天津市河西区2020年高三数学二模数学试卷

A． B． C． D．2
3．如图所示，程序框图的输出结果是（ ）
A． B． C． D．
4．设 是公比为的等比数列，则“”是“ 为递增数列”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
6．设 ， ， ，则 （ ）
（1）求椭圆的标准方程及离心率 ；
（2）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ，求直线 的斜率的取值范围.
20．若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点．设函数 ．
（1）若函数 在 上无极值点，求 的取值范围；
（2）求证：对任意实数 ，在函数 的图象上总存在两条切线相互平行；
（3）当 时，若函数 的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问；这样的平行切线共有几组？请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先求 ，再求交集.
【详解】
因为 所以 ，
因此 ，选C.
【点睛】
本题考查集合补集与交集，考查基本求解能力，属基础题.
2．A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【区级联考】天津市河西区2020-2021学年高三第二学期总复习质量调查（二）数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．若变量 满足约束条件 则 的最小值等于（）

2020年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2} B．{1，3} C．{3} D．{1，2，3}2．（2x﹣）4的展开式中的常数项为（）A．6 B．﹣6 C．24 D．﹣243．已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，则下列说法正确的是（）A．p是假命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”B．p是真命题；￢p“不存在x0∈[1，+∞），使得（log23）＜1”C．p是真命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”D．p是假命题；￢p“任意x∈（﹣∞，1），都有（log23）x＜1”4．已知定义在R上的偶函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．（﹣，）C．（，）D．（﹣，）5．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．46．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣17．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜48．如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在边长为2的正方形A′B′C′D′的边A′B′和A′D′上移动，则的最大值是（）A．2 B．1+C．πD．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．若圆C的方程为：（θ为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为．（极角范围为[0，2π））13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=．14．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=tan（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（）=3，求tan2α的值．16．长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．17．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由．18．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．19．已知直线l n：y=x﹣与圆C n：x2+y2=2a n+n交于不同的两点A n，B n，n∈N*．数列{a n}满足：a1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）记数列{a n}的前n项和为S n，在（Ⅱ）的条件下，求证：对任意正整数n，＜2．20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx．（m∈R）（1）当m=1时，求过点P（0，﹣1）且与曲线y=g（x）﹣（x﹣1）2相切的切线方程．（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；（3）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且a＜b，记[x]表示不大于x的最大整数，试比较sin与cos（[g（a）[g（b）]的大小．2020年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2} B．{1，3} C．{3} D．{1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】列举出全集U中的元素，根据B的补集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵全集U={x∈Z|1≤x≤5}={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，∴B={3，4，5}，则A∩B={3}．故选：C．2．（2x﹣）4的展开式中的常数项为（）A．6 B．﹣6 C．24 D．﹣24【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得，二项展开式的通项为T r+1=（2x）4﹣r（﹣）r，令x的幂指数为0，求出r代入即可．【解答】解：由题意可得，二项展开式的通项为T r+1=（2x）4﹣r（﹣）r=（﹣1）r•24﹣r x4﹣2r令4﹣2r=0可得r=2∴T3=4×=24展开式中的常数项为24．故选：C．3．已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，则下列说法正确的是（）A．p是假命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”B．p是真命题；￢p“不存在x0∈[1，+∞），使得（log23）＜1”C．p是真命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”D．p是假命题；￢p“任意x∈（﹣∞，1），都有（log23）x＜1”【考点】特称命题；命题的否定．【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题p的真假，再根据命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，因为log23＞1，所以（log23）≥1成立，故命题p为真命题，则￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”故选：C4．已知定义在R上的偶函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，）B．（﹣，）C．（，）D．（﹣，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，则由f（2x﹣1）＜f（），可得﹣＜2x﹣1＜，求得＜x＜，故选：A．5．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线左焦点坐标与抛物线准线之间的关系建立方程条件，结合双曲线的离心率的公式进行计算即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则a2=3，b2=，c2=3+，双曲线的左焦点F（﹣c，0），抛物线的准线为x=﹣，∵双曲线C1的左焦点在抛物线C2的准线上，∴﹣=﹣c，即=c，则c2=，即3+=，即=3，则=1，则p=4，即a2=3，c2=3+=3+1=4，则a=，c=2，即离心率e===，故选：C6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣1【考点】正弦定理；三角形的面积公式．