【数学】湖北省孝感市高级中学2014-2015学年高二上学期期末考试(文)

孝感高中2014—2015学年度高二下学期期末考试数学试题（文科）命题人：陈文科 考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合的） 1．已知命题:R p x ， sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:R p x ，sin 1x ≥ Ｂ．:R p x ，sin 1x ≥ Ｃ．:R p x，sin 1xＤ．:R p x，sin 1x2．已知集合(){},103log 22-+==x x y x A {}52≤≤-=x x B 则()R C A B 等于( )A ．{}|52x x -≤≤-B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|25x x -≤≤D ．{}|55x x -≤≤ 3. 下列命题中错误．．的是（ ） A ．,(3)(7)(4)(6)x R x x x x ∀∈++≤++B ．,235x R x x ∃∈-++=C ．,x R ∀∈若,a b ≥则22ax bx ≥D ．22x R ∃∈=4．设12log 5a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．下列函数中，既是偶函数又是在区间(,0)-∞上单调递增的函数是（ ） A ． ln y x = B ．2y x =C ．tan y x =D ．2xy -=6．曲线sin xy x e =+在点()0,1处的切线方程是( )A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+=7．函数xxy ln =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．设抛物线28y x 的焦点为F ,准线为l ，P 为抛物线上一点，且,PA l A 为垂足，如果直线AF的斜率为1，则PF 等于（ ）A ．2B ．4C ． 8D ．12 9．函数2)(-+=x e x f x的零点所在的一个区间是 ( )A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)1,2(--D ．)0,1(-10．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R x ∈都有)4()(+=x f x f ，当)2,0(∈x 时，x x f 2)(=，则(2015)(2012)f f +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ． 3211．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 与抛物线22(0)y px p =>相交于,A B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．12+C ．22D ．22+ 12．已知函数3221()(1),(,0)3f x x x m x x R m =-++-∈>，若()f x 有三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <，若对任意[]12,,()(1)x x x f x f ∈>成立，则m 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．30,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．13,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．函数()f x =的定义域为 .14．以椭圆22185x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 .15．已知22:12,:210,(0)p x q x x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .16．如果对任意一个三角形，只要它的三边,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有(),(),()f a f b f c也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“和美型函数”.现有下列函数：①()f x =②()sin ,(0,)g x x x π=∈； ③()2xx ϕ=；④()ln ,[2,)h x x x =∈+∞.其中是“和美型函数”的函数序号为 . （写出所有正确的序号） 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知01:2=++mx x p 有两个不相等．．．的负实数．．．根，:q 方程24(42)10x m x 无实数根.（Ⅰ）若p 为真，求实数m 的取值范围; （Ⅱ）若p 为假q 为真，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数322(),(0)f x x ax a x a =+-> （Ⅰ）若2a =，求函数()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）已知方程()50f x +=有三个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ，动点Q 到点A 的距离为10，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ．（Ⅰ）求||||PA PB +的值； （Ⅱ）求点P 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（Ⅰ）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （Ⅱ）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21．（本小题满分12分）如图所示，已知椭圆E ：12222=+b y a x )0(>>b a 的长轴长是短轴长的两倍，且过点()1,2C ，点C 关于原点O 的对称点为点D . （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）点P 在椭圆E 上，直线CP 和DP 的斜率都存在且不为0，试问直线CP 和DP 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；（Ⅲ）平行于CD 的直线l 交椭圆E 于M N 、两点，求CMN ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.22．（本小题满分12分）已知函数x x g a c xbax x f ln )(),0()(=>++=，其中函数)(x f 的图象在点())1(,1f 处的切线方程为1-=x y . （Ⅰ）用a 表示出c b ，；（Ⅱ）若()()f x g x ≥在[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）证明：)1(2)1ln(131211+++>++++n nn n )1(≥n . x孝感高中2014—2015学年度高二下学期期末考试数学试题（文科）参考答案一．选择题1~5 CBDAD 6~10 CDBAA 11~12 BC 二．填空题13. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦ 14. 22135x y -= 15. (]0,2 16. ①④三．解答题17. 解：（Ⅰ）由题意知：⎩⎨⎧<->-=∆042m m 2>∴m（Ⅱ）若q 为真，()016242<--=∆m 2321<<-∴m 当p 为假q 为真时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤23212m m 2321<<-∴m综上可知：13,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭18.（Ⅰ）当2=a 时，())0(,4223>-+=a x x x x f ，()4432'-+=x x x f =()()0232>-+x x322>-<∴x x 或 ∴函数()x f 的单调递增区间为()⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∞-,32,2,，单调递减区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2当2-=x 时，函数()x f 的极大值()82=-f 当32-=x 时，函数()x f 的极小值240327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）设()()32255x f x x ax a x ϕ=+=+-+()()()a x a x a ax x x -+=-+=32322'ϕ,a -∴3a 是函数()x f 的极值点，由题意知：30)3(0)(>∴⎪⎩⎪⎨⎧<>-a aa ϕϕ 综上可知， a 的取值范围为：3>a19.（Ⅰ）因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，∴||PB =||PQ ， ∴||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10；（Ⅱ）由（Ⅰ）知||||PA PB +=10（常数），又||||PA PB +=10＞6=||AB ，∴点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中210,26a c ==，所以椭圆的轨迹方程为2212516x y +=．20.（Ⅰ）可变成本为241v ，固定成本为a 元，所用时间为v1000。

湖北省孝感高级中学2013—2014学年度高中二年级上学期期末考试数学（文）满分：150分 考试用时：120分钟一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）.1．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的A ．充分不必要条件B ．充分且必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．某研究型学习课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A ．6B ．8C ．10D ．123．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是A ．y ^＝－10x ＋200 B ．y ^＝10x ＋200C ．y ^＝－10x －200 D ．y ^＝10x －2004．函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为A ．[－13，1]∪[2，3）B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[43，3）5．抛物线x y 412=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到y 轴的距离是 A ．1716B ．78C ．1D ．15166．如图甲是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）是不改变支出费用，提高车票价格.下面给出四个图象：在这些图象中A ．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B ．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C ．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D ．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 7．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．－3B ．－12C ．13D ．28．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含)(n f 个小正方形．则)5(f 等于A ．39B ．40C ．41D ．42 9．若1)()()(=+=B P A P B A P Y ,则事件A,B 的关系是A ．互斥不对立B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上答案都不对 10．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列① ~ ⑤各个选项中，一定符合上述指标的是 ①平均数3x ≤； ②标准差2S ≤； ③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4。

孝感高中2014届高三上学期期末测试数学（文）考试时间：2014年元月25号下午15:00——17:00命题人：代丽萍一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.) 1．在复平面内，复数31114i i -+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值为（ )A ．4-B ． 4C ．6-D ．63．（ ） A. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变 4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-， 则输出的y 值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2 5．下列四种说法中，正确的是A ．}{1,0A =-的子集有3个；B ．“若22,am bm a b <<则”的逆命题为真；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件；D ．命题“x R ∀∈，均有2320x x --≥”的否定是：“,x R ∃∈使得2320x x --≤ 6．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）A ．324h h h >>B ．241h h h >>C ． 214h h h >>D ．123h h h >> 7．若圆(x -3)2 +(y +5) 2=r 2上有且只有两个点到直线4x -3y -2=0的距离等于1，则半径r 的取值是( ) A ．(4，6) B ．［4，6) C ．(4，6］ D ．［4，6］8．在数列{}n a 中，已知1222,7,n a a a +==等于1()n n a a n N +∈*的个位数，则2014a 等于（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 9．曲线1162522=+x y 与曲线)2516(1162522<<=---k k x k y 的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈；② []22-∈；③ [][][][][]01234=Z ∪∪∪∪； ④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论为（ ）．A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

