函数的极限及函数的连续性典型例题

使用极限的性质求解函数的连续性问题在数学中，函数的连续性问题一直是一个重要的研究领域。

为了解决这些问题，数学家们经常运用极限的性质进行推导和证明。

本文将通过几个例子来探讨如何使用极限的性质来求解函数的连续性问题。

一、函数极限的定义在讨论函数的连续性之前，我们首先需要了解函数极限的定义。

对于一个实数函数$f(x)$，当$x$趋近于某个实数$a$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，则我们称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x\to a} f(x) = L$。

二、极限运算法则在研究函数连续性问题时，经常需要运用极限运算法则来简化计算。

这些法则包括加减乘除、复合函数、函数比较等。

下面通过几个例子来说明如何使用这些极限运算法则。

例1：求解函数$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限。

我们可以通过因式分解将$f(x)$分解为$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$。

注意到当$x\neq 1$时，分母和分子都不为零，因此可以约去分子和分母的公因式$(x-1)$，得到$f(x) = x+1$。

显然，当$x$趋近于1时，$f(x)$趋近于2。

因此，$\lim_{x\to 1} f(x) = 2$。

三、函数连续性的定义在研究函数连续性问题时，我们需要了解函数连续性的定义。

对于一个函数$f(x)$，如果对于任意给定的$x=a$，函数在$x=a$处的极限存在且与函数在$x=a$处的取值相等，则称函数$f(x)$在$x=a$处连续。

四、连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们判断函数是否连续。

1. 有界性：连续函数在一个闭区间上一定有界。

2. 介值性：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a) \neq f(b)$，则对于介于$f(a)$和$f(b)$之间的任意实数$L$，存在一个实数$c$，使得$f(c)=L$。

函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。

函数的极限及函数的连续性典型例题一、要点难点剖析：①此定理特别重要，利用它证明函数能否存在极限。

② 要掌握常有的几种函数式变形求极限。

③函数 f(x) 在 x=x 0处连续的充要条件是在x=x 0处左右连续。

④ 计算函数极限的方法，若在x=x 0处连续，则。

⑤若函数在 [a,b] 上连续，则它在[a,b] 上有最大值，最小值。

二、典型例题例 1．求以下极限①②③④分析：①。

②。

③。

④。

例 2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴x=-2 是方程 x2+mx+2=0 的根，∴m=3 代入求得 n=-1。

例 3．议论函数的连续性。

分析：函数的定义域为(-∞,+ ∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴ f(x) 在 x=1 处连续。

由，进而 f(x) 在点 x=-1 处不连续。

∴f(x) 在 (-∞,-1),(-1,+ ∞)上连续， x=-1 为函数的不连续点。

例 4．已知函数, (a,b 为常数 )。

试议论 a,b 为什么值时， f(x) 在 x=0 处连续。

分析：∵且，∴，∴a=1, b=0。

例 5．求以下函数极限①②分析：①。

②。

例 6．设，问常数k 为什么值时，有存在？分析：∵，。

要使存在，只要，∴ 2k=1 ，故时，存在。

例 7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1 处能否有极限？分析：由，，∵，∴f(x) 在 x=-1 处极限不存在。

三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。

3. 已知，则=______。

4．已知，2a+b=0，求a与b的值。

5．已知，求a的值。

参照答案： 1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。

极限与连续练习题及解析在数学课上，我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。

这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解，还能提高我们解决问题的能力。

在本文中，我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。

题目一：计算极限求解以下极限：1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析：将被除数进行因式分解得：$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到：$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义，得到结果为：$$4$$题目二：证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续：1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。

首先，我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。

由于$x \geq 0$，所以$\sqrt{x}$是有定义的。

接下来，我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| <\delta$时，$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。

根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$，可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0，所以存在一个正数$M$，使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

第1章.函数.极限和连续（约20%）1.函数（1）．理解函数的概念,会求函数的定义域.表达式及函数值,会作出1些简单的分段函数图像。

定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述4项时,要求使各部分都成立的交集例1.　求的定义域：（1）（2）（3）【提升】例2. 当是函数的定义域,求的定义域。

例3.当是函数的定义域,求的定义域。

表达式.函数值例4.下列各对函数中,两个函数相等的是———————————（　） A．与B．与C．与D．与例5.（1）设,则=______________（2）设,则=______________奇偶性例1．讨论函数的奇偶性。