【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵b=2，B=，C=，∴由正弦定理=得：c===2，A=，∴sinA=sin（+）=cos=，则S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1．故选B7．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设f（x）=2x+x，从而2x＞a﹣x⇔f（x）＞a，根据题意便知x＞1得不到f（x）＞a，而f（x）＞a能得到x＞1，并且能知道函数f（x）为增函数，并且有f（x）＞3时，x ＞1，从而得出a＞3．【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．8．如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在边长为2的正方形A′B′C′D′的边A′B′和A′D′上移动，则的最大值是（）A．2 B．1+C．πD．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】令∠A'AD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，由二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：如图以A'为坐标原点，A'B所在直线为x轴，建立直角坐标系，令∠A'AD=θ，由于AD=1，故A'A=cosθ，A'D=sinθ，如图∠BAx=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，当θ=时，的最大值是的最大值是2．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为0.03．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率为1，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03．故答案为：0.03．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设纯虚数z=mi（m≠0），代入并整理，由虚部等于0求得m的值，则答案可求．【解答】解：设z=mi（m≠0），则=．∵是实数，∴2+m=0，m=﹣2．∴z=﹣2i．故答案为：﹣2i．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣6．【考点】循环结构．【分析】根据题意，i、S的初始值分别为1，0．该程序的意图是：当i≤3时，用（﹣1）i•i2+S 值代替S，直到i=4时输出S的值，由此不难得到本题的答案．【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步；②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值故答案为：﹣612．若圆C的方程为：（θ为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为（）．（极角范围为[0，2π））【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化参数方程为普通方程求出圆心的直角坐标，进一步可得极坐标．【解答】解：由，得圆的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心的直角坐标为（1，1），化为极坐标是（）．故答案为：（）．13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=﹣1．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】解：因为BD⊥AB，四边形ABDC内接于圆，所以AC⊥CD，又BD=CD，可得：AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），由AE=2，可得：AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．故答案为：﹣1．14．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=tan（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（）=3，求tan2α的值．【考点】正切函数的图象．【分析】（Ⅰ）由条件根据f（x）=tan（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，求得ω的值，可得函数的解析式，从而求出它的定义域．（Ⅱ）由条件求得tanα=，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=tan（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，所以，=，解得ω=2．令2x+≠kπ+，k∈Z，x≠kπ+，所以f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．（Ⅱ）因为f（）=3，即tan（α+）=3=，∴tanα=，∴tan2α==．16．长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出A，B班样本数据的平均值，估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，为“过度用网”的概率是，从而求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可写出ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为（9+11+13+20+24+37）=19，由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；B班样本数据的平均值为（11+12+21+25+27+36）=22，由此估计B班学生每周平均上网时间22小时．…（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为P=═．…（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==．ξ的分布列是：ξ0 1 2 3 4PEξ=0×+1×+2×+3×+4×=．…17．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接FN，证明FN∥AC，然后利用直线与平面平行的判定定理证明AC∥平面DEF．（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PBC的法向量，平，通过向量的数量积求解二面角A﹣BC﹣P的大小．（Ⅲ）设存在点Q满足条件．设，通过直线BQ与平面BCP所成角的大小为，列出关系式，求出λ，然后求解FQ的长．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC中点，所以FN∥AC，因为FN⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF…（Ⅱ）如图以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz．…则．设平面PBC的法向量为，则，即，解得，令x=1，得，所以．…因为平，所以，由图可知二面角A﹣BC﹣P为锐二面角，所以二面角A﹣BC﹣P的大小为．…（Ⅲ）设存在点Q满足条件．由．设，整理得，，…因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，所以，…则λ2=1，由0≤λ≤1知λ=1，即Q点与E点重合．故在线段EF上存在一点Q，且．…18．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．19．已知直线l n：y=x﹣与圆C n：x2+y2=2a n+n交于不同的两点A n，B n，n∈N*．数列{a n}满足：a1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）记数列{a n}的前n项和为S n，在（Ⅱ）的条件下，求证：对任意正整数n，＜2．