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第6章 选择函数形式

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C语言程序设计 第六章 函数 试题及答案

C语言程序设计 第六章 函数 试题及答案
A)实参可以是常量、变量或表达式
B)形参可以是常量、变量或表达式
C)实参可以是任意类型
D)实参应与其对应的形参类型一致
参考答案:B
6.8以下正确的说法是。
A)定义函数时,形参的类型说明可以放在函数体内
B)return后面的值不能为表达式
C)如果函数的类型与返回值类型不一致,以函数类型为准
D)如果形参与实参的类型不一致,以实参类型为准
A)float型B)int型C)long型D)double型
参考答案：B
6.12 C语言规定,函数返回值的类型是由所决定。
A)return语句中的表达式类型
B)调用该函数时的主调函数类型
C)调用该函数是系统临时指定
D)在定义该函数时所指定的函数类型
参考答案：D
*6.13下面函数调用语句含有实参的个数为。
if(m!=-1) n=m;
}
printf("\nn=%d",n);
}
【1】A)k*10 B)k%10 C)k/10 D)k*10%10
【2】A)a2*10 B)a2 C)a2/10 D)a2%10
参考答案：【1】C【2】A
6.18以下是有关汉诺塔问题的程序段，若在main函数中有调用语句hanoi(3,'A','B','C');则符合程序段运行结果的选项是。
A-->C A-->C B-->C B-->C
A-->B A-->B A-->C A-->C
参考答案：C
6.19若用数组名作为函数调用的实参，传递给形参的是。
A)数组的首地址B)数组第一个元素的值
C)数组中全部元素的值D)数组元素的个数

初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质(4课时)

初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质(4课时)

初三下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质（4课时）一元复始，万象更新。

查字典数学网初中频道小编预备了九年级下册数学教学打算：第6章第2节二次函数的图象和性质(4课时)的相关内容，期望能够对大伙儿有关心。

教学目标【知识与技能】使学生明白得并把握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探究过程,明白得并把握函数y=a(x -h)2+k的性质,培养学生观看、分析、推测、归纳并解决问题的能力.【情感、态度与价值观】渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习适应.重点难点【重点】确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,明白得函数y=a(x-h) 2+k的性质.【难点】正确明白得函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.教学过程一、问题引入1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系?(函数y=x2+1的图象能够看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?(函数y=-(x+1)2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+ 1)2-1有哪些性质?(函数y=-(x+1)2-1的图象能够看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)二、新课教授问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗?师生活动:教师引导学生作图,巡视,指导.学生在直角坐标系中画出图形.教师对学生的作图情形作出评判,指正其错误,出示正确图形.解:(1)列表:xy=-x2y=-(x+1)2y=-(x+1)2-1-3--2-3-2-2---1-0-100--1--2-32-2--3--8-9(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.问题2:观看图象,回答下列问题.函数开口方向对称轴顶点坐标y=-x2向下x=0(0,0)y=-(x+1)2向下x=-1(-1,0)y=-(x+1)2-1向下x=-1(-1,-1)问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x 2的图象之间的关系吗?师生活动:教师引导学生认真观看上述图象.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.函数y=-(x+1)2-1的图象能够看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.函数y=-(x+1)2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗?师生活动:教师引导学生积极摸索,并适当提示.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.问题4:你能发觉函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗?师生活动:教师组织学生讨论,互相交流.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地点进行纠正,补充.当x-1时,函数值y随x的增大而增大;当x-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.三、典型例题【例】要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长?师生活动:教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.学生积极摸索、解答.指名板演,教师讲评.解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).由这段抛物线通过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,解得a=-,因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),当x=0时,y=2.25,也确实是说,水管的长应为2.25 m.四、巩固练习1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.【答案】函数y=2(x-1)2的图象能够看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y =2(x-1)2-2的图象.2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出那个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象能够看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).五、课堂小结本节知识点如下:一样地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y= ax2向上(或下)向左(或右)平移,能够得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要依照h、k的值来确定.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;(2)对称轴是x=h;(3)顶点坐标是(h,k).教学反思本节内容要紧研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清晰地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有紧密的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就能够得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y =a(x-h)2+k有两种平移方法:方法一:y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k方法二:y=ax2y=ax2+k单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

