【郑州高二上期末】郑州市2020-2021学年高二上期期末考试 文科数学(高清含答案)

2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.03.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）A.0.372B.0.256C.0.128D.0.7444.（单选题，5分）给出下列说法：① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是（）A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A.120种B.240种C.480种D.360种7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）A.15B.20C.30D.358.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为（）A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$11.（单选题，5分）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.（e，3）B.（e，3]C.[e，3]D.[e，3）12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（0，1）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（-1，0）∪（1，+∞）13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则a+b=___ ．17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．i（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到0.01）．参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数学期望；（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82821.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ．（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23，总分：1501.（单选题，5分）| $\frac{1+2i}{2-i}$ |=（）A.1B. $\sqrt{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$【正确答案】：A【解析】：根据已知条件，结合复数模的公式，即可求解．【解答】：解： $|\frac{1+2i}{2-i}|=\frac{|1+2i|}{|2-i|}=\frac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}{\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$ ．故选：A．【点评】：本题考查了复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.（单选题，5分）若f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$），则f′（ $\frac{π}{6}$）=（）A.1B.-1C.- $\frac{1}{2}$D.0【正确答案】：B【解析】：先求f′（x）再把 $\frac{π}{6}$代入即可解决此题．【解答】：解：∵f′（x）=-sin（x+ $\frac{π}{3}$），∴f′（ $\frac{π}{6}$）=-sin$\frac{π}{2}$ =-1．故选：B．【点评】：本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）新型冠状病毒的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布N（7，σ2），若P（X≤3）=0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为（）A.0.372B.0.256C.0.128D.0.744【正确答案】：C【解析】：利用正态分布曲线的对称性分析求解即可．【解答】：解：因为μ=7，所以P（X≥11）=P（X≤3）=0.128．故选：C．【点评】：本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．4.（单选题，5分）给出下列说法：① 若某大学中女大学生的体重y（单位：kg关于身高x（单位：cm）的线性回归方程为$\hat{y}$ =0.849x-85，则当某女大学生身高为172cm时，其体重一定是61.028kg；② 线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ，$\overline{y}$ ）；③ 若两个随机变量的线性相关性越强则相关系数r的值越接近于1；④ 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越宽，说明模型拟合精度越高；⑤ 在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用线性回归方程的特点及两个变量的相关性与相关系数的关系判断可得．【解答】：解：对于① ，把x=172 代入回归方程 $\hat{y}$ =0.849x-85，y′=0.849x-85.712，得到y′=61.028，所以女大学生的体重大约为61.028（kg），不是一定是61.028，故① 错误，对于② ，线性回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 一定过样本点的中心（ $\overline{x}$ ， $\overline{y}$ ），故② 正确，对于③ ，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r，的值越接近于±1，故③ 错误，对于④ ，在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故④ 错误，对于⑤ ，相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好，故⑤ 正确．故选：B．【点评】：本题主要考查了命题的真假判断，统计基本知识，线性回归方程及两个变量的相关性，属于基础题．5.（单选题，5分）从分别标有0，1，2，…，9的10张卡片中不放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片标有奇数的条件下第二次抽到的卡片标有偶数的概率是（）A. $\frac{5}{18}$B. $\frac{5}{9}$C. $\frac{4}{9}$D. $\frac{7}{9}$【正确答案】：B【解析】：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，利用古典概型的概率公式先求出P（A），P（B），然后利用条件概率的概率公式求解即可．【解答】：解：记事件A为“第一次抽到的卡片标有奇数“，记事件B为“第二次抽到的卡片标有偶数”，所以P（A）= $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ ，P（AB）= $\frac{5}{10}×\frac{5}{9}=\frac{5}{18}$ ，所以 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{5}{9}$ ．故选：B．【点评】：本题考查了古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（单选题，5分）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校园学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，且排课时“射”必须在“御”的后面，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A.120种B.240种C.480种D.360种【正确答案】：D【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算全部的安排方法数目，而其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，据此分析可得答案．【解答】：解：根据题意，每艺安排一节，连排六节，有 ${A}_{6}^{6}$ =720种排法，其中“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，故排课时“射”在“御”的后面的排法有 $\frac{1}{2}$ ×720=360种，故选：D．【点评】：本题考查排列组合的应用，注意“射”排在“御”的后面与“射”排在“御”的前面的排法是相同的，属于基础题．7.（单选题，5分）若（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，则x2的系数为（）A.15B.20C.30D.35【正确答案】：C【解析】：直接令x=1即可求得结论．【解答】：解：（1+ $\frac{1}{{x}^{2}}$ ）（1+x）n的展开式中各项系数之和为128，令x=1可得：（1+1）•（1+1）n=128⇒n=6；则x2的系数为：${C}_{6}^{2}+{C}_{6}^{4}$ =30．故选：C．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．8.（单选题，5分）下列说法中正确的是（）A.哥德巴赫猜想属于类比推理B.由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是归纳推理C.演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，若大前提正确则结论必然正确D.反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同【正确答案】：D【解析】：由归纳推理和类比推理、演绎推理和反证法的概念，可判断正确结论．【解答】：解：哥德巴赫猜想属于归纳推理，故A错误；由平面内不共线的三点确定一个圆可以猜想空间中不共面的四点确定一个球，这是类比推理，故B错误；演绎推理三段论中，若大前提错则结论必然错，只有大前提和小前提均正确，结论才正确，故C错误；反证法是间接证明的一种基本方法，其理论依据是原命题和其逆否命题真假性相同，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查推理的几种形式，考查推理能力，属于基础题．9.（单选题，5分）用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ +…+ $\frac{1}{{2}^{n-1}}＞\frac{n}{2}-1$ （n∈N*，n＞1）时，以下说法正确的是（）A.第一步应该验证当n=1时不等式成立B.从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k}}$C.从“n=k到n=k+1”左边需要增加（2k-1-1）项D.从“n=k到n=k+1”左边需要增加2k-1项【正确答案】：D【解析】：利用数学归纳法的解题方法进行分析，弄清从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式，即可得到答案．【解答】：解：由于n∈N*，n＞1，所以第一步应该是验证当n=2时不等式成立，从“n=k到n=k+1”左边需要增加的代数式是 $\frac{1}{{2}^{k-1}+1}+\frac{1}{{2}^{k-1}+2}+\bullet \bullet \bullet +\frac{1}{{2}^{k}}$ ，共2k-1项．故选：D．【点评】：本题考查了数学归纳法的理解与应用，要掌握用数学归纳法证明恒等式的步骤，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．10.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2021项为（）A. ${C}_{63}^{3}$B. ${C}_{63}^{4}$C. ${C}_{64}^{3}$D. ${C}_{64}^{4}$【正确答案】：B【解析】：根据题意，分析可得杨辉三角中，第n行有n项，由此求出前63行的项数，据此分析可得第2021项是第64行的第5项，即可得答案．【解答】：解：根据题意，杨辉三角中，第n行有n项，则前n行共有1+2+……+n=$\frac{n(n+1)}{2}$ 项，则前63行共有 $\frac{63×64}{2}$ =2016项，故第2021项是第64行的第5项，为 ${C}_{63}^{4}$ ，故选：B．