【考点】数列的应用；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由条件利用直线和圆的位置关系、等比数列的性质，求得=2，可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n==，T n=+++…+，用错位相减法进行数列求和，可得T n的值．（Ⅲ）用裂项法花简条件可得=2（﹣），再用放缩法证明不等式，＜2成立．【解答】（Ⅰ）解：圆C n的圆心到直线l n的距离d n==，半径r n=，∴a n+1==﹣=2a n，即=2，又a1=1，所以数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，b n==，∴T n=+++…+，∴•T n=（+++…+）=+++…+，两式相减，得•T n=+++…+﹣=﹣，∴T n=1﹣．（Ⅲ）证明：因为a n=2n﹣1，所以S n==2n﹣1，∴===2（﹣），所以，=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2（1﹣）＜2．20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx．（m∈R）（1）当m=1时，求过点P（0，﹣1）且与曲线y=g（x）﹣（x﹣1）2相切的切线方程．（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；（3）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且a＜b，记[x]表示不大于x的最大整数，试比较sin与cos（[g（a）[g（b）]的大小．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求出曲线y=lnx，设切点为（x0，lnx0），这样曲线的切线的斜率为，所以能表示出过点P（0，﹣1）的切线方程，再根据切线过切点即可求出x0，从而求得切线方程；（2）求g′（x），解g′（x）≥0，通过讨论m即可求得该函数的单调增区间；（3）令g′（x）=0，便得2x2﹣2x+m=0，该方程的根便是a，b，且b=，（＜b ＜1），并通过求g′（b），判断g′（x）的符号，从而判断该函数在（，1）上的单调性，求得g（b）的取值范围，根据取值范围便能求得[g（b）]；用同样的办法求出[g（a）]，求出sin与cos[g（a）][g（b）]，即可比较二者的大小．【解答】解：（1）曲线方程为y=lnx，设切点为（x0，lnx0），由y′=，得切线的斜率k=，则切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x0）；∵切线过点P（0，﹣1），∴﹣1﹣lnx0=﹣1，即x0=1；∴所求切线方程为x﹣y﹣1=0．（2）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=2x﹣2+．令g′（x）＞0，并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0，对应一元二次方程的判别式△=4（1﹣2m）．①当△≤0，即m≥时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；②当0＜m＜时，函数g（x）的增区间为（0，），（，+∞）；③当m≤0时，函数g（x）的增区间为（，+∞）．（3）g′（x）=2x﹣2+，令g′（x）=0得2x2﹣2x+m=0，由题意知方程有两个不相等的正根a，b（a＜b），则解得0＜m＜，解方程得b=，则＜b＜1．又由2b2﹣2b+m=0得m=﹣2b2+2b，所以g（b）=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+（﹣2b2+2b）lnb；b∈（，1）．g′（b）=2b﹣2+（﹣4b+2）lnb+2﹣2b=﹣4（b﹣）lnb，当b∈（，1）时，g′（b）＞0，即函数g（b）是（，1）上的增函数；所以＜g（b）＜0，故g（b）的取值范围是（，0）．则[g（b）]=﹣1．同理可求0＜a＜，g（a）=a2﹣2a+1+（﹣2a2+2a）lna；a∈（0，），g′（a）=﹣4（a﹣）lna＜0，即函数g（a）是（0，）上的减函数；∴＜g（a）＜1，故g（a）的取值范围是（，1），则[g（a）]=﹣1或[g（a）]=0；当[g（a）]=﹣1时，sin＞cos（[g（a）][g（b）]）；当[g（a）]=0时，sin＜cos（[g（a）][g（b）]）．2020年7月22日第21页（共21页）。

天津市河西区2020届高三数学二模试题（含解析）一､选择题1.设集合{}24M x x =≤，集合{}12N x x =≤≤，则MN =（ ）A. {}21x x -≤< B. {}2,1,0-- C. {}2x x ≤- D. {}02x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M ，N ，根据补集运算求解即可. 【详解】{}24[2,2]M x x =≤=-，{}12N x x =≤≤，[2,1)MN ∴=-，故选：A【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于容易题.2.设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分而不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系，即可容易判断充分性和必要性. 【详解】因为对立一定互斥，互斥不一定对立. 故命题p 是命题q 的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及对立事件和互斥事件的联系，属综合基础题. 3.已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程为ˆˆ0.95yx a =+，则 a 的值为（ ） A. 0.325 B. 0C. 2.2D. 2.6【答案】D 【解析】 【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，【详解】解：由题意，013424x +++==，2.2 4.3 4.8 6.74.54y +++==，∴样本中心点为()2,4.5，数据的样本中心点在线性回归直线0.95y x a =+上，4.50.952a ∴=⨯+，∴ 2.6a =，故选：D【点睛】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．4.已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -= C. 221916y x -=D. 221169y x -=【答案】C 【解析】【分析】根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得,,a c b ，则方程得解. 【详解】因为220x y =的焦点为()0,5，故双曲线的焦点在y 轴上，故设双曲线方程为22221y x a b-=，则5c =；由双曲线定义知：26a =，解得3a =；故可得4b =；则双曲线方程为：221916y x -=.故选：C.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题.5.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，2223163()c S b a =+-，则tan B =（ ）A.23B.32C.43D.34【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由2223163()c S b a =+-， 则22233316c a b S +-=， 即132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯， 所以3cos 4sin B B =，且cos 0B ≠， 所以3tan 4B =. 故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.6.已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ） A. π B. 2πC. 4πD. 6π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可.