孝感高中2015—2016学年度高二下学期期末考试数学（文）试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若(2z a ai =+为纯虚数，其中7,1+∈+a i a R ai则=（ ）A ．iB ．1C ．i -D ．－12．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭不表示同一点的极坐标是（ ） A ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．132,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ 3．如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F . 在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF ∠； ②2;FB FD FA =g③;AE CE BE DE =gg ④AF BD AB BF =g g .则所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④4．已知命题:p “存在[)01,,x ∈+∞使得()02log 31x ≥”，则下列说法正确的是（ ） A ．p 是假命题；:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞，都有()2log 31x<” B ．p 是真命题；:p ⌝“不存在[)01,,x ∈+∞使得()02log 31x <”C ．p 是真命题；:p ⌝“任意[)1,,x ∈+∞都有()2log 31x<” D ．p 是假命题；:p ⌝“任意(),1,x ∈-∞都有()2log 31x<”5．设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当()2f k k ≥成立时，总可推出()()211f k k +≥+成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）. A ．若()39f ≥成立，则当1k ≥时，均有()2f k k ≥成立 B ．若()525f ≥成立，则当5k ≤时，均有()2f k k ≥成立.C ．若()749f <成立，则当8k ≥时，均有()2f k k <成立.D ．若()425f =成立，则当4k ≥时，均有()2f k k ≥成立.6．已知下列四个命题：1:p 若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；2:p 若()22,x xf x -=-则()(),x R f x f x ∀∈-=-；3:p 若()1,1f x x x =++则()()000,,1x f x ∃∈+∞=； 4:p 在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >.其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．对具有线性相关关系的变量,,x y 测得一组数据如下表：测当20x =时，y 的估计值为（ ） A ．210B ．210.5C ．211.5D ．212.58．已知双曲线()222107y x a a -=>的一个焦点与抛物线2116y x =的焦点重合，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，如果输入的100N =， 则输出的x = A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.0010．在同一直角坐标系中，函数22ay ax x =-+与()2322y a x ax x a a R =-++∈的图象不可能．．．的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（ ） A 33d B 36d C 63 D 63d 12．已知“整数对”按如下规律排成一列：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），……，则第60个数对是（ ） A ．（5,7） B ．（7,5） C ．（2,10） D ．（10,1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上） 13．如图，点D 在O e 的弦AB 上移动，4,AB =连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O e 与点C ，则CD 的最大值为____________.14．若不等式2112222x x a a -++≥++对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为____________.15．若函数()2sin f x x x =+任意的[]()()2,2,30m f mx f x ∈--+<恒成立，则x 的取值范围是_________.16．已知抛物线()240x py p =>的焦点为F ，直线2y x =+与该抛物线交于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若()215AF BF AF BF FN p ++=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，则p 的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，BC 交圆O 于点E . （1）若D 为AC 的中点，求证：DE 是圆O 的切线； （2）若3,OA CE =求ACB ∠的大小.18．已知函数()3f x x x a =---. （1）当2a =时，解不等式()1;2f x ≤-（2）若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围.19．已知直线l的参数方程为1,12x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭的公共点，y +的取值范围.20．设命题:p 关于x 的方程2210x mx ++=有两个不相等的正实根，命题:q 关于x 的方程()2223100x m x m +--+=无实根. 若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围.21．已知12,F F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，125,4PF PF =-u u u r u u u u r g 求点P 的坐标；（2）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.22． 已知()32f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A B C 、、三点，若点B 的坐标为()2,0，且()f x 在[]1,0-和[]4,5上有相同的单调性，在[]0,2和[]4,5上有相反的单调性. （1）求ba的取值范围； （2）在函数()f x 的图象上是否存在点()0,0M x y ，使得曲线()y f x =在M 处的切线的斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）求AC 的取值范围.孝感高中2015—2016学年度高二下学期期末考试高二数学（文）参考答案一、选择题二、填空题13．2 14．1[,0]2-15．(3,1)-16．1217．（10分）（1）证明：连接,AE OE.由已知，得,AE BC AC AB⊥⊥.在Rt AEC∆中，由已知得DE DC=，DEC DCE∴∠=∠.,90OBE OEB ACB ABC∠=∠∠+∠=oQ，90DEC OEB∴∠+∠=o,90,OED DE∴∠=∴o是圆O的切线.（2）解：设1,CE AE x==，由已知得AB BE==,由射影定理可得：2AE CE BE=g.2x∴=解得60x ACB=∴∠=o.18．（12分）解：（1）当2a=时，1,2,()|3||2|52,23,1,3,xf x x x x xx≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩1()2f x∴≤-等价于2,112x≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或23,1522xx<<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩或3,11,2x≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩解得1134x≤<或3x≥,∴原不等式的解集为114x x⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭（2）由绝对值三角不等式可知()|3||||(3)()||3|f x x x a x x a a=---≤---=-.若存在实数a ，使得不等式()f a a ≥成立，则|3|a a -≥，解得32a ≤， ∴实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19．（12分）解（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以214sin 4cos 622πρρθρθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222x y x +=-，所以圆C的直角坐标方程为2220x y x ++-=.（2）设z y =+.因为圆C的方程2220x y x ++-=可化为22(1)(4x y ++-=，所以圆C的圆心是(-，半径是2.将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入z y =+，得z t =-. 又直线l过(C -，圆C 的半径是2，所以22t -≤≤，y +的取值范围是[2,2]-.20．解：设方程2210x mx ++=的两根分别为12,x x ，由2112440,20m x x m ⎧∆=->⎨+=->⎩得1,m <-所以:1p m <-；由方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，可得224(2)4(310)0m m ∆=---+<，知23m -<<，所以:23q m -<<.由p q ∨为真，p q ∧为假，可知命题,p q 一真一假，当p 真q 假时，1,32,m m m <-⎧⎨≥≤-⎩或此时2m ≤-；当p 假q 真时，1,23,m m ≥-⎧⎨-<<⎩此时13m -≤<，所以m 的取值范围是2m ≤-或13m -≤<.21．解（1）由椭圆方程为2214x y +=，知2,1,a b c ===12(F F ∴.设(,)(0,0)P x y x y >>，则22125(,),)34PF PF x y x y x y ⋅=-⋅-=+-=-u u u r u u u u r ，即2274x y +=.又点P 在椭圆上，联立22227,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得221.3.4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ Q 点P在第一象限，1,(1,22x y P ∴==∴. （2）显然0x =不满足题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y .联立221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得22(14)16120k x kx +++=，1212221216,1414kx x x x k k∴=+=-++，且 2223(16)4(14)120,4k k k ∆=-+⋅>∴>.又AOB ∠Q 为锐角，12120,0OA OB x x y y ∴⋅>∴+>u u u r u u u r，1212(2)(2)0x x kx kx ∴+++>，222121222212164(4)(1)2()4(1)240,141414k k k x x k x x k k k k k -⎛⎫∴++++=++-+=> ⎪+++⎝⎭24k ∴<.又2233,4,2,,24422k k k ⎛⎛⎫>∴<<∴∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q U . 22．解：（1）依题意知，函数()f x 在[1,0]-和[0,2]上有相反的单调性，所以0x =是()f x 的一个极值点，故(0)0f '=，即2320ax bx c ++=的一个解为0x =，则0c =.此时，易得2()320f x ax bx '=+=的另一解为2.3b x a=-因为函数()f x 在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性，所以223b a -≥且243b a-≤，则63b a-≤≤-，故ba 的取值范围为[6,3]--.（2）假设存在点00(,)M x y ，使得曲线()y f x =在点M 处的切线的斜率为3b .则0()3.f x b '=即203230ax bx b +-=. 22(2)43(3)4364(9)bb a b b ab ab a∆=-⨯⨯-=+=+Q ，而63,0ba -≤≤-∴∆<.故不存在点00(,)M x y ，使得曲线()y f x =在点M 处的切线的斜率为3b .（3）依题意可令32()(2)()()[(2)(22)2]f x a x x a x a x x x βαβαβαβαβ=---=-+++++-.则(2),2b a d a αβαβ=-++⎧⎨=-⎩得2,2b ad a αβαβ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为曲线()y f x =的图象交x 轴于点(2,0)B ，所以840a b d ++=， 即4(2)d b a =-+，于是4(2)d ba a=-+,11 ||||AC αβ∴=-==== 因为63ba -≤≤-，所以当6ba =-时，||AC 取得最大值，max ||AC =3ba =-时，||AC 取得最小值， min ||3AC =.故3||AC ≤≤.。

