沪教版(上海)六年级上册数学 第9课时 比和比例

比和比例是六年级数学上学期第三章第一节的内容，基础概念方面，同学们需要理解比、比值以及比例的相关概念、并能理清比和比值、比和比例的区别，同时也要清楚比与除法、分数等概念之间的联系和区别；性质理解方面，需掌握比的基本性质和比例的基本性质；计算方面，需熟练比和比值求法，熟练运用比的基本性质进行最简整数比的化简和连比的求解，以及根据比例的基本性质正确地进行比例的有关运算，为之后学习利用比例的基本性质解决相关的实际问题做好准备．比和比例内容分析知识结构2 / 141、 比和比值a 、b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的比．记作a : b ，或写成a b ，其中0b ≠；读作a 比b ，或a 与b 的比． a 叫做比的前项，b 叫做比的后项．前项a 除以后项b 所得的商叫做比值．2、 比、分数和除法的关系比：前项：后项 = 比值；分数：分子分母= 分数值；除法：被除数÷除数 = 商． 比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；比值相当于分数的分数值和除式的商．3、 比、分数和除法的区别比是表示两个数关系的式子，分数是一个数，除法是一种运算．【例1】 （1）把除法69÷写成比是______；（2）求比值：12:43=______； （3）已知：12:35x =，则x =______．【例2】 一个比的前项是最小的素数，后项是最小的合数，这个比的比值是______．【例3】模块一：比的意义 知识精讲例题解析A B C DM 【例4】 判断题：（1）3与2的比值是32；（ ） （2）除法中被除数相当于比的前项、分数中的分子（ ）；（3）因为4:747=÷，所以比就是除法；（ ）（4）5米 : 20厘米的比值是14．（ ）【例5】 一个比的前项是15，比值是114，则这个比的后项是______．【例6】 求比值：（1）13:24；（2）21:0.55；（3）40分钟 : 1.5小时；（4）20 cm : 0.6 cm ．【例7】 如右图，点M 是正方形ABCD 的边BC 的中点，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比是______．4 / 141、 比的基本性质比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变．2、 最简整数比比的前项和后项都是整数且互素，这样的比叫做最简整数比．注：题目中比的结果都必须化成最简整数比．3、 三连比的性质1、如果::a b m n =，::b c n k =，那么::::a b c m n k =；2、如果0k ≠，那么::::a b c ak bk ck =．【例8】 比的前项扩大3倍，比的后项缩小3倍，这个比的比值（ ）A ．扩大9倍B ．缩小9倍C ．不变D ．以上说法都不对【例9】 某班春游时，有2人请病假，1人请事假，实际参加45人，缺勤人数与全班人数的比是（ ）A ．1 : 15B ．3 : 45C ．1 : 16D ．3 : 48【例10】 213=______3÷=______ : 15． 【例11】【例12】 下列说法正确的个数是（ ）模块二：比的基本性质 知识精讲 例题解析○17与3的比是123；○2如果a : b = 13 : 5，那么有a = 13，b = 5；○33 : 9的比值是1 : 3；○4比的前项是0.55，比值是122，则比的后项是0.22；○5比的前项和后项同时乘以一个相同的自然数，比值不变．A．1个B．2个C．3个D．4个【例13】一根绳子长132厘米，若按3 : 4分成两段，其中长的一段的长度是______厘米．【例14】某班有学生40人，其中男女人数比是2 : 3，则女生比男生多______人．【例15】化成最简整数比：136.8:8:1224=_____________．【例16】（1）若a : b = 2 : 3，b : c = 3 : 5，求a : b : c；（2）若a : b = 2 : 3，b : c = 2 : 5，求a : b : c；【例17】如果a + b + c = 108，且a : b : c = 3 : 4 : 5，则a + c的值是（）A．72 B．36 C．18 D．9【例18】已知13:4:2.52a b=，111::345b c=，则a : b :c =_____________．6 / 14【例19】 若: 4.5:7.5a b =，1:0.5:3b c =，则a 比c 少几分之几？【例20】()()()::2:3:4ab bc ca =，则()()()::b c a c a b +++=__________________．1、 比例a 、b 、c 、d 四个量中，如果a : b = c : d ，那么就说a 、b 、c 、d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．比例a : b = c : d 也可以表示为a c b d =． 其中a 、b 、c 、d 分别叫做第一、二、三、四比例项．2、 比例外项和比例内项如果a : b = c : d ，那么第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项．