【详解】因为正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其体积为43，底面积为()222S ==所以棱锥高3422V h S ===, 即圆柱的高为2，因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点， 所以正方形的对角线为圆的直径2=22=2R ⨯，即1R = 所以圆柱的表面积为2222242hS R R πππππ=⨯+=+= 故选：C【点睛】本题主要考查了正四棱锥的体积，圆柱的表面积，考查了空间想象能力，属于容易题.7.函数()()1e2cos 1x f x x -=--的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】排除法，根据()1f 和()0f 的符号可排除B ，D ，再对函数求导，判断函数在()2,+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】解：()11f =-，∴舍去B ，()02cos10f e =->，∴舍去D ，2x >时，()()22cos 1x f x e x -=--，()()12sin 120x f x e x e -'∴=+-≥->，∴函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 8.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ） A. 64 B. 72 C. 96 D. 144【答案】C 【解析】 【分析】由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可. 【详解】根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有122C =种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=个符合条件的四位数;②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有122C =种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,安排在其他三个位置,有336A =种情况,则有23636⨯⨯=个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有4424A =个符合条件的四位数；则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数. 故选：C【点睛】本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.9.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键. 二､填空题10.设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________．5【解析】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --， 所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． 11.二项式6(2x x的展开式中常数项为 . 【答案】60 【解析】试题分析：二项式6(2x x的展开式的通项公式为()36662166·2?()?2?(1)r rrr r r rr T C x C x x---+==-,令3602r -=，解得4r =，所以该二项式展开式中常数项为46446·2?(1)60C --=，故答案为60.考点：二项展开式的通项公式.12.若直线34x y m +=与圆22x y m +=相切，则实数m =______.【答案】25 【解析】 【分析】根据直线和圆相切转化为点到直线的距离等于半径即可. 【详解】直线34x y m +=与圆()220x y m m +=>相切，∴圆心到直线的距离5m d -===平方可得225m m =，解得25m = 故答案为：25【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，直线与圆相切考，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于基础题.13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数x 的期望是______. 【答案】 (1). 715 (2). 35【解析】 【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；（2）先求得x 的分布列，再求其期望即可.【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有310120C =种可能； 若取出的3件中恰有1件是次品，有218256C C ⋅=种可能；故满足题意的概率56712015P ==； （2）根据题意，0,1,2x =，()38567012012015C P x ====；()2182567112012015C C P x ⋅====；()128281212012015C C P x ⋅====，故()72315155E x =+=. 故答案为：715；35.【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.14.已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为________________. 【答案】8 【解析】 【分析】由x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，于是2414x y x -+=+，可得()241494644x x y x x x x -++=+=++-++，再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解：x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，可知4x ≠-，∴2414x y x -+=+，∴()24149466844x x y x x x x -++=+=++-≥=++. 当且仅当3x =时取等号.∴x y +的最小值为8.故答案为：8.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 15.在ABC 中，点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，点G 为AN 与BM 的交点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则BC BA ⋅=______；AG AC ⋅=______.【答案】 (1). 1 (2). 83【解析】【分析】根据点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，可得G 为三角形ABC 的重心，再将AG 、MB 、AC 、用BA 、BC 表示，利用5AB =，1CB =可得答案.【详解】因为点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，所以G 为三角形ABC 的重心， 所以()2233AG AN BN BA ==-=21123233BC BA BC BA ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12MB BM BA BC =-=-+， 因为223AG MB CA CB ⋅=+，所以()22121133322BC BA BA BC BA BC CB ⎛⎫⎛⎫-⋅--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以221113636BC BA BC BA ⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭2222BA BC BA BC BC =+-⋅+，所以52BC BA ⋅=252BC ，所以21BC BA BC ⋅==，AG AC ⋅=()1233BC BA BC BA ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭221233BC BA BC BA =+-⋅12851333=+⨯-=. 故答案为：1；83.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的数量积，属于中档题. 三､解答题16.已知函数()()21cos cos 2f x x x x x R =-∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性； 【答案】（1）π.