湖北省孝感高级中学2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题命题人：柴全中考试时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是A．B．C．D．2．“是假命题”是“为真命题”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．与椭圆共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是A．B．C．D．4．在某次选拔比赛中, 六位评委为两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中为数字0～9中的一个), 分别去掉一个最高分和一个最低分,两位选手得分的平均数分别为, 则一定有A．B．C．D．的大小关系不能确定5．若曲线在点(0, b)处的切线方程是, 则A．B．C．D．6．某射手的一次射击中, 射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1, 则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为A．B．C．D．7．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是A．680 B．320C．0.68 D．0.328．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为A．B．C．D．9．已知是椭圆的两个焦点, 过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点, 若△是正三角形, 则这个椭圆的离心率为A．B．C．D．10．设函数是定义在R上的偶函数,为其导函数. 当时, , 且, 则不等式的解集为A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）11．命题的否定是 .12．已知在上是增函数, 则实数的取值范围是 .13．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合, 则的值为 .14．某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查, 为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的人数为 .15．为鼓励中青年教师参加篮球运动, 校工会组织了100名中青年教师进行投篮活动, 每人投10次, 投中情况绘成频率分布直方图(如图), 则这100 名教师投中6至8个球的人数为 .16．一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数据如下:零件数 (个)10 20 30 40 50 加工时间 (分钟)64 69 75 82 90 由表中数据, 求得线性回归方程, 根据回归方程, 预测加工70个零件所花费的时间为 分钟.17．已知函数的自变量取值区间为, 若其值域也为, 则称区间为的保值区间. 若函数的保值区间是,则的值为 . 三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（12分）已知直线和01)1(:22=-+-+a y a x l .（1）若, 求实数的值;（2）若, 求实数的值.19．（12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q 若命题“”是真命题, 求实数的取值范围.20．（13分）设有关的一元二次方程046922=+-+b ax x .（1）若是从1,2,3这三个数中任取的一个数,是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;（2）若是从区间[0, 3]中任取的一个数,是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.21．（14分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f , 记的导函数为.（1）若曲线在点处切线的斜率为,且在处取得极值，求函数的解析式; （2）在(1)的条件下, 求函数在上的最大值和最小值.22．（14分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点, 离心率, 直线l 的方程为.（1）求椭圆C 的方程;（2）是经过右焦点的任一弦(不经过点), 设直线与直线相交于点, 记、、的斜率分别为、、. 问: 是否存在常数, 使得? 若存在, 求的值; 若不存在, 请说明理由.孝感高中2014—2015学年度高二上学期期末考试数学（文科）试题答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B A CD D C B11. 12. 13. 14. 10 15. 30 16. 102 17.三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. （12分）已知直线和01)1(:22=-+-+a y a x l . (1) 若, 求实数的值;(2) 若, 求实数的值.解: (1) 若, 则.320)1(21=⇒=-+⨯a a a ................6分 (2) 若, 则(1)1201 2.a a a ⋅--⨯=⇒=-或.....................10分 经检验,时,与重合.时, 符合条件. ....................................................12分19. （12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q 若命题“”是真命题, 求实数的取值范围.解:……………………………………………………3分.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………………6分∵“p 或q”为真命题，∴p 、q 中至少有一个真命题………………………8分 即或………………………………………………………10分 或“”是真命题时, 实数的取值范围是………12分20. （13分）设有关的一元二次方程046922=+-+b ax x .(1) 若是从1,2,3这三个数中任取的一个数,是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;(2) 若是从区间[0, 3]中任取的一个数,是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.解: (1) 由题意, 知基本事件共有9个, 可用有序实数对表示为(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1),(2, 2), (3, 0), (3, 1),(3, 2),其中第一个表示的取值, 第二个表示的取值......................................2分 由方程046922=+-+b ax x 的40)4(36362222≥+⇒≥+--=∆b a b a ..........................4分方程046922=+-+b ax x 有实根包含7个基本事件, 即(1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2).此时方程046922=+-+b ax x 有实根的概率为.................6分 (2)的取值所构成的区域如图所示, 其中........8分 构成“方程46922=+-+b ax x 有实根”这一事件的区域为{}20,30,4|),(22≤≤≤≤≥+b a b ab a (图中阴影部分).此时所求概率为.6132241322ππ-=⨯⨯⨯-⨯....................13分21.（14分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f , 记的导函数为. (1) 若曲线在点处切线的斜率为,且在处取得极值，求函数的解析式;(2) 在(1)的条件下, 求函数在上的最大值和最小值.解: (1) .23)('2b ax x x f ++=………………………………….…………….1分 依题意,……………………………….……………….3分即⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++034)32(33232b a b a , 解得………………………………..….5分 .542)(23+-+=∴x x x x f ………………………………………………..….6分(2) 由(1)知, ).32)(2(3443)('2-+=-+=x x x x x f ……………….…..….7分 令, 得……………………………………………9分 当变化时,的变化情况如下表:↗极大值↘极小值↗在上的最大值为13, 最小值为-11. …………………………14分22. 如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点, 离心率, 直线l 的方程为.(1) 求椭圆C 的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点), 设直线与直线相交于点, 记、、的斜率分别为、、. 问: 是否存在常数, 使得? 若存在, 求的值; 若不存在, 请说明理由. 解: (1) 由在椭圆上, 得……………①. 又得……………………..② 由①②, 得故椭圆C 的方程为………………………………………………5分 (2) 设直线的方程为),(),,(),1(2211y x B y x A x k y -=,由.01248)34(.134)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 34124,34822212221+-=+=+∴k k x x k k x x …………………………7分123)1(123)1(1223123221121121---+---=--+--=+∴x x k x x k x y x y k k 1)(2232)1111(23221212121++--+⋅-=-+--=x x x x x x k x x k.121348341242348232222222-=++-+--+⋅-=k k kk k k k k ………………………………10分又将代入得2132333-=-=∴k k k ,……………………………………………,,…………12分故存在常数符合题意. ……………………………………………………14分。

湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．其它推理2．（5分）已知a是实数，是实数，则z=（2+i）（a﹣i）的共轭复数是（）A．﹣3﹣i B．3+i C．1﹣3i D．﹣1+3i3．（5分）如图是某人按打中国联通客服热线10010，准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨完10010后，需按的键应该是（）A．1 B．7 C．8 D．04．（5分）要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，325．（5分）下面的程序运行的功能是（）A．求1+++…+的值B．求1+++…+的值C．求1+1+++…+的值D．求1+1+++…+的值6．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（）甲表：环数 4 5 6 7 8频数 1 1 1 1 1乙表：环数 5 6 9频数 3 1 1A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差7．（5分）记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则a的值为（）A．±B．C．±D．8．（5分）在区间上任取一个数m，则“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况．要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是．12．（5分）若复数z=，则|z|=．13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.514．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为15．（5分）△ABC中，A（1，1），B（5，﹣5），C（0，﹣1）．则AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为．16．（5分）从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，则（1）lga+lgb=1的概率为（2）b＞2a的概率为．17．（5分）已知a n=（）n，把数列{a n}的各项排列如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则（1）A（4，5）=（2）A（m，n）=．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？共有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？19．（12分）已知圆C的圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．求直线y=x截圆M所得弦长．20．（13分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间上任取一个数，b是从区间上任取一个数，求方程有实根的概率．21．（14分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥；证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而a12+a22≥．（1）已知a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若++=1，求x+y+z的最大值．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1（1）若过点（﹣2，0）的直线l与圆C1交于A，B两点，且•=，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长，圆C2的周长，①证明动圆圆心C在一条直线上运动；②动圆C是否过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．