【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析每一行中数字的个数，属于基础题．11.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}x\frac{x}{lnx}，x＞1\\{x}^{3}-3x+1，x≤1\end{array}\right.$ ，若方程f（x）=k至少有三个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A.（e，3）B.（e，3]C.[e，3]D.[e，3）【正确答案】：C【解析】：对f（x）求导分析f（x）单调性，作出函数图象，结合图使得直线y=k与函数f （x）的图象至少有三个交点，即可得出答案．【解答】：解：当x＞1时，f（x）= $\frac{x}{lnx}$ ，则f′（x）= $\frac{lnx-1}{(lnx)^{2}}$ ，令f′（x）=0，得x=e，当1＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=e时，f（x）取得最小值f（e）=e，当x≤1时，f（x）=x3-3x+1，则f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=-1时，f（x）取得最大值f（-1）=3，所以f（e3）= $\frac{{e}^{3}}{3}$ ＞3，f（ $\sqrt{e}$ ）=2 $\sqrt{e}$ ＞3，f（0）=1＜e，f （-2）=-1＜e，作出f（x）的大致图象，如图所示：由图可知当k∈[e，3]时，直线y=k与函数f（x）的图象至少有三个交点，从而方程f（x）=k至少有三个不同的实数根．故选：C．【点评】：本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．12.（单选题，5分）函数g（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（1）=0，当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（0，1）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（-1，0）∪（1，+∞）【正确答案】：D【解析】：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，由函数的单调性和奇偶性可得原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{x ＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，结合图象可得．【解答】：解：构造函数F（x）= $\frac{f(x)}{x}$ ，则F（x）为偶函数且x≠0，求导数可得F′（x）= $\frac{f′(x)x-f(x)x′}{{x}^{2}}$ = $\frac{xg(x)-f(x)}{{x}^{2}}$ ，∵当x＞0时，xg（x）-f（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴函数F（x）在（0，+∞）单调递减，由函数为偶函数可得F（x）在（-∞，0）单调递增，由f（1）=0可得F（1）=0，∴f（x）＜0等价于xF（x）＜0等价于 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F(x)＜0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F(x)＞0}\end{array}\right.$ ，解得x∈（1-，0）∪（1，+∞）故选：D．【点评】：本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数并利用函数的性质是解决问题的关键，属中档题．13.（填空题，5分）已知a＞0，则 ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ =___ ．【正确答案】：[1] $\frac{π{a}^{2}}{4}$【解析】：根据已知条件，将原式转化为半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，即可求解．【解答】：解：由定积分的几何意义可知， ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ 表示的是半径为a的 $\frac{1}{4}$ 圆的面积，∴ ${\int }_{0}^{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}dx$ = $\frac{π{a}^{2}}{4}$．故答案为： $\frac{π{a}^{2}}{4}$ ．【点评】：本题考查了定积分的几何含义，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.（填空题，5分）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”．在此次活动中，某学校有6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派4名，每人去1个社区，每个社区至少有1名志愿者，则不同的选派方案有 ___ 种．【正确答案】：[1]540【解析】：先从6人中选出4人，再对4人选派即可求解．【解答】：解：先从这6名志愿者中选派4名有C ${}_{6}^{4}$ 种选法，这4名志愿者中．有2名去了同一个社区，其他2名志愿者各去一个社区，故不同的选派方案有C ${}_{6}^{4}{C}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}=540$ ，故答案为：540．【点评】：本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在圆内画1条直线，将圆分割成两部分；画2条相交直线，将圆分割成4部分；画3条直线，将圆最多分割成7部分；画4条直线，将圆最多分割成11部分；…；那么在圆内画10条直线，将圆最多分割成 ___ 部分．【正确答案】：[1]56【解析】：根据题意，归纳线段的数目与将圆最多分割成多少部分之间的关系，将n=10代入计算可得答案．【解答】：解：根据题意，在圆内画1条线段，将圆分割成：1+1=2部分；画2条相交线段，将圆分割成：1+1+2=4部分；画3条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3=7部分；画4条相交线段，将圆最多分割成：1+1+2+3+4=11部分；由此归纳推理，猜想：在圆内画n条线段，两两相交，将圆最多分割成：a n=1+1+2+3+…+n=1+$\frac{n(n+1)}{2}$ 部分，故当n=10时，有a10=1+ $\frac{10×11}{2}$ =56，在圆内画10条直线，将圆最多分割成56部分．故答案为：56．【点评】：本题考查归纳推理的应用，注意分析变化的规律，属于基础题．16.（填空题，5分）若函数f（x）=2x3-ax2+b在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，则a+b=___ ．【正确答案】：[1]-1或5【解析】：先讨论函数f（x）在[0，1]上的单调性，进而确定最大值和最小值在何时取，再建立关于a，b的方程，解方程即可得答案．【解答】：解：$f′(x)=6x^{2}-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$ ．令f′（x）=0，得x=0或$x=\frac{a}{3}$ ．① 当a＜0时，函数f（x）在 $(-∞，\frac{a}{3})$ 和（0，+∞）上单调递增，在$(\frac{a}{3}，0)$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得b=-1，a=0，与 a＜0矛盾．② 当a=0时，函数f（x）在R上单调递增，所以f（0）=-1，f（1）=1，代入解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ ．③ 当0＜a⩽3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，\frac{a}{3})$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上最小值为 $f(\frac{a}{3})=-\frac{a^{3}}{27}+b$ ，最大值为f（0）=b或f（1）=2-a+b．若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，b=1$ ，则 $a=3\sqrt[3]{2}$ ，与0＜a⩽3矛盾．若 $-\frac{a^{3}}{27}+b=-1，2-a+b=1$ ，则 $a=3\sqrt{3}$ 或 $a=-3\sqrt{3}$ 或a=0，与0＜a⩽3矛盾．④ 当a＞3时，函数f（x）在（-∞，0）和 $(\frac{a}{3}，+∞)$上单调递增，在 $(0，\frac{a}{3})$ 上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）在[0，1]的上最大值为f（0），最小值为f（1），即 $\left\{\begin{array}{l}b=1\\ 2-a+b=-1\end{array}\right.$ ，解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$综上，当 $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-1\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=1\end{array}\right.$ 时，函数f（x）在[0，1]上的最小值为-1，最大值为1，所以a+b的值为-1或5．故答案为：-1或5．【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于难题．17.（问答题，12分）已知曲线f（x）= $\frac{2}{x}$ ．求：（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线方程；（2）过点Q（-3，2）的曲线f（x）的切线方程．【正确答案】：【解析】：求出原函数的导函数．（1）求出函数在x=1处的导数，得到求出的斜率，再由直线方程的点斜式得答案；（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），求出曲线f（x）在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，可得切点横坐标，进一步可得过点Q的切线方程．【解答】：解：由f（x）= $\frac{2}{x}$ ，得f′（x）= $-\frac{2}{{x}^{2}}$ ．（1）曲线f（x）在点P（1，2）处的切线的斜率k=f′（1）=-2，∴所求切线方程为y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0；（2）设切点为（ ${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$ ），则所求切线的斜率为$f′({x}_{0})=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$ ，∴所求切线方程为 $y-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(x-{x}_{0})$ ，由点Q（-3，2）在切线上可知， $2-\frac{2}{{x}_{0}}=-\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}(-3-{x}_{0})$ ，整理得： ${{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}-3=0$ ，解得x0=3或x0=-1．故所求的切线方程为2x+9y-12=0或2x+y+4=0．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分“在某点处”与“过某点处”，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=x3-12x+6．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-5，5]上有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对f（x）求导，判断f（x）的单调性，再确定f（x）的极值即可；（2）由条件可知，函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点，根据函数f（x）的图象，结合条件求出a的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x）=3x2-12=3（x-2）（x+2）．