专题12函数与方程--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(解析版)

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的概念及其表示（精讲）【A组在基础中考查功底】则函数根据函数图像可知：(f x 故选：ACD.8．已知函数4 ()f x xx=+A．-3B 【答案】ABC四、解答题12．定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()2243f x x x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()23g x f x x =-+在[],1m m +上是单调函数，则求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-(2)(][),01,-∞+∞ 【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；（2）求出()g x 的单调区间，与[],1m m +比较，得到不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()()2224321f x x x x -=-+=--，故函数()f x 的解析式为()21f x x =-；（2）()()2223122121x x g x x x x =-+=---++=在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为()g x 在[],1m m +上是单调函数，所以m 1≥或11m +≤，解得0m ≤或m 1≥，所以实数m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ .【B 组在综合中考查能力】由图可得当且仅当0t<<时）的，故()()()()36494922f f f f m n =⨯=+=+.【C 组在创新中考查思维】，该函数在当32m>时，当x>m时()2,3f x⎛∈-∞-⎝①，当1,22aa >>时，()f x 在[]0,1上单调递增，②，由2222a a a x ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭解得12x a +=或1x -=。

专题11函数图像一、关键能力1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题. 二、教学建议1．学生应掌握图象的平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；2．函数图象的应用很广泛，研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等都离不开函数的图象，对图象的控制能力往往决定着对函数的学习效果．3．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 三、自主梳理 1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―——————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――——————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――——————→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――——————―→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )―――——————→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ⑥y ＝f (x )――——————―→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)翻折变换（☆☆☆）①y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；②y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|．(4)伸缩变换①y ＝f (x ) 至 y ＝f (ax )．②y ＝f (x ) 至 y ＝af (x )．――——————―——————―→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变四、高频考点+重点题型 考点一、作图例1-1（対称、翻折、分段作图）画下列函数图像 (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x 2－2|x |－1;例1-2.（平移作图）(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1．例1-3（周期、类周期函数作图）定义函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--2,)2(2121|,23|84x x f x x 则函数g (x )＝xf (x )－6在区间[1，2n ](n ∈N *)内所有零点的和为( )A ．nB ．2n C.34(2n －1) D.32(2n －1)对点训练1．已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（ ）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y fx =的图象：D ．()y f x =-的图象：对点训练2.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．考点二、识图例1-1.（由解析式选图像） 【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为 （ ）()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦A BC D例2-2．（由图像选解析式）（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()()g x y f x =例2-3.（实际应用识图像）在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )例2-4（两个函数图像对比）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()对点训练1.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()对点训练2．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A．y＝||2xexB．y＝2(1)||xx exC ．y ＝|2|xe xD ．y ＝22xe x对点训练3.（2020·江西临川一中模拟） 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )对点训练4.（2021·四川高三三模（理））函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+，则()y f x =及y g x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．考点三、利用图像解不等式 例3-1（转化为两个图像的上下方）【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞例3-2（图像在x 轴的上下方）函数f (x )是定义域为(－∞，0)∈(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．对点训练1.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦对点训练2.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________．考点四、利用图像求解方程问题 例4-1.（方程根的个数）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.例4-2．已知12,x x 是方程x2210,log 10x x x +=+=的两个根，则12x x +=对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)对点训练2.若满足225xx +=, 满足()222log 15x x +-=, 则+＝考点五、利用图像研究函数性质 例5-1.（利用图像研究单调性）1x 2x 1x 2x已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)例5-2（利用图像研究函数最值或值域）对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值 _．对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是_____．对点训练2.（2020·全国高三其他（文））已知函数在区间的值域为，则（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8()()()22241x x f x x x ee x --=--++[]1,5-[],m M m M +=巩固训练 一、单项选择题1．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为________． A. 4 B. 3 C. 2 D. 62.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2}3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．4.（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（ ）A ．(())y f g x =B ．()()y f x g x =C ．(())y g f x =D ．()()f x yg x =5.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题7．设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（ ）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．8．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断，其中真命题为（ ）A ．10x ＝x 有实数解B ．10x ＝x 2有实数解C ．10x >x 2在x ∈(0，＋∞)上恒成立D ．10x ＝－x 有两个相异实数解．三、填空题9． 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x （x >0），－－x （x ≤0）与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．12．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞5．已知3log 2a =，0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c << 6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．二．多选题（共3小题） 8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= ．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 ．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 ． 14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= ．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= ． 四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+；（2）2731329log 5log 42log 5log -++． 22．计算：（100.539()()54--++ （2）22log 62222523lg lg -+--2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则030x x >⎧⎨-⎩，解得03x <． ∴函数()3f x lgx x =+-的定义域为(0，3]．故选：B ．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象的变换【分析】根据题意分析可得()f x 为偶函数，通过0x =函数的值，排除函数的图象即可．【解答】解：根据题意有||2||2()2()2()x x f x x x f x --=--=-=，所以函数是偶函数，又函数||22x y x =-，当0x =时，1y =，排除C ，故选：A ．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【考点】函数单调性的性质与判断【分析】首先求出函数()f x 的单调性，再判断0.2log 3，30.2，0.23的大小关系，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：因为函数()3f x x x =-所以30x -，可得3x ，即()f x 的定义域为(-∞，3]， 所以()3f x x x =-(-∞，3]单调递增，因为0.20331>=，3000.20.21<<=，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，所以30.20.2(log 3)(0.2)(3)f f f <<，所以c b a <<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，考查函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞ 【考点】复合函数的单调性【分析】令25t x ax =-+，12log y t =，分析内层函数与外层函数的单调性以及对数真数在所给区间恒为正数，可得出关于a 的不等式组，进而求得实数a 的取值范围．【解答】解：令25t x ax =-+，易知12log y t =在其定义域上单调递减，要使()f x 在(4,)+∞上单调递减，则25t x ax =-+在(4,)+∞单调递增，且250t x ax =-+>，即2424450a a ⎧⎪⎨⎪-+⎩， 所以8214a a ⎧⎪⎨⎪⎩，即214a 因此实数a 的取值范围是(-∞，21]4． 故选：D． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．5．已知3log a =0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【考点】对数值大小的比较【分析】直接利用对数的运算性质化简得答案．【解答】解：33log log 0.5a =<=，0.101b e e =>=，0.50.5ln c e ==，a cb ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性得到a b >，a c >，再利用对数的运算法则，换底公式，基本不等式得到b c >，求解即可．【解答】解：1232a e =>，33log 5log 3b =<332=， 6443log 8log 81log 22c =<=+=， a b ∴>，a c >，25858583363535lg lg lg lg lg lg lg b c lg lg lg lg lg lg -⋅∴-=->-=⋅ 222222(83)2425555444353535lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg +--->=>⋅⋅⋅ 2255035lg lg lg lg -==⋅， b c ∴>，a b c ∴>>，故选：A ．【点评】本题考查了对数的运算法则，换底公式，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【分析】由指数函数与对数函数的性质依次判断即可． 【解答】解：1()x y a=与log a y x =分别过(0,1)，(1,0)点， 又1a >， ∴1()x y a=与log a y x =分别为定义域内的减函数，增函数， 故选：D ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质与判断【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3()f x x =是奇函数，且值域为R ，符合题意；对于B ，1()f x x x =+，当0x >时，1()2f x x x=+，当0x <时，()2f x -，即()f x 的值域为(-∞，2][2-，)+∞，不符合题意；对于C ，1()f x x x=-，是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，当0x +→时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，其值域为R ，符合题意；对于D ，()22x x f x -=+，是奇函数，且()2f x （当且仅当0x =时取“= “)，其值域不为R ，不符合题意；故选：AC ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及值域的计算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =【考点】函数的值域【分析】利用函数的性质求出值域即可判断．【解答】解：对于:1A x R -∈，120x y -∴=>，故A 正确，对于:0B x ≠，20x ∴>，210y x ∴=>，故B 正确， 对于:10C x +>，(1)(y ln x ∴=+∈-∞，)+∞，故C 错误，对于:D x R ∈，||[0y x ∴=∈，)+∞，故D 错误．故选：AB ．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．【解答】解：()f x x =为奇函数，且在(,)-∞+∞上是单调递增，故A 符合题意；()||f x x x =满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且在[0，)+∞递增，在(-∞，0]也递增，则()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增，故B 符合题意；()22x x f x -=-的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且2x y =和2x y -=-在R 上递增，则()f x 在R 上递增，故C 符合题意；2()f x x =为偶函数，故D 不符题意．