（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简()f x 为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；（2）先求得()f x 在R 上的单调增区间，结合区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即可求得结果. 【详解】（1）依题意，()211cos 21cos cos 2sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=-=+ ⎪⎝⎭ 所以2T ππω==.（2）依题意，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题. 17.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E 为1CC 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：1A E ⊥平面BDE ；（3）若F 为1BB 上的动点，使直线1A F 与平面BDE 所成角的正弦值是6，求DF 的长. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）3 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面BDE 的法向量，利用10AC n →→⋅=证明即可；（2）利用1//A E n →→即可证明；（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，由线面角公式可求出λ，即可利用向量的模求DF 的长.【详解】如图建立空间直角坐标系D xyz -，D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，1A (1，0，2)，1B (1，1，2)，1C (0，1，2)，1D (0，0，2)，E (0，1，1)（1）证明：设平面BDE 的法向量n →=(x ，y ，z )，DB →=(1，1，0)，DE =(0，1，1)由00n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得n →=(1，-1，1)， 又1AC →=(-1，1，2)，因为()11111210AC n →→⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以1AC n →→⊥，所以1//AC 平面BDE .（2）证明：由（1）可知n →=(1，-1，1)，1A E →=(-1，1，-1)，1A E n →→=-，所以1//A E n →→，所以1A E ⊥平面BDE .（3）设点F 的坐标为(1，1，λ)，1A F →=(0，1，2λ-)，设直线1A F 与平面BDE 所成角为α，则11sin A F nA F nα→→→→⋅===⋅， 解得1λ=，所以点F 的坐标为(1，1，1)，DF →=(1，1，1)，||DF →=所以DF 【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*232n n S a n N =-∈，数列{}nb 是公差为0的等差数列，且满足1116b a =，5b 是2b 和14b 的等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求10111i i i b b =+∑；（3）设数列{}n c 的通项公式122k n kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，求()()22*11ni i c n N =-∈∑； 【答案】（1）23nn a =⋅，21n b n =-.（2）1021.（3）111392322n n n ++⨯-⨯++ .【解析】 【分析】（1）利用两式()232n n S a =-(*N n ∈)， ()11232n n S a --=-(2n ≥)相减得到13nn a a -=(2n ≥)，再根据等比数列的通项公式可得n a ，根据()25214b b b =⋅求得等差数列{}n b 的公差，再根据等差数列的通项公式可得n b ；（2）根据1111122121n n b b n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭裂项求和可得结果； （3）由{}n c 的通项公式分析可知，数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，由此可得()()2221111nni i i i c a ==-=-∑∑，然后利用等比数列的前n 项和公式可得结果.【详解】（1）因为()232n n S a =-(*N n ∈)，所以()11232n n S a --=-(2n ≥)， 两式相减，整理得：13n n a a -=()2n ≥， 又当1n =时，()11232a a =-，16a =，所以13nn a a -=(2n ≥)， 所以{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，1123n n n a a q -=⋅=⋅.设等差数列{}n b 的公差为d ，因为11116b a ==，5b 是2b 和14b 的等比中项， 所以()25214b b b =⋅，即()()()2141113d d d +=++， 整理得220d d -=，解得0d =或2d =，因为公差不为0， 所以2d =，故()1121n b b n d n =+-=-.（2）因为()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以101111111111012335192121i i i b b =+⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭∑. （3）因为122kn kkn c a n ⎧≠=⎨=⎩()*k N ∈，23n n a =⋅， 所以数列{}n c 的前2n 项中，有n 项的值不为1，它们是112c a =，222c a =，332c a =，，2n n c a =，其余的项的值都为1，所以()()()()222211111123149431nn n niiiiii i i i c a ====-=-=⋅-=⋅-⋅+∑∑∑∑()()111191931313494344923191322n n nni i n n i i n n n ++==--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯++--∑∑.【点睛】本题考查了由n a 与n S 的关系式求n a ，考查了等比中项的应用，考查了裂项求和方法，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了分析问题的能力，属于较难题. 19.如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为)，⎛⎝⎭是椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上下顶点分别为A ，B ，()()000,0P x y x ≠是椭圆上异于A ､B 的任意一点，PQ y ⊥轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线:1l y =-于点C ，N 为线段BC 的中点. ①求证：OM MN ⊥； ②若MON △的面积为32，求0y 的值； 【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②45【解析】 【分析】(1)设椭圆方程为22221x y a b +=,由题意,得3c =,再由3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;(2)根据题意,求出直线AB 的方程、点M,C,N 的坐标,计算0OM NM →→⋅=,可得OM MN ⊥,再利用32MON S ∆=,结合椭圆方程,求解可得结果. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意，得3c =因为222a c b -=，所以223a b -=.又3⎛ ⎝⎭是椭圆上的一个点，所以2231413aa +=-， 解得24a =或234a =(舍去)，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）①解：因为()00,P x y ，()00x ≠，则()00,Q y ，且220014x y +=.