令f′（x）=0，解得x=2或x=-2．当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上单词递增，在（-2，2）上单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（-2）=22，极小值为f（2）=-10．（2）由题意知，方程f（x）=a在区间[-5，5]上有3个不同的实数根，即函数y=f（x）的图像与直线y=a在区间[-5，5]上有3个不同的交点．∵f（5）=71＞22，f（-5）=-59＜-10，∴结合（1）及函数f（x）的图象，可知-10＜a＜22，故实数a的取值范围为（-10，22）．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，根据函数的零点求参数的范围，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．19.（问答题，12分）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到如表及相关数据．x 0.25 0.5 1 2 41y 16 12 5 2表中t i= $\frac{1}{{x}_{i}}$ ．（1）请从相关系数的角度，分析y=a+bx与=c+k•x-1哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程（计算结果精确到0.01）；（3）在（2）的条件下，设z=y-x且x∈[4，+∞），试求z的最大值（计算结果精确到0.01）．参考公式：回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ 中， $\hat{b}$ =$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})-({y}_{i}-\overline{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$ ； $\hat{a}$ =$\overline{y}$ - $\hat{b}$ $\overline{x}$ ，相关系数r=$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}\sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}}$ ．【正确答案】：【解析】：（1）计算相关系数，利用相关系数绝对值的大小判断；（2）把数据代入公式计算；（3）判断函数单调性求最值．【解答】：解：（1）令 $t=\frac{1}{x}$ ，数据整理得：\overline{x})^{2}=9.3$模型y=a+bx的相关系数 ${r}_{1}=\frac{-32.8}{39.86}≈-0.82$ ；模型y=c+kt的相关系数 ${r}_{2}=\frac{38.45}{39.86}≈0.96$；因为|r2|＞|r1|，所以y=c+kx-1适宜作为y关于x的回归方程类型．（2） $\overline{t}=\overline{x}=1.55，\overline{y}=7.2$ ；$\hat{k}=\frac{38.45}{9.3}≈4.13，\hat{c}=\hat{y}-\hat{k}\overline{t}≈0.80$所以y关于x的回归方程为 $y=0.80+\frac{4.13}{x}$ ．（3） $z=y-x=0.80+\frac{4.13}{x}-x，x≥4$因为 $z=0.80+\frac{4.13}{x}-x$ 在[4，+∞）上单调递减．所以z的最大值为 $0.80+\frac{4.13}{4}-4≈-2.17$ ．【点评】：本题考查非线性回归模型、线性回归模型、函数的最值，属于中档题．20.（问答题，12分）某中学为了促进学生对数学文化的了解，举办了一系列的活动，其中一项是在各班内进行数学家和其国籍的连线游戏，且为一一对应的关系，参加连线的同学每连对一个得1分，连错得0分．（1）假定某学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X的分布列和数学期望；（2）若某同学的得分X≥2，则称这位同学“对数学文化了解较好”；若得分X＜2，则称这位同学“对数学文化了解较差”．某数学老师为了判断学生对数学文化的了解程度是否与学生性别有关，统计了本年级600名学生在本次连线游戏中的得分情况，得到如下2×2列联表，请根据列联表，判断是否有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关？男生女生合计得分X≥2280 120 400得分X＜2 120 80 200 合计400 200 600P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【正确答案】：【解析】：（1）分别求出X值为0，1，2，4的概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．（2）根据已知条件，运用独立性随机检验公式，即可求解．【解答】：解：（1）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，4，则P（X=0）= $\frac{3}{8}$ ，P（X=1）= $\frac{1}{3}$ ，P（X=2）= $\frac{1}{4}$ ，P （X=4）= $\frac{1}{24}$ ，∴X的分布列为（2）由题意可得，K2的现测值为k= $\frac{600×(280×80-120×120)^{2}}{400×200×400×200}=6$ ，∵6＞3.841，∴有95%的把握认为学生对数学文化的了解程度与学生性别有关．【点评】：本题考查了离散型随机变量的概率与期望，以及独立性检验公式，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x-a（x+2），其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥ $\frac{1}{4}{x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}$ +1-2a在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导函数，根据导数符号与函数单调性之间的关系分a⩽0和a＞0两种情况分别求出单调性即可；（2）题意等价于即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立，当x=0时显然成立，当x＞0时，等价于 $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ，构造新函数求最值即可求出a的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x）=e x-a．当a⩽0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna．当x＞lna时，f′（x）＞0，当x＜lna时，f′（x）＜0，∴f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．综上所述，当a⩽0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．（2）由 $f(x)⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，得 $e^{x}-ax-2a⩾\frac{1}{4}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+1-2a$ ，即 $ax⩽e^{x}-\frac{1}{4}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 在[0，+∞）上恒成立．当x=0时，0=0，显然成立．当x＞0时， $a⩽\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}$ ．令 $g(x)=\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x}，x＞0$ ，则$g′(x)=\frac{(x-1)e^{x}}{x^{2}}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{2(x-1)e^{x}-(x^{3}+x^{2}-2)}{2x^{2}}$ = $\frac{2(x-1)e^{x}-(x-1)(x^{2}+2x+2)}{2x^{2}}=\frac{2(x-1)[e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)]}{2x^{2}}$ ．令 $h(x)=e^{x}-(\frac{x^{2}}{2}+x+1)，x＞0，h′(x)=e^{x}-(x+1)$ ，h′′（x）=e x-1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上单调递增，则h′（x）=e x-（x+1）＞h′（0）=0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∴h（x）＞e0-（0+0+1）=0，∴h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，令g′（x）=0，得x=1，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴ $g(x)_{min}=g(1)=e-\frac{7}{4}$ ，∴ $a⩽e-\frac{7}{4}$ ，故所求实数a的取值范围为 $(-∞，e-\frac{7}{4}]$ ．【点评】：本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性和最值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数在处理恒成立问题中的应用，属于难题．22.（问答题，10分）在平面直角坐标系中，直线l过点M（2，0），倾斜角为α，以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+4cosθ．（1）写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同两点A，B且 $\overrightarrow{MA}$ =-2$\overrightarrow{MB}$ ，求直线l的直角坐标方程．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合参数直线方程的定义，以及极坐标公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，即可求解．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），根据韦达定理，可得 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$，再结合条件 $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，可得tan2α=4，即可求解．【解答】：解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数），∵ρ=ρcos2θ+4cosθ，∴ρ2=ρ2cos2θ+4ρcosθ，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴x2+y2=x2+4x，即y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t2sin2α-4tcosα-8=0 （α≠0），设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则 ${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}，{t}_{1}\bullet {t}_{2}=-\frac{8}{si{n}^{2}α}$① ，∵ $\overrightarrow{MA}$ =-2 $\overrightarrow{MB}$ ，∴t1=-2t2② ，将② 代入① 可得，tan2α=4，∴k=±2，∴直线l的直角坐标方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0．【点评】：本题考查了直线l的参数方程和曲线的极坐标方程，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．23.（问答题，0分）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：（1） $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$ ；（2） $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}≥\frac{9}{5}$ ．。