故选：ABC ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= 5 ．【考点】函数的值【分析】令213x -=得2x =，再代入即可．【解答】解：令213x -=得，2x =或2x =-（舍去），故f （3）2(21)f =-22235=-+=，故答案为：5．【点评】本题考查了复合函数函数值的求法，属于基础题．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 (1,2)-- ．【考点】对数函数的图象与性质【分析】令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，即可求解．【解答】解：令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，故函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点(1,2)--．故答案为：(1,2)--．【点评】本题主要考查对数函数的性质，考查定点问题，属于基础题．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 2 ． 【考点】对数的运算性质【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：212x =，2log 12x ∴=，222112log 423x y log log ∴+=+==， 故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的单调性与特殊点【分析】求出(2,4)P ，由幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，求出a ，得到()f x 的解析式，再计算3log f （3）即可．【解答】解：函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则(2,4)P ，∴幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，24a ∴=，解得2a =，2()f x x ∴=，3log f ∴（3）3log 92==．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= 12- ． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式，求出(2)f -的值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为()f x x α=， 则1()44α=，解得：1α=-， 故1()f x x =，故1(2)2f -=-， 故答案为：12-． 【点评】本题考查了求幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可．（2）将不等式进行转化，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+． (0)0f ∴=，当0x >，则0x -<，则2()2()f x x x f x -=--=-，即2()2(0)f x x x x =+<，综上2()2(0)f x x x x =+．（2）由(2)(2)23f m f m m +--．得(2)2(2)2(2)2f m m f m m f m m +--+-=-+-． 设()()g x f x x =+，则不等式等价为(2)(2)g m g m -，作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在R 上是增函数，则()()g x f x x =+也是增函数， 则由(2)(2)g m g m -，得22m m -，得23m， 即实数m 的取值范围是(-∞，2]3．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．【考点】函数的值域【分析】（1）由已知41()2212121x x x x f x =-=-+--，，利用基本不等式可求函数()f x 的值域；（2）由对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，可得函数函数()f x 在[1，2]上的值域包含于函数()g x 在[1，2]上的值域，由此可求正实数a 的取值范围．【解答】解：（1）24(2)111()2221212121x x x x x x f x -+=-=-=-+---，0x >，210x ->， 则11()212(21)22121x x x x f x =-+-⋅=--，，当且仅当1x =时取“=”， 所以()[2f x ∈，)+∞，即函数()f x 的值域为[2，)+∞；（2）设21x t =-，[1x ∈，2]，[1t ∴∈，3]， 函数1y t t=+在[1，3]上单调递增， 则函数()f x 在[1，2]上单调递增，()[2f x ∴∈，10]3， 设[1x ∈，2]时，函数()g x 的值域为A ，由题意知[2，10]3A ⊆， 又因为函数()g x 图象的对称轴为02a x =>， 当12a ，即02a <时，函数()g x 在[1，2]上递增，则(1)210(2)3g g ⎧⎪⎨⎪⎩，解得506a <， 当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[1，2]上的最大值为g （1），g （2）中的较大者，而g （1）20a =-<且g （2）521a =-<，不合题意，当22a >，即4>时，函数()g x 在[1，2]上递减，则10(1)3(2)2g g ⎧⎪⎨⎪⎩，满足条件的a 不存在． 综上，5(0,]6a ∈． 【点评】本题考查了求函数的值域及分类讨论思想，采用了换元法求值域，换元后对参数t 的范围要进行确认，这是易错点，属于中档题．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象【分析】（1）利用零点的定义，结合二次方程根的个数问题，求解即可；（2）将问题转化为210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，结合二次函数的图象与性质，列式求解即可；（3）将问题转化为4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）因为函数21y mx mx =--有两个零点，所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根，则2040m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解得4m <-或0m >， 故实数m 的取值范围为(-∞，4)(0-⋃，)+∞；（2）命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，则命题：x R ∀∈，0y <，是真命题，则210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，当0m =时，不等式为10-<恒成立，符合题意；当0m ≠时，则2040m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<． 综上所述，实数m 的取值范围为(4-，0]；（3）因为对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立， 即240x mx ++对于[1x ∈，3]恒成立，即4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立， 则4[()]max m x x-+， 因为4424x x x x+⋅=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号， 所以4[()]4max x x -+=-， 则4m -，所以实数m 的取值范围为[4-，)+∞．【点评】本题考查了函数零点的理解与应用，函数与方程的应用，函数与不等式的综合应用，命题真假的应用以及不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）依题意，得2020x x +>⎧⎨->⎩，解之可得函数()f x 的定义域； （2）()f x 为奇函数；利用奇函数的定义证明即可；（3）1(1)13aa f log log a -<⇔<，通过对a 的范围的分类讨论，可求得答案． 【解答】解：（1）()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠，∴202202x x x x +>>-⎧⎧⇒⎨⎨-><⎩⎩， ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-；（2）()f x 为奇函数． 证明：22()()022a a x x f x f x log log x x-+-+=+=+-， ()()f x f x ∴-=-，(2,2)x ∈-，()f x ∴为奇函数；（3）(1)1f -<，∴1(1)3a a f log log a -=<， ①01a <<，()f x 单调递减，∴103a <<； ②1a >，()f x 单调递增，∴13a >，1a ∴>； 综上：103a <<或1a >，即(0a ∈，1)(13⋃，)+∞． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查分析推理能力与运算求解能力，属于中档题．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】（1）由奇函数在R 上有定义，可得(0)0f =，求得a 的值，再由指数函数的单调性可得()f x 的单调性；（2）由奇函数()f x 的单调性可将不等式的两边的“f ”去掉，结合二次不等式恒成立，运用判别式法，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数1()21x f x a =-+为奇函数，定义域为R ， 可得(0)0f =，即102a -=，解得12a =， 则1112()12212xx xf x -=-=++，满足()()0f x f x -+=， 所以12a =成立； 由2x y =在R 上递增，可得112xy =+在R 上递减， 所以()f x 在R 上为递减函数；（2）x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，即为2(1)()()f x f kx f kx +<-=-，因为()f x 在R 上为递减函数，所以21x kx +>-，即210x kx ++>恒成立，则△0<，即240k -<，解得22k -<<，则k 的取值范围是(2,2)-．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+； （2）2731329log 5log 42log 5log -++． 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．（2）利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）原式1113662332043132⨯⨯⨯=⋅-++⨯ 23220.49198917255=-++⨯=-++=． （2）原式333log 527log 9log 527211=+++-=++=．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．22．计算：（100.539()()54--++（2）22log 62222523lg lg -+-- 【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质依次化简即可．【解答】解：（100.539()()54--++221133e e =-+++；（2）22log 62222523lg lg -+--421100632lg =--⨯ 211=-=．【点评】本题考查了有理指数幂及对数的运算，属于基础题．。

高考数学总复习：第一节 函数及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A 、B设A 、B 是两个① 非空数集 设A 、B 是两个② 非空集合对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A中的③ 任意 一个数x ,在集合B 中都有④ 唯一确定 的数f (x )与之对应按某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的⑤ 任意 一个元素x ,在集合B 中都有⑥ 唯一确定 的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A 对应f :A →B▶提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的⑦ 定义域 ;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的⑧ 值域 .(2)函数的三要素:⑨ 定义域 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 定义域 相同,且 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为{x|x∈R且x≠xπ+π2,x∈Z}.(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4xx-x24x ,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4xx-x24x].(3)y=xx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(2)f(x)=√x-3+√2-x是一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )答案 B3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x )=√2x的定义域为 ( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞) 答案 A 要使f (x )=2x有意义,需满足2x-1>0,解得x >0,∴函数f (x )=2x的定义域为(0,+∞),故选A.4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1)答案 D ∵f (x )的定义域为(-1,0),∴-1<2x -2<0,解得12<x <1,∴函数f (2x -2)的定义域为(12,1),故选D .5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1答案 A 因为f (x )是一次函数,所以可设f (x )=kx +b (k ≠0).由f [f (x )]=x +2得k (kx +b )+b =x +2,即k 2x +kb +b =x +2,所以k 2=1,kb +b =2,解得k =1,b =1,则f (x )=x +1.故选A.函数、映射概念的理解典例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y =1x +1,x ∈A ,y ∈B ;②A ={x |12x ∈N *},B ={x |x =1x,x ∈N *},对应关系f :a →b ,b =1x;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆. 其中是从A 到B 的映射的为( )A.①③B.②④C.①④D.③④ (2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y =(√x +1)2B.y =√x 33+1C.y =x 2x+1 D.y =√x 2+1答案 (1)B (2)B解析 (1)对于①,当x =-1时,y 的值不存在,所以①不是从A 到B 的映射;对于②,A ,B 是两个集合,分别用列举法表述为A ={2,4,6,…},B ={1,12,13,14,…},由对应关系f :a →b ,b =1x 知,②是从A 到B 的映射;③不是从A 到B 的映射,如A 中的元素1对应B 中两个元素±1;④是从A 到B 的映射.(2)对于A,函数y =(√x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y =x 2x +1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B .名师点评1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数.2.判断一个从集合A 到集合B 的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为可以一对一,也可以多对一,但不能一对多.1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根; ②A =R,B =R, f :x →x 的倒数; ③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2. 其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③ 答案 C2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是 ( )A.f (x )=|x |,g (x )=√x 2B.f (x )=√x 2,g (x )=(√x )2C.f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1D.f (x )=√x +1·√x -1,g (x )=√x 2-1 答案 A函数的定义域角度一 具体函数的定义域典例2 (1)函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2] (2)函数f (x )=√4-|x |+lgx 2-5x +6x -3的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 答案 (1)C (2)C解析 (1)要使函数f (x )=√x +1+lg(6-3x )有意义,则{x +1≥0,6-3x >0,即-1≤x <2.故函数f (x )的定义域为[-1,2).(2)要使函数f (x )有意义,需满足{4-|x |≥0,x 2-5x +6x -3>0,即{|x |≤4,(x -3)(x -2)x -3>0,解得2<x <3或3<x ≤4,故f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y =xx -1xx 2+4xx +3的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A.(0,34]B.(0,34)C.[0,34]D.[0,34)(2)若函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 . 答案 (1)D (2)-92解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx 2+4mx +3≠0恒成立, ①当m =0时,显然满足条件; ②当m ≠0时,由Δ=(4m )2-4m ×3<0, 得0<m <34. 