第6章-利率期限结构理论01

第6章-利率期限结构理论01

§6.2 收益率曲线的构建原理 证券提供的现金流总是离散的，理论上只能得到收益率曲线上有限个点。为了得到整条收益率曲线，主要有直 接法和间接法两种构建方式。 1．直接法 直接法：利用息票债券市场价格推导出隐含零息债券价格的方法。 假设条件：为了讨论问题方便，假定n个到期收益率恰可由n种零息债券的价格解出。
（6.2） 假设F是可逆的，即假设各种债券的支付之间不存在线性相关关系，（6.2）式可写为： 说明：推导出来的价格并不是真实的零息债券的市场价值，而是与市场价格保持一致的隐含的零息债券价格。
收益率曲线的构建：将所得的隐含的零息债券价格代入
1
yt,ti [B(t,ti )] ti t 1 即得t时刻发行的期限为 ti t 的零息债券的到期收益率 yt, ti 。
套期保值策略资产负债匹配的最重要策略是套期保值策略其基本思想是假定资产和负债受相同风险因素的影响如果能求出资产和负债与因素间的函数关系通过调整所持有资产的头寸可做到当风险因素变化时资产与负债的变化量大小相等但方向相反从而资产与负债构成的组合不受风险因素的影响
第二篇 利率期限结构与随机利率模型 第6章 利率期限结构理论
A．87.6 B．99.99 C．102.4 D．101.35 E．132.2 【答案】B 【解析】由零息票收益率曲线推导下一年的远期利率：
1
f1,1
1.082 1.07
1.0901
解得：f1,1 9.01% 。
利用下一年的期望利率9.01%，计算债券的预计价格，得：
p=109/1.0901=99.99（美元）
图6-2为通过计算得到的收益率绘得收益率曲线的散点图。其中横坐标为债券的到期时间，单位为年；纵坐标 为相应零息债券的到期收益率。

C语言函数篇讲解

C语言函数篇讲解

{ int i, j, k, t;
main()
for(i=0; i<9;i++)
{ int a[10], i;
{ k=i; for(j=i+1; j<10;j++)
值。在调用时，将实参的值赋给形参变量。
3. 实参与形参的类型应相同或兼容。如果类型不一
致，则将实参转换为和形参类型一致时再赋值。
例如：main( ) { int c; c=max(3.5，5+2);
printf(“Max is %d”,c);}
max(int x, int y)
{ int z;
z=x>y?x:y; return(z); }
说明: 1.使用用户定义函数时，要对函数进行声明。 2.如果函数的返回值类型为int，可以不用声明。
例：main( )
{float add(float x, float y); /*对被调函数声明*/
float a,b,c;
scanf(“%f,%f”,&a,&b);
c=add(a,b);
/*函数调用(函数表达式)*/
How do you do! ******************
说明：
1. 一个源程序文件由一个或多个函数组成，但必须有且仅 有一个main函数。
2. C程序的执行从main函数开始，调用其他函数后，流程 回到main函数，main函数结束整个函数的运行。
3. 由主函数调用其他函数，其他函数也可互相调用，但 不能调用main函数。同一个函数可以被一个或多个函 数调用任意多次。
printf(“Sum is %f”,c);
}
float add(float x, float y)