其它推理考点：类比推理．专题：常规题型．分析：从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．解答：解：从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间．用的是类比推理．故选C点评：本题主要考查学生的知识量和对知识的迁移类比的能力．2．（5分）已知a是实数，是实数，则z=（2+i）（a﹣i）的共轭复数是（）A．﹣3﹣i B．3+i C．1﹣3i D．﹣1+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵a是实数，==是实数，则1+a=0，解得a=﹣1．∴z=（2+i）（a﹣i）=﹣（2+i）（1+i）=﹣（1+3i）=﹣1﹣3i的共轭复数是﹣1+3i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）如图是某人按打中国联通客服热线10010，准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨完10010后，需按的键应该是（）A．1 B．7 C．8 D．0考点：流程图的作用．专题：综合题；概率与统计．分析：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0．解答：解：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0．故选：D．点评：本题考查流程图的作用，正确读图是关键．4．（5分）要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，32考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，则抽样间隔相同即可得到结论．解答：解：若采用系统抽样，则抽样间隔为50÷5=10，故只有B满足条件，故选：B点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．5．（5分）下面的程序运行的功能是（）A．求1+++…+的值B．求1+++…+的值C．求1+1+++…+的值D．求1+1+++…+的值考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序语句可知程序的功能是计算并输出S的值，i≤2014，S=1+1+…．解答：解：模拟执行程序语句可得：i=1，S=1，控制循环的条件为i≤2014，按照算法最后得到的结果应该为计算并输出S的值．S=1+1+…．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确分析循环语句的功能是解题的关键，属于基础题．6．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（）甲表：环数 4 5 6 7 8频数 1 1 1 1 1乙表：环数 5 6 9频数 3 1 1A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据表中数据，求出甲、乙的平均数，中位数，方差与极差，即可得出结论．解答：解：根据表中数据，得；甲的平均数是==6，乙的平均数是==6；甲的中位数是6，乙的中位数是5；甲的方差是==2，乙的方差是==2.4；甲的极差是8﹣4=4，乙的极差是9﹣5=4；由以上数据分析，符合题意的选项是C．故选：C．点评：本题考查了平均数、中位数、方差与极差的计算问题，是基础题目．7．（5分）记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则a的值为（）A．±B．C．±D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出曲线的方程，利用直线过圆心确定直线的倾斜角即可得到结论．解答：解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而y=ax﹣a=a（x﹣1），过定点（1，0），即过圆心，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则直线的倾斜角为60°或120°，∴当a=tan60°或a=tan120°，即a=±时，直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线过圆心的性质是解决本题的关键．8．（5分）在区间上任取一个数m，则“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：设g（x）=（x﹣2）2（﹣1≤x＜4），函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，可得y=g（x）的图象与直线y=m有两个交点，求出m的范围，即可得出概率．解答：解：f（x）=x2﹣4x﹣m+4=（x﹣2）2﹣m，设g（x）=（x﹣2）2（﹣1≤x＜4），∵函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，∴y=g（x）的图象与直线y=m有两个交点，∴m∈（0，4），∴在区间上任取一个数m，“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是=．故选：B．点评：本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形得到结果．9．（5分）执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和，由裂项法即可求值．解答：解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和．S=+++…+=+++…+=（1﹣+…﹣）=．故选：A．点评：本题主要考察了循环结构和裂项法求数列的前n项和，属于基础题．10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况．要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是10．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解答：解：设抽取的中型商店数为x，则，解得x=10，故答案为：10点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．12．（5分）若复数z=，则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：先将复数z进行化简，再求出z的模即可．解答：解：z===﹣1+2i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查了化简复数问题，考查了求复数的模，是一道基础题．13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=5.25．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.5考点：线性回归方程．专题：计算题；应用题．分析：根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入，只有a一个变量，解方程得到结果．解答：解：∵=3.5∴=﹣=3.5+0.7×2.5=5.25．故答案为：5.25点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查线性回归方程系数的求法，是一个基础题，本题运算量不大，是这一部分的简单题目．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为﹣3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=2016时，不满足条件i＜2015，退出循环，输出S的值为﹣3．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=0，S=2满足条件i＜2015，i=2，S=满足条件i＜2015，i=4，S=﹣满足条件i＜2015，i=6，S=﹣3满足条件i＜2015，i=8，S=2满足条件i＜2015，i=10，S=…观察规律可知S的取值以4为周期，由2014=503*4+2满足条件i＜2015，i=2014，S=﹣满足条件i＜2015，i=2016，S=﹣3不满足条件i＜2015，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的i，s的值是解题的关键，属于基础题．15．（5分）△ABC中，A（1，1），B（5，﹣5），C（0，﹣1）．则AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为（﹣9，2）．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为（3，﹣2），再利用点斜式可得AB边上的中线所在直线方程为y+1=．利用斜率计算公式可得k AC==2，即可得出AC边上的高所在直线的方程为，联立解出即可．解答：解：线段AB的中点为（3，﹣2），∴AB边上的中线所在直线方程为y+1=，化为x+3y+3=0．∵k AC==2，∴AC边上的高所在直线的方程为，化为x+2y+5=0．联立，解得．∴AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为（﹣9，2）．故答案为：（﹣9，2）．点评：本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，则（1）lga+lgb=1的概率为（2）b＞2a的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；对数的运算性质．专题：概率与统计．分析：所有的取法共有20种方法，用列举法求得其中，分别求出满足条件的取法，由此求得所求事件的概率．解答：解：从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，所有的基本事件为（1，2），（1，4），（1，5），（1，10），（2，1），（2.4），（2，5），（2，10），（4，1），（4，2），（4，5），（4，10），（5，1），（5，2），（5，4），（5，10），（10，1），（10，2），（10，4），（10，5），共20种，（1）∵lga+lgb=1，∴ab=10，∴满足lga+lgb=1的有（1，10），（10，1），（2，5），（5，2）共4种，∴lga+lgb=1的概率为=（2）b＞2a的基本事件有（1，4），（1，5），（1，10），（2，5），（2，10），（4，10），共6种，∴b＞2a的概率为=故答案为：，点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．17．（5分）已知a n=（）n，把数列{a n}的各项排列如图的三角形状，记A（m，n）表示第m 行的第n个数，则（1）A（4，5）=（）14（2）A（m，n）=．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：通过观察给出图形的特点，得到图形中的每一行所占数列{a n}的项的个数构成以1为首项，以2为公差的等差数列，然后运用等差数列前n项和公式，则问题得到解决．解答：解：由三角形状图可知，图中的第一行、第二行、第三行、…分别占了数列{a n}的1项、3项、5项、…，每一行的项数构成了以1为首项，以2为公差的等差数列，设A（m，n）是数列{a n}的第k项，则（1）A（4，5）是数列{a n}的第1+3+5+5=14项，所以A（4，5）=（）14，（2）A（m，n）是数列{a n}的第1+3+5+…+（2m﹣3）+n=（m﹣1）2+n项，故A（m，n）=．故答案为：（）14，点评：本题考查了等差数列的定义及通项公式，考查了学生的读图能力，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是求解A（m，n）是数列{a n}的第1+3+5+…+（2m﹣3）+n=（m ﹣1）2+n项，此题是中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？共有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：（1）利用高之比等于频率之比，根据第三组的频率建立等量关系，求出样本容量即可．（2）矩形高最高的就是上交作品数最多的，根据第四组的频率建立等量关系，即可求得频数．（3）先求出第四组和第六组的作品数，再根据第四组和第六组的作品获奖数求出获奖概率，比较大小即可．解答：解：（1）因为所以本次活动共有60件作品参加评比．（4分）（2）因为所以第四组上交的作品数量最多，共有18件．（8分）（3）因为所以，所以第六组获奖率高．点评：本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征进行考查，根据数据特征分析得出实际问题的结论．19．（12分）已知圆C的圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．求直线y=x截圆M所得弦长．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；（2）根据圆与圆相切的条件，结合直线和圆心相交的弦长公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上，∴，解得，即圆C的方程为x2+y2﹣2x=0；（2）∵圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．∴圆心M坐标为（0，2），圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心C坐标为（1，0），半径R=1，当两圆外切时，|CM|=3=1+r，解得r=2，当两圆内切时，|CM|=3=r﹣1，解得r=4，∵M当直线y=x的距离d=，∴当r=2时，直线y=x截圆M所得弦长l=，∴当r=4时，直线y=x截圆M所得弦长l=．点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线弦长公式的应用，利用两圆相切的等价条件求出圆的半径是解决本题的关键．20．（13分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间上任取一个数，b是从区间上任取一个数，求方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题．