2020-2021学年天一大联考高二上学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.“a ≠1或b ≠2”是“a +b ≠3”的( )A. 必要不充分条件B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 充分不必要条件2.在平面直角坐标系中，若点P(m −3,m +1)在第二象限，则m 的取值范围为( )A. −1<m <3B. m >3C. m <−1D. m >−13.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0,c 2=a 2+b 2)，点A 为双曲线C 上一点，且在第一象限，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，若|AO|=c ，且∠AOF 1=2π3，则双曲线C的离心率为( ) A. √3+12 B. √3 C. 2D. √3+14.已知等差数列{a n }的第8项是二项式(x +1x +y)4展开式的常数项，则a 9−13a 11=( )A. 23B. 2C. 4D. 65.已知a ，b ，c ∈R ，则“{ab >0bc >0”是“b−c a <b+c a ”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在锐角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，若b 2−a 2=ac ，则1tanA −1tanB 的取值范围是( )A. (1,2√33)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,√2)7. 若函数y =f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A.B.C.D.8.已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2√2，则2a 7+a 11的最小值为( )A. 16B. 8C. 2√2D. 49.已知函数在处有极值，则等于( )A.或B.C. 或18D.10. 已知抛物线y 2=ax(a >0)的准线与圆x 2+y 2−6x −7=0相切，则a 的值为( )A. 12B. 1C. 2D. 411. 已知无穷数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为其前n 项和，则“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要12. 方程e x −x −2=0的一个根所在的区间(k,k +1)(k ∈N)，则k 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=2x 2+x −k ，g(x)=x 3−3x ，若对任意的x 1∈[−1,3]，总存在x 0∈[−1,3]，使得f(x 1)≤g(x 0)成立，则实数k 的取值范围是______ ．14. 若x ，y 满足约束条件{x +2y ≤3x ≥1y ≥−1，则z =x −2y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=xlnx +8在区间(0,3]的极小值为______ ． 16. 若抛y =2px 的焦点与双曲线x 26−y 23=1右重合，则p 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简集合；若AB =B ，求实m 的取值范．18. (本小题满分12分) 在中，角的对边分别为不等式对于一切实数恒成立．(Ⅰ)求角C 的最大值． (Ⅱ)当角C 取得最大值时，若，求的最小值．19. 已知公比0<q <1的等比数列{a n }满足a 8+a 2=283，log 3a 3+log 3a 7=1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n=na2n，求数列{b n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=alnx+6x(a∈R)．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)如果函数g(x)=f(x)−2x在(0,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(3)当a>0时，讨论函数y=f(x)−5x零点的个数．21.已知点A(0,−2)，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(I)求椭圆C的方程；(II)设过点A的动直线l与C交于P、Q两点，当|PQ|=4√25时，求l的方程．22.已知函数f(x)=x2t−2t(x2+x)+x2+2t2+1，g(x)=12f(x)．(I)证明：当t<2√2时，g(x)在R上是增函数；(Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b]，试说明存在实数k，当t>k时，g(x)在闭区间[a,b]上是减函数；(Ⅲ)证明：f(x)≥32．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查充分条件、必要条件的判断，属于中档题． 解：因为a =1且b =2⇒a +b =3， a +b =3⇏a =1且b =2，则“a =1且b =2”是“a +b =3”的充分不必要条件， 故“a ≠1或b ≠2”是“a +b ≠3”的必要不充分条件． 故选：A ．2.答案：A解析：解：点P(m −3,m +1)在第二象限， 则{m −3<0m +1>0， 解得−1<m <3， 故选：A根据题意可得{m −3<0m +1>0，解得即可．本题考查了坐标在象限内的符号，以及不等式组的解法，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查双曲线的定义、离心率，考查学生的运算能力，属于基础题．分别在△AOF 1和△AOF 2中，通过简单的平面几何计算可求得|AF 1|和|AF 2|的长，然后结合双曲线的定义，即可求得离心率．解：由题意可知，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， 在△AOF 1中，∵|AO|=c =|OF 1|，且∠AOF 1=2π3，∴|AF 1|=√3c ，在△AOF 2中，∵|AO|=c =|OF 2|，且∠AOF 2=π−2π3=π3，∴|AF 2|=c ，由双曲线的定义可知，|AF 1|−|AF 2|=2a ，即√3c −c =2a ， ∴离心率e =ca =√3−1=√3+1． 故选：D ．4.答案：C解析：解：∵(x +1x +y)4的展开式中的常数项为C 40⋅C 42x 2(1x)2y 0=6， ∴a 8=6，又数列{a n }为等差数列，∴a 9−13a 11=a 1+8d −13(a 1+10d)=23(a 1+7d)=23a 8=23×6=4．故选：C ．由二项式系数的性质求出二项式(x +1x +y)4展开式的常数项，得到a 8=6，由等差数列的通项公式把a 9−13a 11转化为23a 8得答案．本题考查二项式系数的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．5.答案：A解析：解：因为b−c a<b+c a⇔b+c a−b−c a=2c a>0⇔ac >0，因为{ab >0bc >0，所以可得a 、c 同号，即ac >0，但反之不成立，故“{ab >0bc >0”是“b−c a <b+c a ”的充分不必要条件．故选：A ． 由题可得b−c a<b+c a⇔ac >0，而{ab >0bc >0只能得到ac >0，反之不成立，即可得到答案本题考查不等式的性质以及充分、必要条件的判断，体现了逻辑推理、数学运算等能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵b 2−a 2=ac ，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+ac ， ∴c =2acosB +a ，∴sinC =2sinAcosB +sinA ，∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴sinA =cosAsinB −sinAcosB =sin(B −A)， ∵三角形ABC 为锐角三角形， ∴A =B −A ，。