自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分

自考高等数学(一)第六章 多元函数微积分

第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。

即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。

空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。

二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。

特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。

2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。

例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。

【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。

x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。

3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。

这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。

柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。

（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。

6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。

2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。

设D是开集。

如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。

开区域连同它的边界一起称为闭区域。

3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。

C语言程序设计教案第6章21-24

C语言程序设计教案第6章21-24
选择排序以纸牌为例选择冒泡排序的执行过程，构造数据存储方式，通过动画与流程图展示算法设计思路，最后编程实现算法设计。指出两种排序的不同之处。
【问题】两种排序算法哪一种排序效率更高，高在什么地方？
6.2嵌套与递归设计与应用（0.5学时）
教学内容
（1）函数的嵌套。
（2）函数的递归设计与应用。
讲解思路
（1）函数的嵌套
二维数组作为函数参数：用实例来说明数组传递数据的重要作用。
【实践】编写程序实现（1）中的例题。
5.4模块化设计中程序代码的访问和应用实例（1学时）
教学内容
（1）模块化设计中程序代码的访问。
（2）应用实例。
讲解思路
（1）模块化设计中程序代码的访问举例说明用指针可以访问程序代码。
（2）应用实例。
计算器增加一个连续相加的功能。
(3)教师程序编写：让学生观摩程序的编写、运行及产生结果的过程，与知识点一一对应，加深理解。
(4)学生用手机C语言模拟器编写程序：题目与例题类似，但小有变化，让学生在设计中的错误。
(5)问答：就一些知识点的变化与学生进行问答互动。
(6)就（4）和（5）中同学们的表现给出部分平时分，为了鼓励同学们的参与积极性，答对者加2-3分。
（3）掌握模块间批量数据传递的方法，提高综合应用程序设计的能力。
重点：简单的排序算法、嵌套与递归设计与应用、模块间的批量数据传递。
难点：递归调用、学生成绩管理综合用例。
教学方法及手段
(1)课件：根据本节课程设计的内容及计划安，逐步展现知识点。
(2)板书：针对学生在学习和练习过程中出现的问题，进行补充讲解。调节课堂节奏，给学生思考的时间。
模块化设计中程序代码的访问
应用实例

Python课件PPT：第6章 函数


6.9.2 利用递归函数解决汉诺塔问题
6.9.3 防止栈溢出
使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算 机中，函数调用是通过栈（stack）这种数 据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈 就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减 一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以 ，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。
6.10 匿名函数
所谓匿名，即不再使用def语句这样标准的形式定义一 个函数。Python使用lambda创建一个匿名函数。
下面举个简单的例子。定义一个返回参数之和的函数。 def f(x,y): return x+y 用户的函数只有一个表达式，就可以使用lambda运算
符来定义这个函数。 f = lambda x, y: x + y
6.6 形参和实参
函数的参数分为形参和实参两种。形参出现 在函数定义中，在整个函数体内都可以使用 ，离开该函数则不能使用；实参再调用函数 时传入。
1. 形参与实参的概念 2. 参数的功能 3. 形参和实参的特点：
6.7 变量作用域
在函数之外定义的变量属于全局变量，用户 可以在函数内使用全局变量。例如：
>>>m = f1(-100,abs)
>>>m()
#需要对m()调用才能得到求绝对值的结果
6.9 递归函数
6.9.1 使用递归函数 6.9.2 利用递归函数解决汉诺塔问题 6.9.3 防止栈溢出
6.9.1 使用递归函数
递归是指在函数的执行过程中再次对自己进 行调用。例如：
def f() { y=f(); return y; }
6.4.2 关键字参数
用户可以直接设置参数的名称与其默认值，这种类型的参数属于 关键字参数。

