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初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
一、一次函数与二次函数 （一）一次函数一次k kxb k 0函数k ， bk 0k符号b 0b 0b 0b 0b 0b 0y y y y y y图象OxOxOx性质y 随 x 的增大而增大（二）二次函数（1）二次函数分析式的三种形式 O xOxOxy 随 x 的增大而减小①一般式： f ( x) ax 2 bx c(a0) ②极点式： f (x)a( x h) 2 k (a 0)③两根式： f ( x) a( x x 1)( x x 2 )(a 0)（ 2）求二次函数分析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的极点坐标或与对称轴相关或与最大（小）值相关时，常使用极点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，采用两根式求 f (x) 更方便．（3）二次函数图象的性质f xax 2 bx c a0 a 0 a 0图像xbxb2 a2 a定义域,对称轴xb2a极点坐标b 4 ac b 22 a,4 a值域4 ac b 2,,4 acb 24 a4 a, b 递减, b递加2a 单一区间2 ab递加 b, 递减,2 a2 a①. 二次函数f ( x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b , 极点坐标2a是 ( b , 4ac b2 )2a 4a②当 a 0 时，抛物线张口向上，函数在( , b] 上递减，在 [ b , ) 上递加，当 x b 2a 2a 2a4ac b20 时，抛物线张口向下，函数在( b] 上递加，在 [b)时， f min ( x) ；当 a , , 4a 2a 2a上递减，当x4ac b2b时， f max (x)4a．2a二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x 叫做幂函数，此中x 为自变量，是常数．（2）幂函数的图象过定点：全部的幂函数在(0,) 都有定义，而且图象都经过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的观点：假如 x na, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．（2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的 正分数指数幂 的意义是： a n 0, m, n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．m m1)m (a 0, m, n②正数的 负分数指数幂 的意义是： an(1)nn (N , 且 n 1) ．0 的负aa分数指数幂没存心义． （3）运算性质①a ra sa r s(a 0, , )r sa rs(a 0, r , s R)r s R ② ( a )③ (ab )rrb r( a 0, b 0, r )a R（4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x( a且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1yy a xya xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当 x 0 时， y 1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数 在 R 上是减函数a x1 ( x 0) a x 1 ( x 0) 函数值的 a x 1 ( x 0)a x1 ( x 0) 变化状况a xa x1 (x 0)1 ( x 0)a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低．四、对数函数（1）对数的定义： ① 若a xN (a0, 且a1)，则 x 叫做以 a为底 N的对数，记作 x log a N ，此中 a 叫做底数， N 叫做真数．② 负数和零没有对数．③ 对数式与指数式的互化：x log a Na xN (a 0, a 1, N0) ．（2）几个重要的对数恒等式：log a 1 0 ， log a a 1， log a a bb ．（3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （此中 ）． （4）对数的运算性质假如 a 0, a 1, M 0, N 0 ，那么①加法： log a M log a Nlog a (MN )②减法： log a M log a Nlog a MN③数乘： n log a M log a M n(n R)④alog aNN⑤ log bMnnlog a M ( b 0, n)⑥换底公式： loga logb N0, 且 b 1)abRN(blog b a（5）对数函数函数名称对数函数定义函数 y log a x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数a 10 a 1yx 1yx 1y log a xy log a x图象(1,0)O (1,0)xOx定义域 (0, ) 值域R过定点 图象过定点 (1,0) ，即当 x1 时， y0 ．奇偶性非奇非偶单一性在 定义域 上是增函数 在 定义域 上是减函数log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 函数值的 log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 变化状况log a x 0 (0x 1)log a x0 (0 x 1)五、反函数 （1）反函数的观点设函数 yf (x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 yf ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．假如对于 y 在 C 中的任何一个值，经过式子x( y) ， x 在 A 中都有独一确立的值和它对应，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函数， 函数 x( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数， 记作 x f1( y) ，习惯上改写成 yf 1 ( x) ．（ 2）反函数的求法①确立反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 y f ( x) 中反解出 xf 1 ( y) ；③将 x f1( y) 改写成 y f 1 (x) ，并注明反函数的定义域．（3）反函数的性质①原函数 yf ( x) 与反函数 y f1( x)的图象对于直线y x对称．