综上可知,0≤m <34.(2)函数f (x )=√xx 2+xxx +x 的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.由题意知不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}, 所以{x <0,1+2=-x ,1×2=xx,解得{x =-32,x =-3, 所以a +b =-32-3=-92. 角度三 抽象函数的定义域典例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)的定义域是 .答案 [12,32]解析 因为函数f (x )的定义域是[0,2],所以函数g (x )=f (x +12)+f (x -12)中的自变量x 需要满足{0≤x +12≤2,0≤x -12≤2,解得12≤x ≤32,所以函数g (x )的定义域是[12,32]. ◆变式探究 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [0,1)解析 由题意得{0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x <1,所以g (x )的定义域为[0,1).名师点评简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数:①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出; ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.1.(1)函数f (x )=√2x -1-1的定义域是 . (2)函数f (x )=(x -12)0√x +2的定义域是 .答案 (1)(1,3] (2)(-2,12)∪(12,+∞) 2.若函数y =的定义域为R,则实数a 的取值范围是 .答案 [0,12)解析 由题意得ax 2-4ax +2>0恒成立, 则a =0或{x >0,x =(-4x )2-4×x ×2<0,解得0≤a <12.3.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],则函数g (x )=x (2x )x -1的定义域是 .答案 [-12,1)∪(1,32]解析 因为y =f (x 2-1)的定义域为[0,2],所以x ∈[0,2],x 2-1∈[-1,3],所以{-1≤2x ≤3,x -1≠0,解得-12≤x ≤32且x ≠1,所以函数g (x )的定义域是[-12,1)∪(1,32].函数的解析式典例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ). (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x,求f (x ). 解析 (1)解法一(待定系数法):因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c.因为f (2x +1)=4x 2-6x +5,所以{4x =4,4x +2x =-6,x +x +x =5,解得{x =1,x =-5,x =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 解法二(换元法): 令2x +1=t (t ∈R),则x =x -12,所以f (t )=4(x -12)2-6·x -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).解法三(配凑法):因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)(解方程组法)由f (-x )+2f (x )=2x①, 得f (x )+2f (-x )=2-x②,①×2-②得3f (x )=2x +1-2-x,即f (x )=2x +1-2-x3.故函数的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).方法技巧求函数解析式的常用方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的式子,然后以x 替代g (x )得f (x )的解析式.(2)换元法:已知函数f (g (x ))的解析式,求f (x )的解析式时可用换元法,即令g (x )=t ,从中解出x ,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法.(4)解方程组法:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的等式,可根据已知条件构造出等式,组成方程组,通过解方程组求出f (x )的解析式.(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0知c =0,则f (x )=ax 2+bx ,又由f (x +1)=f (x )+x +1得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以{2x +x =x +1,x +x =1,解得a =b =12,所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).分段函数角度一 分段函数的最值问题典例6 已知函数f (x )={x 2-2xx +9,x ≤1,x +4x +x ,x >1,若f (x )的最小值为f (1),则实数a 的取值范围是 .答案 [2,+∞)解析 当x >1时, f (x )=x +4x +a ≥4+a ,当且仅当x =2时,等号成立.当x ≤1时, f (x )=x 2-2ax +9为二次函数,要想在x =1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x =a ≥1,并且f (1)≤4+a ,即1-2a +9≤a +4,解得a ≥2.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例7 设函数f (x )={x 2+2x ,x <0,x +1,x ≥0,则f (-1)= ;若f (a )>f (a -1),则实数a 的取值范围是 .答案 -1;(-12,+∞)名师点评分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f (x )={2e x -1,x <1,x 3+x ,x ≥1,则f (f (x ))<2的解集为 ( )A.(1-ln 2,+∞)B.(-∞,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)答案 B 因为当x ≥1时, f (x )=x 3+x ≥2,当x <1时, f (x )=2e x -1<2,所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1,即2e x -1<1,解得x <1-ln 2, 所以f (f (x ))<2的解集为(-∞,1-ln 2),故选B.2.(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)答案 D 函数f (x )={2-x ,x ≤0,1,x >0的图象如图所示:由f (x +1)<f (2x )得{2x <0,2x <x +1,得{x <0,x <1.∴x <0,故选D .3.已知函数f (x )={log 2(3-x ),x ≤0,2x -1,x >0,若f (a -1)=12,则实数a = .答案 log 23解析 由题意知当a -1≤0,即a ≤1时,log 2(3-a +1)=12,解得a =4-√2>1,舍去.当a -1>0,即a >1时,2a -1-1=12,解得a =log 23>1,成立.故a =log 23.微专题——新定义函数的有关计算新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质.典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,若f (x )是定义在R 上的减函数,g (x )=f (x )-f (ax )(a >1),则 ( )A.sgn[g (x )]=sgn xB.sgn[g (x )]=-sgn xC.sgn[g (x )]=sgn[f (x )]D.sgn[g (x )]=-sgn[f (x )] 答案 A解析 由题意知g (x )=f (x )-f (ax ),且f (x )是R 上的减函数, 当x >0时,x <ax ,则有f (x )>f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )>0, 此时sgn[g (x )]=1;当x =0时,x =ax ,则有f (x )=f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )=0, 此时sgn[g (x )]=0;当x <0时,x >ax ,则有f (x )<f (ax ), 则g (x )=f (x )-f (ax )<0, 此时sgn[g (x )]=-1. 综上所述,sgn[g (x )]=sgn x. 故选A.根据新定义得到f (x )的表达式,判断函数f (x )在定义域的单调性,可得结果.1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “x” 如下:当a ≥b 时,a x b =a ;当a <b 时,a x b =b 2,则函数f (x )=(1x x )·x -(2x x )(x ∈[-2,2])的最大值等于(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法) ( )A.-1B.1C.12D.6 答案 D 因为a x b ={x ,x ≥x ,x 2,x <x ,所以f (x )=(1x x )·x -(2x x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,易知函数f (x )在[-2,2]上单调递增,所以f (x )max =f (2)=6,故选D.2.定义符号函数sgn x ={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则当x ∈R 时,不等式x +2>(2x -1)sgn x的解集为 .答案 {x |-3-√334<x <3}解析 当x >0时,不等式可转化为x +2>2x -1,解得0<x <3; 当x =0时,不等式可转化为2>1,不等式成立;当x <0时,不等式可转化为x +2>12x -1①,因为2x -1<0,所以①等价于(x +2)(2x -1)<1,即2x 2+3x -3<0,解得-3-√334<x <0.综上所述,不等式的解集为 {x |-3-√334<x <3}.A 组 基础达标1.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )A.f (x )=x 2和f (x )=(x +1)2B.f (x )=(√x )2x和f (x )=(x )2C.f (x )=log a x 2和f (x )=2log a xD.f (x )=x -1和f (x )=√(x -1)2答案 B2.函数y =ln(x 2-x )+√4-2x 的定义域为 ( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,2]C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案 B 由已知得{x 2-x >0,4-2x≥0,解得{x <0或x >1,x ≤2,即x ∈(-∞,0)∪(1,2],故选B.3.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12)C.(-1,0)D.(12,1)答案 B4.已知函数f (x +1)=3x +2,则f (x )= ( )A.3x +2B.3x +1C.3x -1D.3x +4 答案 C5.已知f (10x)=x ,则f (5)= ( )A.105B.510C.log 510D.lg 5 答案 D6.(2020湖南湘潭一中模拟)已知函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))= ( )A.-12 B.2 C.4 D.11 答案 C ∵函数f (x )={x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,∴f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C.7.已知函数f (x )={3-x +1(x ≤0),x x +2(x >0),若f (f (-1))=18,则实数a 的值是 ( )A.0B.1C.2D.3 答案 C8.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意的x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )·f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)= ( ) A.0 B.1 C.2 017 D.2 018答案 D 令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )·f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1, f (1)=2代入得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018,故选D .9.(2020湖南郴州二中模拟)设x ∈R,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y =[x ]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f (x )=2x +32x +1,则函数y =[f (x )]的值域为 ( )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2} 答案 D f (x )=2x +32x+1=2x +1+22x+1=1+22x+1,∵2x>0,∴1+2x>1,∴0<22x+1<2,∴1<1+22x +1<3,即1<f (x )<3.当1<f (x )<2时,[f (x )]=1;当2≤f (x )<3时,[f (x )]=2.综上,函数y =[f (x )]的值域为{1,2},故选D.B 组 能力拔高10.已知函数f (x )={(x -1)x +4-2x ,x <1,1+log 2x ,x ≥1,若f (x )的值域为R,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.(-∞,2]C.(0,2]D.[2,+∞)答案 A 当x ≥1时, f (x )=1+log 2x ≥1;当x <1时, f (x )=(a -1)x +4-2a 必须是增函数,且值域区间的右端点的值大于或等于1,才能满足f (x )的值域为R,可得{x -1>0,x -1+4-2x ≥1,解得1<a ≤2.11.(2020江苏苏州一中期中)已知函数f (x )={2x ,x ≤1,log 3(x -1),x >1,且f (x 0)=1,则x 0=( )A.0B.4C.0或4D.1或3 答案 C 当x 0≤1时,由f (x 0)=2x 0=1得x 0=0(满足x 0≤1);当x 0>1时,由f (x 0)=log 3(x 0-1)=1得x 0-1=3,得x 0=4(满足x 0>1),故选C. 12.(2020北京,11,5分)函数f (x )=1x +1+ln x 的定义域是 .答案 (0,+∞)解析 要使函数f (x )有意义,则{x +1≠0,x >0,故x >0,因此函数f (x )的定义域为(0,+∞). 13.(2019湖南衡阳模拟)已知函数f (x )=xxx -1,若f (x )+f (1x )=3,则f (x )+f (2-x )= .答案 6 解析 ∵f (x )=xx x -1, f (x )+f (1x)=3, ∴f (x )+f (1x )=xx x -1+xx 1x-1=xx x -1-x x -1=x (x -1)x -1=3,解得a =3,∴f (x )=3x x -1,∴f (x )+f (2-x )=3x x -1+6-3x 2-x -1=6(x -1)x -1=6.C 组 思维拓展14.(2020广东珠海一中模拟)已知x 为实数,用[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[1.2]=1,[-1.2]=-2,[1]=1.对于函数f (x ),若存在m ∈R 且m ∉Z,使得f (m )=f ([m ]),则称函数f (x )是Ω函数. (1)判断函数f (x )=x 2-13x ,g (x )=sin πx 是不是Ω函数(只需写出结论);(2)已知f (x )=x +x x,请写出a 的一个值,使得f (x )为Ω函数,并给出证明. 解析 (1)f (x )=x 2-13x 是Ω函数,g (x )=sin πx 不是Ω函数. (2)a =32.证明:设k ∈N *,取a ∈(k 2,k 2+k ),令[m ]=k ,m =x x ,则一定有m -[m ]=xx -k =x -x 2x∈(0,1),且f (m )=f ([m ]),所以f (x )是Ω函数.。