计算机基础实训教程--第6章资料课件


6.6 打印工作表
• 当制作好工作表后，通常要做的下一步工 作就是把它打印出来。利用Excel 2007提供 的设置页面、设置打印区域、打印预览等 打印功能，可以对制作好的工作表进行打 印设置，美化打印的效果。本节将介绍打 印工作表的相关操作。
• 打印预览 • 打印输出
6.6.1 打印预览
• Excel 2007提供打印预览功能，用户可以通 过该功能查看打印后的实际效果，如页面 设置、分页符效果等。若不满意可以及时 调整，避免打印后不能使用而造成浪费。
• Excel 2007的工作界面 • 工作薄与工作表 • 工作表的基本操作 • 单元格的基本操作
6.1.1 Excel 2007的工作界面
• Excel 2007的工作界面主要由Office按钮、标 题栏、快速访问工具栏、功能区、编辑栏、 工作表格区、滚动条和状态栏等元素组成。
6.1.2 工作薄与工作表
• 公式的语法和运算符 • 运算符的优先级 • 公式的输入与引用
6.3.1 公式的语法
• 在Excel 2007中，公式具有以下基本特性： • 所有的公式都以等号开始。 • 输入公式后，在单元格中只显示该公式的
计算结果。 • 选定一个含有公式的单元格，该公式将出
现在Excel 2007的编辑栏中。
• 单击Office按钮，在弹出的菜单中选择【打 印】|【打印】命令，即可打开【打印内容 】对话框，如图6-74所示。在该对话框中， 可以选择要使用的打印机还可以设置打印 范围、打印内容等选项。设置完成后，在 【打印内容】对话框中单击【确定】按钮 即可打印工作表。
习题
1. 在【学生成绩统计】表中将所有学生的“ 语文”成绩按照从高到低顺序排列，如果“ 语文”成绩相同，那么按照“总成绩”， 从高到低排列。

古扎拉蒂《计量经济学基础》第6章


倒数模型
Yi
1
2(
1 Xi
)
ui
这一模型的特点：关于参数是线性的，但关
于变量是非线性的，所以从回归的角度看，这是
一个线性回归模型；当X趋于无穷大时，1/X趋于0，
而 Y则趋于β2。
一个例子：菲利普斯曲线
其中Y为通胀变化率，X为失业率，上半部 （较陡）表明，当失业率低于自然失业率时， 失业的单位变化（下降）引起的工资的变化率 （通胀）上升，其速度快于对应的在失业率高 于自然失业率时，失业的同样变化所引起的工 资下降（下半部较上半部平缓）。
yt 1 2 xt ut (绝对变化) R 2 0.67 ln yt 1 2 xt u（t 相对变化） R2 0.8
对数－线性模型
Yi 1 2 ln X i ui
X 变化一个百分比，Y的绝对变化量
2
Y X / X
Y
2 X
/
X
含义：Y的绝对变化（Y）等于2乘以X的相对变化。
（参数线性）
Yi
X e 2 ui 1i
ln Yi
ln 1
2
ln
Xi
ui
（参数线性）
Yi
X 2 1i
ui
ln Yi
ln(
1
X
i
2
ui )
（参数非线性）
运用OLS估计，假定：ln ui ~ i.i.d.N (0, 2 )
因此，在检验残差是否为正态时时，是对估计的残差 lnˆ ui
进行诊断，而不是对原始的残差。
要点与结论 1．有时一个回归模型并不明显包含截距项。 这样的模型被称为过原点回归。虽然估计这种模型 的代数方法很简单，但应小心使用这些模型。对于 这种模型，残差和是非零的；此外，通常计算的r2 不一定有意义。除非有很强的理论原因，否则还是 在模型中明显地引入一个截距为好。 2．因为单位和尺度是回归系数赖以解释的关 键，所以用什么单位和尺度来表达回归子和回归元 是很重要的。在经验研究中，研究者不仅要注明数 据的来源，还要声明变量是怎样度量的。