3、 比例中项对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即a : b = b : c ，那么把b 叫做a 和c 的比例中项．4、 比例的基本性质如果::a b c d =或a c b d=，那么ad bc =． 反之，如果a 、b 、c 、d 都不为零，且ad bc =，那么::a b c d =或a cb d =． 两个外项的积等于两个内项的积．【例21】 下列各比中，能与6 : 3组成比例的是（ ）A ．2 : 4B ．0.8 : 0.4C ．0.2 : 0.04D ．0.1 : 0.5例题解析 模块三：比例及其性质 知识精讲【例22】下列各组数，不能成比例的是（）A．2、3、4、5 B．1、2、3、6C．0.02、0.6、4、120 D．12、13、14、16【例23】若b是a、c的比例中项，且b : c = 3 : 2，那么a : b =______．【例24】如果x、y都不为零，且2x = 3y，那么下列各比例式中正确的是（）A．x : y = 4 : 3 B．x : 3 = y : 2 C．x : 2 = 3 : y D．x : 3 = 2 : y【例25】（1）在比例a : b = c : d中，如果35b=，47c=，那么ad = ______；（2）5是4和______的比例中项．【例26】把4.5，7.5，12，310这四个数组成比例，其外项的积是（）A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25【例27】如果a的13等于b的14（a、b都不等于0），则a、b的比值是______．8/ 14【例28】2，5，7的第四比例项是______．【例29】 已知():1:2x y x -=，则x : y =__________．【例30】 已知3a = 4b = 5c ，求a : b : c ．【例31】 将a 添加入2，4，5后，这四个数可以组成比例，那么a =______．【例32】 在一个比例式中，若两个外项都是质数，且这两个外项的和是21，一个内项是385，则另一个内项是______．【习题1】下列说法正确的是（）A．3比4的比值是4 3B．两个比组成的式子叫做比例C．若a : b = 7 : 9，则a = 7，b = 9D．一个正方形的周长与边长一定成比例【习题2】某班有男生26人，女生22人，女生人数与全班人数的比是______．【习题3】甲数是乙数的8倍，乙数是丙数的12倍，甲数与丙数的比值是______．【习题4】已知45mn=，则m nm+=______．【习题5】如果a : b = 2 : 3，b : c = 4 : 5，那么a : b : c为（）A．8 : 12 : 15 B．4 : 6 : 15 C．8 : 10 : 15 D．6 : 8 : 18【习题6】已知：11:16:254x=，求x的值．【习题7】两个数的比值是35，比的前项和后项同时扩大3倍，那么比值的倒数是______．随堂检测10/ 14【习题8】a比b小12，b比c大13，用最简整数比表示a : b : c = ____________．【习题9】若x与12、13、18这三个数可以组成比例式，则x可能是______．【习题10】若正整数x、y满足111182x y-=，且x : y = 7 : 13，则x + y =______．【作业1】求比值：1.4小时：40分钟=__________；71:584=__________．【作业2】已知62:473x=，则x =______．【作业3】如果x、y都不为零，且2x = 3y，那么下列正确的是（）A．23xy=B．32x y=C．32xy=D．23xy=【作业4】下列各组数中，能组成比例的是（）A．2，3，4，5 B．12，13，16，15C．0.5，0.25，0.2，0.1 D．3，5，12，10【作业5】某班男生人数比女生多14，男生和全班人数的比是___________．课后作业12/ 14【作业6】 若2:5a b =，且2b ac =，则b : c =__________．【作业7】 化最简整数比：52656::3272211=________________．【作业8】 （1）若12::53a b =，:0.2:0.7b c =，求::a b c ． （2）已知22::34a b =，:2:3a c =，求::a b c ．【作业9】 任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n s t =⨯（s ，t 是正整数，且s t ≤），如果p q ⨯（p q ≤）在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =．例如18可以分解成118⨯，29⨯，36⨯这三种，这时就有()311862F ==．给出下列关于()F n 的说法：（1）()122F =；（2）()3248F =；（3）()273F =；（4）若n 是一个完全平方数，则()1F n =．其中正确说法的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14 / 14【作业10】 若x 、y 、z 满足x : y : z = 3 : 4 : 5，且222x y z xyz ++=，则x + y + z =______．。

