4三角函数教材分析

《三角函数教材分析》北京市第一0一中学 方明一、课标要求与说明（2017版）三角函数的内容是幂函数、指数函数、对数函数之后又一种函数类型，2017版课标中要求如下：三角函数是一类最典型的周期函数。

本单元的学习,可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三角函数构建数学模型,解决实际问题。

内容包括:角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。

(1)角与弧度了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性(参见案例3)。

(2)三角函数概念和性质①借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值。

（注：新教材侧重于先有性质再画图像）。

借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(2，πααπ±±的正弦、余弦、正切)。

②借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2]π上,正切函数在(,)22ππ-上的性质。

③结合具体实例,了解sin()ωϕ=+y A x 的实际意义；能借助图象理解参数,,ωϕA 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响。

(3)同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式: 22sin cos 1+=x x ；sin tan cos =xx x。

(4)三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义。

②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆)。

(5)三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型(参见案例4)。

案例3说明了引入弧度制的必要性，弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位；进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性。

课标强调用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质，几何直观指单位圆的对称性和三角函数线；诱导公式中既蕴含代数运算法则，也蕴含着三角函数的性质。

关于三角函数的性质，新教材侧重于先研究性质再画图像，这种研究过程和幂函数、指数函数、对数函数一致，有利于学生系统分析函数。

二、课时安排建议本章教学总课时21课时,具体安排如下7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广2课时7.1.2弧度制及其与角度制的换算1课时7.2任意角的三角函数7.2.1三角函数的定义1课时7.2.2单位圆与三角函数线1课时7.2.3同角三角函数的基本关系式2课时7.2.4诱导公式3课时7.3三角函数的性质与图像（上一版教材“图像与性质”）7.3.1正弦函数的性质与图像2课时7.3.2正弦型函数的性质与图像3课时7.3.3余弦函数的性质与图像1课时7.3.4正切函数的性质与图像1课时7.3.5已知三角函数值求角1课时7.4数学建模活动：周期现象的描述1课时本章小结2课时其中：角的推广增加1课时；三角函数的定义减少1课时；同角三角函数的基本关系式增加1课时，正弦与正弦型的性质与图像总共增加2课时；数学建模增加1课时，小结增加1课时，共增加5课时。

从内容和顺序上看，最大的调整是三角函数的性质与图像（上一版教材是三角函数的图像与性质），新教材强调先性质后图像；三、教学内容地位、考纲分析作为基本初等函数，三角函数能很好地刻画周期现象，先简要分析本章教学内容的地位，了解高考要求。

1、地位与价值学生在学习了幂函数、指数函数和对数函数之后，对如何研究函数的性质和图像有了较为系统和整体的认识，是学生学习本章内容的基础。

通过本章内容的学习，学生借助单位圆和三角函数线建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。

学生能感受到化归思想、方程思想、数形结合的思想在三角函数学习中的应用，对于提高学生核心素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。

从三角函数的起源与应用来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。

从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。

这里，三角函数的定义、单位圆与三角函数线，三角函数的性质与图像都是C 级要求。

3、高考常见题型，理解考查方向，避免套路化；类型一：三角恒等变换、正弦型函数性质的研究；例1. （2018文16）已知函数2()sin cos f x x x x =+.(I) 求()f x 的最小正周期; (II) 若()f x 在区间[]3m π-,上的最大值为32, 求m 的最小值. 解答：(I) 111()cos 22sin(2)2262f x x x x π=-+=-+. 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. (II) 由(I)知1()sin(2)62f x x π=-+. 由题意3x m π-≤≤.所以522666x m πππ-≤-≤-. 要使得()f x 在[]3m π-,上的最大值为32, 即sin(2)6x π-在[]3m π-,上的最大值为1.所以262m ππ-≥, 即3m π≥. 所以m 的最小值为3π.常见思想方法与策略：（化归的思想） 这类题型体现了三角变换的目标和意义。

为什么要变形？因为条件中的函数表达式，不容易得到自变量x 的变化对函数值的影响；往哪个方向变形？高中阶段，熟悉的函数有幂、指、对、三角函数以及这些函数的复合函数，因此我们往往借助于变形（三角变换、换元法等），将复杂的形式转化为熟悉的函数结构，比如本题中的正弦型函数。