2021—2022学年期末测评试卷高二语文一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

如果从唐朝讲起，它创立的那一天，就开启了一个以长安都城所代表的关中为中心（函谷关以东的）关东为辅佐、江淮为兼纳的，三位一体且混融胡汉众多人群的王朝政权建设道路。

这主要表现在唐高祖和唐太宗初期对中原农耕地带的经营之中，随后，唐太宗和唐高宗又在这个基础上相继征服东西突厥、收降铁勒诸部等周边胡系势力，确立了将长城东西南北并合在一个异质性大型王朝之内的格局。

为什么唐朝能够超越以往中原王朝国家的传统格局呢？通常的理解是，这属于“大一统思想”的践行，是以李唐皇室为代表的统治集团“胡汉混融”思路及其方针政策颁行带来的结果。

情况的确如此，但是如果没有此前魏晋南北朝时期中原汉系与周边各族势力的相互混合交融，唐朝显然是做不到这一点的。

魏晋南北朝时期的人群交往为后续容纳广泛的唐王朝奠定了基础，这可以揭示出中国表征的东亚古代王朝“累积性建构”的基本特质：第一，王朝的相互转换，通常是后者通盘继承前者并延此顺行发展；第二，汉系王朝解体之后，周边异质性力量一旦崛起或强盛，也常常参与中原的角逐并与之汇合，其“果实”随之被后起的王朝全盘接收进而开启“坐大式”的建构道路。

正是在跨越中原内外、兼纳胡汉各系人群的“循环式”衍进中，中国王朝更替之后的再建构就呈现出超越前者的趋势。

一旦这种建构达不到规模或局限在某个特定地域，抑或当它衰竭之时，就会被能量更大的后起者所替代。

换言之，自秦朝开始，古代中国王朝的演变就形成了这样的模式：王朝前后的更替多是后者延续前者而非改弦更张，整体上呈前后延续而非断裂之倾向，单个王朝虽然存时长短不一，但被整体的延承所遮盖，前后贯通、“大一统”就成为它的基本特性。