因为M 为线段PQ 中点，所以00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭. 又()0,1A ，所以直线AM 的方程为()00211y y x x -=+. 因为00x ≠，∴01y ≠令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，有()00,121x N y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以()0000,1221x x NM y y →⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭.因此，()()()2220000000000012221441x x x x x OM NM y y y y y y →→⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪ ⎪--⎝⎭ ()()2220000000110441x x y y y y y ⎛⎫=+-+=-++= ⎪-⎝⎭. 所以OM MN ⊥. ②由①知，OM MN ⊥.因为1OM ==，ON ===所以在Rt MON中，MN =因此12MON S OM MN =⋅=△32=， 解得045y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，涉及向量运算，属于难题.20.已知函数()02xxf x e e sinx x e π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，，（为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的值域；（2）若不等式()(1)(1sin )f x k x x --对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：1213()122x e x ---+＞． 【答案】（1）[]0,1；（2）2112e k ππ-≤≤-；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为(1)xe k x ≥-对任意02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，构造函数()x g x e kx k =-+，对函数()g x 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.（3）令()1213()122x h x ex -=+--，对函数()h x 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可. 【详解】（1）因为()xxf x e e sinx =-，所以()((1sin cos )1)4cos )x x x xf x e e sinx x e e x x x π'=-+⎡⎤--==+⎢⎥⎣⎦， ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴3444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴42sin x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()0f x '≤， 故函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，函数()f x 的最大值为()1010f =-=；()f x 的最小值为22022f e e sin ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]0,1．（2）原不等式可化为)(1)(1sin (1)xe sinx k x x -≥-- …（*）， 因为1sin 0x -≥恒成立，故（*）式可化为(1)xe k x ≥-． 令()xg x e kx k =-+，则()x g x e k '=-，当0k ≤时，()0xg x e k '=->，所以函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故()(0)10g x g k ≥=+≥，所以10k -≤≤；当0k >时，令()0xg x e k '=-=，得ln x k =，所以当(0,ln )x k ∈时，()0xg x e k '=-<；当(ln ,)x k ∈+∞时，()0xg x e k '=->．所以当2lnk π＜，即20k e π<<时，函数min ()(ln )2ln 0g x g k k k k ==->成立； 当2lnk π≥，即2k e π≥时，函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，2()022ming x g e k k πππ⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭，解得2212e e k πππ≤≤-综上，2112e k ππ-≤≤-．（3）令()1213()122x h x ex -=+--，则()132x h x e x -'=+-． 由1124133100244h e h e --⎛⎫⎛⎫''=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，＞，故存在01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=， 即 01032x ex -=-． 所以，当0(,)x x ∈-∞时，()0h x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>． 故当0x x =时，函数()h x 有极小值，且是唯一的极小值，故函数()0122min 000013313()()1()()122222x h x h x ex x x -==+--=--+-- 220013313()12222522x x ⎡⎤⎛⎫=---=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为01324x ，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22015313531()()022*******x ----=>>， 故()1213()1022x h x ex -=+-->， 即1213()122x e x ---+>．【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.。

2020年天津市河西区高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B=（）A. {6，9}B. {6，7，9}C. {7，9}D. {7，9，10}2.若变量x，y满足约束条件，则z=2x-y的最小值等于（）A. B. -2 C. D. 23.如图所示，程序框图的输出结果是（）A. 5B. 6C. 7D. 84.设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=x6.设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A. b＜a＜cB. c＜a＜bC. c＜b＜aD. a＜c＜b7.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A. [kπ-，kπ+]（k∈Z）B. [kπ，kπ+]（k∈Z）C. [kπ+，kπ+]（k∈Z）D. [kπ-，kπ]（k∈Z）8.在平行四边形ABCD中，||=2，||=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于H，则•的值（）A. 12B. 16C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.设z=1-i（i是虚数单位），则+=______．10.三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则=______．11.函数的最大值为______．12.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是______．13.若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是______．14.