分析：由题意可得方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），代入几何概率的求解公式可求（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，分别求解区域的面积，可求解答：解：方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）满足条件，则．（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以，所求概率为．…（12分）点评：本题主要考查了古典概率的求解及与面积有关的几何概率的求解，属于基本方法的简单应用21．（14分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥；证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而a12+a22≥．（1）已知a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若++=1，求x+y+z的最大值．考点：归纳推理；不等式的证明．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知中已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，则a12+a22+…+a n2≥；（2）观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明；（3）由（2）知，a 1+a2+a3=1，a12+a22+a32≥，令a1=+=，a2=，a3=，则1﹣x+2﹣y+3﹣z≥，即可求出x+y+z的最大值．解答：解：（1）若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…+a n2≥（2）证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣a n）2=nx2﹣2（a1+a2+…+a n）x+a12+a22+…+a n2=nx2﹣2x+a12+a22+…+a n2因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+a n2）≤0从而证得：a12+a22+…+a n2≥；（3）由（2）知，a1+a2+a3=1，a12+a22+a32≥，令a 1=，a2=，a3=，则1﹣x+2﹣y+3﹣z≥，∴x+y+z≤，当且仅当x=，y=，z=时，x+y+z的最大值为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1（1）若过点（﹣2，0）的直线l与圆C1交于A，B两点，且•=，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长，圆C2的周长，①证明动圆圆心C在一条直线上运动；②动圆C是否过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）设出直线l的方程，代入圆C1的方程，得出A、B两点的坐标关系，计算•的值，从而求出l的方程；（2）①设出圆心C的坐标，由题意得CC1=CC2，列出方程，得出动圆圆心C的轨迹方程；②动圆C过定点，设出C（m，3﹣m），写出动圆C的方程，与直线C1C2的方程组成方程组，求出定点的坐标．解答：解：（1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入（x+1）2+y2=1，得（1+k2）x2+（4k2+2）x+4k2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=；∵点（﹣2，0）在C1上，不妨设A（﹣2，0），则•=x1x2+y1y2=x1x2==；解得k2=2k=±；∴l的方程为y=±（x+2）；（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2；即=；化简得x+y﹣3=0；即动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动；②圆C过定点，设C（m，3﹣m），则动圆C的半径为=，∴动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2，整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0；与直线C1C2的方程组成方程组，解得，或；∴定点的坐标为（1﹣，2﹣），（1+，2+）．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了直线与平面的综合应用问题，考查了求点的轨迹的应用问题，是综合性题目．。

孝感高中2014—2015学年度高二上学期期末考试数学（文科）试题柴全中 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 先后抛掷一枚硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是A ．81B ．83 C ．85 D ．87 2． “q p ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．与椭圆1121622=+y x 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是A ．1322=-y xB ．1322=-y x C ．1834322=-y x D ．1834322=-x y 4． 在某次选拔比赛中, 六位评委为B A ,两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中x 为数字0～9中的一个), 分别去掉一个最高分和一个最低分, B A ,两位选手得分的平均数分别为b a ,, 则一定有A ．b a >B ．b a <C ．b a =D ．b a ,的大小关系不能确定5． 若曲线b ax x y ++=2在点(0, b )处的切线方程是01=+-y x , 则A ．1,1==b aB ．1,1=-=b aC ．1,1-==b aD ．1,1-=-=b a6． 某射手的一次射击中, 射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1, 则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为 A ．9.0B ．6.0C ．5.0D ．3.07． 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 A ．680 B ．320C ．0.68D ．0.328． 过原点且倾斜角为o60的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为A ．3B ．2C ．6D ．329． 已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点, 若△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为A ．22B ．32 C ．33 D ．23 10．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数, '()f x 为其导函数. 当0>x 时,0)(')(>⋅+x f x x f , 且0)1(=f , 则不等式0)(>⋅x f x 的解集为A ．)1,0()0,1(⋃-B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)1,0()1,(⋃--∞二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）11．命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定p ⌝是 .12．已知3()2=+-f x x ax 在),1(+∞上是增函数, 则实数a 的取值范围是 .13．已知抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合, 则p 的值为 . 14．某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的人数为 .15．为鼓励中青年教师参加篮球运动, 校工会组织了100名中青年教师进行投篮活动, 每人投10次, 投中情况绘成频率分布直方图(如图), 则这100 名教师投中6至8个球的人数为 .16．一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数据如下:由表中数据, 求得线性回归方程a x yˆ65.0ˆ+=, 根据回归方程, 预测加工70个零件所花费的时间为 分钟.17．已知函数)(x f 的自变量取值区间为A , 若其值域也为A , 则称区间A 为)(x f 的保值区间. 若函数x m x x g ln )(-+=的保值区间是),21[+∞, 则m 的值为 .三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（12分）已知直线062:1=++y ax l 和01)1(:22=-+-+a y a x l .（1）若21l l ⊥, 求实数a 的值; （2）若21//l l , 求实数a 的值. 19．（12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.20．（13分）设有关x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .（1）若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;（2）若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.21．（14分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f , 记)(x f 的导函数为)('x f .（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率为3,且)(x f 在32=x 处取得极值，求函数)(x f 的解析式;（2）在(1)的条件下, 求函数)(x f 在]1,4[-上的最大值和最小值.22．（14分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l的方程为4=x . （1）求椭圆C 的方程;（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.孝感高中2014—2015学年度高二上学期期末考试数学（文科）试题答案11. 00,sin 1∃∈>x R x 12. ),3[+∞- 13. 4 14. 1015. 3016. 10217.21-三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. （12分）已知直线062:1=++y ax l 和01)1(:22=-+-+a y a x l . (1) 若21l l ⊥, 求实数a 的值;(2) 若21//l l , 求实数a 的值.解: (1) 若21l l ⊥, 则.320)1(21=⇒=-+⨯a a a ................6分 (2) 若21//l l , 则(1)1201 2.a a a ⋅--⨯=⇒=-或.....................10分经检验, 2a =时, 1l 与2l 重合. 1-=a 时, 符合条件.∴ .1-=a ....................................................12分19. （12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.解: .1)(min 2=≤⇔x a p ……………………………………………………3分.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………………6分∵“p 或q ”为真命题，∴p 、q 中至少有一个真命题………………………8分 即1≤a 或1 2.≤-≥或a a ………………………………………………………10分 1⇒≤a 或 2.≥a∴“q p 或”是真命题时, 实数a 的取值范围是).,2[]1,(+∞⋃-∞………12分20. （13分）设有关x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .(1) 若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;(2) 若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.解: (1) 由题意, 知基本事件共有9个, 可用有序实数对表示为(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2),其中第一个表示a 的取值, 第二个表示b 的取值......................................2分 由方程046922=+-+b ax x 的40)4(36362222≥+⇒≥+--=∆b a b a ..........................4分∴方程046922=+-+b ax x 有实根包含7个基本事件, 即(1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0),(3, 1), (3, 2).∴此时方程046922=+-+b ax x 有实根的概率为.97.................6分(2) b a ,的取值所构成的区域如图所示, 其中.20,30≤≤≤≤b a ........8分∴构成“方程046922=+-+b ax x 有实根”这一事件的区域为{}20,30,4|),(22≤≤≤≤≥+b a b ab a (图中阴影部分).∴此时所求概率为.6132241322ππ-=⨯⨯⨯-⨯....................13分21.（14分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f , 记)(x f 的导函数为)('x f . (1) 若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率为3,且)(x f 在32=x 处取得极值，求函数)(x f 的解析式;(2) 在(1)的条件下, 求函数)(x f 在]1,4[-上的最大值和最小值. 解: (1) .23)('2b ax x x f ++=………………………………….…………….1分 依题意, ,0)32(',3)1('==f f ……………………………….……………….3分即⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯=++034)32(33232b a b a , 解得⎩⎨⎧-==.42b a ………………………………..….5分 .542)(23+-+=∴x x x x f ………………………………………………..….6分(2) 由(1)知, ).32)(2(3443)('2-+=-+=x x x x x f ……………….…..….7分 令0)('=x f , 得.32,221=-=x x ……………………………………………9分 当x 变化时, )('),(x f x f 的变化情况如下表:)(x f ∴在]1,4[-上的最大值为13, 最小值为-11. …………………………14分22. 如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l 的方程为4=x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由. 解: (1) 由)23,1(P 在椭圆上, 得,149122=+ba ……………①. 又,21==a c e 得,3,42222cbc a ==……………………..② 由①②, 得.3,4,1222===b a c故椭圆C 的方程为.13422=+y x ………………………………………………5分 (2) 设直线AB 的方程为),(),,(),1(2211y x B y x A x k y -=,由.01248)34(.134)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 34124,34822212221+-=+=+∴k k x x k k x x …………………………7分123)1(123)1(1223123221121121---+---=--+--=+∴x x k x x k x y x y k k 1)(2232)1111(23221212121++--+⋅-=-+--=x x x x x x k x x k .121348341242348232222222-=++-+--+⋅-=k k kk k k k k ………………………………10分又将4=x 代入)1(-=x k y 得),3,4(k M2132333-=-=∴k k k ,……………………………………………,,…………12分.2321k k k =+∴故存在常数2=λ符合题意. ……………………………………………………14分。

湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．其它推理2．（5分）已知a是实数，是实数，则z=（2+i）（a﹣i）的共轭复数是（）A．﹣3﹣i B．3+i C．1﹣3i D．﹣1+3i3．（5分）如图是某人按打中国联通客服热线10010，准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨完10010后，需按的键应该是（）A．1 B．7 C．8 D．04．（5分）要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，325．（5分）下面的程序运行的功能是（）A．求1+++…+的值B．求1+++…+的值C．求1+1+++…+的值D．求1+1+++…+的值6．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（）甲表：环数 4 5 6 7 8频数 1 1 1 1 1乙表：环数 5 6 9频数 3 1 1A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差7．（5分）记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则a的值为（）A．±B．C．±D．8．（5分）在区间[3，5]上任取一个数m，则“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况．要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是．12．（5分）若复数z=，则|z|=．13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.514．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为15．（5分）△ABC中，A（1，1），B（5，﹣5），C（0，﹣1）．则AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为．16．（5分）从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，则（1）lga+lgb=1的概率为（2）b＞2a的概率为．17．（5分）已知a n=（）n，把数列{a n}的各项排列如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则（1）A（4，5）=（2）A（m，n）=．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？共有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？19．（12分）已知圆C的圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．求直线y=x截圆M所得弦长．20．（13分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．21．（14分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥；证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而a12+a22≥．（1）已知a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若++=1，求x+y+z的最大值．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1（1）若过点（﹣2，0）的直线l与圆C1交于A，B两点，且•=，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长，圆C2的周长，①证明动圆圆心C在一条直线上运动；②动圆C是否过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．湖北省普通高中联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）A．归纳推理B．演绎推理C．类比推理D．其它推理考点：类比推理．专题：常规题型．分析：从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．解答：解：从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间．用的是类比推理．故选C点评：本题主要考查学生的知识量和对知识的迁移类比的能力．2．（5分）已知a是实数，是实数，则z=（2+i）（a﹣i）的共轭复数是（）A．﹣3﹣i B．3+i C．1﹣3i D．﹣1+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵a是实数，==是实数，则1+a=0，解得a=﹣1．∴z=（2+i）（a﹣i）=﹣（2+i）（1+i）=﹣（1+3i）=﹣1﹣3i的共轭复数是﹣1+3i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚数为实数的充要条件、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）如图是某人按打中国联通客服热线10010，准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以下流程，拨完10010后，需按的键应该是（）A．1 B．7 C．8 D．0考点：流程图的作用．专题：综合题；概率与统计．分析：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0．解答：解：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0．故选：D．点评：本题考查流程图的作用，正确读图是关键．4．（5分）要从编号为01～50的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽出5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，在选取的5枚导弹的编号可能是（）A．05，10，15，20，25 B．03，13，23，33，43C．01，02，03，04，05 D．02，04，08，16，32考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义，则抽样间隔相同即可得到结论．解答：解：若采用系统抽样，则抽样间隔为50÷5=10，故只有B满足条件，故选：B点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．5．（5分）下面的程序运行的功能是（）A．求1+++…+的值B．求1+++…+的值C．求1+1+++…+的值D．求1+1+++…+的值考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序语句可知程序的功能是计算并输出S的值，i≤2014，S=1+1+…．解答：解：模拟执行程序语句可得：i=1，S=1，控制循环的条件为i≤2014，按照算法最后得到的结果应该为计算并输出S的值．S=1+1+…．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确分析循环语句的功能是解题的关键，属于基础题．6．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（）甲表：环数 4 5 6 7 8频数 1 1 1 1 1乙表：环数 5 6 9频数 3 1 1A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据表中数据，求出甲、乙的平均数，中位数，方差与极差，即可得出结论．解答：解：根据表中数据，得；甲的平均数是==6，乙的平均数是==6；甲的中位数是6，乙的中位数是5；甲的方差是=[（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22]=2，乙的方差是=[3×（﹣1）2+02+32]=2.4；甲的极差是8﹣4=4，乙的极差是9﹣5=4；由以上数据分析，符合题意的选项是C．故选：C．点评：本题考查了平均数、中位数、方差与极差的计算问题，是基础题目．7．（5分）记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则a的值为（）A．±B．C．±D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出曲线的方程，利用直线过圆心确定直线的倾斜角即可得到结论．解答：解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而y=ax﹣a=a（x﹣1），过定点（1，0），即过圆心，若直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，则直线的倾斜角为60°或120°，∴当a=tan60°或a=tan120°，即a=±时，直线y=ax﹣a把D的面积分为1：2的两部分，故选：A．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线过圆心的性质是解决本题的关键．8．（5分）在区间[3，5]上任取一个数m，则“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：设g（x）=（x﹣2）2（﹣1≤x＜4），函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，可得y=g（x）的图象与直线y=m有两个交点，求出m的范围，即可得出概率．解答：解：f（x）=x2﹣4x﹣m+4=（x﹣2）2﹣m，设g（x）=（x﹣2）2（﹣1≤x＜4），∵函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点，∴y=g（x）的图象与直线y=m有两个交点，∴m∈（0，4），∴在区间[3，5]上任取一个数m，“函数f（x）=x2﹣4x﹣m+4（﹣1≤x＜4）有两个零点”的概率是=．故选：B．点评：本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形得到结果．9．（5分）执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和，由裂项法即可求值．解答：解：模拟执行程序框图，可知该算法的功能是计算并输出数列{}的求10项和．S=+++…+=+++…+=（1﹣+…﹣）=．故选：A．点评：本题主要考察了循环结构和裂项法求数列的前n项和，属于基础题．10．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（1﹣m，0），B（1+m，0），m＞0，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况．要从中抽取一个容量为40的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是10．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解答：解：设抽取的中型商店数为x，则，解得x=10，故答案为：10点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．12．（5分）若复数z=，则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：先将复数z进行化简，再求出z的模即可．解答：解：z===﹣1+2i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查了化简复数问题，考查了求复数的模，是一道基础题．13．（5分）下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=5.25．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.5考点：线性回归方程．专题：计算题；应用题．分析：根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入，只有a一个变量，解方程得到结果．解答：解：∵=3.5∴=﹣=3.5+0.7×2.5=5.25．故答案为：5.25点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查线性回归方程系数的求法，是一个基础题，本题运算量不大，是这一部分的简单题目．