（1）（2）例2．设是定义在上的任意函数,试证（1）是偶函数。

（2）是奇函数。

【综合】.设函数的定义域是全体实数,则函数是———（　）　A．单调减函数　B．偶函数C．有界函数 D．周期函数求反函数例1.（1）（2）3角函数3角函数有正弦函数.余弦函数.正切函数.余切函数.正割函数和余割函数。

其中正弦.余弦.正切和余切函数的图形见图1-4。

2.极限（1）．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义),能依据极限概念描述函数的变化趋势。

理解函数在1点处极限存在的充分必要款件,会求函数在1点处的左极限与右极限。

性质3（数列极限几个常用的结论）：1.（）。

2.（）．例.计算极限（1）（2）（3）(4) (5) (6)(7) (8) (9)（3）．理解无穷小量.无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质,无穷小量与无穷大量的关系。

会比较无穷小量的阶(高阶.低阶.同阶和等价)。

会运用等价无穷小量替换求极限。

无穷小量的阶的比较（以下讨论的和都是自变量在同1变化过程中的无穷小,且,而也是在这个变化过程中的极限）：（1）若,则称是比高阶的无穷小量,记作（时）,也称是比低阶的无穷小量。

（2）若（）,则称与为同阶无穷小量。

（3）若,则称与是等价无穷小量,记作或．（4）．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则),掌握两个重要极限：,,并能用这两个重要极限求函数的极限。

当涉及函数极限时，以下是一些例题供参考：1.求函数 f(x) = (2x^2 - 5x + 3) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。

