八年级数学上册 12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定课件6-10

交OA于点M，交OB于点N
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
分别以点M，N为圆心，大于½MN的长度为半径画
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
思考和交流
• 在你刚才画好的角平分线OC 上任意取一点P，过点P画出 OA和OB的垂线段，分别记 垂足为D，E。PD和PE的长 度有什么关系？
• 在OC上再取几个点试一下， 并和你的伙伴交流结论，你 们发现角平分线有什么性质？
思考和交流
• 经过测量，PD=PE总成立。 • 经过讨论，我们猜想： • 角分线上的点到角两边的距
离相等。
你能用全等三角 形证明吗？
怎样证明几何命题？
• 证明几何命题，先明确已知和求证。
– 已知：一个点在一个角的平分线上。 – 求证：这个点到这个角两边的距离相等。
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的

图形
C P
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
PD = PE
C P
PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB
当堂小结
内容
角平分线 的判定定
理
作用
相关 结论
角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的_平__分__线__上
判断一个点是否在角的平分线上
位置关系
数量关系
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
O
A
D C
P EB
回顾导入
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路 和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为
500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ O
解：作夹角的角平分线 OC，
新知一览
全等三角形
“边边边”
全 等 三 角 形
三角形全等 的判定
“边角边” “角边角”“角角边”
“斜边、直角边”
角平分线的性质
角平分线的性质
角平分线的判定
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第 2 课时 角平分线的判定
人教版八年级（上）
新课导入 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路
B
A P2
P1 C
P3
典例精析 例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交 于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
分析：
求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
求证：D 到 BA，AC 的距离相等.

l1
l3
l2
34
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
新知探究
5
想一想 交换角的平分线的性质中的已知和结论，
你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
A
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
D C
P
几何语言：
O
E
B
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ， ∴ PD= PE.
猜想:
这个结 论正确
吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
22
随堂练习
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长
线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于
点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P
在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③
1
12.3.2 角的平分线的判定
第2课时
八年级上册 RJ
2
知识回顾
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，
点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 B
足分别为D，E.
E PC
∴PD=PE.
┐
O
D
A
3
学习目标
1.探究并证明角的平分线的判定. 2.会用角的平分线的判定解决实际问题. 3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综 合运用.
∠BOC＝180°－70°＝110°.

三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明
你的理由.
预习导学
角平分线性质定理
阅读教材本课时相关的内容，回答下列问题.
1.揭示概念:角平分线上的点到角两边的距离
相等 .
2.归纳:角平分线的判定定理: 角的内部到角两边距离相等
的点 在这个角的平分线上.
预习导学
1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝
3.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求
证:AB＋BD＝AC.
合作探究
证明:如图，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则
∠BDE＝∠BED，
∴AE＝AB＋BD.
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，
∴∠BED＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，
∴AB＋BD＝AC.
第15章 轴对称图形与等
腰三角形
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质定理及
逆定理
素养目标
1.掌握角平分线定理及其逆定理.
2.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题.
◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理.
◎难点:角平分线性质定理及其逆定理的综合应用.
预习导学
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位
合作探究
【变式训练】如上题图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB
＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.
解:辅助线同上，得AE＝AB＋BD.
∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.
易证△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝
2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.
合作探究

它们是角平分线上的任意一点P到∠AOB两边的__距__离___ 这两个距离__相__等___
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操 作 测 量 ： 取 点 P 的 三 个 不 同 的 位 置 ， 分 别 过 点 P 作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的
长.将三次数据填入下表：
A
D
C
p
O
E
B
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：___P_D_=_P__E____
结论：
角平分线的性质：角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
如果一个点在一个角的平分线上，那么这 个点到这个角两边的距离相等。 题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
EC
∴AE平分∠DAB
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
根据角平分仪的制作原理怎样用直 尺和圆规作一个角的平分线？
A N
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
如何用尺规作角的平分线？
已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线.
作法：１．以Ｏ为圆心，适当
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角
平分线。 B
C
O
A
B C
O

12.3 角的平分线的性质
（第2课时）
知识回顾
1.前面我们学习了角的平分线的 性质，你能复述吗？它有什么作用？
2.你能总结画角平分线的方法吗？
角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
A
D
O 1 2 E B P C
小结：用角的平分线的性质可证两条 线段相等；用本节所学知识可判定一 个点是否在一个角的平分线上。
利用结论，解决问题
练一练 1. 如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
A
N B P M C
想一想，点P在 ∠A的平分线上 吗？这说明三角 形的三条角平分 线有什么关系？
巩固练习 如图，△ABC的∠ABC的外角的平 分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA所在直线的距离相等.
C A B P D
E
想一想，点P在 ∠A的平分线上 吗？
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
知识应用
例 如图，△ABC的角的平分线 BM，CN相交于点P.求证：点P到三边 AB，BC,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有( ). A.一处 B.两处 C.三处 D.四处

∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
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4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． B E
(
A
34 P
12 DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
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3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取
OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于

N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，
距离
面积 s 1 ch
周长
2
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例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O
到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的
度数为( A ) A．110° B．120°
C．130°
解D析．：14由0°已知，O到三角形三边的距离
∵BM是△ABC的角平分线，
A
ND
F
P
M
点P在BM上，
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
C E
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
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12.3角的平分线的性质
第2课时：角的平分线的判定
教学目标
一、复习引入
教学过程
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
几何符号语言：
D
∵ 点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴ PD=PE
PC O
E 2.反过来，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？B
A
证明
B
C
M
N
P
E
D
七、课堂练习
教学过程
八、布置作业
教学过程
必做题 教材50页练习第1、2题，习题12.3第3题.
选做题 习题12.3第7题.
二、探究新知
教学过程
问题1：如图， 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距 离相导，离公路与铁路的交叉处500m. 请你帮忙设计一下，这个集 贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，比例尺为1 :20000）.
动态画图
公路
铁路
S
二、探究新知
教学过程
问题2：如图， 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离 相导，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建在何处呢？能建多少个？ (在图上标出它的位置，比例尺为1 :20000）.
五、再探新知
教学过程
问题3：如图，要在S区建一个货运场，使它到两条公路和一条铁 路的距离相等。这个货运场应建在何处?
动态画图
公路
S
铁路
五、再探新知
教学过程
追问1：你能证明OE=OF=OD吗？
证明：过点O作OF⊥AB于F， OD⊥AC于D，OE⊥BC于E， ∵AO是△ABC的角平分线， 点O在AO上， ∴OD=OF 同理OE=OF ∴OE=OF=OD