②函数 yf (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域．③若 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 的图象上，则 P ' (b, a) 在反函数 y f1( x) 的图象上．④一般地，函数 yf ( x) 要有反函数则它一定为单一函数．六、三角函数的图像和性质 （一）正弦与余函数的图像与性质函数y cosxy sin x图像定域义 RR值域1,11,1最值x2k 时 ,y 最大 ， k Zx2k 时, y 最大，k Z112x2k 时, y 最小， Zx2k 时, y 最小 ，Z1 k1k2单一性在每个 [2 k, 2k ] 上递加 22在每个 [2k,32 k ] 上递减在每个 [ 2k ,2 k ]上递加在每个 [2 k ,2k ] 上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数， 2 为最小正周期 是周期函数， 2 为最小正周期 对称性对称中心 (k ,0)，对称中心 (k ,0) ，2对称轴 : xk ,( k Z )对称轴 : x k ,( kZ )22. 正切与余切函数的图像与性质函数 图像y tan x y cot x定域义{ x | x R 且 xk ,k Z} { x | x R 且xk ,k Z}2值域 RR单一性在每个 (k ,k )上递加 在每个 ( k ,k )上递减2 2k Zk Z奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数， 为最小正周期是周期函数， 为最小正周期对称性对称中心 (k,0)对称中心 (k,0)2 2七、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反正弦函数yarcsin x 反余弦函数 y arccosx函数是y cos x， x 0, 的反函数ysin x ， x ,2是 2 的反函数图像定域义1,1 1,1值域,2 0,2单一性在[ 1, 1]上递加在[ 1, 1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0) 对称中心 (0, )2 2.反正切与反余切函数的图像与性质函数arctan x 反余切函数 y arccot x反正切函数 y是y tan x， x ( , ) 的反函数是y cot x， x 0,的反函数2 2图像定域义( , , ) ( , , )值域2 2 0,,单一性在 ( , , )上递加在( , , )上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心（ 0， 0）对称中心（0，π /2）。
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时， 直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1)解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时， 图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b）和（-kb，0）（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随x 的增大而减小。
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
专题五二次函数的图象和性质【专题导航】目录【考点一二次函数定义】【考点二二次函数y=ax2的图像性质】【考点三二次函数y=ax2+k的图像性质】【考点四二次函数y=a（x-p）2的图像性质】【考点五二次函数y=a（x-p）2+k的图像性质】【聚焦考点1】二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项（区别于二次项，一次项）注意点：A.强调未知数最高次幂为2；B.二次项系数不等于零； C.先化简，再判断是否为二次函数。
【典例剖析1】【典例1-1】已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值．【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：依题意得∴∴m＝1（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．【典例1-2】函数y＝（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？【分析】利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．【解答】解：∵y＝（kx﹣1）（x﹣3）＝kx2﹣3kx﹣x+3＝kx2﹣（3k+1）x+3，∴k＝0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握有关定义是解题关键．针对训练1【变式1-1】已知函数y＝（m﹣1）+2x﹣m是二次函数，求m的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．【分析】根据二次函数的定义列出方程组求解即可．【解答】解：由题意得∴∴m＝﹣2二次项系数为﹣3，一次项系数为2，常数项为2【点评】本题考查二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不等于零，次数是2得出方程组是解题关键．【变式1-2】已知是x的二次函数，求出它的解析式．【分析】根据二次函数的定义得出有关m的方程与不等式解答即可．【解答】解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．【点评】主要考查了二次函数的定义．【能力提升1】二次函数定义【提升1-1】已知函数y＝（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1，解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0且m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【提升1-2】一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．（1）求k值．（2）求当x＝0.5时y的值？【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，则k2﹣3k+2＝0，（k﹣1）（k﹣2）＝0，解得：k1＝1，k2＝2，∵k﹣1≠0，∴k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，当x＝0.5时，y＝（）2+2×﹣1＝．【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件【聚焦考点2】y=ax²的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线y=ax²来说，a越大，抛物线的开口越小【典例剖析2】二次函数y=ax2的图像性质【典例2-1】）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【答案】B【解析】解：抛物线=22的开口向上，对称轴为轴，有最低点；抛物线=−22开口向下，对称轴为轴，有最高点；故抛物线=22与=−22相同的性质是对称轴都是轴.故答案为：B.【点评】本题考查了二次函数的基本性质，利用二次函数的性质解决问题是关键。
