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《点阵中的规律》一、谈话引入1、阿拉伯数字。
师：我们从小就学数数、用数字，那对于数字的发明和发展过程，你们都哪些了解？师：大家了解的信息真不少！阿拉伯数字的发明，使我们的记录和计算更加方便，但是在表现数字的特征方面，有时候图形会更加直观。
今天老师带来了一位图形朋友——点（老师在黑板上画点）。
2、介绍点阵，揭示课题。
师：（课件）不要小看这个小小的点，早在2000多年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯就是从这样一个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的点子图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。
（板书：点阵）师：今天，我们就跟随毕达哥拉斯的脚步一起走进点阵，共同探究点阵中的规律。
（板书课题：规律）二、探究正方形点阵中的规律1、例：（1）师：仔细观察，每个点阵分别有几个点子数？（课件：1 、4、 9、 16）（2）能用算式表示每个点阵的点子数吗？（3）学生按要求，独立完成题单1。
师：请拿出你的点阵1号题单。
先别忙做，请看活动要求。
课件：谁想来读要求。
听懂了要求就开始做。
2、汇报（1）横线分A、学生汇报：B、再请一个孩子来复述一下他的想法。
C、取名字师：他们是怎么观察的？可以取个什么名字？（板书：横线分）（2）竖线分A、学生汇报。
B、取名字师：他们是怎么观察的？可以叫做？（板书：竖线分）（3）横、竖线分小结：A、\师：这些点阵比较特殊，横看有1行，有1列；横看有2行，有2列；横看有3行，有3列。
行数和列数是一样的，所以我们称它为什么点阵？（板书：正方形点阵）B\、师：刚才，我们用横线分和竖线分的方法观察了正方形的点阵，第一个点阵是1×1，第二个点阵是2×2，第三个点阵是3×3，第四个点阵是4×4。
（边说边板书：1×1，2×2，3×3，4×4）第6个点阵用什么算式表示？第9个呢？第100个呢？第N个呢？（板书：N×N）那你有什么发现？（第几个正方形点阵就用几乘几）请孩子们一起说一次。
点阵中的规律一、正方形点阵1、横看或竖看：1=1×1 4=2×29=3×316=4×425=5×5每个正方形数都是一个数的平方。
2、从一角向外扩展来看：1=1 4=1+3 9= 1+3+5 16=1+3+5+7每一个正方形数都可以写成几个连续奇数的和，奇数的个数与点阵中的行数和列数相同。
3、斜着看：1=1 4=1+2+1 9=1+2+3+2+1 16=1+2+3+4+3+2+1每一个正方形数都可以写成从1开始连续加到点阵中的行数再递减加到1的连加算式。
（或“第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。
）25=5225=1+3+5+7+925=1+2+3+4+5+4+3+2+1二、长方形点阵1、出示长方形点阵。
2、这是一个什么点阵？你能够根据你发现的规律，把第五个点阵图画出来吗？3、谁能快速的告诉我，每一个点阵中有多少个点？4、你是怎么算出来的？5、这些数还是相同数相乘吗？有什么特点？6、你能象刚才研究正方形点阵一样，通过研究长方形点阵的特点，发现连续数相乘的积的特点吗？7、小结，长方形点阵中的规律：1×2 2×3 3×4 4×5 …… n×(n+1)三、三角形点阵学生观察并猜测：从上往下摆，每层依次增加1个；规律：1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+415=1+2+3+4+5 21=1+2+3+4+5+6 28=1+2+3+4+5+6+7 ······总结：从1开始连续自然数的和。
练一练：1、研究长方形的点阵规律（1）“试一试”········································（1×2）（）（）（）（1）“试一试”····················（1）（3）（6）（10）练习二1. 在第三个图形的“○”内填上适当的数。
一道点阵的探索规律题目的四种解法如下图是用棋子摆成的图案，摆第一个图案需要7枚棋子，摆第二个图案需要19枚棋子，摆第三个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第100个图案需要枚棋子。