第6章逻辑斯蒂回归模型

probit[π ( x)] = α + β x
–其中probit变换是将概率变换为标准正态分布的 z −值， 形式为：
Logistic回归模型
–双对数变换的形式为：
f ( p ) = ln(− ln(1 − p ))
• 以上变换中以logit变换应最为广泛。 • 假设响应变量Y是二分变量，令 p = P(Y = 1) ,影响Y 的因素有k个 x1 ,L xk ，则称：
β • 其中， 0 , β1 ,L , β k 是待估参数。根据上式可以得到 优势的值： p β + β x +L+ β x
1− p
=e
0
1 1
k k
• 可以看出，参数 βi是控制其它 x 时 xi 每增加一个 单位对优势产生的乘积效应。 • 概率p的值： e β + β x +L+ β x
p=
0 1 1 k k
含有名义数据的logit
• 前例中的协变量为定量数据，logistic回归模型的 协变量可以是定性名义数据。这就需要对名义数 据进行赋值。 • 通常某个名义数据有k个状态，则定义个变量 M 1 ,L , M k −1 代表前面的k-1状态，最后令k-1变量均 为0或-1来代表第k个状态。 • 如婚姻状况有四种状态：未婚、有配偶、丧偶和 离婚，则可以定义三个指示变量M1、M2、M3， 用(1,0,0)、 (0,1,0) 、(0,0,1) 、(0,0,0)或(-1,-1,-1) 来对以上四种状态赋值。
G 2 = −2 ∑ 观测值[ln(观测值/拟合值)]
• 卡方的df应等于观测的组数与模型参数的差，较小的统计量的 值和较大的P-值说明模型拟合不错。 • 当至多只有几个解释变量且这些解释变量为属性变量，并且所 有的单元频数不少于5时，以上统计量近似服从卡方分布。
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1972-1991年美国实际GDP的增长 年美国实际GDP的增长： 图6.4 1972-1991年美国实际GDP的增长：半对数模型
• 瞬时与复合增长率。 • 增长模型 中的β2 给出瞬时（指一个时 点）的增长率而不是复合（指一个时期）增长率。 • 只需取β2 估计值的反对数，再减1，再乘以100%. • 对于该例，估计的斜率系数为0.00743。因此（ antilog(0.00743)-1）=(e^0.00743-1)=0.00746或0.746%。 • 因此，在该例中，劳务支出的复合增长率约为每季度0.746%， 略高于0.743%的瞬时增长率。这是由于复合效应所致。
例：劳务支出的增长率
• 根据增长模型，考虑表6.3中给出的劳务支出数据，得到回归结 果如下：
• 解释：1993年第1季度到1998年第3季度期间，劳务支出以（ 每季度）0.743%的速度增加。粗略的讲，这等于2.97%的年增 长率。 • 截距项7.7890=研究期初EXS的对数，所以取其反对数则得到 EXS期初值（1992年第4季度末）为2413.90（单位为10亿美 元）。 • 如图是方程给出的散点图。
• 若GPDI以10亿美元计算而GDP以百万美元计算：
• 仅X改变尺度w2 =1000，所以斜率系数及其标准差是（6.2.21 ）中的1/1000倍。 • 若GPDI以百万美元计而GDP以10亿美元计算：
• 如理论所示，X尺度不变，Y 按w1 改变，截距和斜率系数及其 标准差都是它们在（6.2.21）中的1000倍。
运用@定义变量： series lnexdur=@log(expdur) series lnpcex=@log(pcexp)
• 回归结果如下：
• 其中*表示p值极小。 • 如结果所示，EXDUR对PECX的弹性约为1.90 • 这表明，若个人消费支出提高1%，耐用品支出则提高约为 1.9%。 • 因此，耐用品支出很容易受到个人消费支出变动的影响。这就 是耐用品生产者总是关注个人收入和个人消费支出变动的原因 之一。
• 如果经典线性回归模型的假定均得到满足，则可用OLS法估计 （6.5.3）中的参数。令