学情分析：本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用.教学目标：1. 知识与技能目标(1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y= ax2的性质．（2）猜想并能作出y=- x2的图象，能比较它与y= x2的图象的异同．2.过程与方法目标（1）经历探索二次函数y= x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．（2）由函数y= x2的图象及性质，对比地学习y=- x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．3.情感、态度与价值观目标（1）经历探索的过程发现抛物线的性质，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．（2）通过小组交流、讨论、比较，研究二次函数y= x2和y=- x2的图象，培养学生合作意识和交流能力．教学重点：经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=a x2的性质．教学难点：描点法画y= x2的图象，体会数与形的相互联系。
教学过程：一、创设情境，提出问题学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题：1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般步骤是怎样的？2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？（设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题．）二、合作交流，探究新知1．认识抛物线问题：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先来研究最简单的二次函数y＝x2的图象．大家还记得画函数图象的一般步骤吗？（设计意图：通过这个问题让学生回忆起用描点法画图的一般步骤，以便于学生下一步的画图．）画一画:你能试着用描点法画二次函数y= x2的图象吗?（两名学生上台板演，其他学生在下面尝试画图．在学生画图时，教师溶入到学生中，了解并搜集学生可能出现的各种问题．比如：学生可能会画成折线、半个抛物线、没画出延伸的趋势等情形，这时正好针对问题鼓励小组间互相讨论、相互比较，交流各自的观点．）问题：通过刚才的分析你认为在画y= x2的图象时：（1）列表取值应注意什么问题？(取对称的7或5个点)（2）点和点之间用什么样的线连接? （用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接）（学生尝试描述y= x2的图象,建立和实际问题的联系.再通过投篮的动态演示,形象的描述并体会y= x2的图象的形状是抛物线，并且与开始的引例相呼应.）（设计意图:长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上，数学学习应该与学生的生活经验融合起来，让他们在生活中去发现数学、发现生活中的数学、探究数学、认识并掌握数学.）2.探究抛物线y= x2的性质议一议:请你观察y=x2的图象,你能得到哪些方面的性质，然后分组讨论．（在学生讨论交流之后,请每组的学生代表一一发表自己的观察结果．在此过程中，教师不能作裁判，而要把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化 .待学生发表自己的观点之后系统地总结一下y= x2的图象的性质）抛物线y=x2的性质（1）开口：抛物线的开口向上．（2）对称性:它是轴对称图形，对称轴是y轴（或x=0）．（3）增减性：在对称轴的左侧（x<0时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（x>0），y随着x的增大而增大.（4）顶点：图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）．（5）最值：因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0．1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y= 2x2 y=2（设计意图：在此问题上，不再按课本上的问题一一叠列给学生，而是给学生一个开放的空间，给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间．仁者见仁，智者见智，不同的学生肯定会有不同的认识，通过小组讨论与交流，学生可以相互学习，共同提高．）3.探究抛物线y=-x2的性质想一想:（1）二次函数y=- x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．(2) 类似的你能说出它的性质吗?（让学生先猜想再画图验证，在学生画图时可让每一小组部分同学将y= x2与y=-x2的图象画在一个坐标系内,而后学生通过讨论交流得出结论，教师只给以必要的引导．）1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y=- 2x2 y= -2（设计意图：这一问题设计为学生提供思考的空间，培养学生在观察、分析、对比、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力．）议一议:函数y＝x2与y＝－x2的图象及其性质有何异同？（学生观察图形，通过小组讨论，归纳y＝x2与y＝－x2的图象及其性质的异同,然后回答，学生想不到的，及时给予引导.）不同点：开口方向不同：函数值随自变量的增大的变化趋势而不同：函数的最值不同：相同点：关系：它们的图像关于x轴对称（设计意图：通过比较y＝x2与y＝－x2的性质的异同，让学生更充分地理解y ＝±x2的性质．）三、变式训练，巩固提高（课堂检测）1．在二次函数y= x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是．顶点为：_____2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y=-3x2上，且x1＞ x2＞0，则y1_____y2. 3．设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（）（设计意图：通过一组简单的练习题，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦．）四、总结反思,纳入系统通过今天的学习，你是否对二次函数y=a x2有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？（由学生总结本节课所学习的主要内容.在学生归纳的基础上总结它们的区别与生的素质，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.）五、课后延伸,提升能力你能类比地画出函数：12+y的图象吗？动手画一下吧！=x教学反思：针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体,让学生不仅学到科学探究的方法,而且体验到探究的甘苦,领会到成功的喜悦.。