比的意义和性质【知识重点】1. 比的观点：a ，b 是两个数或两个同类的量，为了把 b 和 a 对比较，将 a 与 b相除叫做 a 与 b 的比；记作 a:b 或写成 a(b0) ，读作 a 比 b 或 ab与 b 的比。

2. 比值：在 a:b 中，a 叫做比的前项， b 叫做比的后项。

前项 a 除此后项 b 所得的商叫做比值。

比值是一个数，能够用分数、小数或整数表示。

3. 比、分数、除法三者之间的关系：4. 比的基天性质：比的前项和后项同时乘以或除以同样的数（零除外） ，比值不变，即 a:b=am:bm=(a m) : (b m)( m 0) . 5. 三项连比的性质：（1）假如 a : b m : n, b : c n : k,那么 a : b : cm : n : k（2）假如 k 0, 那么 a : b : c ak : bk : ck a : b : ck k k【典型例题】例 1. 求以下各式的比值：（ 1） 0.9 : 0.15（2） 7200千克：2 吨 （3）11: 0.53 3（ 4） 48分钟 : 0.4小时 （5）200 毫升： 1 升（ 6） 450平方厘米 : 3平方米例 2. 自行车 2 小时行了 16 千米，飞机 2 秒钟行了 1200 米，自行车与飞机的速度之比是多少？例 3 把以下各连比化成最简整数比：（1）40:15:25（2）2.8:2:0.8（3）5:1.2: 214 2例 4. 依据以下条件，求 a:b:c.第1页/共4页（1）已知 a:b=3:5b:c=5:8(2) 已知 a:b=3:5b:c=7:8【小试锋芒】1.比值相当于分数的 _______，前项相当于分数的 _________，后项相当于分数的 _______.2.比的前项是2，比的后项是3，他们的比值是 ________. 323.20cm：1.2m 的比值是 _________.4.27 与 8 之比为 _________.5.假如比的前项与后项相等，那么比值是 _______.6.1:0.125 化成最简整数比是 ________. 87.假如 x:y=4:5,x:z=4:7, 那么 x:y:z=_________.假如 x:y=0.2:1.2, y:z=1.5:0.4, 那么 x:y:z=__________.8.假如两个数的比值为1，比的前项和后项同时减小 3倍，那么比3值等于 ________.9.填空： 30:25=_____：50.75:4.5 = 1：______ 81= 9:576 厘米： 57 厘米 =______:3 10.判断题：（1）比的前项和后项同时乘以同样的数，比值不变 .（）（2）甲数：乙数 =7:3，就是甲数是 7，乙数是 3.（）（3）0.25：1化简后的比是 1.（）4（4）35 厘米和 25 米的比值是7厘米 .（）5（5）3 :1:1能够化简为 3： 5:4.（）4511.假如比的后项是3，比值是21，那么比的前项是（）52第2页/共4页A.3B. 2C.2的73假如a 是b，那么 b 和 a 的比为（）12.106 D.25 256A.7 ：10B.10：7C.3：73D. 1713.依据以下条件，求 x:y:z（1）x:y=3:7, x:z=4:1(2) x:y=0.2:0.3, y:z= 1:1 4314.把以下各连比化为最简整数比：（1）12:20:28（2）0.3:0.45:0.6（3）2:3:4（4）220 克：1千克： 0.02 吨3 4 5515.甲长方形的长是 5，宽是长的7，乙长方形的长是 7.5，宽是长10的3.求：5（1）甲长方形和乙长方形的长的比值；（2）甲长方形和乙长方形的宽的比值；（3）甲长方形和乙长方形的面积的比值【大显神通】1.某班有 50名学生，此中男女生人数之比为2:3，则男生比女生少_______人。