第2讲函数与导数一、单选题1．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ，则221()k f k （）A ．3B ．2C ．0D ．1【答案】A 【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数 f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为 f x y f x y f x f y ，令1,0x y 可得， 2110f f f ，所以 02f ，令0x 可得，2f y f y f y ，即 f y f y ，所以函数 f x 为偶函数，令1y 得，111f x f x f x f f x ，即有 21f x f x f x ，从而可知 21f x f x ，14f x f x ，故 24f x f x ，即 6f x f x ，所以函数 f x 的一个周期为6．因为 210121f f f ， 321112f f f ， 4221f f f ， 5111f f f ， 602f f ，所以一个周期内的 1260f f f ．由于22除以6余4，所以 221123411213k f k f f f f ．故选：A ．2．（2022·全国·高考真题（理））已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x ．若()y g x 的图像关于直线2x 对称，(2)4g ，则221()k f k （）A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x ，从而得到 352110f f f ，462210f f f ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到 36g 从而得到 1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x 的图像关于直线2x 对称，所以 22g x g x ，因为()(4)7g x f x ，所以(2)(2)7g x f x ，即(2)7(2)g x f x ，因为()(2)5f x g x ，所以()(2)5f x g x ，代入得 ()7(2)5f x f x ，即()(2)2f x f x ，所以 35212510f f f ，46222510f f f .因为()(2)5f x g x ，所以(0)(2)5f g ，即 01f ，所以 (2)203f f .因为()(4)7g x f x ，所以(4)()7g x f x ，又因为()(2)5f x g x ，联立得， 2412g x g x ，所以()y g x 的图像关于点 3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以 36g 因为()(2)5f x g x ，所以 1531f g .所以 221123521462213101024()k f f f f f f f f f k .故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.3．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且3l ）A ．8118,4B ．2781,44C ．2764,43D ．[18,27]【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36 ，所以球的半径3R ,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h ，22232(3)a h ,所以26h l ，2222a l h所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ，所以5233112449696l l V l l，当3l 0V ，当l 时，0V ，所以当l 时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l 时，274V，l 814V ,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.4．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ，，则（）A ．a b cB ．c b aC ．c a bD ．a c b【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ln(1)f x x x ，导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【详解】设()ln(1)(1)f x x x x ，因为1()111x f x x x，当(1,0)x 时，()0f x ，当,()0x 时()0f x ，所以函数()ln(1)f x x x 在(0,) 单调递减，在(1,0) 上单调递增，所以1((0)09f f ，所以101ln 099 ，故110ln ln 0.999，即b c ，所以1((0)010f f ，所以91ln +01010 ，故1109e 10 ，所以11011e 109，故a b ，设()e ln(1)(01)xg x x x x ，则 21e 11()+1e 11x xx g x x x x,令2()e (1)+1x h x x ，2()e (21)x h x x x ，当01x 时，()0h x ，函数2()e (1)+1x h x x 单调递减，11x 时，()0h x ，函数2()e (1)+1x h x x 单调递增，又(0)0h ，所以当01x 时，()0h x ，所以当01x 时，()0g x ，函数()e ln(1)x g x x x 单调递增，所以(0.1)(0)0g g ，即0.10.1e ln 0.9 ，所以a c 故选：C.5．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3] 的大致图像，则该函数是（）A ．3231x x y x B ．321x xy x C ．22cos 1x x y xD ．22sin 1x y x【答案】A 【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设 321x xf x x ，则 10f ，故排除B;设 22cos 1x x h x x，当π0,2x时，0cos 1x ，所以 222cos 2111x x xh x x x ，故排除C;设 22sin 1x g x x ，则2sin 33010g ，故排除D.故选：A.6．（2022·全国·高考真题（文））函数 cos 1sin 1f x x x x 在区间 0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．ππ22，B ．3ππ22，C ．ππ222，D ．3ππ222，【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得 f x 的单调区间，从而判断出 f x 在区间 0,2π上的最小值和最大值.【详解】sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x ，所以 f x 在区间π0,2 和3π,2π2 上 0f x ，即 f x 单调递增；在区间π3π,22上 0f x ，即 f x 单调递减，又 02π2f f ，ππ222f ，3π3π3π11222f，所以 f x 在区间 0,2π上的最小值为3π2 ，最大值为π22.故选：D7．（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ，则（）A ．c b aB ．b a cC ．a b cD ．a c b【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b 结合三角函数的性质可得c b ；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x ，利用导数可得b a ，即可得解.【详解】因为14tan 4c b ,因为当π0,,sin tan 2x x x x所以11tan44,即1cb ,所以c b ；设21()cos 1,(0,)2f x x x x，()sin 0f x x x ，所以()f x 在(0,) 单调递增，则1(0)=04f f,所以131cos 0432 ，所以b a ,所以c b a ，故选：A8．（2022·全国·高考真题（理））函数 33cos x xy x 在区间ππ,22的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令33cos ,,22x xf x x x，则 33cos 33cos x x x xf x x x f x ，所以 f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x时，330,cos 0x x x ，所以 0f x ，排除C.故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））当1x 时，函数()ln bf x a x x取得最大值2 ，则(2)f （）A ．1B ．12C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-， 10f 即可解得,a b ，再根据 f x 即可解出．【详解】因为函数 f x 定义域为 0, ，所以依题可知，()12f =-， 10f ，而 2a b f x x x，所以2,0b a b ，即2,2a b ，所以 222f x x x，因此函数 f x 在 0,1上递增，在 1, 上递减，1x 时取最大值，满足题意，即有 112122f ．故选：B.10．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ，则（）A ．0a bB ．0a b C ．0b a D ．0b a【答案】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m ，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m ，8log 9m ，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m可得9lg10log 101lg9m ，而222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022，所以lg10lg11lg9lg10，即lg11m ，所以lg11101110110m a ．又 222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922，所以lg9lg10lg8lg9 ，即8log 9m ，所以8log 989890m b ．综上，0a b ．故选：A.二、多选题11．（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x 的图像关于点2π,03中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212有两个极值点C ．直线7π6x 是曲线()y f x 的对称轴D ．直线32y x 是曲线()y f x 的切线【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f，所以4ππ3k ，k Z ，即4ππ,3k kZ ，又0π ，所以2k 时，2π3，故2π()sin 23f x x．对A ，当5π0,12x时，2π2π3π2,332x，由正弦函数sin y u 图象知()y f x 在5π0,12上是单调递减；对B ，当π11π,1212x时，2ππ5π2,322x ，由正弦函数sin y u 图象知()y f x 只有1个极值点，由2π3π232x，解得5π12x ，即5π12x 为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x时，2π23π3x ，7π(06f ，直线7π6x 不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x 得：2π1cos 232x，解得2π2π22π33x k或2π4π22π,33x k k Z ,从而得：πx k 或ππ,3x k kZ ,所以函数()y f x 在点处的切线斜率为02π2cos 13x k y ，切线方程为：(0)y x 即y x ．故选：AD ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数()f x 及其导函数() f x 的定义域均为R ，记()()g x f x ，若322f x，(2)g x 均为偶函数，则（）A ．(0)0fB ．102gC ．(1)(4)f f D ．(1)(2)g g 【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322f x，(2)g x 均为偶函数，所以332222f x f x即3322f x f x，(2)(2)g x g x ，所以 3f x f x ，(4)()g x g x ，则(1)(4)f f ，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x 对称，又()()g x f x ，且函数()f x 可导，所以 30,32g g x g x，所以 (4)()3g x g x g x ，所以 (2)(1)g x g x g x ，所以13022g g， 112g g g ，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C （C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.13．（2022·全国·高考真题）已知函数3()1f x x x ，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x 的对称中心D ．直线2y x 是曲线()y f x 的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题， 231f x x ，令 0f x 得x 33x ，令()0f x 得x所以()f x 在(,33上单调递减，在(,)3 ，3(,)3上单调递增，所以3x 是极值点，故A 正确；因(10f，10f ， 250f ，所以，函数 f x在,3上有一个零点，当x时，03f x f ，即函数 f x在3+上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x ，该函数的定义域为R ， 33h x x x x x h x ，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x 的对称中心，故C 正确；令 2312f x x ，可得1x ，又 (1)11f f ，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x ，当切点为(1,1) 时，切线方程为23y x ，故D 错误.故选：AC.三、双空题14．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】1e y x1ey x【解析】【分析】分0x 和0x 两种情况，当0x 时设切点为 00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x 时同理可得；【详解】解：因为ln y x ，当0x 时ln y x ，设切点为 00,ln x x ，由1y x，所以001|x x y x ，所以切线方程为 0001ln y x x x x ，又切线过坐标原点，所以 0001ln x x x，解得0e x ，所以切线方程为 11e e y x ，即1ey x ；当0x 时 ln y x ，设切点为 11,ln x x ，由1y x，所以111|x x y x ，所以切线方程为1111ln y x x x x ，又切线过坐标原点，所以 1111ln x x x，解得1e x ，所以切线方程为 11e e y x ，即1e y x ；故答案为：1ey x ；1e y x 15．（2022·全国·高考真题（文））若 1ln 1f x a b x 是奇函数，则 a _____，b ______．【答案】12 ；ln 2．【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】因为函数 1ln 1f x a b x为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x 可得， 110x a ax ，所以11a x a ，解得：12a ，即函数的定义域为 ,11,11, ，再由 00f 可得，ln 2b ．即 111ln ln 2ln 211x f x x x，在定义域内满足 f x f x ，符合题意．故答案为：12；ln 2．四、填空题16．（2022·全国·高考真题（理））已知1x x 和2x x 分别是函数2()2e x f x a x （0a 且1a ）的极小值点和极大值点．若12x x ，则a 的取值范围是____________．【答案】1,1e【解析】【分析】由12,x x 分别是函数 22e x f x a x 的极小值点和极大值点，可得 12,,x x x 时， 0f x ，12,x x x 时， 0f x ，再分1a 和01a 两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x 的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a 与函数e y x 的图象有两个不同的交点，构造函数 ln xg x a a ，利用指数函数的图象和图象变换得到 g x 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解： 2ln 2e x f x a a x ，因为12,x x 分别是函数 22e x f x a x 的极小值点和极大值点，所以函数 f x 在 1,x 和 2,x 上递减，在 12,x x 上递增，所以当 12,,x x x 时， 0f x ，当 12,x x x 时， 0f x ，若1a 时，当0x 时，2ln 0,2e 0x a a x ，则此时 0f x ，与前面矛盾，故1a 不符合题意，若01a 时，则方程2ln 2e 0x a a x 的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x 的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a 与函数e y x 的图象有两个不同的交点，∵01a ,∴函数x y a 的图象是单调递减的指数函数，又∵ln 0a ,∴ln x y a a 的图象由指数函数x y a 向下关于x 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的ln a 倍得到，如图所示：设过原点且与函数 y g x 的图象相切的直线的切点为00,ln x x a a ，则切线的斜率为 020ln x g x a a ，故切线方程为 0020ln ln x x y a a a a x x ，则有0020ln ln x x a a x a a ，解得01ln x a，则切线的斜率为122ln ln e ln a a a a ，因为函数ln x y a a 与函数e y x 的图象有两个不同的交点，所以2eln e a ，解得1e ea ，又01a ，所以11ea ，综上所述，a 的范围为1,1e.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.17．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】,40, 【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e x y x a ，∴(1)e x y x a ，设切点为 00,x y ,则 000e x y x a ,切线斜率 001e x k x a ,切线方程为： 00000e 1e x x y x a x a x x ,∵切线过原点，∴ 00000e 1e x x x a x a x ,整理得：2000x ax a ,∵切线有两条，∴240a a ,解得4a <-或0a ,∴a 的取值范围是 ,40, ,故答案为：,40, 五、解答题18．（2022·全国·高考真题（文））已知函数1()(1)ln f x ax a x x．(1)当0a 时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】(1)1(2)0, 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得 211ax x f x x，按照0a 、01a 及1a 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.