这是我们对中国古代王朝历史演进的一个总结。

如果想更清楚地说明它的特性，东西方的对比或许是一个理想的参照。

围绕地中海建立的罗马帝国，它的多人群组合、多地域连接、多文化聚合形成的超越式帝国，无论从哪个角度讲，都与东亚秦汉隋唐王朝有对应和参考的价值。

河南省（天一）大联考2020-2021学年高三年级上学期期末考试文科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，则中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6(★★) 2. 若，则（）A．1B．C．D．2(★) 3. 在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．B．C．D．(★★) 4. 如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．(★★) 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185(★★) 6. 已知，则下列不等式① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④(★★) 7. 已知函数，点是曲线相邻的两个对称中心，点是的一个最值点，若的面积为1，则（）A．1B．C．2D．(★★★) 8. 已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．(★★) 9. 在中，内角的对边分别为，若的大小成等差数列，且，则的面积为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知球的半径为5，球面上有三点，满足，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★) 11. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．(★★) 12. 已知点在直线上运动，点在直线上运动，以线段为直径的圆与轴相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 平面向量，若，则 _____________ ．(★★) 14. 若实数、满足约束条件，则的取值范围是_____________．(★★★) 15. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．(★★) 16. 设双曲线的左焦点是，左、右顶点分别是，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为______________．三、解答题(★★★) 17. 已知数列的前项和为，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．(★★) 18. 某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照分组，得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．(★★★) 19. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．(★★★) 20. 已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为，曲线上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆和曲线的标准方程；（Ⅱ）点为和的一个交点，过作直线交于点，交于点，且互不重合，若，求直线与轴的交点坐标．(★★★) 21. 已知函数．（Ⅰ）设函数在和处的切线交直线于两点，求；（Ⅱ）设为函数的最小值，求证：．(★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）设与的夹角为，求；（2）设与轴的交点为，与轴的交点为，以为圆心，为半径作圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程．(★★★) 23. 已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．。

河南省郑州市巩义市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中考试语文试题一、现代文阅读（36 分）（一）论述类文本阅读（本题共 3 小题，9 分）阅读下面的文字，完成1-3题。

中华文明源远流长，从诗书礼乐到钟鼎彝器，博大精深的古典文化，素来为国人所津津乐道。

然而一到谈及传统建筑，多数人不是一脸茫然，便是心怀遗憾。

保存下来的古建筑本就不多，往往还被岁月剥去了光彩，有几分“土里土气”，相形之下，欧洲古建筑遍地开花，如风光片里古堡的坚固伟岸、教堂的华丽炫酷，让人如何与之一较高下？难道中国传统建筑就是不如西方吗？此言差矣。

以中西古建筑最显著的对比，即材料上的土木和砖石为例。

乍看之下，木质建筑简朴，易朽，扁平，似乎很难与巍峨高耸的石头教堂一争高下。

有人把这归咎于古人的技术不行，或材料短缺。

但事实上，中华大地并不缺石材，古代冶金技术世界领先，石料开采加工的器具也更先进。

同时，老祖宗们并非完全不用石料修筑，譬如陵墓，在他们看来，才是该用石头堆砌的。

而从秦汉陵墓的空间布局、工程结构之精妙来看，早在那个时代，我们的砖石建筑就已经达到了相当高的水准。

因此，对于砖石建筑，古人“非不能也，乃不为也”。

就像中囯传统绘画对散点透视的情有独钟一个样，形式和质料上的偏好，其实是一种文化选择。

追根溯源，审美偏好的出发点，还取决于人与环境的相处方式。

欧洲建筑多以石砌，呈竖向耸立之势，以求“飞升天国”的不朽。

而中国建筑的外部形态，基本是横平舒展，寄寓着华夏先民对土地的依恋。

在中国古人心中，石头冰冷坚硬，缺乏生气，太过疏离自然，至于寻常起居，则一定要置身于“生生之气”的土木之中，以求“天人合一”的居住理想。

中西建筑在文化体系中的“地位”也不尽相同。

在西方，建筑是主要的文化载体，法国作家雨果就曾说过，“建筑是石头的史书”，一切艺术门类都须为建筑服务，绘画之，雕刻之，咏叹之，摹写之，以图将其打造为“高大上”的永恒纪念碑。

而古老的东方中囯就不这么看了：文字才是千古之承载，不朽之盛事。

2021年秋期高中二年级期终质量评估化学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。

满分100分，考试时间90分钟，答题前务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。

2.答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.可能用到的部分相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Zn 65第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题(本题包括16小题，每题3分，共48分，每小题只有一个选项符合题意)1. 中华传统文化蕴含着很多化学知识，下列说法正确的是A. 《本草图经》记载：“盖此矾色绿，味酸，烧之则赤”，绿矾能电离出+H，故“味酸”B. 《本草纲目》中“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”中的“碱”是烧碱C. 《煮盐歌》记载“风干日曝盐味加，始灌潮波流成卤”，该过程涉及的物质分离操作为蒸馏D. 《医学入门》记载提纯铜绿的方法：“水洗净，细研水飞，去石澄清，慢火熬干”。

文中涉及的操作方法是洗涤、溶解、过滤、蒸发【答案】D【解析】【详解】A．绿矾是硫酸亚铁晶体，亚铁离子水解使溶液呈酸性，而不是绿矾能电离出+H，A错误；B．草木灰的主要成分是碳酸钾，因此“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”中的“碱”是碳酸钾，B错误；C．“风干日曝盐味加，始灌潮波流成卤”，该过程涉及的是蒸发，而不是蒸馏，C错误；D．“水洗净，细研水飞，去石澄清，慢火熬干”，文中涉及的操作方法是洗涤、溶解、过滤、蒸发，D正确；答案选D。

2. 下列对于化学反应方向说法不正确的是A. 自发进行的化学反应的方向，应由焓判据和熵判据的复合判据来判断B. 某些非自发的反应可以通过改变条件使其成为自发反应C. 知道了某过程有自发性之后，则可确定该过程是否一定会发生2NaCl(s)=2Na(s)+Cl(g)的ΔH>0,ΔS>0D. 一定温度下，反应2【答案】C【解析】【详解】A．自发进行的化学反应的方向，应由吉布斯自由能即焓判据和熵判据的复合判据来判断，A正确；B．一定条件下某些非自发的反应可以通过改变温度等条件使其成为自发反应，B正确；C．某过程有自发性是在一定条件下，如低温自发、高温自发，但不可确定该过程是否一定会发生，C错误；2NaCl(s)=2Na(s)+Cl(g)是熔融氯化钠的电解，是吸热反应，ΔH>0，而反应D．反应2前后气体分子数增多，是熵增加的过程，ΔS>0，D正确；答案选C。