函数的定义
一、自变量与应变量
在数学中，通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。
那么y 随着x 变化而变化，则我们把x 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是x 函数。
一次函数的图像及性质
一、一次例函数定义
形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。
二、正比例函数
当一次函数()()叫正比例函数。
时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质
1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。
且与y 轴的截距是b ，与y 轴的交点坐标为()b ,0。
2、当0>k 时，正比例kx y =的函数图像过一、三象限，
的增大而增大。
随x y 3、当0<k 时，正比例kx y =的函数图像过二、四象限，
的增大而减小。
随x y 四、一次函数图像及性质
1、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=>>00 过一、二、三象限。
2、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=<>00 过一、三、四象限。
3、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=><00 过一、二、四象限。
4、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=<<00 过二、三、四象限。
五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式
设一次函数()0≠+=k b kx y 与坐标轴所围成的三角形为为多少？则AOB AOB ∆∆S
k
b b k b y x A B 22121S 2
AOB =
⋅−=⋅=
∆
六、用函数的观点看不等式
设两个一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的交点 为点()00,y x ，如图可知 （1）当o x x >时，21y y >； （2）当o x x =时，21y y =； （3）当o x x <时，21y y <。
反比例函数图像及性质
一、反比例函数定义
形如()0≠=k x k
y 这样的函数叫反比例函数。
k 叫比例系数()为常数k 。
二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。
三、反比例函数的性质
2、当0>k 时，反比例函数x k
y =
的图像分布在一、三象限。
3、当0<k 时，反比例函数x
k
y =的图像分布在二、四象限。
四、反比例函数图像上的点。
点()00,y x p 在反比例函数()0≠=k x
k
y 的图像上k y x =⋅⇔00
五、反比例函数图像上图形面积与比例系数k 的关系
1
2
2b x k +
21k S x k y OAB ==∆中如上图所示、在k
S x k y OABC ==四边形中如上图所示、在2k
S x k
y ABC ==∆中如上图所示、在3
OCD OAB S S x k y ∆∆==中如上图所示、在4
二次函数图像及性质
一、二次函数定义
形如()02≠++=a c bx ax y 这样的函数 叫做二次函数。
二、二次函数的图像
二次函数的图像是抛物线。
如右图所示 三、二次函数的性质
1、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像恒过点()c ,0，且与y 轴的截距为c ；
2、当0>a 时，二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像抛物线开口向上，且有最小值；
3、当0<a 时，二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像抛物线开口向上，且有最
大值；
4、二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线a
b
x 2−=最值为a b ac y 442−=
四、二次函数的形式
1、三点式：已知二次函数图像上三点，求函数解析式如下
已知点()11,y x A 、()22,y x B 、()33,y x C 在一个二次函数图像上，则求该二次函数解析式。
解：设这个二次函数解析式为c bx ax y ++=2，
把题中三点分别代入解析式得
⎪⎪⎨⎧=++=++2222
2112
1y c bx
ax y c bx ax ⎪⎪⎨⎧==
=
c b a 解得(A )
2)
33,y x
然后把c b a 、、的值分别带入假设的解析式中，此题得解。
2、两点式：已知二次函数图像与x 轴的两个交点， 求函数解析式如下
已知二次函数图像与x 轴的交点分别为点()0,1x A 与点()0,2x B ，求函数解析式如下
解：设这个二次函数解析式为()()21x x x x a y −−=，然后利用多项式乘法展开后合并同类项，降幂排列的()21212x ax x x x a ax y ++−=，通常考出两点式的题型，
a 的值会很容易求出。
3、顶点式：已知二次函数的对称轴与最值求二次函数解析式如下 已知二次函数的对称轴为直线h x =， 最值(最大值或者最小值)为k 。
则它 的解析式为()k h x a y +−=2
，这种题
型中a 的也很容易求出。
4、顶点式的变形考法，也就是通常常考内容，利润问题和最值问题。
解决这类问题时，一般分为3个步骤: （1） 列出二次函数解析式
（2） 把这个二次函数解析式配方成顶点式的形式 （3） 根据顶点式直接可以写出当h x =时，
○1当0>a 时，k y =m in ；○2当0<a 时，k y =m ax ；
求两个函数图像的交点
求两个函数图像交点的题型，通常都是把这两个函数解析式联立成方程组，然后解次方程组，求得的方程组的对应x 的值与相应y 的值，正好就构成两个函数图像的其中一个交点的坐标。
归纳为：方程组的解就是图像的交点，图像的交点就是方程组的解。
)。