(1)当0a 时， 1ln ,0f x x x x ，则 22111x f x x x x，当 0,1 x 时，()0f x ¢>， f x 单调递增；当 1,x 时，()0f x ¢<， f x 单调递减；所以 max 11f x f ；(2)11ln ,0f x ax a x x x ，则 221111ax x a f x a x x x ，当0a 时，10 ax ，所以当 0,1 x 时，()0f x ¢>， f x 单调递增；当 1,x 时，()0f x ¢<， f x 单调递减；所以 max 110f x f a ，此时函数无零点，不合题意；当01a 时，11a ，在 10,1,,a上，()0f x ¢>， f x 单调递增；在11,a上，()0f x ¢<， f x 单调递减；又 110f a ，由（1）得1ln 1x x ，即1ln 1x x ，所以ln x x x当1x 时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x则存在2312m a a，使得 0f m ，所以 f x 仅在1,a有唯一零点，符合题意；当1a 时， 2210x f x x ，所以 f x 单调递增，又 110f a ，所以 f x 有唯一零点，符合题意；当1a 时，11a ，在 10,,1,a上，()0f x ¢>， f x 单调递增；在1,1a上，()0f x ¢<， f x 单调递减；此时 110f a ，由（1）得当01x 时，1ln 1xx ，1 ln 21x，此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x 存在2114(1)n a a，使得()0f n ，所以 f x 在10,a 有一个零点，在1,a无零点，所以 f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为 0, .【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.19．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x ．(1)当1a 时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x 时，()1f x ，求a 的取值范围；(3)设n Nln(1)n ．【答案】(1) f x 的减区间为 ,0 ，增区间为 0, .(2)12a (3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得 f x 的单调性.（2）设 e e 1ax x h x x ，求出 h x ，先讨论12a 时题设中的不等式不成立，再就102a 结合放缩法讨论 h x 符号，最后就0a 结合放缩法讨论 h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t tt 对任意的1t 恒成立，从而可得 ln 1ln n n *n N 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a 时， 1e x f x x ，则 e x f x x ，当0x 时，()0f x ¢<，当0x 时，()0f x ¢>，故 f x 的减区间为 ,0 ，增区间为 0, .(2)设 e e 1ax x h x x ，则 00h ，又 1e e ax x h x ax ，设 1e e ax x g x ax ，则 22e e ax x g x a a x ，若12a ，则 0210g a ，因为 g x 为连续不间断函数，故存在 00,x ，使得 00,x x ，总有()0g x ¢>，故 g x 在 00,x 为增函数，故 00g x g ，故 h x 在 00,x 为增函数，故 01h x h ，与题设矛盾.若102a ，则 ln 11e e e e ax ax ax x x h x ax ，下证：对任意0x ，总有 ln 1x x 成立，证明：设 ln 1S x x x ，故 11011x S x x x，故 S x 在 0, 上为减函数，故 00S x S 即 ln 1x x 成立.由上述不等式有 ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x ，故 0h x 总成立，即 h x 在 0, 上为减函数，所以 01h x h .当0a 时，有 e e e 1100ax x ax h x ax ，所以 h x 在 0, 上为减函数，所以 01h x h .综上，12a.(3)取12a ，则0x ，总有12e e 10x x x 成立，令12e x t ，则21,e ,2ln x t t x t ，故22ln 1t t t 即12ln t t t 对任意的1t 恒成立.所以对任意的*n N ，有整理得到：ln 1ln n nln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n nln 1n ，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.20．（2022·全国·高考真题）已知函数()x f x e ax 和()ln g x ax x 有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b ，其与两条曲线()y f x 和()y g x 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)1a (2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b 时，e x x b 的解的个数、ln x x b 的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 ,f x g x 的大小关系，根据存在直线y b 与曲线 y f x 、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax 的定义域为R ，而()e x f x a ，若0a ，则()0f x ，此时()f x 无最小值，故0a .()ln g x ax x 的定义域为 0, ，而11()ax g x a x x.当ln x a 时，()0f x ，故()f x 在 ,ln a 上为减函数，当ln x a 时，()0f x ，故()f x 在 ln ,a 上为增函数，故 min ()ln ln f x f a a a a .当10x a时，()0g x ，故()g x 在10,a 上为减函数，当1x a 时，()0g x ，故()g x 在1,a上为增函数，故min 11()1ln g x g a a.因为()e x f x ax 和()ln g x ax x 有相同的最小值，故11ln ln a a a a ，整理得到1ln 1a a a，其中0a ，设 1ln ,01a g a a a a ，则222211011a g a a a a a ，故 g a 为 0, 上的减函数，而()10g =，故 0g a 的唯一解为1a ，故1ln 1a a a的解为1a .综上，1a .(2)由（1）可得e ()x x f x 和()ln g x x x 的最小值为11ln11ln 11 .当1b 时，考虑e x x b 的解的个数、ln x x b 的解的个数.设 e x S x x b ， e 1x S x ，当0x 时， 0S x ，当0x 时， 0S x ，故 S x 在 ,0 上为减函数，在 0, 上为增函数，所以 min 010S x S b ，而 e 0b S b ， e 2b S b b ，设 e 2b u b b ，其中1b ，则 e 20b u b ，故 u b 在 1, 上为增函数，故 1e 20u b u ，故 0S b ，故 e x S x x b 有两个不同的零点，即e x x b 的解的个数为2.设 ln T x x x b ， 1x T x x，当01x 时，()0T x ¢<，当1x 时， 0T x ，故 T x 在()0,1上为减函数，在 1, 上为增函数，所以 min 110T x T b ，而 e e 0b b T ， e e 20b b T b ，ln T x x x b 有两个不同的零点即ln x x b 的解的个数为2.当1b ，由（1）讨论可得ln x x b 、e x x b 仅有一个零点，当1b 时，由（1）讨论可得ln x x b 、e x x b 均无零点，故若存在直线y b 与曲线 y f x 、()y g x =有三个不同的交点，则1b .设()e ln 2x h x x x ，其中0x ，故1()e 2x h x x，设 e 1x s x x ，0x ，则 e 10x s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s 即e 1x x ，所以1()1210h x x x，所以()h x 在 0, 上为增函数，而(1)e 20h ，31e 333122()e 3e 30e e eh ，故 h x 在 0, 上有且只有一个零点0x ，0311e x 且：当00x x 时， 0h x 即e ln x x x x 即 f x g x ，当0x x 时， 0h x 即e ln x x x x 即 f x g x ，因此若存在直线y b 与曲线 y f x 、()y g x =有三个不同的交点，故 001b f x g x ，此时e x x b 有两个不同的零点1010,(0)x x x x ，此时ln x x b 有两个不同的零点0404,(01)x x x x ，故11e x x b ，00e x x b ，44ln 0x x b ，00ln 0x x b 所以44ln x b x 即44e x b x 即 44e 0x b x b b ，故4x b 为方程e x x b 的解，同理0x b 也为方程e x x b 的解又11e x x b 可化为11e x x b 即 11ln 0x x b 即 11ln 0x b x b b ，故1x b 为方程ln x x b 的解，同理0x b 也为方程ln x x b 的解，所以 1004,,x x x b x b ，而1b ，故0410x x b x x b 即1402x x x .【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.21．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 ln 1e x f x x ax (1)当1a 时，求曲线 y f x 在点 0,0f 处的切线方程；(2)若 f x 在区间 1,0,0, 各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】(1)2y x(2)(,1)【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,) 两部分研究(1)()f x 的定义域为(1,)当1a 时,()ln(1),(0)0e x x f x x f ,所以切点为(0,0)11(),(0)21e x x f x f x ,所以切线斜率为2所以曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x(2)()ln(1)e x ax f x x2e 11(1)()1e (1)e x x xa x a x f x x x 设 2()e 1x g x a x 1 若0a ,当 2(1,0),()e 10x x g x a x ,即()0f x 所以()f x 在(1,0) 上单调递增,()(0)0f x f 故()f x 在(1,0) 上没有零点,不合题意2 若10a ,当,()0x ,则()e 20x g x ax 所以()g x 在(0,) 上单调递增所以()(0)10g x g a ,即()0f x 所以()f x 在(0,) 上单调递增,()(0)0f x f 故()f x 在(0,) 上没有零点,不合题意3 若1a (1)当,()0x ,则()e 20x g x ax ,所以()g x 在(0,) 上单调递增(0)10,(1)e 0g a g 所以存在(0,1)m ,使得()0g m ,即()0 f m 当(0,),()0,()x m f x f x 单调递减当(,),()0,()x m f x f x 单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f 当,()x f x所以()f x 在(,)m 上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,) 上有唯一零点(2)当2(1,0),()e 1x x g x a x 设()()e 2x h x g x ax()e 20x h x a 所以()g x 在(1,0) 单调递增1(1)20,(0)10eg a g 所以存在(1,0)n ,使得()0g n 当(1,),()0,()x n g x g x 单调递减当(,0),()0,()x n g x g x 单调递增,()(0)10g x g a 又1(1)0eg 所以存在(1,)t n ,使得()0g t ,即()0f t 当(1,),()x t f x 单调递增,当(,0),()x t f x 单调递减有1,()x f x而(0)0f ,所以当(,0),()0x t f x 所以()f x 在(1,)t 上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0) 上有唯一零点所以1a ,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,) 各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.22．（2022·全国·高考真题（理））已知函数 ln x f x x a xx e ．(1)若 0f x ，求a 的取值范围；(2)证明：若 f x 有两个零点12,x x ，则环121x x ．【答案】(1)(,1]e (2)证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为1e 11e 2ln 02x x x x x x x，再利用导数即可得证.(1)()f x 的定义域为(0,) ，2111()e 1x f x x x x1111e 1e 11x x x x x x x x 令()0f x ,得1x 当(0,1),()0,()x f x f x 单调递减当(1,),()0,()x f x f x 单调递增()(1)e 1f x f a ，若()0f x ,则e 10a ,即1a e 所以a 的取值范围为(,1]e (2)由题知, f x 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设121x x <<要证121x x ,即证121x x 因为121,(0,1)x x ,即证 121f x f x 因为 12f x f x ,即证 221f x f x 即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x下面证明1x 时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x 设11(),e e xx g x x xx ，则11122111111()e e e 1e e 1x x x xx g x x x x x x x x111e 1e 1e e x x x x x x x x x设 22e 1111,e e 0xx x x x x x xx x x 所以 1e x ,而1e ex 所以1e e 0xx x,所以()0g x 所以()g x 在(1,) 单调递增即()(1)0g x g ,所以1e e 0x x x x令11()ln ,12h x x x x x2222211121(1)()10222x x x h x x x x x 所以()h x 在(1,) 单调递减即()(1)0h x h ,所以11ln 02x x x；综上,1e 11e 2ln 02x x x x x x x,所以121x x .【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式11()ln 2h x x x x 这个函数经常出现，需要掌握。

专题3.5 导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【题型1 根据函数图象判断极值】【方法点拨】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点.【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（）A．3个驻点B．4个极值点C．1个极小值点D．1个极大值点【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质．【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．故选：C．【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．﹣1是f（x）的极小值点B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减D．﹣3是f（x）的极小值点【解题思路】根据题意，由函数导数与单调性的关系依次分析选项，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在x＝﹣1左右都有f′（x）＜0，﹣1不是f（x）的极值，A错误；对于B，f′（x）的图象在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率即f′（2）小于零，B正确；对于C，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C错误；对于D，f′（x）的图象在（﹣∞，﹣3）上，f′（x）＞0，在（﹣3，3）上，f′（x）＜0，则﹣3是f （x）的极大值点，D错误；故选：B．【变式1-2】（2022春•朝阳区校级月考）如图，可导函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），设h（x）＝g（x）﹣f（x），h'（x）为h（x）的导函数，则下列结论中正确的是（）A．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极大值点B．h'（x0）＝0，x0是h（x）的极小值点C．h'（x0）≠0，x0不是h（x）的极大值点D．h'（x0）≠0，x0是h（x）的极值点【解题思路】由图判断函数h（x）的单调性，结合y＝g（x）为y＝f（x）在点P处的切线方程，则有h'（x0）＝0，由此可判断极值情况．【解答过程】解：由题得，当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，又h'（x0）＝g'（x0）﹣f'（x0）＝0，则有x0是h（x）的极小值点，故选：B．【变式1-3】（2022春•南阳期末）函数f（x）的导函数是f'（x），下图所示的是函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像，下列说法正确的是（）A．x＝﹣1是f（x）的零点B．x＝2是f（x）的极大值点C．f（x）在区间（﹣2，﹣1）上单调递增D．f（x）在区间[﹣2，2]上不存在极小值【解题思路】根据函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像判断f′（x）的符号，进而判断f（x）的单调性和极值即可．【解答过程】解：由函数y＝（x+1）•f'（x）（x∈R）的图像知，当﹣2＜x＜﹣1时，x+1＜0，y＞0，∴f'（x）＜0，f（x）在（﹣2，﹣1）上减函数，当﹣1＜x＜2时，x+1＞0，y＞0，∴f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，2）上增函数，当x＞2时，x+1＞0，y＜0，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上减函数，∴x＝﹣1、x＝2分别是f（x）的极小值点、极大值点．