已知函数f（x）满足，f（x）=，其中k≥0，若函数y=f（f（x））+1有4个零点，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．16.在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c．（1）若c=2，且△ABC的面积等于，求cos（A+B）和a，b的值；（2）若B是钝角，且，求sin C的值．17.如图等腰梯形中∥，，且平面⊥平面，，，⊥，为线段的中点．（1）求证：直线∥平面；（2）求证：平面⊥平面；（3）若二面角的大小为45°，求直线与平面所成角的正切值．18.数列{a n}是等比数列，公比大于0，前n项和S n（n∈N*），{b n}是等差数列，已知a1=，=+4，a3=，a4=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设{S n}的前n项和为T n（n∈N*）（i）求T n；（ii）证明：＜．19.设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知|OA|-|OF|=1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程及离心率e的值；（2）设过点A的直线l⊥椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．20.若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．设函数f（x）=x3-tx2+1（t∈R）．（1）若函数f（x）在（0，1）上无极值点，求t的取值范围；（2）求证：对任意实数t，在函数f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t=3时，若函数f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：U={n∈N|1≤n≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A={4，6，7，9，10}，则（∁U A）∩B={7，9}，故选：C．求出全集的元素，结合交集，补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集，交集的定义是解决本题的关键．2.答案：A解析：解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（-1，）．∴z=2x-y的最小值为2×（-1）-=-．故选：A．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：C解析：解：k=0时，S＜100是，S=20=1，k=1，k=1时，S＜100是，S=1+21=3，k=2，k=2时，S＜100是，S=3+22=7，k=3，k=3时，S＜100是，S=7+23=15，k=4，k=4时，S＜100是，S=15+24=31，k=5，k=5时，S＜100是，S=31+25=63，k=6，k=6时，S＜100是，S=63+26=127，k=7，当k=7时，S＜100不满足，输出k=7，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查等比数列的函数性质，属于基础题．根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：设数列的首项为，若为递增数列，则对恒成立，即或，所以由为递增数列，由为递增数列，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D．5.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线的焦点的位置，属于基础题.由双曲线的离心率为，分析可得e2===1+=，计算可得的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．【解答】解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则有e2===1+=，即=，即有=，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x；故选：C．6.答案：B解析：解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7.答案：C解析：解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又即sinφ＜0令k=-1，此时φ=，满足条件令2x∈[2kπ-，2kπ+]，k∈Z解得x∈故选：C．由若对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是解答本题的关键．8.答案：C解析：【分析】过点F作BC的平行线交DE于G，计算出GF=AD，求出和的向量，利用向量数量积的定义和公式计算•即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据条件求出和的表达式是解决本题的关键．【解答】解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF=EC=BC∴GF=AD，则△AHD∽△FHG,从而FH=AH，∴=，=+=+=-，则==-，=+=--，则•=（-）•（--）=2-•- 2=--=-=，故选：C．9.答案：2+2i解析：解：∵z=1-i，∴+=．故答案为：2+2i．把复数z代入+，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．10.答案：解析：解：如图，三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．11.答案：+解析：解：函数的导数为f′（x）=1-2sin x，由1-2sin x=0，解得x=∈[0，]，当x∈[0，]时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈[，]时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x=处取得极大值，且为最大值+．故答案为：+．求出f（x）的导数，令导数为0，可得极值点，求出单调区间，可得极大值，且为最大值．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．12.答案：x+y-=0解析：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线的斜率为k=-1，∴设直线l方程为y=-x+b，即x+y-b=0，∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d==1，解之得b=±当b=时，可得切点坐标（-，-），切点在第三象限；当b=-时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=不符合题意，可得b=-，则直线方程为x+y-=0．故答案为：x+y-=0设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=-x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．13.答案：7+4解析：解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：[，+∞）解析：解：当k=0时，函数f（x）=的图象如下图所示：此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，则f（x）=，只有一解，不合题意，当0＜k＜时，函数f（x）=的图象如下图所示：此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，则f（x）=，或kf（x）+k=-1，只有三解，不合题意，当k≥时，函数f（x）=的图象如下图所示：此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，则f（x）=，或kf（x）+k=-1，有四解，满足题意，故满足条件的实数k的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）函数y=f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]=-1的解的个数，结合函数f（x）=，求解方程可得答案．