【方法一】数棋子数，从棋子数的角度探索规律7，19，37，……那么，将每一个图案棋子数列成数式如下：第一个图案需要7枚棋子，7=1+3×2第二个图案需要19枚棋子，19=7+12=1+3×2+3×4第三个图案需要37枚棋子，37=19+18=1+3×2+3×4+3×6第100个图案需要棋子数为：1+3×2+3×4+3×6+…+3×200=1+3×（2+4+6+ (200)=1+3×202×50=30301第n个图案需要棋子数为：当n=100时，上式=3×1002+3×100+1=30301所以，摆第100个图案需要30301 枚棋子【方法二】第一种思路：数棋子数，第二个图案比第一个图案多12枚棋子，第三个图案比第二个图案多18个，……观察到图案都是正六边形，猜想到12=6×2，18=6×3，……每一个图案比前一个图案的棋子数多6的自然数倍。
第二种思路：观察点阵，每一个图案比前一个图案多一圈，先来单独研究点阵外面的一圈：观察点阵的棋子数分别是6，12，18，……6n.那么，将每一个图案棋子数列成数式如下：第一个图案需要7枚棋子，7=1+6×1第二个图案需要19枚棋子，19=7+12=1+6×1+6×2第三个图案需要37枚棋子，37=19+18=1+6×1+6×2+6×3第100个图案需要棋子数为：1+6×1+6×2+6×3+…+6×100=1+6×（1+2+3+ (100)=1+6×5050=30301第n个图案需要棋子数为：当n=100时，上式=3×1002+3×100+1=30301所以，摆第100个图案需要30301 枚棋子。
点阵中的规律_题型归纳
教学内容：新世纪小学数学教材（北师大版）五年级上册第五单元第四课时。
教学目标：
1、结合具体的图形，明确什么是“点阵”。
2、能在具体的观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。
3、发展归纳与概括的能力。
4、了解数学发展的历史，感受数学文化的魅力。
教学重点：直观感知“点阵”的有序排列。
教学难点：发现“点阵”中隐含的规律，体会图形与数的联系。
教材分析：
教材结合2000多年前希腊数学家们利用图形研究数的情境，先引导学生直观感知有序排列的点阵，再要求学生尝试用算式的方法研究给出的四个点阵，从而归纳出这四个点阵所隐含的规律。
然后利用知识的迁移特点，依次往后类推第五个点阵的图形画法及划分方法，让学生体会通过点阵研究数的形式是多种多样的。
教学思想：
教材设计本活动的目的旨在通过学生对生活中常见现象的观察与思考，发现在点阵中前后图形中点的变化规律，类推出后续图形中点的数量和排列规律，学会推理、归纳和概括的学习方法，体会数学学习中举一反三的教学思想。
教学准备：点阵图片、多媒体课件等。
教学过程：
活动一：交流课前搜集的资料信息
1、对于数字的发明和发展过程，你都有哪些了解？
如：我们现在使用的数字是哪个国家的人发明的？
最初人们是怎样计数的？
数字在使用过程中又增加了哪些功能？
你都了解数字的哪些特征？
……
2、阿拉伯数字的发明，是我们的记录和计算更加方便，然而在表现一些数字的特征方面，图形更加直观。
早在2000多年前，古希腊的数学家们就已经利用一些有序排列的点子图形来研究数，发现和总结数的一些特征，因此人们又叫它“点阵”。
活动二：研究点阵中的规律
1、认识“点阵”。
（1）出示有序排列的三个点阵，引导学生观察并思考：
下面三个点子图中各有几个点？在排列上有什么特点？
（三个点阵按1、4、9的顺序排列）
（2）你能不能尝试画出第四个图形、第五个图形？
学生独立思考并在小组内交流画法。
（16个点、25个点）
（3）像这样有序排列的点子图在数学上又叫它“点阵”。
点阵可以分为方形点阵、三角形点阵、螺旋点阵等几种形式。
2、探究规律。
（1）大家都能用数字来表示各个点阵中点的个数，能不能尝试用算式来表示点阵中点的个数，从中发现一些隐藏的规律？（小组内交流）
（2）展示：第一个——1×1=1
第二个——2×2=4
第三个——3×3=9
第四个——4×4=9
第五个——5×5=25
小结：每个点阵的点子数可以看作是相同的数字相乘。
（3）其实通过图形来研究数的形式是多种多样的。
请同学们仔细观察点阵中点的划分方法，你能发现什么规律？
（出示第五个点阵图，多媒体课件分别按照1个点、3个点、5个点……的递加规律演示）
（4）交流总结：
1 =1
1+3 =4
1+3+5 =9
1+3+5+7 =16
1+3+5+7+9 =25
小结：按照划分方法这个点阵的点子数可以看作是连续奇数的和。
（5）你还有哪些划分的方法？尝试说明理由。
（学生自由讨论交流）
活动三：延伸应用
教材第83页“试一试”中的1、2两题。
学生自主探索，讨论交流。
课堂总结
1、这节课你有什么收获？
2、除了以上方形点阵、三角形点阵以外，你还见过其他形式的点阵吗？课后继续调查、搜集并研究其规律。
随堂检测题（10分）
1、按下面的方法划分点阵中的点，并填写算式。
（图略）1=1 4=1+2+1 9= 16=
2、观察已有的几个图形，按规律画出下一个图形。
（图略）板书设计
点阵中的规律
第一个——1×1=1
第二个——2×2=4
第三个——3×3=9
第四个——4×4=9
第五个——5×5=25。