比例及其性质是六年级数学上学期第三章第1节的内容．重点是理解比例的意义和比例的有关概念，掌握比例的性质．难点是根据比例的基本性质正确地进行比例的有关运算，为之后学习利用比例的基本性质解决相关的实际问题做好准备．1、 比例a 、b 、c 、d 四个量中，如果a : b = c : d ，那么就说a 、b 、c 、d 成比例，也就是表示两个比相等的式子叫做比例．比例a : b = c : d 也可以表示为a cb d． 其中a 、b 、c 、d 分别叫做第一、二、三、四比例项． 2、 比例外项和比例内项如果a : b = c : d ，那么第一比例项a 和第四比例项b 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项． 3、 比例中项对于一个比例而言，如果两个比例内项相同，即a : b = b : c ，那么把b 叫做a 和c 的比例中项．比例及其性质内容分析知识结构模块一：比例的相关概念知识精讲【例1】在比例9 : 12 = 3 : 4中，9是第______比例项，3是第______比例项，9和4叫做____________，12和3叫做____________．【例2】比例4263中，比例内项是______，比例外项是______．【例3】在比例1 : 3 = 3 : 9中，3可以叫做第______比例项，也可以叫做______比例项，还可以叫做1和9的____________．【例4】下列说法中正确的是（）A．由两个比组成的式子叫做比例B．2、0.4、0.8、4能组成比例式C．1与0.1的比值是10 : 1D．如果两个正方形的边长之比是2 : 5，那么它们的面积之比是2 : 5【例5】下列四组数中，不能组成比例的是（）A．1、2、4、8 B．1、9、3、3C．1、0.3、5、1.5 D．2、4、6、8【例6】判断下列各组数能否写出比例，如果能组成比例，请写出比例式．（1）2，3，4，6 （2）1，2，2，4（3）0.1，0.3，0.5，1.5 （4）12，13，14，15【例7】用2、4、6再配一个比这三个数都大的数______，就能使四个数组成比例．例题解析【例8】 下列说法中错误的是（ ）A ．如果两个比的比值相等，那么这两个比一定可以组成比例B ．如果四个数a 、b 、c 、d 能组成比例，则::a b c d =C ．已知::a b c d =，则::a c b d =D ．若:33:a b =，则9a b =【例9】 写出三个不同的比，使得它们都能和2 : 5组成比例式．【例10】 写出2个不同的比例，使得9为该比例的第一比例项和第四比例项的比例中项．师生总结1、比例的基本性质如果::a b c d =或a cb d=，那么ad bc =．反之，如果a 、b 、c 、d 都不为零，且ad bc =，那么::a b c d =或a cb d=． 两个外项的积等于两个内项的积．【例11】如果x 、y 都不为零，且2x = 3y ，那么下列比例中正确的是（ ） A ．23x y = B ．32x y = C ．32x y = D ．23x y =【例12】 在比例::a b c d =，如果23b =，34c =，那么ad =______．【例13】求下列各式中的x ．（1）:2.43:2x =； （2）15:1:23x =；（3）297x =．【例14】下列说法中，错误的是（ ） A ．若1=23A B ，则:6:1A B =B ．若:19:14a b =，则19a =，14b =C ．a cb d=写出等积式为ad bc =D ．如果一个比例的两个外项互为倒数，那么两个内项一定互为倒数模块二：比例的基本性质知识精讲例题解析【例15】（1）已知4a = 5b，那么a : 5 = ______；（2）7 : x = 4 : y，则x : y = ______；（3）34x y，那么y : x = ______．【例16】3是______和6的比例中项；4和164的比例中项是_______．【例17】3，7，5的第四比例项是______．【例18】把12、310、4.5、7.5这四个数组成比例，其内项的积是（）A．1.35 B．2.25 C．3.75 D．33.75 【例19】利用比例的基本性质说明3、4、5和6这四个数不能组成比例．【例20】将112，114，449，153四个数写成比例等式．【例21】求ab、ac和bc的第四比例项．【例22】求2a和8a的比例中项．【例23】 已知332a a x a=，则x = ______．【例24】 已知()3:13:7x x -=，则x = ______．【例25】 已知比例()():3:1x y x y +-=，则x : y = ______．【例26】 已知23a b c ==，求a : b : c ．【例27】 已知x y ax y b+=-（a b ≠），求x : y 的值．【例28】 已知()()223:323:2x y z x y z ++++=，求x : y 的值．【例29】 如果x 能与5、8、10三个数组成比例，求所有满足条件的x 的值．【例30】 若236547a b c ==，求a : b : c ．【习题1】3，4，5的第四比例项是______．【习题2】以下几组数（1）1，3，3，9；（2）0.2，3，0.6，9；（3）5，6，7，8；（4）2，12，3，13，其中能组成比例的是____________（填序号）．【习题3】求下列各式中的x．（1）4 : 0.6 = x : 0.9 （2）651.2x=．【习题4】3是______和4的比例中项；______是8和142的比例中项．【习题5】求下列各式中x的值．（1）1:45:22x=；（2）6223x=+．【习题6】如果3x = 4y，则xy=______，:4x=______．【习题7】试判断112、113、114、115能否组成比例，若能，请写出比例式；若不能，请说明理由．【习题8】已知：234325x yx y+=+，求:x y的值．【习题9】如果x能与4、5、6这三个数组成比例，求x的值．【习题10】已知32x yx y+=-，45y zy z-=+，求::x y z．随堂检测【作业1】 ____________________________________的式子叫做比例．【作业2】 如果1:2:32a =，那么a = ______．【作业3】 将12、15、16、20组成比例，可以记作_____________________，其中比例内 项为____________，比例外项为___________．【作业4】 已知一个比例的第一比例项是最小的正整数，第二比例项是最小的质数，第四 比例项是最小的奇质数，则这个比例的第三比例项是______．【作业5】 选择适当的比组成比例：52:63=（ ）A ．5 : 9B ．5 : 4C ．4 : 5D ．9 : 5【作业6】 求下列各式中x 的值．（1）211:11:4732x =；（2）()2:31:4x x =+．【作业7】 分别根据比例的意义和比例的基本性质这两种方法，判断255，3，1.8和9这四个数能否组成比例．【作业8】 已知()()423:325x x +-=，试写出一个比，使得其能与2 : x 组成比例．【作业9】 已知23234a b c ==，求:2:3a b c ．课后作业。