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为﹣3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=2016时，不满足条件i＜2015，退出循环，输出S的值为﹣3．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=0，S=2满足条件i＜2015，i=2，S=满足条件i＜2015，i=4，S=﹣满足条件i＜2015，i=6，S=﹣3满足条件i＜2015，i=8，S=2满足条件i＜2015，i=10，S=…观察规律可知S的取值以4为周期，由2014=503*4+2满足条件i＜2015，i=2014，S=﹣满足条件i＜2015，i=2016，S=﹣3不满足条件i＜2015，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的i，s的值是解题的关键，属于基础题．15．（5分）△ABC中，A（1，1），B（5，﹣5），C（0，﹣1）．则AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为（﹣9，2）．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：利用中点坐标公式可得：线段AB的中点为（3，﹣2），再利用点斜式可得AB边上的中线所在直线方程为y+1=．利用斜率计算公式可得k AC==2，即可得出AC边上的高所在直线的方程为，联立解出即可．解答：解：线段AB的中点为（3，﹣2），∴AB边上的中线所在直线方程为y+1=，化为x+3y+3=0．∵k AC==2，∴AC边上的高所在直线的方程为，化为x+2y+5=0．联立，解得．∴AB边上的中线所在直线与AC边上的高所在直线的交点坐标为（﹣9，2）．故答案为：（﹣9，2）．点评：本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，则（1）lga+lgb=1的概率为（2）b＞2a的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；对数的运算性质．专题：概率与统计．分析：所有的取法共有20种方法，用列举法求得其中，分别求出满足条件的取法，由此求得所求事件的概率．解答：解：从集合A={1，2，4，5，10}中任取两个不同的元素a，b，所有的基本事件为（1，2），（1，4），（1，5），（1，10），（2，1），（2.4），（2，5），（2，10），（4，1），（4，2），（4，5），（4，10），（5，1），（5，2），（5，4），（5，10），（10，1），（10，2），（10，4），（10，5），共20种，（1）∵lga+lgb=1，∴ab=10，∴满足lga+lgb=1的有（1，10），（10，1），（2，5），（5，2）共4种，∴lga+lgb=1的概率为=（2）b＞2a的基本事件有（1，4），（1，5），（1，10），（2，5），（2，10），（4，10），共6种，∴b＞2a的概率为=故答案为：，点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．17．（5分）已知a n=（）n，把数列{a n}的各项排列如图的三角形状，记A（m，n）表示第m 行的第n个数，则（1）A（4，5）=（）14（2）A（m，n）=．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：通过观察给出图形的特点，得到图形中的每一行所占数列{a n}的项的个数构成以1为首项，以2为公差的等差数列，然后运用等差数列前n项和公式，则问题得到解决．解答：解：由三角形状图可知，图中的第一行、第二行、第三行、…分别占了数列{a n}的1项、3项、5项、…，每一行的项数构成了以1为首项，以2为公差的等差数列，设A（m，n）是数列{a n}的第k项，则（1）A（4，5）是数列{a n}的第1+3+5+5=14项，所以A（4，5）=（）14，（2）A（m，n）是数列{a n}的第1+3+5+…+（2m﹣3）+n=（m﹣1）2+n项，故A（m，n）=．故答案为：（）14，点评：本题考查了等差数列的定义及通项公式，考查了学生的读图能力，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是求解A（m，n）是数列{a n}的第1+3+5+…+（2m﹣3）+n=（m ﹣1）2+n项，此题是中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图），已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？共有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：（1）利用高之比等于频率之比，根据第三组的频率建立等量关系，求出样本容量即可．（2）矩形高最高的就是上交作品数最多的，根据第四组的频率建立等量关系，即可求得频数．（3）先求出第四组和第六组的作品数，再根据第四组和第六组的作品获奖数求出获奖概率，比较大小即可．解答：解：（1）因为所以本次活动共有60件作品参加评比．（4分）（2）因为所以第四组上交的作品数量最多，共有18件．（8分）（3）因为所以，所以第六组获奖率高．点评：本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征进行考查，根据数据特征分析得出实际问题的结论．19．（12分）已知圆C的圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．求直线y=x截圆M所得弦长．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；（2）根据圆与圆相切的条件，结合直线和圆心相交的弦长公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆心在直线y=x﹣1上，且A（2，0），B（，）在圆C上，∴，解得，即圆C的方程为x2+y2﹣2x=0；（2）∵圆M：x2+（y﹣2）2=r2（r＞0）与圆C相切．∴圆心M坐标为（0，2），圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心C坐标为（1，0），半径R=1，当两圆外切时，|CM|=3=1+r，解得r=2，当两圆内切时，|CM|=3=r﹣1，解得r=4，∵M当直线y=x的距离d=，∴当r=2时，直线y=x截圆M所得弦长l=，∴当r=4时，直线y=x截圆M所得弦长l=．点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线弦长公式的应用，利用两圆相切的等价条件求出圆的半径是解决本题的关键．20．（13分）设x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程．（1）若a是从0，1，2，3四个数个中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]上任取一个数，b是从区间[0，2]上任取一个数，求方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题．分析：由题意可得方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），代入几何概率的求解公式可求（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，分别求解区域的面积，可求解答：解：方程有实根的充要条件为：△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．（1）基本事件共有12个，其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）满足条件，则．（2 ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足题意的区域为：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，所以，所求概率为．…（12分）点评：本题主要考查了古典概率的求解及与面积有关的几何概率的求解，属于基本方法的简单应用21．（14分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥；证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2，f（x）=2x2﹣2（a1+a2）x+a12+a22=2x2﹣2x+a12+a22，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4﹣8（a12+a22）≤0，从而a12+a22≥．（1）已知a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述证法，对你的推广的结论进行证明；（3）若++=1，求x+y+z的最大值．考点：归纳推理；不等式的证明．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知中已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，则a12+a22+…+a n2≥；（2）观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明；（3）由（2）知，a 1+a2+a3=1，a12+a22+a32≥，令a1=+=，a2=，a3=，则1﹣x+2﹣y+3﹣z≥，即可求出x+y+z的最大值．解答：解：（1）若a1，a2，…，a n∈R，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…+a n2≥（2）证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2+…+（x﹣a n）2=nx2﹣2（a1+a2+…+a n）x+a12+a22+…+a n2=nx2﹣2x+a12+a22+…+a n2因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4﹣4n（a12+a22+…+a n2）≤0从而证得：a12+a22+…+a n2≥；（3）由（2）知，a1+a2+a3=1，a12+a22+a32≥，令a 1=，a2=，a3=，则1﹣x+2﹣y+3﹣z≥，∴x+y+z≤，当且仅当x=，y=，z=时，x+y+z的最大值为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．22．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1（1）若过点（﹣2，0）的直线l与圆C1交于A，B两点，且•=，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长，圆C2的周长，①证明动圆圆心C在一条直线上运动；②动圆C是否过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用；直线与圆．分析：（1）设出直线l的方程，代入圆C1的方程，得出A、B两点的坐标关系，计算•的值，从而求出l的方程；（2）①设出圆心C的坐标，由题意得CC1=CC2，列出方程，得出动圆圆心C的轨迹方程；②动圆C过定点，设出C（m，3﹣m），写出动圆C的方程，与直线C1C2的方程组成方程组，求出定点的坐标．解答：解：（1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入（x+1）2+y2=1，得（1+k2）x2+（4k2+2）x+4k2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=；∵点（﹣2，0）在C1上，不妨设A（﹣2，0），则•=x1x2+y1y2=x1x2==；解得k2=2k=±；∴l的方程为y=±（x+2）；（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2；即=；化简得x+y﹣3=0；即动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动；②圆C过定点，设C（m，3﹣m），则动圆C的半径为=，∴动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2，整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0；与直线C1C2的方程组成方程组，解得，或；∴定点的坐标为（1﹣，2﹣），（1+，2+）．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了直线与平面的综合应用问题，考查了求点的轨迹的应用问题，是综合性题目．。