∴选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【题型2 求已知函数的极值（点）】【方法点拨】求函数f(x)极值的一般解题步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．【例2】（2022•扬中市校级开学）已知函数f(x)=12x−sinx在[0，π2]上的极小值为（）A ．π12−√32B ．π12−12C ．π6−12D ．π6−√32【解题思路】根据极小值的定义，结合导数的性质进行求解即可． 【解答过程】解：由f(x)=12x −sinx ⇒f′(x)=12−cosx ， 当x ∈(0，π3)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈(π3，π2)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以π3是函数的极小值点，极小值为：f(π3)=π6−√32， 故选：D ．【变式2-1】（2022春•资阳期末）函数f （x ）＝x 3﹣3x 的极大值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．2【解题思路】求导，利用导数确定f （x ）的单调区间，从而即可求极大值． 【解答过程】解：因为f （x ）＝x 3﹣3x ，x ∈R ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣1或x ＝1，所以当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；所以f （x ）的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），（1，∞）；单调递减区间为（﹣1，1）． 所以f （x ）极大值＝f （﹣1）＝2． 故选：D ．【变式2-2】（2022春•平谷区期末）函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为（ ） A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【解题思路】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可． 【解答过程】解：对于函数f （x ）＝x +2cos x ，f ′（x ）＝1﹣2sin x ， 因为x ∈[0，π]，当0＜x ＜π6时，f ′（x ）＞0， 当π6＜x ＜5π6时，f ′（x ）＜0，当5π6＜x ＜π时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数． 因此，函数f （x ）＝x +2cos x 在[0，π]上的极小值点为5π6．故选：C ．【变式2-3】（2022春•新乡期末）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2（2﹣x ）3，则f （x ）的极大值点为（ ） A ．1B ．75C ．﹣1D ．2【解题思路】解：因为f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ），所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【解答过程】解：f '（x ）＝2（x ﹣1）（2﹣x ）3﹣3（x ﹣1）2（2﹣x ）2＝（x ﹣1）（2﹣x ）2（7﹣5x ）， 令f ′（x ）＝0得x ＝1或x =75，所以f （x ）在（﹣∞，1），(75，+∞)上单调递减，在(1，75)上单调递增， 所以f （x ）的极大值点为75，故选：B ．【题型3 由函数的极值（点）求参数】 【方法点拨】根据函数极值情况求参数的两个要领：①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求出参数后，验证所求结果是否满足题意．【例3】（2022春•龙海市校级期末）函数f （x ）＝4x 3﹣ax 2﹣2bx +2在x ＝1处有极大值﹣3，则a ﹣b 的值等于（ ） A ．0B ．6C ．3D ．2【解题思路】对函数求导，利用f （1）＝﹣3以及f ′（1）＝0解出a ，b ，进而得出答案． 【解答过程】解：由题意得f ′（x ）＝12x 2﹣2ax ﹣2b ，因为f （x ）在x ＝1处有极大值﹣3， 所以f ′（1）＝12﹣2a ﹣2b ＝0，f （1）＝4﹣a ﹣2b +2＝﹣3，解得a ＝3，b ＝3， 所以a ﹣b ＝0． 故选：A ．【变式3-1】（2022春•哈尔滨期末）若函数f(x)=6alnx +12x 2−(a +6)x 有2个极值点，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，6）∪（6，+∞）B．（0，6）∪（6，+∞）C．{6}D．（0，+∞）【解题思路】根据条件函数f（x）有两个极值点，转化为方程f′（x）＝0有两个不等正实数根，得到求解．【解答过程】解：函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=6ax+x−(a+6)=(x−6)(x−a)x，令f′（x）＝0得，x＝6或x＝a，∵函数f（x）有2个极值点，∴f'（x）＝0有2个不同的正实数根，∴a＞0且a≠6，故选：B．【变式3-2】（2022春•淄博期末）已知x＝2是函数f（x）＝ax3﹣3x2+a的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．﹣3B．0C．1D．2【解题思路】先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a，进而可求函数的极大值．【解答过程】解：因为f′（x）＝3ax2﹣6x，由题意可得，f′（2）＝12a﹣12＝0，故a＝1，f′（x）＝3x2﹣6x，当x＞2或x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝0时，函数取得极大值f（0）＝1．故选：C．【变式3-3】（2022春•赣州期末）已知函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）在x＝1处取得极值，则a+b的最大值为（）A．1B．√2C．2D．2√2【解题思路】根据题意，对函数求导，令f′（1）＝0可求得a2+b2＝2，利用基本不等式可求a+b的最大值．【解答过程】解：函数f（x）＝x3+a2x2+（2b2﹣7）x+1（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）＝3x2+2a2x+2b2﹣7，因为函数在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝3+2a2+2b2﹣7＝0，即a2+b2＝2，因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝2，即（a +b ）2﹣2＝2ab ， 因为ab ≤(a+b 2)2，所以(a +b)2−2≤2(a+b 2)2， 整理得（a +b ）2≤4，所以a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，此时f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣5＝（3x +5）（x ﹣1），满足函数在x ＝1处取得极值， 所以a +b 的最大值为2， 故选：C ．【题型4 利用导数求函数的最值】 【方法点拨】(1)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增或单调递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值， 最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极大(或极小)值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导 数的实际应用中经常用到．【例4】（2022•河南开学）函数f(x)=x 2−2x +8x 在（0，+∞）上的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解题思路】由题意求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值．【解答过程】解：因为f ′(x)=2x −2−8x 2=(x 3−2x 2)+(x 3−8)x 2=(x−2)(2x 2+2x+4)x 2，所以f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 故f （x ）min ＝f （2）＝4． 故选：C ．【变式4-1】（2022春•中山市校级月考）函数y ＝x ﹣2sin x 在区间[0，2]上的最小值是（ ） A ．π6−√3B ．−π3−√3C ．−π6−√3D ．π3−√3【解题思路】利用导数研究函数区间单调性，进而求其最小值即可． 【解答过程】解：由y ′＝1﹣2cos x ， 当0≤x ＜π3时，y ′＜0，即y 递减； 当π3＜x ≤2时，y ′＞0，即y 递增；所以y min =π3−2sin π3=π3−√3．【变式4-2】（2022春•乐山期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ，则函数f （x ）在[1，2]上的最小值为（ ） A ．1B ．√22C ．18+12ln2 D ．12+12ln2【解题思路】求导确定函数在[1，2]上的单调性，求出最小值即可．【解答过程】解：因为f （x ）＝x 2﹣lnx （x ＞0），所以f ′（x ）＝2x −1x =2x 2−1x ，所以当x ∈[1，2]时，f ′（x ）=2x 2−1x ＞0，则f （x ）在[1，2]上单调递增，则f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）＝1． 故选：A ．【变式4-3】（2022•绿园区校级开学）函数f （x ）＝lnx +1x −12与g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x 的最小值分别为a ，b ，则（ ） A ．a ＝b B ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ，b 的大小不能确定【解题思路】根据函数的单调性分别求出函数f （x ），g （x ）的最小值，比较a ，b 即可． 【解答过程】解：f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′(x)=1−1x =x−1x， 令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1， f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， f （x ）的最小值是f （1）＝1，故a ＝1， g （x ）＝xe x ﹣lnx ﹣x ，定义域（0，+∞）， g ′(x)=(x +1)e x −1x −1=x+1x (xe x −1)，令h （x ）＝xe x ﹣1，则h ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，x ∈（0，+∞），则可得h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且h （0）＝﹣1＜0，h （1）＝e ﹣1＞0， 故存在x 0∈（0，1）使得h （x ）＝0即x 0e x 0=1，即x 0+lnx 0＝0， 当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增，故当x ＝x 0时，函数取得最小值g(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−x 0=1−lnx 0−x 0=1，即b ＝1， 所以a ＝b ，【题型5 由函数的最值求参数】【例5】（2022春•烟台期末）若函数f(x)=x 3−3a 2x 2+4在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．103【解题思路】对函数求导后，分a ≤0和a ＞0两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a 的值． 【解答过程】解：由f(x)=x 3−3a 2x 2+4，得f '（x ）＝3x 2﹣3ax ＝3x （x ﹣a ）， 当a ≤0时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增，所以f(x)min =f(1)=1−3a2+4=0，解得a =103（舍去）， 当a ＞0时，由f '（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a ， 当0＜a ≤1时，f '（x ）＞0在[1，2]上恒成立， 所以f （x ）在[1，2]上递增， 所以f(x)min =f(1)=1−3a 2+4=0，解得a =103（舍去）， 当1＜a ＜2时，当1＜x ＜a 时，f '（x ）＜0，当a ＜x ＜2时，f '（x ）＞0， 所以f （x ）在（1，a ）上递减，在（a ，2）上递增，所以当x ＝a 时，f （x ）取得最小值，所以f(a)=a 3−3a2a 2+4=0，解得a ＝2（舍去）， 当a ≥2时，当1≤x ≤2时，f '（x ）＜0，所以f （x ）在[1，2]上递减， 所以f(x)min =f(2)=23−3a2×4+4=0，解得a ＝2， 综上，a ＝2， 故选：C ．【变式5-1】（2022春•贵阳期末）若函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在x ≤20222021上的最小值为e +1，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．20202021D ．20212020【解题思路】判断函数f （x ）的定义域，可知函数f （x ）在定义域上单调递增，由此可建立关于a 的方程，解出即可得到答案．【解答过程】解：函数的定义域为[1，20222021]，而函数y =e x ，y =lnx ，y =x √x −1在[1，+∞）上均为增函数，∴函数f(x)=e x +lnx +x √x −1+a 在[1，20222021]单调递增， ∴f （x ）min ＝f （1）＝e +a ＝e +1，解得a ＝1． 故选：B ．【变式5-2】（2022春•江北区校级期末）若函数f （x ）＝x 3﹣3x 在区间（2a ，a +3）上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2，12)B ．（﹣2，1）C ．[−1，12)D ．（﹣2，﹣1]【解题思路】由导数性质得f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1），x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2．由此利用函数性质列不等式即可求解a 的范围． 【解答过程】解：∵f （x ）＝x 3﹣3x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣3， 由f ′（x ）＝0，得x ＝±1，x ∈（﹣∞，﹣1）时，f ′（x ）＞0；x ∈（﹣1，1）时，f ′（x ）＜0；x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）的增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间是（﹣1，1）， ∴x ＝1时，f （x ）min ＝﹣2． f （x ）＝x 3﹣3x ＝﹣2时， x 3﹣3x +2＝0，x 3﹣x ﹣2x +2＝0， x （x 2﹣1）﹣2x +2＝0，x （x +1）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x 2+x ）（x ﹣1）﹣2（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）（x 2+x ﹣2）＝0， （x ﹣1）（x +2）（x ﹣1）＝0， （x ﹣1）2（x +2）＝0， 解得x ＝1，x ＝﹣2，∴﹣2≤2a ＜1＜a +3，∴﹣1≤a ＜12． 即实数a 的取值范围是[﹣1，12），故选：C．【变式5-3】（2022春•公安县校级月考）已知函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，若f（x）的最小值为0对任意x＞0恒成立，则实数a的最小值为（）A．2√eB．−2e C．1√eD．√e【解题思路】把f（x）转化为f（x）＝e2lnx+ax+1﹣（2lnx+ax+1）﹣1，证明e x﹣1≥x恒成立，得到f（x）≥0恒成立，从而得到a=−2lnx−1x，令g（x）=−2lnx−1x，利用导数求出函数g（x）的最小值即可求出结果．【解答过程】解：∵函数f（x）＝x2e ax+1﹣2lnx﹣ax﹣2，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1，令t＝lnx2+ax+1，则h（t）＝e t﹣t﹣1，f′（t）＝e t﹣1，当t∈（﹣∞，0）时h′（t）＜0，h（t）单调递减，当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，∴h（t）≥h（0）＝0，∴f(x)=e lnx2+ax+1−(lnx2+ax+1)−1≥0，等号成立的条件是lnx2+ax+1＝0，即a=−1−2lnxx在（0，+∞）上有解，设g(x)=−2lnx+1x，则g′(x)=−2−(2lnx+1)x2=2lnx−1x2，令g′（x）＝0，解得x=√e，∴当x∈(0，√e)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈(√e，+∞)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g(x)min=g(√e)=2√e，即a的最小值为2√e．故选：A．【题型6 极值和最值的综合问题】【方法点拨】解决函数极值、最值综合问题的策略：(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例6】（2022春•城厢区校级期末）已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R．（1）当k＝3时，求函数f（x）在（0，3）内的极值点；（2）若函数f（x）在[1，2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；（2）求得函数的解析式，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数k的取值范围．