• 其中 ， 。所得的OLS估计量 将分别是α和β2 的最优线性无偏估计量。
和
• 对数-对数模型一个使它普通应用的特点，是斜率系数β2 测度了 Ｙ对Ｘ的弹性，也就是由给定的Ｘ的百分比的变化引起的Ｙ的 百分比的变化。 • 比如说，Ｙ代表对某一商品的需求量，Ｘ代表其单位价格，则 β2 测度了需求的价格弹性。如图： • 图6.3(a)给出了需求量与价格的关系，6.3（b)给出了价格弹性 （- β2 ）的估计。
• 线性趋势模型。 • 有时研究者不去估计增长模型，而估计如下模型：
• 不做lnY对时间的回归，而是做Y对时间的回归。 • 该模型称为线性趋势模型（linear trend model），并且把时间 变量t取名为趋势变量（trend variable）。 • 趋势的意思，是一个变量的行为中一种持续上升或下降的运动。 • 如果上式中的斜率系数为正，则Y有一种上升趋势，如果它是负 的，则Y有一下降趋势。
• 考虑劳务支出数据，拟合线性趋势模型的结果如下：
怎样测度弹性： 6.5 怎样测度弹性：对数线性模型
• 考虑以指数回归模型命名的如下模型：
• 可表达为 • 如果写成 6.5.3） （6.5.3）
• 其中 ，这个模型就是对参数α和β2 为线性，并且对 变量Y和X的对数为线性，从而可用OLS回归来估计。 • 由于这一的线性性质，这种模型本称为对数-对数（log-log）， 双对数（double log）或对数线性(log-linear)模型。
第六章 双变量线性回归模型的 延伸
目
• • • • • • • • • 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
录
过原点回归 尺度与测量单位 标准化变量的回归 回归模型的函数形式 怎样测度弹性：对数线性模型 半对数模型：线性到对数与对数到线性模型 倒数模型 函数形式的选择 关于随机误差项的性质
• 回到上一例：
• 其中GPDI和GDP以10亿美元计。 • 标准化变量的回归结果为：
• 解释（6.3.6）：若GDP提高1美元，则GPDI平均提高0.3美元. • 解释（6.3.7）：若GDP增加一个标准差，则GPDI平均约增加 0.94个标准差。
• 标准化回归模型与传统模型相比有什么优势？ • 1. 若不止一个回归，我们就能将它们放在同等地位直接进行比 较。 • 2. 可以用β系数作为各个回归元相对解释力的一种度量。如果 一个标准化回归元的系数比模型中另一个标准化回归元的系数 大，那么前者就能比后者更多的解释回归子。 • 注意：传统模型的β系数与这里的β系数之间存在关系，在双变 量情形中，这种关系如下：
• 由此可以看出，当尺度因子相同时，即 • 斜率系数及其标准差不受尺度从 响。 • 截距及其标准差放大或缩小了w1 倍。
变到
时， 的影
• 若X尺度不变（即w2 =1），而Y的尺度按因子w1 改变，则斜 率和截距系数以及各自的标准差都要乘以因子w1 。 • 若Y尺度不变（即w1 =1），而X尺度按因子w2 改变，则斜率 系数及其标准误要乘以因子1/ w2 ，截距系数及其标准差不变 。
• 因此，若知道回归元和回归子的样本标准差，则可以将两个β 系数相互转换。
6.4 回归模型的函数形式
• 如第3章指出的，本课程主要考虑对参数为线性的模型，对变 量则可以是或不是线性的。 • 在下面的几节中，我们考虑一些常用的回归模型，它们也许对 变量是非线性的，但对参数是线性的。或者可通过适当的变量 代换而转变为对参数线性。具体讨论如下的回归模型： • 1. 对数线性模型 • 2. 半对数线性模型 • 3. 倒数模型 • 4. 对数倒数模型
图６.３ 不变弹性模型
对数线性模型的特点