2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。

2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。

2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.52.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.23.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.246.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于17.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.758.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.3010.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.13211.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.5【正确答案】：C【解析】：由复数模公式可解决此题．【解答】：解：由复数z=2-i，得|z|= $\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$ ．故选：C．【点评】：本题考查复数模的运算，考查数学运算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：利用导数的公式求导即可．【解答】：解：$f'(x)=\frac{2}{x}+2x\bullet f'(1)$ ，所以f'（1）=2+2f'（1），解得f'（1）=-2．故选：A．【点评】：本题考查常见函数的导数公式，属于基础题．3.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$【正确答案】：B【解析】：利用分布列的性质，列出方程求解即可．【解答】：解：由题意可知 $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+a$ =1，解得a= $\frac{1}{4}$ ．故选：B．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质的应用，是基础题．4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：直接利用相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】：解：对于（1），两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于±1，故（1）错误；对于（2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故（2）正确；对于（3），在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故（3）正确；对于（4），在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小，故（4）错误．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．5.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.24【正确答案】：C【解析】：根据题意，依次分析男生、女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将2名男生安排在两端，有A22=2种排法，② 将3名女生安排在中间三个位置，有A33=6种排法，则有2×6=12种排法；故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于1【正确答案】：A【解析】：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“x，y∈R，若|x-1|+|y-1|=0，则x=y=1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1，即x，y至少有一个不等于1．故选：A．【点评】：本题考查了反证法，反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.75【正确答案】：D【解析】：利用回归直线过样本中心点求出回归方程的斜率，再进行预测．【解答】：解： $\overline{x}=\frac{2+3+4+5}{4}=3.5，\overline{y}=\frac{3.5+4+4+4.5}{4}=4$ ，因为 $\overline{y}=\hat{b}\overline{x}+2.95，\;\\;即4=3.5\hat{b}+2.95$ 即：$4=3.5\hat{b}+2.95$ ，解得 $\hat{b}=0.3$ ，所以回归方程为 $\hat{y}=0.3x+2.95$ ，2021年为第6年，所以当x=6时， $\hat{y}=0.3×6+2.95=4.75$ ．故选：D．【点评】：本题考查线性回归方程的求解及其预测功能，属于基础题．8.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$【正确答案】：D【解析】：先利用正态分布对称性，求出抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为$\frac{1}{2}$ ，然后在利用二项分布的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意可知，数学成绩近似地服从正态分布N（96，52），所以抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，故所求概率为 ${C}_{6}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(1-\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}$ ．故选：D．【点评】：本题考查了正态分布的性质以及二次分布概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.30【正确答案】：D【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，② 将分好的3组安排到3个班级，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，有C42-1=5种分组方法，② 将分好的3组安排到3个班级，有A33=6种安排方法，则有5×6=30种分配方法，故选：D．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.132【正确答案】：C【解析】：列出顶点数与多边形边数，分析归纳出变化规律，从而解得．【解答】：解：由题意可得第n个图形顶点数1 3+3×3=122 4+4×4=203 5+5×5=304 6+6×6=425 ……6 ……7 ……8 10+10×10=110【点评】：本题考查了数据的分析能力及归纳推理能力，属于中档题．11.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]【正确答案】：D【解析】：对f（x）求导得f′（x）=3x2-3，求得其最大值点，再根据f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，求出a的取值范围．【解答】：解：因为函数f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=-1时，f（x）取得最大值，又f（-1）=f（2）=2，且f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，所以2a＜-1＜3-a2≤2，解得-2＜a≤-1，所以实数a的取值范围是（-2，-1]．故选：D．【点评】：本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]【正确答案】：C【解析】：利用分段函数的解析式，当$x≤\frac{1}{2}$ 时， $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），由导数研究h （x）的性质，得到当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，结合题意可知， $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，求解即可得到m的取值范围．【解答】：解：函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ，当$x≤\frac{1}{2}$ 时，由8x-m=0，解得 $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，由xe x-2mx+m=0，解得 $m=\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），则 $h'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)^{2}}\bullet {e}^{x}$ ，当 $\frac{1}{2}＜x＜1$ 时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，又h（1）=e，所以当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，由于f（x）在R上有三个零点，所以 $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，解得m≤4，综上所述，m的取值范围为（e，4]．故选：C．【点评】：本题考查了分段函数的理解与应用，函数与方程的应用，解题的关键是对分段函数分类讨论，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．【正确答案】：[1]2 $\sqrt{3}$【解析】：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为．【解答】：解：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为$\frac{|1+1+1+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}$ =2 $\sqrt{3}$ ．故答案为：2 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查类比推理，考查数学运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] $\frac{1}{4}$【解析】：由题意m，n在所给的数值取的方法及满足条件的求法分别求出，进而求出其概率．【解答】：解：由题意，任取m，n的方法有A ${}_{4}^{2}$ =4×3=12，双曲线的焦点在x轴上的取法有：C ${}_{3}^{1}$ ×1=3，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为： $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$ ；故答案为： $\frac{1}{4}$ ．【点评】：本题考查双曲线的性质及古典概率的求法，属于基础题．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．【正确答案】：[1]150【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算“不考虑0不能在首位的限制”的六位数数目，再排除其中“0在首位”的六位数数目，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，先不考虑0不能在首位的限制，用数字2，0，2，1，7，1组成六位数，有C62C42A22=180个六位数，其中0在首位的六位数，有C52C32=30个六位数，则有180-30=150个不同的六位数；故答案为：150．