的定义及其基本性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。
熟练掌握函数的表示方法和函数关系的表达方式，能够帮助我们更好地理解和分析实际问题。
2. 基本函数类型高中数学中常见的基本函数有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
我们需要熟悉这些函数的图像、性质和变换规律，能够用它们来解决实际问题。
3. 图像的性质与变换图像是函数的可视化表达，我们需要理解图像的性质和变换规律，如平移、伸缩、翻转等。
了解图像的变换规律，有助于我们更加直观地理解函数的特征和变化。
三、平面几何1. 三角形三角形是平面几何中一个基础的图形。
我们需要掌握三角形的元素、性质和判定条件，如边长关系、角度关系、相似三角形、勾股定理等。
这些知识对于解决三角形相关的问题和计算都非常重要。
2. 圆圆是平面几何中另一个重要的图形。
我们需要了解圆的定义及其基本要素，如半径、直径、弧长、扇形和弦等。
熟练掌握圆的性质和定理，有助于我们解决与圆相关的问题和证明过程。
数学预备知识点总结数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的科学。
在学习数学之前，我们需要掌握一些预备知识，这些知识可以帮助我们更好地理解数学的基本概念和方法。
本文将对数学预备知识点进行总结，希望能够为初学者提供一些帮助。
1. 数学符号和运算数学符号是数学语言的基础，掌握各种数学符号的含义和用法是学习数学的第一步。
常见的数学符号包括加减乘除、等号、括号、大于小于等于号等。
在进行数学运算时，我们需要掌握加减乘除的基本运算规则，以及如何进行括号展开和因式分解等运算方法。
2. 整数整数是自然数、0和负自然数的集合。
在学习整数时，我们需要掌握整数的加减乘除运算法则，以及整数的绝对值、相反数和倒数等概念。
另外，我们还需要了解整数之间的大小比较规则，以及如何进行整数的乘方、开方和乘除混合运算等。
3. 分数分数是指两个整数的比值，分数的基本形式是$\dfrac{a}{b}$，其中a和b是整数且b不等于0。
在学习分数时，我们需要了解分数的基本概念，掌握分数的加减乘除运算规则，以及分数的化简、比较大小和分数的乘方、开方等运算方法。
4. 小数小数是指有限位数或者无限循环的十进制数，小数点是整数部分和小数部分的分界线。
在学习小数时，我们需要掌握小数的读法和写法，以及小数的加减乘除运算规则，还需要了解小数和分数之间的转换关系，以及小数的无限循环和有限循环表示法。
5. 百分数百分数是指以1/100为基数的百倍数，百分号是百分数的特殊符号。
在学习百分数时，我们需要掌握百分数的基本概念，了解百分数和分数、小数之间的转换关系，以及如何进行百分数的加减乘除运算和百分数的比较大小等。
6. 平均数平均数是一组数据的总和除以数据的个数，是用来表示一组数据的集中趋势的指标。
在学习平均数时，我们需要掌握如何计算平均数，以及如何利用平均数对数据进行分析和比较。
另外，我们还需要了解平均数和中位数、众数等统计指标之间的关系。
7. 比例比例是指两个同类量的比值关系，可以用分数、小数或百分数表示。