【导语】数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的⼀门学科。

数学是⼈类对事物的抽象结构与模式进⾏严格描述的⼀种通⽤⼿段，可以应⽤于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是⼈为定义的。

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1.沪教版六年级上册数学知识点：整数 1.1整数和整除的意义 1．在数物体的时候，⽤来表⽰物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数 2．在正整数1,2,3,4,5，……，的前⾯添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数 3．零和正整数统称为⾃然数 4．正整数、负整数和零统称为整数 5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数⽽没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

1.2因数和倍数 1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数 2．倍数和因数是相互依存的 3．⼀个数的因数的个数是有限的，其中最⼩的因数是1，的因数是它本⾝ 4．⼀个数的倍数的个数是⽆限的，其中最⼩的倍数是它本⾝ 1.3能被2,5整除的数 1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除 2．整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数 3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数 4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数 5．个位数字是0,5的数都能被5整除 6．0是偶数 1.4素数、合数与分解素因数 1．只含有因数1及本⾝的整数叫做素数或质数 2．除了1及本⾝还有别的因数，这样的数叫做合数 3．1既不是素数也不是合数 4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数 5．每个合数都可以写成⼏个素数相乘的形式，这⼏个素数都叫做这个合数的素因数 6．把⼀个合数⽤素因数相乘的形式表⽰出来,叫做分解素因数。

7．通常⽤什么⽅法分解素因数:树枝分解法,短除法 1.5公因数与公因数 1．⼏个数公有的因数，叫做这⼏个数的公因数，其的⼀个叫做这⼏个数的公因数 2．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数 3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的公因数 4．如果两个数中，较⼩数是较⼤数的因数，那么这两个数的公因数较⼩的数 5．如果两个数是互素数，那么这两个数的公因数是1 1.6公倍数与最⼩公倍数 1．⼏个数公有的倍数，叫做这⼏个数的公倍数 2．⼏个数中最⼩的公因数，叫做这⼏个数的最⼩公倍数 3．求两个数的最⼩公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各⾃独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最⼩公倍数 4．如果两个数中，较⼤数是较⼩数的倍数，那么这两个数的最⼩公倍数是较⼤的那个数 5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最⼩公倍数是；两个数的乘积2.沪教版六年级上册数学知识点：分数 2.1分数与除法 ⼀般地，两个正整数相除的商可⽤分数表⽰，即被除数÷除数=⽤字母表⽰为p÷q=（p、q为正整数） 2.2分数的基本性质 1．分数的分⼦和分母同时乘以⼀个不为零的整数，分数的值不变 2．分⼦分母只有公因数1的分数叫做最简分数 3．把⼀个分数化成同它相等，但分⼦、分母都⽐较⼩的分数，叫做约分 2.3分数的⽐较⼤⼩ 1．同分母分数的⼤⼩只需要⽐较分⼦的⼤⼩，分⼦⼤的⽐较⼤，分⼦⼩的⽐较⼩ 2．通分的⼀般步骤是： （1）求公分母——求分母的最⼩公倍数； （2）根据分数的基本性质，将每个分数化成分母相同的分数。