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：将关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，转化为a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，构造函数f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），利用导数研究f （x）的取值范围，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），则f'（x）= $\frac{(x+2)({x}^{2}{e}^{x}-1)}{x}$ ，又y=x2e x在（0，+∞）上单调递增，设x0为方程x2e x-1=0的根，即x0满足 ${{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}=1$ ，所以 ${e}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{-2}$ ，两边同时取对数，可得x0=-2lnx0，因为x＞0，x+2＞0，故当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，且当x→0时，f（x）→+∞，又 $f({x}_{0})={{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}-2ln{x}_{0}-{x}_{0}=1-2ln{x}_{0}-{x}_{0}$ =1+x0-x0=1，所以当a≥1时，a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，即关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．【正确答案】：【解析】：首先把z化成a+bi的形式（Ⅰ）由a=0且b≠0可解决此问题；（Ⅱ）由ab＞0可解决此问题．【解答】：解： $z=3+i+\frac{6m}{1-i}=3+i+\frac{6m(1+i)}{(1-i)(1+i)}=(3+3m)+(1+3m)i$（Ⅰ）当复数z是纯虚数时，有 $\left\{\begin{array}{l}3+3m=0\\1+3m≠0\end{array}\right.$ ，解得m=-1．所以当实数m=-1时，复数z是纯虚数．（Ⅱ）当表示复数z的点位于第一、三象限时，有（3+3m）（1+3m）＞0，解得m＜-1或$m＞-\frac{1}{3}$ ，所以当实数$m∈({-∞，-1})∪({-\frac{1}{3}，+∞})$时，表示复数z的点位于第一、三象限．【点评】：本题考查复数的代数表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）写出二项式的通项公式，根据题意可得关于m的方程，求解即可；（Ⅱ）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．【解答】：解：（Ⅰ）展开式的通项为： ${T_{r+1}}=C_m^r{({x^2})^{m-r}}{({2{x^{-\frac{1}{2}}}})^r}=C_m^r⋅{2^r}⋅{x^{2m-\frac{5}{2}r}}$ ，依题可得：$C_m^2⋅{2^2}=C_m^{m-2}⋅{2^{m-2}}⋅\frac{1}{8}$ ，解得m=7．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为${T_{r+1}}=C_7^r⋅{2^r}⋅{x^{14-\frac{5}{2}r}}$ ，当r=0，2，4，6时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为：${T_1}=C_7^0⋅{2^0}⋅{x^{14}}={x^{14}}$，${T_3}=C_7^2⋅{2^2}⋅{x^{14-5}}=84{x^9}$ ，${T_5}=C_7^4⋅{2^4}⋅{x^{14-10}}=560{x^4}$ ，${T_7}=C_7^6⋅{2^6}⋅{x^{14-15}}=448{x^{-1}}$ ．【点评】：本题考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用数列的递推关系式，通过n的取值，求解数列的前几项即可．（Ⅱ）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}满足 ${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．n=1时， ${a_2}=\frac{1}{3}$ ，n=2时，解得 ${a_3}=\frac{2}{7}$ ，n=3时，解得${a_4}=\frac{1}{4}$ ．（Ⅱ）猜想： ${a_n}=\frac{2}{n+4}$ ．证明：① 当n=1时， ${a_1}=\frac{2}{5}=\frac{2}{1+4}$ ，猜想成立；② 假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即 ${a_k}=\frac{2}{k+4}$ ．那么，依题可得${a_{k+1}}=\frac{2{a_k}}{{a_k}+2}=\frac{2⋅\frac{2}{k+4}}{\frac{2}{k+4}+2}=\frac{2}{k+5} =\frac{2}{(k+1)+4}$ ．所以，当n=k+1时猜想成立．根① 和② ，可知猜想对任何n∈N*都成立．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，是中档题．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-5x+2lnx，定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{2{x^2}-5x+2}{x}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0，解得 $x=\frac{1}{2}$ ，或x=2，当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=-6+2ln2．（Ⅱ）函数f（x）定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-(a+4)+\frac{2a}{x}=\frac{2{x^2}-(a+4)x+2a}{x}=\frac{(2x-a)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0得 $x=\frac{a}{2}$ 或x=2，① 若a≤0，则当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．② 若0＜a＜4，即 $0＜\frac{a}{2}＜2$ ，则当$x∈({0，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({\frac{a}{2}，2})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，③ 若a=4，即 $\frac{a}{2}=2$ ，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，④ 若a＞4，即 $\frac{a}{2}＞2$ ，则当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({2，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当$x∈({\frac{a}{2}，+∞})$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上：当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；当0＜a＜4时，f（x）的单调递增区间是 $({0，\frac{a}{2}})$ ，（2，+∞），递减区间是$({\frac{a}{2}，2})$ ；当a=4时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；当a＞4时，f（x）的单调递增区间是（0，2）， $({\frac{a}{2}，+∞})$，单调递减区间是$({2，\frac{a}{2}})$ ．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件完成列联表，求出K2，即可判断能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】：解：（Ⅰ）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人故列联表为：40×60)}^2}}{100×60×80×80}=\frac{32}{3}=10.667＞7.879$ ．故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，$P(ξ=2)=\frac{C_6^2⋅C_4^4}{C_{10}^6}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$ ，$P(ξ=3)=\frac{C_6^3⋅C_4^3}{C_{10}^6}=\frac{80}{210}=\frac{8}{21}$ ，$P(ξ=4)=\frac{C_6^4⋅C_4^2}{C_{10}^6}=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$ ，$P(ξ=5)=\frac{C_6^5⋅C_4^1}{C_{10}^6}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$ ，$P(ξ=6)=\frac{C_6^6⋅C_4^0}{C_{10}^6}=\frac{1}{210}$ ．∴ξ的分布列为$E(ξ)=2×\frac{1}{14}+3×\frac{8}{21}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{8}{70}+6×\frac{1}{210}=3. 6$ ．【点评】：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求导得f'（x）=4x+lna，由导数的几何意义可得k切=f'（1）=0，解得a即可．（Ⅱ）g（x）-f（x）＜0恒成立，可转化为 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），判断h（x）的单调性，进而求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）依题可得f'（x）=4x+lna且f'（1）=0，∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，∴4+lna=0，∴ $a=\frac{1}{e^4}$ ．（Ⅱ）由g（x）-f（x）＜0，可得ae2x lnx-（2x2+xlna）＜0，整理，得 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），∵ $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ ，令 $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}=0$ ，得x=e，∴当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减．又当x∈（0，1）时， $h(x)=\frac{lnx}{x}＜0$ ，∴h（x）＜h（ae2x），∴只需x＜ae2x，即 $a＞\frac{x}{e^{2x}}$ ，设 $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}$ ，则 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}$ ，令 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}=0$ ，得 $x=\frac{1}{2}$ ，∴当$x∈({0，\frac{1}{2}})$ 时，H'（x）＞0，H（x）单调递增，当$x∈({\frac{1}{2}，1})$ 时，H'（x）＜0，H（x）单调递减．∴ $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}≤\frac{1}{2e}$ ，∴ $a＞\frac{1}{2e}$ ，∴a的取值范围为（ $\frac{1}{2e}$ ，+∞）．【点评】：本题考查导数的综合应用，不等式恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。