本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键．15.答案：解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=．（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为=，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1-=．解析：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．16.答案：解（1）∵A+B+C=π，，∴A+B=π-C=由此可得：（2分）根据余弦定理，得c2=a2+b2-2ab cos C，∴a2+b2-ab=4，（4分）又∵△ABC的面积等于，即，∴ab×=，解之得ab=4．（5分）联立方程组，解之得a=2，b=2．（7分）（2）∵B是钝角，且∴（8分）（9分）因此，sin C=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=（12分）解析：（1）根据三角形内角和，算出A+B=π-C=，即可得到cos（A+B）=-．根据余弦定理，结合题中数据列式，化简得a2+b2-ab=4，由正弦定理关于三角形面积的公式算出ab=4，两式联解即可得到a=b=2；（2）根据B是钝角和，利用同角三角函数关系算出cos B=-；由算出，从而得sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=，结合三角形内角和与诱导公式即可算出sin C的值．本题给出三角形的一边和其对角，在已知三角形的面积情况下求其它两边的长，着重考查了三角函数的诱导公式、同角三角三角函数的基本关系、正弦定理的面积公式和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．17.答案：（I）证明：取DE的中点N，连接MN，CN．∵M，N分别是AE，DE的中点，∴MN∥AD，MN=AD，又BC∥AD，BC=AD，∴MN∥BC，MN=BC，∴四边形BCNM是平行四边形，∴BM∥CN，又BM⊄平面CDE，CN⊂平面CDE，∴BM∥平面CDE．（II）证明：∵平面ABCD⊥平面ADE，平面ABCD∩平面ADE=AD，AD⊥DE，∴DE⊥平面ABCD，又DE⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABCD．（III）解：由（I）知BM∥CN，故直线BM与平面ABCD所成角等于直线CN与平面ABCD 所成的角，由（II）知DE⊥平面ABCD，∴∠DCN为直线CN与平面ABCD所成的角，∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，DE⊥CD，∴∠ADC为二面角C-DE-A的平面角，即∠ADC=45°，在等腰梯形中，∵BC=3，AD=6，∠ADC=45°，∴CD=，在Rt△ADE中，∵AD=6，AE=4，N是DE的中点，∴DN=DE==，∴tan∠DCN===．∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为．解析：（I）取DE的中点N，连接MN，CN，证明四边形BCNM是平行四边形得出BM∥CN，故而BM∥平面CDE；（II）根据平面ABCD⊥平面ADE，AD⊥DE即可得出DE⊥平面ABCD，故而平面CDE⊥平面ABCD；（III）根据BM∥CN，DE⊥平面ABCD可知直线BM与平面ABCD所成角等于∠DCN，根据∠ADC=45°计算CD，求出DN即可得出tan∠DCN的值．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题．18.答案：解：（I）设等比数列{a n}的公比q＞0，，--2=0，解得q=．∴a n=．设等差数列{b n}的公差为d，∵a3==，a4==．∴2b1+8d=8，3b1+16d=16，解得b1=0，d=1，∴b n=n-1．（Ⅱ）（i）S n==1-{S n}的前n项和为T n=n---……-=n-=n-1+．（ii）证明：==-．∴=-+-+……+-=-＜．解析：（I）设等比数列{a n}的公比q＞0，，--2=0，解得q．可得a n．设等差数列{b n}的公差为d，由a3==，a4==．利用通项公式可得b n．（Ⅱ）（i）利用求和公式可得S n=1-可得{S n}的前n项和为T n═n-1+．（ii）由（i）可得：=-．利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：（1）∵椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，|OA|-|OF|=1，∴a-c=1，即a-=1，解得a=2，∴c=1，∴e==，椭圆的方程为+=1，（2）由已知设直线l的方程为y=k（x-2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0-2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0．△=（-16k2）2-4（3+4k2）（16k2-12）=144＞0．由根与系数的关系得2x1=，∴x1=，y1=k（x1-2）=，MH所在直线方程为y-k（x0-2）=-（x-x0），令x=0，得y H=（k+）x0+2k，∵BF⊥HF，∴•=（1-x1，-y1）•（1，-y H）=0，即1-x1+y1y H=1--•[（k+）x0+2k]，整理得：x0=≥1，即8k2≥3．∴k≤-或k≥解析：（1）根据椭圆的定义和几何性质可得a-=1，解得求出a的值即可．（2）由已知设直线l的方程为y=k（x-2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得•=（1-x1，-y1）•（1，-y H）=0，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20.答案：解：（1）由函数f（x）=x3-tx2+1，得f′（x）=3x2-2tx，由f′（x）=0，得x=0，或x=t，因函数f（x）在（0，1）上无极值点，所以t≤0或t≥1，解得t≤0或t≥．……………………………（4分）（2）方法一：令f′（x）=3x2-2tx=p，即3x2-2tx-p=0，△=4t2+12p，当p＞-时，△＞0，此时3x2-2tx-p=0存在不同的两个解x1，x2．……………………………………………………………………（8分）（方法二：由（1）知f′（x）=3x2-2tx，令f′（x）=1，则3x2-2tx-1=0，所以△＞0，即对任意实数t，f′（x）=1总有两个不同的实数根x1，x2，所以不论t为何值，函数f（x）在两点x=x1，x=x2处的切线平行．…………………………………………………………………8分）设这两条切线方程为分别为y=（3-2tx1）x-2+t+1和y=（3-2tx2）x-2+t+1，若两切线重合，则-2+t+1=-2+t+1，即2[-x1x2]=t（x1+x2），而x1+x2=，化简得x1x2=，此时=-4x1x2=-=0，与x1≠x2矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t，函数f（x）的图象总存在两条切线相互平行…………………（10分）（3）当t=3时，f（x）=x3-3x2+1，f′（x）=3x2-6x，由（2）知x1+x2=2时，两切线平行．设A（x1，-3+1），B（x2，-3+1），不妨设x1＞x2，过点A的切线方程为：y=（3-6x1）x-2+3+1…………………………………………………（11分）所以，两条平行线间的距离d=，化简得=1+9，…………………………………………（13分）令=λ（λ≥0），则λ3-1=9（λ-1）2，即（λ-1）（λ2+λ+1）=9（λ-1）2，即（λ-1）（λ2-8λ+10）=0，显然λ=1为一解，λ2-8λ+10=0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而=λ（λ≥0），x1＞x2，x1+x2=2，所以x1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组………（16分）解析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出t的范围即可；（2）假设平行，求出函数的导数，结合二次函数的性质得出矛盾，判断即可；（3）代入t的值，令=λ（λ≥0），问题转化为（λ-1）（λ2-8λ+10）=0，判断即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查直线的位置关系，是一道综合题．。