湖北省孝感高级高二上学期期末考试数学试卷考试时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 若复数iia 2+的实部和虚部相等, 则实数a =A ．1-B ．1C ．2-D ．22． “q p ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．与椭圆1121622=+y x 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是A ．1322=-y x B ．1322=-y x C ．1834322=-y x D ．1834322=-x y 4． 在某次选拔比赛中, 六位评委为B A ,两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中x 为数字0～9中的一个), 分别去掉一个最高分和一个最低分, B A ,两位选手得分的平均数分别为b a ,, 则一定有A ．b a >B ．b a <C ．b a =D ．b a ,的大小关系不能确定 5．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是 A ．)3,0( B. )4,1( C ．),2(+∞ D ．)2,(-∞6． 若曲线b ax x y ++=2在点(0, b )处的切线方程是01=+-y x , 则A ．1,1==b a B. 1,1=-=b aC ．1,1-==b aD ．1,1-=-=b a7． 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 A ．680 B ．320C ．0.68D ．0.328． 某射手的一次射击中, 射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1, 则此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率为 A ．9.0B ．6.0C ．5.0D ．3.09． 已知21,F F 是椭圆的两个焦点, 过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点, 若△2ABF 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为A ．22 B ．32 C ．33 D ．23 10．设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数, '()f x 为其导函数. 当0>x 时,0)(')(>⋅+x f x x f , 且0)1(=f , 则不等式0)(>⋅x f x 的解集为A ．)1,0()0,1(⋃-B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)1,0()1,(⋃--∞二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）11．命题1sin ,:≤∈∀x R x p 的否定p ⌝是 .12．定积分⎰-=+22)cos 1(ππdx x .13．某市为了创建国家级文明城市, 采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9, 抽到的32人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷B, 其余的人做问卷C. 则抽到的人中, 做问卷B 的人数为 . 14．一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验, 收集数据如下:零件数x (个) 10 20 30 40 50 加工时间y (分钟)6469758290由表中数据, 求得线性回归方程a x yˆ65.0ˆ+=, 根据回归方程, 预测加工70个零件所花费的时间为 分钟.15．已知函数)(x f 的自变量取值区间为A , 若其值域也为A , 则称区间A 为)(x f 的保值区间. 若函数x m x x g ln )(-+=的保值区间是),21[+∞, 则m 的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.17．（12分）设关于x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .（1）若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;（2）若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.18．（12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.19．（12分）经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1t 该产品可获得利润500元, 未售出的产品, 每1t 亏损300元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了130t 该产品, 以X (单位: t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内该农产品的销售利润.（1）将T 表示为X 的函数;（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.20．（13分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l的方程为4=x . （1）求椭圆C 的方程;（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.21．（14分）已知函数).21(ln )(21)(22≤---=a x x a a x x f （1）若函数)(x f 在2=x 处取得极值, 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; （2）讨论函数)(x f 的单调性;（3）设,ln )(22x x a x g -= 若)()(x g x f >对1>∀x 恒成立, 求实数a 的取值范围.试题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案AAABCADCCB11. 00,sin 1∃∈>x R x 12. 2+π 13.1014. 102 15. 21-三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．16.（12分）已知命题,0],2,1[:2”“≥-∈∀a x x p 命题,022,:0200”“=+++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 或”是真命题, 求实数a 的取值范围.解: .1)(min 2=≤⇔x a p ……………………………………………………3分.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………………6分∵“p 或q ”为真命题，∴p 、q 中至少有一个真命题………………………8分 即1≤a 或1 2.≤-≥或a a ………………………………………………………10分1⇒≤a 或 2.≥a∴“q p 或”是真命题时, 实数a 的取值范围是).,2[]1,(+∞⋃-∞………12分17. （12分）设有关x 的一元二次方程046922=+-+b ax x .(1) 若a 是从1,2,3这三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2这三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率;(2) 若a 是从区间[0, 3]中任取的一个数, b 是从区间[0, 2]中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.解: (1) 由题意, 知基本事件共有9个, 可用有序实数对表示为(1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2),其中第一个表示a 的取值, 第二个表示b 的取值......................................2分 由方程046922=+-+b ax x 的40)4(36362222≥+⇒≥+--=∆b a b a ...........................4分∴方程046922=+-+b ax x 有实根包含7个基本事件, 即(1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3,1), (3, 2).∴此时方程046922=+-+b ax x 有实根的概率为.97.................6分(2) b a ,的取值所构成的区域如图所示, 其中.20,30≤≤≤≤b a ........8分∴构成“方程046922=+-+b ax x 有实根”这一事件的区域为{}20,30,4|),(22≤≤≤≤≥+b a b ab a (图中阴影部分).∴此时所求概率为.6132241322ππ-=⨯⨯⨯-⨯....................12分18.（12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===(Ⅰ)证明：1AC B D ⊥；(Ⅱ)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.解：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)． 从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得3t =或3t =-(舍去)．.................. ...................................... ....................... ............ ....................3分 于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ．.........6分 (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝31,0)，11B C ＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,330.x y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，3-3．.........9分 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n ＝3217=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217...........12分19. （12分）经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1t 该产品可获得利润500元, 未售出的产品, 每1t 亏损300元. 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了130t 该产品, 以X (单位: t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销售季度内该农产品的销售利润. (1) 将T 表示为X 的函数;(2) 根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率. 解:(1)当130100<≤X 时,;39000800)130(300500-=--=X X X T当150130≤≤X 时, .65000130500=⨯=T.150130,65000130100,39000800⎩⎨⎧≤≤<≤-=∴X X X T …………………………………………6分(2) 令.12057000≥⇒≥X T …………………………………………………8分7.010)015.0025.0030.0()120()57000(=⨯++=≥=≥∴X P T P ……12分20. （13分）如图, 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)23,1(P , 离心率21=e , 直线l的方程为4=x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ), 设直线AB 与直线l 相交于点M , 记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k . 问: 是否存在常数λ, 使得321k k k λ=+? 若存在, 求λ的值; 若不存在, 请说明理由.解: (1) 由)23,1(P 在椭圆上, 得,149122=+ba ……………①. 又,21==a c e 得,3,42222cbc a ==……………………..② 由①②, 得.3,4,1222===b a c故椭圆C 的方程为.13422=+y x ………………………………………………5分 (2) 设直线AB 的方程为),(),,(),1(2211y x B y x A x k y -=,由.01248)34(.134)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 34124,34822212221+-=+=+∴k k x x k k x x …………………………7分123)1(123)1(1223123221121121---+---=--+--=+∴x x k x x k x y x y k k 1)(2232)1111(23221212121++--+⋅-=-+--=x x x x x x k x x k.121348341242348232222222-=++-+--+⋅-=k k kk k k k k ………………………………10分又将4=x 代入)1(-=x k y 得),3,4(k M2132333-=-=∴k k k ,……………………………………………,,…………12分.2321k k k =+∴故存在常数2=λ符合题意. ……………………………………………………13分21. （14分）已知函数).21(ln )(21)(22≤---=a x x a a x x f (1) 若函数)(x f 在2=x 处取得极值, 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (2) 讨论函数)(x f 的单调性;(3) 设,ln )(22x x a x g -= 若)()(x g x f >对1>∀x 恒成立, 求实数a 的取值范围. 解: (1) 由,0)2(',1)1()('=---=f xa a x x f 得1-=a 或2=a (舍去) 经检验, 1-=a 时, 函数)(x f 在2=x 处取得极值…………………………..2分1-=a 时, .2)1(',21)1(,12)(',ln 221)(2-=-=--=--=f f x x x f x x x x f 所以所求切线方程为.0324),1(221=-+--=+y x x y 即………………….4分(2) )(x f 的定义域为).,0(+∞,)1)(()(1)('222xa x a x x a a x x x a a x x f -+-=---=---=令,0)('=x f 得.1a x a x -==或 当21≤a 时, .01,1>--≤a a a 且..…6分 ① 当21=a 时, .0)(',0211>>=-=x f a a )(x f ∴在定义域),0(+∞上单调递增; …………………………………….7分 ② 当0≤a 时,)(x f 在)1,0(a -上单调递减, 在),1(+∞-a 上单调递增; ………………………………….……………………………………..8分 ③ 当210<<a 时, )(x f 在),0(a 和),1(+∞-a 上单调递增, 在)1,(a a -上单调递减. ………………………………….………………………....9分(3) 由题意知, x x a x x a a x ->---2222ln ln )(21, 即x x a a ln 2322<-对1>∀x 恒成立.……….………………………………………………..…...10分令x x x h ln 2)(2=, 则.)(ln 2)1ln 2()('2x x x x h -= 令0)('=x h , 得.e x =当),1(e x ∈时, )(x h 单调递减; ),(+∞∈e x 时, )(x h 单调递增. 所以当.e x =时, )(x h 取得最小值.)(e e h =…………………….....13分.612116121132ea e e a a ++<<+-⇒<-∴又.2161211,21≤<+-∴≤a e a ……………………..... …..... ….....14分。