解答：可以通过直接代入计算，或者将分子因式分解来简化表达式。

将函数分解为f(x) = (x - 1)(2x - 3) / (x - 1)，可以约简为 f(x) = 2x - 3。

当 x 接近于 1时，f(x) 接近于 2(1) - 3 = -1。

所以，f(x) 在 x = 1 处的极限为 -1。

2.求函数 g(x) = sin(x) / x 在 x 趋近于 0 时的极限。

解答：这是一个经典的极限例题。

直接代入 x = 0 会导致分母为 0 的情况，无法计算。

我们可以使用泰勒级数展开来解决这个问题。

根据泰勒级数展开，sin(x) 可以近似表示为 x - (x^3 / 3!) + (x^5 / 5!) - ...。

将它代入 g(x) = sin(x) / x，可以得到 g(x) = 1 - (x^2 / 3!) + (x^4 / 5!) - ...。

当 x 接近于 0 时，可以看出 g(x) 接近于 1。

所以，g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限为 1。

3.求函数 h(x) = (sqrt(x + 1) - 1) / x 在 x 趋近于 0 时的极限。

解答：把函数表达式简化后，得到 h(x) = x / (sqrt(x + 1) + 1)。

当 x 接近于 0 时，可以看出分母趋近于 sqrt(0 + 1) + 1 = 2。

因此，h(x) 在 x 趋近于 0 时的极限为 0。

这些例题可以帮助你熟悉函数极限的求解过程。

对于更复杂的例题，可能需要使用更多的极限性质和数学工具来求解。

记住，在处理函数极限时，要注意特殊情况和分母为 0 的情况，并尝试使用泰勒级数展开或其他数学方法来简化表达式。

第一章 函数、极限、连续典型例题1：函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 解析：有如下的两个重要结论：❶若()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界；❷若()f x 在开区间(,)a b 内连续，且极限lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在，则()f x 在开区间(,)a b 内有界.当0,1,2x ≠时，()f x 连续，而1sin 3lim ()18x f x +→-=-，0sin 2lim ()4x f x -→=-，0sin 2lim ()4x f x +→=，1lim ()x f x →=∞，2lim ()x f x →=∞.所以()f x 在(1,0)-内有界，选（A ）.2：设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）.A ．n n a b <对任意n 成立B ．n n b c <对任意n 成立C ．lim n n n a c →∞不存在 D ．lim n n n b c →∞不存在解析：应选（D ）.由数列极限保号性的条件得A 、B 两项不是无条件成立的，故A 、B错误.C 项中的极限是“0⋅∞”的未定式，极限有可能是存在的，故C 项也错误.选D 项.3：设()f x 在0x =的某邻域内连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则在0x =处()f x （ ）.A ．不可导B ．可导且(0)0f '≠C ．取得极大值D ．取得极小值 解析：应选（D ）.由0()lim21cos x f x x→=-可得，0x →时，1cos 0x -→，则()0f x →，而()f x 在点0x =的某邻域内连续，得(0)0f =.于是000()()(0)0()(0)2limlim lim 21cos 01cos 0x x x f x f x f x f x f x x x x x→→→---=⋅=⋅=----，而02limx x →=∞，因此0()(0)lim 00x f x f x →-=-，即'(0)0f =.（A ）（B ）均错误. 00()()(0)limlim 201cos 1cos x x f x f x f x x→→-==>--，由函数极限的局部保号性可得，(0,)U δ∃，(0,)x U δ∀∈，有()(0)01c o s f x f x->-，而1c o s 0x ->，得()(0)f x f >，因此()f x 在0x =处取得极小值.4：设lim ,n n a a →∞=且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）.A. 2n a a >B. 2n a a <C. 1n a a n >-D. 1n a a n<+ 解析：应选（A ）.用排除法，令n a 为简单数列的通项. （1）令21n a n =+，则lim 1n n a →∞=，11n a n >+，排除（D ）.（2）令21n a n =-，则lim 1n n a →∞=，11n a n <-，排除（C ）.（3）令11n a n=--，则lim 1n n a →∞=-，1112n a n -=+>，排除（B ）.5：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,...).n n x x x n π+<<== （1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限.（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证明（1） 由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=<，说明数列{}n x 单调减少且0n x >. 由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A .递推公式两边取极限得sin A A =，解得0A =. （2）原式21sin lim()nxn n nx x →∞=，为“1∞”型极限.因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑210sin lim()t t t t→. 22011sin lim ln 0sin lim()t ttt t t t e t→→=.其中2223220000011sin 1sin sin cos 112lim ln lim (1)lim lim lim 336t t t t t t t t t t t t t t t t t t →→→→→---=-====-. 所以 2221111016sin sin lim()lim()lim()nnxxn n x n n x nnx x x x x xe+→∞→∞→-===.6：41lim(cos 22sin )xx x x x →+解：（方法1）14441ln(cos22sin )limln(cos22sin )0lim(cos 22sin )lim xx x x x x x x xx x x x x x ee→++→→+==而42042040sin 2sin 2lim )sin 2sin 21ln(lim )sin 22ln(cos lim x xx x x x x x x x x x x x x +-=+-=+→→→121612lim 2sin 2lim 33030=⋅=+-=→→x x x x x x x ，所以原式31e =. （方法2）44121)sin 2sin 21(lim )sin 22(cos lim x x x x x x x x x x +-=+→→31sin 2sin 2sin 2sin 212422)sin 2sin 21(lim e x x x x xx x x x x x =+-=+-⋅+-→.7：1402sin lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002sin 2sin 2lim lim 11111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1144002sin 2sin lim lim 01111x x x x x x e x e x x x e e ++→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 左右极限存在且相等，所以1402sin lim 1.1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭8：22411limsin x x x x x x→-∞++++=+ .解：分子分母同时除以x （注意x 趋于负无穷大），可得2222411411limlimsin sin x x x x x x x x x x x xx x x→-∞→-∞++++++++=++ 22222241111141lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x x x x x x →-∞→-∞+++-+-++++===+-+-.9：求221()lim 1n n n x f x x x →∞⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦的间断点，并判别类型. 解：当||1x <时，20nx→，则()1f x x =--，当||1x =时，则()f x x =-， 当||1x >时，2nx→∞，则()1f x x =-，1,||1(), ||11, ||1x x f x x x x x --<⎧⎪∴=-=⎨⎪->⎩.分段点为1x =±(1)1,(10)2,(10)0f f f =--=-+= (1)1,(10)2,(10)0f f f -=--=-+=则1x =±都为跳跃间断点.10：设)(x f 在[0,1]]连续，(1)0f =，212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ξξ=； （2）)(x f 在[0,1]上最大值大于1.证明：（1）由212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭及)(x f 在[0,1]连续，得121=⎪⎭⎫⎝⎛f .令()()x f x x φ=-，111102222f φ⎛⎫⎛⎫=-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)110f φ=-=-<，由连续函数介值定理知存在1(,1)2ξ∈使()0φξ=，即()f ξξ=.（2）由于01211)(lim221>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x f x ，由保号性定理知1111(,)(,)2222x δδ∀∈-+时，有()1f x >，故)(x f 在[0,1]上最大值大于1.。

函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。

如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。

2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。

如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。

3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。

如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。

4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。

由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。

例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。