• 1. 该模型假定Y与X之间的弹性系数β2在整个研究范围内保持不 变，因此又名不变弹性模型(constant elasticity model)。 • 2.虽然 和 是α和β2 的无偏估计量，但β1 进入原始模型的 参数估计 本身是一个有篇估计量。然而在大多 数实际问题中，截距项都居于次要地位，我们没有必要为得到 一个无偏估计量而发愁。 • 在双变量模型中，决定对数线性模型能否拟合好数据的简单办 法，是描绘出lnY 对lnX 的散点图，看是否差不多落在如图6.3 （b）那样• 刚才我们看到回归子和回归元的单位会影响到回归系数的截距 。如果我们把回归子和回归元表示成标准化变量，这种影响就 可以避免。 • 于是，在Y对X的回归中，如果我们把这些变量重新定义为：
• 其中 • • 变量
=Y的样本均值， =Y的样本标准差， =X的样本均值， =X的样本标准差。 和 被称为标准化变量(standardized variables.)
例：耐用品支出与个人消费总支出之间的关系
• 表6.3给出了个人消费总支出（personal consumption expenditure,PCEXP）、耐用品支出（expenditure on durable goods,EXPDUR）、非耐用品支出（expenditure on nondurable goods,EXPNONDUR）和劳务支出（ expenditure on services,EXPSERVICES）。 • 假设我们想求耐用品支出（EXPDUR）对个人消费支出（ PCEXP）的弹性。将耐用品支出的对数相对个人消费支出的对 数描点。将看到二者之间存在线性关系。因此，双对数模型可 以适用。
• 则
• 加一个干扰项得： • 此模型和任何其他线性模型一样，也是对参数为线性的。唯一 的区别，在于回归子是Y的对数而回归元是取值为1、2、3等的 “时间”。 • 此模型称为半对数模型（semilog model）,因为只有一个变量 以对数形式出现。为便于叙述，只是回归子取对数的模型叫做 线性到对数模型。 • 区别之前讲的对数线性模型（意为取对数后为线性）。 • 稍后将考虑回归子是线性而回归元是对数的模型，称为对数到 线性模型。
一个数值例子：1988-1997年美国GPDI与GDP的关系
• GPDI和GDP都以10亿美元计算：
• GPDI和GDP都以百万美元计算：
• 如理论所示，(6.2.22)中截距及其标准差都是回归（6.2.21）中 相应值的1000倍（ w1 =1000），但斜率系数及其标准差不变 。
一个数值例子：1988-1997年美国GPDI与GDP的关系
• 在此半对数模型中，斜率系数度量了给定回归元（在本例中为 时间变量t）取值的绝对改变时Y的恒定比例或相对改变量，也 就是：
回归子的相对改变量
•
回归元的绝对改变量
（6.6.7）
• 如果将Y的相对该变量乘以100，则（6.6.7）将给出相对于回 归元X的绝对改变量的、Y的百分比变化或增长率。即100乘以 β2 给出Y的增长率。 • 100乘以β2 在文献中被称为Y对X的半弹性(semielasticity)。
6.2
尺度与测量单位
• 1988-1997年美国私人国内总投资与国内生产总值
• • • •
GPDIBL=以1992年10亿美元计私人国内总投资 GPDIM=以1992年百万美元计私人国内总投资 GDPB=以1992年10亿美元计国内生产总值 GDPM=以1992年百万美元计国内生产总值
• 假使在GPDI和GDP的回归中某一研究者使用以10亿美元计的 数据，而另一研究者使用以百万美元的同样变量的数据。这两 种情形的回归结果是否会是一样的？ • 为了回答Y和X的测量单位是否会造成回归结果的任何差异这个 问题，我们令： • 其中Y=GPDI，X=GDP。定义：
半对数模型： 6.6 半对数模型：线性到对数与对数到线性模型
怎样测量增长率： 怎样测量增长率：线性到对数模型 • 经济学家，企业人员与政府常常对某些经济变量，如人口、 GNP、货币供给、就业、生产力、贸易赤字等等的增长率感兴 趣。 • 假设我们相对表6.3中的数据求出个人劳务消费支出的增长率。 令Yt 表示t时期对劳务的真实支出，Y0 表示劳务支出的初始值。 • 复利公式： • 其中r是Y在时间上的复合的增长率。去自然对数，得 • 现假设：