具体子三角变换中，常见的变形方向有：统一次数（幂）；统一角；统一函数名。

类型二：解三角形例2．（2019理15）在ABC 中, 3a =, 2b c -=, 1cos 2B =-. (I) 求b , c 的值; (II) 求sin()B C -的值.解答：(I) 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得 2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-.因为2b c =+, 所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-. 解得5c =. 7b =.(II) 由1cos 2B =-得sin 2B =. 由正弦定理得sin sin 14c C B b ==.在ABC 中, B ∠是钝角, 所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=常见思想方法与策略：（方程的思想） 什么叫解三角形？根据已知的几个元素，确定三角形其它元素的过程。

满足条件的三角形有多少个？ 得看已知元素的情况。

如果已知元素恰好是全等三角形的某个判定，则满足条件的三角形唯一； 否则，满足条件的三角形可能无解、唯一解、或多解。

为什么经常考查正弦定理和余弦定理？因为这两个定理能实现边角互化，将条件往某一方向集中，有利于我们判断已知元素的情况，从而确定满足条件的三角形解的情况。

本题中，已知在ABC 中, 3a =, 2b c -=, 1cos 2B =-，由第三个条件可以得到三边关系222122+-=-a c b ac ，三个未知数三个方程，,,a b c 唯一确定，满足条件的三角形唯一。

类型三：三角函数的性质（小题）例3．（2014理14）设函数 ()sin()(f x A x A ωϕωϕ=+,,是常数, 00)A ω>,>. 若 ()f x 在区间[]62ππ,上具有单调性, 且 2()()()236f f f πππ==-, 则 ()f x 的最小正周期为 ＿＿＿＿＿ .解答: 由 ()f x 在区间 []62ππ,上具有单调性, 且 ()()26f f ππ=- 知, 函数 ()f x 的对称中心为 (0)3π,,由2()()23f f ππ= 知, 函数 ()f x 的对称轴为直线 712x π=, 设函数 ()f x 的最小正周期为T , 所以 23T π≥,所以71234Tππ-=, 解得T π=.试题分析：（函数的观点，数形结合的思想）本题考查正弦型函数()sin()ωϕ=+f x A x 的性质，考查从图形和代数结构分析函数的性质。

()f x 在区间[]62ππ, 上具有单调性 说明半周期226ππ≥-T ，从而23π≥T函数值2()()23ππ=f f 是什么性质决定的呢？可能周期性、轴对称性或者两者兼有。

由之前周期的分析，得到函数图像712π=x 关于直线轴对称；同样的，两个函数值互为相反数是什么性质决定的呢？可能是中心对称性或者周期加中心对称或者轴对称加中心对称；由之前周期和单调性的分析，我们选择()()26f f ππ=-进行研究，因为这两点在同一单调区间上，能确定是中心对称性，一个对称中心为(,0)3π；正弦型函数相邻的对称轴和对称中心，水平距离是4T，从而求出周期。

上述分析体现了数与形的统一，从图形和代数两个角度认识三角函数的性质。

除了三角函数性质、三角变换和解三角形；三角函数的概念、三角函数线等也是高考考查的方向。

例4.（2017理12）在平面直角坐标系xOy 中, 角α与角β均以Ox 为始边, 它们的终边关于y 轴对称. 若1sin 3α=, 则cos()αβ-= ＿＿＿＿＿ .解答：7cos()cos cos sin sin 9αβαβαβ-=+=-，本题考查三角函数的定义 例5.（2018文7）在平面直角坐标系中, AB , CD , EF , GH 是圆 221x y +=上的四段弧(如图), 点P 在其中一段上, 角α以Ox 为始边, OP 为终边, 若 tan cos sin ααα<<, 则P 所在的圆弧是 ( )(A) AB (B) CD (C) EF (D) GH解答：C ，本题考查单位圆和三角函数线αyxαββBPO由上述分析确定三角函数章节教学的重点：（1）基本概念的理解与落实；（任意角、弧度制、三角函数定义、三角函数线）这些概念是三角函数特有的，有别于其它函数；（2）按照函数的知识逻辑进行教学；这种研究方式是所有函数共有的，体现了研究函数的一般方法。