【解答过程】解：（1）k＝3时，f（x）＝x3﹣6x2+9x+1，则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），令f'（x）＝0得x1＝1，x2＝3，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），单调递减区间为（1，3）；所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．故f（x）在（0，3）内的极大值点为x＝1，无极小值点；（2）方法一：f'（x）＝3x2﹣3（k+1）x+3k＝3（x﹣1）（x﹣k），①当k≤1时，∀x∈[1，2]，f'（x）≥0，函数f（x）在区间[1，2]单调递增，所以f(x)min=f(1)=1−32(k+1)+3k+1=3，即k=53（舍）；②当k≥2时，∀x∈[1，2]，f'（x）≤0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝8﹣6（k+1）+3k⋅2+1＝3，符合题意；③当1＜k＜2时，当x∈[1，k）时，f'（x）≤0，f（x）区间在[1，k）单调递减，当x∈（k，2]时，f'（x）＞0，f（x）区间在（k，2]单调递减，所以f(x)min=f(k)=k3−32(k+1)k2+3k2+1=3，化简得：k3﹣3k2+4＝0，即（k+1）（k﹣2）2＝0，所以k＝﹣1或k＝2（都舍）；综上所述：实数k取值范围为k≥2．【变式6-1】（2022春•德州期末）已知函数f(x)=x3−3ax+1(a＞12 )．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求实数a的值；（2）当x∈[﹣2，1]时．求函数f（x）的最大值．【解题思路】（1）利用导数求得函数极值，代入计算即可得到a的值；（2）f'（x）＝0的根分类讨论，然后列表表示f'（x）的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．【解答过程】解：（1）由题意可知f'（x）＝3x2﹣3a，因为函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）＝0，即3﹣3a＝0，解得a＝1，经检验a＝1，符合题意，所以a＝1；（2）由（1）知f'（x）＝3x2﹣3a，令f'（x）＝0，x=±√a，当0＜√a＜1，即0＜a＜1时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，√a)√a(√a，1)1 f'（x）+0﹣0+f（x）﹣7+6a单调递增单调递减单调调增2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当1≤√a＜2，即1≤a＜4时，f（x）和f'（x）随x的变化情况如下表：x﹣2(−2，−√a)−√a(−√a，1)1f'（x）+0﹣f（x）﹣7+6a单调递增单调递减2﹣3a由表格可知f（x）在x=−√a取极大值，此时f(−√a)=2a√a+1＞2−3a，所以f（x）在[﹣2，1]的最大值为2a√a+1．当√a≥2即a≥4时，f'（x）＝3x2﹣3a≤0恒成立，即f（x）在[﹣2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f （﹣2）＝﹣7+6a ，综上所述，当12＜a ＜4时，f （x ）的最大值为2a √a +1；当a ≥4时，f （x ）的最大值为﹣7+6a ．【变式6-2】（2022春•漳州期末）已知函数f(x)=(x −1)e x −t2x 2−2x ，f '（x ）为f （x ）的导函数，函数g （x ）＝f '（x ）．（1）当t ＝1时，求函数g （x ）的最小值；（2）已知f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）且f(x 1)+52e −1＜0，求实数t 的取值范围． 【解题思路】（1）当t ＝1时，根据题意可得g （x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，求导得g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1，分析g （x ）的单调性，进而可得g （x ）min ．（2）问题可化为t =e x −2x，有两个根x 1，x 2，令ℎ(x)=e x −2x，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0，求导分析单调性，又x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0，推出t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)，分析f （x 1）的单调性，又φ(−1)=−52e +1，推出﹣1＜x 1＜0，即可得出答案．【解答过程】解：g （x ）＝f '（x ）＝xe x ﹣tx ﹣2，（1）当t ＝1时，g （x ）＝xe x ﹣x ﹣2，g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1， 当x ≤﹣1时，x +1≤0，e x ＞0， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1≤0﹣1＜0， 当﹣1＜x ＜0时，0＜x +1＜1，0＜e x ＜1， 所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＜1×1﹣1＝0， 当x ＞0时，x +1＞1，e x ＞1，所以g '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＞1×1﹣1＝0．综上g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数， 所以g （x ）min ＝g （0）＝﹣2．（2）依题有：方程g （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2， 方程g （x ）＝0可化为t =e x −2x ， 令ℎ(x)=e x −2x ，则ℎ′(x)=e x +2x 2＞0， 所以h （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）都是增函数，因为x →﹣∞时，h （x ）→0；x →+∞时，h （x ）→+∞且ℎ(12)＜0， 所以t ＞0且t =e x 1−2x 1=e x 2−2x 2(x 1＜0＜x 2)， 所以f(x 1)=(x 1−1)e x 1−t2x 12−2x 1 =(x 1−1)e x 1−12(e x 1−2x 1)x 12−2x 1=(−x 122+x 1−1)e x 1−x 1＜−52e +1，令φ(x)=(−x 22+x −1)e x −x(x ＜0)，则φ′(x)=−12x 2e x −1＜0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上为减函数，又因为φ(−1)=−52e +1， 所以﹣1＜x 1＜0， 所以t =e x 1−2x 1＞1e+2． 【变式6-3】（2022春•潞州区校级期末）有三个条件： ①函数f （x ）在x ＝1处取得极小值2； ②f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值6； ③函数f （x ）的极大值为6，极小值为2．这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题． 题目：已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax +b （a ＞0），并且 _____． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣3，1]时，求函数f （x ）的最值．【解题思路】（1）求出函数f （x ）的导数f ′（x ），选择条件①，②，利用给定的极值点及对应的极值列式求解并验证作答；选择条件③，判断极大值与极小值列式求解并验证作答． （2）利用（1）的结论，利用导数求出给定区间上的最值作答． 【解答过程】解：（1）选条件①：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(1)=0f(1)=2，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，当x ＞1时，f ′（x ）＞0， 则f （x ）在x ＝1处取得极小值2， 所以f （x ）＝x 3﹣3x +4；选条件②：求导得f ′（x ）＝3x 2﹣3a ，由{f ′(−1)=0f(−1)=6，得{a =1b =4，此时f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1），当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，当﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＝＜0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4．选条件③：求导得f′（x）＝3x2﹣3a，令f′（x）＝3x2﹣3a＝0，得x=±√a，当x＜−√a或x＞√a时，f′（x）＞0，当−√a＜x＜√a时时，f′（x）＜0，因此，当x=−√a时，f（x）取得极大值f（−√a），当x=√a时，f（x）取得极小值f（√a），于是得{(−√a)3−3a(−√a)+b=6(√a)3−3a√a+b=2，解得{a=1b=4，此时f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在x＝1处取得极小值2，在x＝﹣1处取得极大值6，所以f（x）＝x3﹣3x+4；（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣3x+4，当x∈[﹣3，1]时，f′（x）＝3（x+1）（x﹣1），当﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）在[﹣3，﹣1）上递增，在（﹣1，1]上递减，而f（﹣3）＝﹣14，f（1）＝2，所以f（x）max＝f（﹣1）＝6，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣14．。

2021年高三数学函数与方程专题复习新课标纵观近几年的新课程高考卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.一、高考命题展望：由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是xx 年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，例1.设为奇函数，).2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则（ ）例2.已知定义域为的函数是偶函数，并且在上是增函数，若，则的解集是（ ）例3.函数的定义域为且为奇函数，当时，则当时，的单调减区间为（ ）例4. 已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则例5.如果函数对任意实数，都有，则2.复合函数. 函数试题的设计始终围绕着几个基本初等函数，并通过这几个函数之间的串联、组合成为复合函数，达到对函数知识、方法和思想的深刻考查.因而对复合函数类问题，要掌握换元、分解、整体代入等方法，找到其母函数，从而化归为基本初等函数问题加以解决.例6.若，要使有意义，实数的取值范围是例7.若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到,则（ ）例8.已知，、为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是(A)2()()2a b ab f f f a b +>>+(B)2()()2a b ab f f f a b+>>+(C) (D)2()()2ab a b f f f a b +>>+ 例9.已知则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 . 例10.已知函数，有下列命题：①时，只有一个实数根②时，是奇函数③的图象关于点对称④方程至多有3个实数根，则正确的命题的序号为3.抽象函数.抽象函数问题是近几年高考中函数类问题的一个新的热点，由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力，故而应引起我们的高度重视.例11.已知的解析式可取为（A ） （B ） （C ） （D ） 例12. 若和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程有实数解，则不可能．．．是 （A ） （B ） （C ） （D ）例13.给出四个函数，分别满足：① ②③ ④又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是（ ）（A ）①-a ②-b ③-c④-d（B ）①-b ②-c ③-a ④-d （C ）①-c ②-a ③-b ④-d （D ）①-d ②-a ③-b ④-c例14.已知的定义域为,若与互为反函数且 (为非零常数),则=例15. 函数的定义域为，对于任意实数、，有：()()2()()22f f f f αβαβαβ+-+=且（1）求证：()()()f x f x f x π-==--（2）若，，证明：在递减4.数学思想.数学思想能从整体上深层次认识数学的实质，对数学知识、数学方法的运用起到导向作用.对数学思想的教学在新授课和第一轮复习中通常处在“隐含、渗透”阶段，在第二轮复习中就应提升到“介绍、运用”阶段，应更加明确，更加系统，这是一个从模糊到清晰的质的飞跃。

第二章函数（2022年文科数学高考备考版）第一节函数及其表示一、高考考点梳理（一）、函数与映射的定义1.映射设A和B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中总有唯一一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个映射，记作映射f：A→B.2.函数设A和B是两个非空的数集，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，映射f：A→B叫作从集合A到集合B的一个函数，记作函数y＝f(x)，x∈A.（二）、函数的有关概念1.函数的定义域、值域：函数y＝f(x)，（x∈A）中，x叫作自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．2.函数的三要素：定义域、值域和对应法则．3.相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相同函数。

4.分段函数(1)函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．二、历年高考真题题型分类突破题型一 求函数的最值【例1】（2021全国乙卷） 下列函数中最小值为4的是（ ） A. 224y x x =++B. 4sin sin y x x =+C. 222x x y -=+D. 4ln ln y x x=+解析：对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．题型二 分段函数及其应用【例2】（2018全国Ⅰ卷）设函数f(x)= ⎩⎨⎧2-x，x ≤01，x>0，则满足f(x+1)< f(2x)的x 的取值范围是（ ）A ．(-∞,-1]B ．(0,+ ∞)C ．(-1,0)D ．(-∞,0)解析： 当x ≤-1时，不等式等价于2-x-1<2-2x ,解得x<1,此时x ≤-1满足条件； 当-1<x ≤0时，不等式等价于1<2-2x , 解得x<0, 此时-1<x<0满足条件； 当x>0时，1<1不成立.综上，满足条件的x 取值范围是(-∞,0)，故选D.【例3】（2017全国Ⅲ卷）设函数1,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .解析：当0≤x 时，11211)21()(>+-++=-+x x x f x f41->∴x041≤<-x当102x <≤时，11()()21122x f x f x x +-=+-+>恒成立；当12x >时，12221x x -+>恒成立；综上，x 的取值范围为1(-,+)4∞.【例4】（2015全国Ⅰ卷）已知函数 ，且，则（ ）A. B. C. D.解析：∵，∴当时，，则，此等式显然不成立，当时，，解得，∴=，故选A.题型三 求函数的定义域、值域【例5】（2016全国Ⅱ卷）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）A. y =xB. y =lg xC. y =2xD. 解析：函数y=10lg x 的定义域、值域都是 (0,+ ∞)，而y =x ，y =2x 的定义域都是R ，排除A ，C ；y =lg x 的值域是R ，排除B ，故选D.第二节 函数的基本性质1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩()3f a =-(6)f a -=74-54-34-14-()3f a =-1a ≤1()223a f a -=-=-121a -=-1a >2log (1)3a -+=-7a =(6)f a -=(1)f -117224---=-y =一、高考考点梳理（一）、函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．3.单调区间的定义:如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．（二）、函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．（四）、奇偶函数的性质1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数是偶函数，两个偶函数的积函数是偶函数. ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数.3.若函数f(x)是奇函数且在x ＝0处有定义，则f(0)＝0. （五）、周期性1.周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f(x ＋T)＝f(x)，就把f(x)称为周期函数，称T 为这个函数的周期．2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 二、历年高考真题题型分类突破题型一 函数单调性的判断【例1】（2021全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）A. ()f x x =-B. ()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()2f x x = D. ()f x =解析：对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍.对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0-∞为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意，故选：D题型二 函数单调性的应用--比较大小【例2】（2019全国Ⅰ卷）已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：a ＝log 20.2＜log 21＝0，b ＝20.2＞20＝1， ∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c ＝0.20.3∈（0，1）， ∴a ＜c ＜b ，故选B ．题型三 函数单调性的应用--构造新函数【例3】（2020全国Ⅱ卷）若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<解析:11223323232233x y x y x x y y xy x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xxf x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233x yx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．题型四 函数奇偶性的判断【例4】（2021全国乙卷） 设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x --B. ()11f x -+C. ()11f x +-D. ()11f x ++解析:由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B ．【例5】（2014全国Ⅰ卷）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数解析:由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得：|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律，可知选C ．题型五 函数奇偶性的应用【例6】（2021全国甲卷） 设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 53-B. 13-C.13 D.53解析：由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C.【例7】（2019全国Ⅱ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=( )A ．B ．e 1x -+C ．D ．e 1x --+解析：当0<x 时，0->x ，()1--=-x f x e ，又()f x 为奇函数， 有()()1-=--=-+x f x f x e . 故选D.【例8】（2018全国Ⅲ卷）已知函数f(x)=ln(1-x 2-x)+1，f(a )=4，则f(-a )=________．e 1x--e 1x---解析：设g(x)= ln(1-x 2-x),g(x)为奇函数，f(a )=g(a )+1,f(-a )=g(-a )+1,相加可得f(-a )=-2，故填-2.【例9】（2017全国Ⅱ卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x ∈(－∞,0)时,f (x )＝2x 3＋x 2,则f (2)＝ .解析：∵f(x)是定义在R 上的奇函数,∴f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.故填12.题型六 函数单调性的应用--求参数的取值范围【例10】（2016全国Ⅰ卷）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13]C ．[-13,13]D ．[-1,-13]解析：2()sin cos sin 3f x x -x x a x =+，222'()1(cos sin )cos 3f x -x x a x ∴=-+，依题f'(x )≥0恒成立，即a cos x ≥2cos213x -恒成立，而(a cos x )min =-|a |，21111cos 21||[]33333x a a -≤-∴-≥-∈-，，解得，，故选C【例11】（2014全国Ⅱ卷）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是 （ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞解析：函数f （x ）=kx ﹣lnx 在区间（1，+∞）单调递增，∴当x ＞1时，f ′（x ）=k ﹣1x≥0，∴k ﹣1 ≥0，∴k ≥1，故选D ． 题型七 函数周期性的应用【例12】（2018全国Ⅲ卷）函数f(x)= tanx1+tan 2x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解析： f(x)= tanx 1+tan 2x =12sin2x ，则f(x)的最小正周期2πωT ==π，故选C ．题型八 函数奇偶性、周期性的综合应用【例13】（2018全国Ⅱ卷）已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( ) A ．-50B ．0C ．2D ．50解析：由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0；所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2.故选C.题型九 函数单调性、奇偶性的综合应用【例14】（2020全国Ⅱ卷）设函数331()f x x x =-，则()f x （ ） A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 解析：因为f(-x)= f(x)，所以f(x)是奇函数.令g (x )＝x 3 ,当x ＞0时，g (x )单调1递增，g (x )单调递减，所以在f(x)在(0,+∞)单调递增，故选A.【例15】（2015全国Ⅱ卷）设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 解析：由可知是偶函数,且在是增函数，所以 ，故选A . 题型十 求函数的单调区间【例16】（2017全国Ⅱ卷）函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,＋∞) D.(4,＋∞) 解析：依题意有x 2－2x －8＞0,解得x ＜-2或x ＞4,易知f(x)在(-∞,-2)单调递减,在(4,＋∞)单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(4,＋∞).故选D.21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x=+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<【例17】（2017全国Ⅱ卷）设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时,f(x)≤a x＋1,求a的取值范围.解析：(1)∵f(x)＝(1－x2)e x,∴f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝-1-2或x＝-1＋ 2.当x∈(-∞,-1-2)时,f′(x)＜0；当x∈(-1-2,-1＋2)时,f′(x)＞0；当x∈(-1＋2,＋∞)时,f′(x)＜0.∴f(x)在(-∞,-1-2)和(-1＋2,＋∞)单调递减,在(-1-2,-1＋2)单调递增.(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.当a≥1时,设函数h(x)＝(1－x)e x,则h′(x)＝－xe x＜0(x＞0),∴h(x)在[0,＋∞)单调递减.又h(0)＝1,∴h(x)≤1,∴f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤a x＋1.当0＜a＜1时,设函数g(x)＝e x－x－1,则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0). ∴g(x)在[0,＋∞)单调递增.又g(0)＝0,∴e x≥x＋1.当0＜x＜1时,f(x)＞(1－x)(1＋x)2,(1－x)(1＋x)2－a x－1＝x(1－a－x－x2),取x0＝5－4a－12,则x0∈(0,1).(1－x0)(1＋x)2－a x－1＝0,∴f(x)＞a x0＋1.当a≤0时,取x0＝5－12,则x0∈(0,1).f(x0)＞(1－x)(1＋x)2＝1＞a x＋1.综上,a的取值范围是[1,＋∞).第三节基本初等函数一、高考考点梳理 （一）、二次函数1.二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝a x 2＋bx ＋c(a ≠0). ②顶点式：f(x)＝a (x －m)2＋n(a ≠0). ③零点式：f(x)＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝a x 2＋bx ＋c(a ＞0) f(x)＝a x 2＋bx ＋c(a ＜0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称（二）、幂函数1.幂函数的定义“”如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．2.常见的5种幂函数的图象（见右图）3.常见的5种幂函数的性质（三）、根式1. 一般地，如果，那么叫做 的次方根。

考向12 函数的图像1．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()()g x y f x =【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.2．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时a 的值可求. 【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >， 当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．（2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．1．利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象.(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ). y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A （A >0）倍y ＝Af (x ).(4)翻转变换y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.【知识拓展】函数图象应用的常见题型与求解策略1．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数2()()f x x a a R =-∈，则()y f x =的大致图象不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·重庆高三其他模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））已知函数()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列图象错误的是（ ）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y fx =的图象：D ．()y f x =-的图象：4．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）（多选题）为了得到函数ln()y ex =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度1．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）函数()sin txf x e x =（t 为常数，0t >，e 为自然对数的底数）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A ．y ＝||2x e xB ．y ＝2(1)||xx e x +C ．y ＝|2|xe xD ．y ＝22xe x3．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））函数(1)lg ||()|1|x x g x x +=+的图象向右平移1个单位长度得到函数()f x 的图象，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的大致图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln cos ||f x x x =-B ．()ln sin ||f x x x =-C ．()ln cos ||f x x x =+D ．()ln sin ||f x x x =+5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[]201,()122x xx f x ∈=++，，则函数()y f x =的图象与函数||133x y =+的图象交点个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96．（2021·四川高三三模（理））函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+，则()y f x =及y g x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2021·安徽淮北市·高三二模（文））《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面11A B CD 截正方体可得两个壍堵，再沿平面11B C D 截壍堵可得一个阳马（四棱锥1111D A B C D -），一个鳖臑（三个棱锥11D B C C -），若P 为线段CD 上一动点，平面α过点P ，CD ⊥平面α，设正方体棱长为1，PD x =，α与图中鳖臑截面面积为S ，则点P 从点D 移动到点C 的过程中，S 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2021·北京高三二模）已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ）A ．32B ．23C．3D9．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）若()f x 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[, ]A B 称为函数()f x 的“友情点对”(点对[, ]A B 与[, ]B A 视为同一个“友情点对”)若32,0(),0x x x f x e ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．12018-C ．1e-D ．12021-10．（2021·海南高三其他模拟）（多选题）由函数()3xf x =的图象得到函数2()3x g x +=的图象，正确的变换方法有（ ）A ．将()f x 的图象向左平移2个单位长度B ．将()f x 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的9倍C ．先将()f x 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，再向左平移1个单位长度D ．先将()f x 的图象向右平移1个单位长度，将各点的纵坐标伸长到原来的3倍11．（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函数()2,1169,1xx f x x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程()f x a=有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则12341111x x x x +++的取值范围是______. 12．（2021·河南郑州市·高三三模（理））已知函数()124f x x x =+--． （1）在平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（2）若对x R ∀∈，()f x t ≤恒成立，t 的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求12a cb c+++的最小值．1．（2013·北京高考真题（理））函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x 关于y 轴对称，则f(x)=（ ） A ．1x e +B ．1x e -C ．1x e -+D ．1x e --2．（2015·全国高考真题（文））如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则函数的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2018·全国高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．4．（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．（2013·湖南高考真题（文））函数f （x ）=㏑x 的图象与函数g （x ）=x 2-4x+4的图象的交点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．36．（2013·湖北高考真题（文））小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2017·天津高考真题（文））已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩．设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[23,2]- C ．[2,23]-D ．[23,23]-8．（2015·安徽高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <9．（2015·北京高考真题（理））如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤10．（2018·全国高考真题（理））设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．1．【答案】C【分析】分类讨论a 的取值，在不同情况下的解析式不同，则图像也不同，则可以判断出结果. 【详解】①当0a =时，()f x x =，则A 符合，C 不符合； ②当0a >时，222()f x x a y =-=，若2x a >，即x a >或x a <-时，则22y x a =-，即22x y a -=，则其图象为双曲线在x 轴上方的部分，若2x a <，即a x a -<<-时，则22y x a =-+，即22x y a +=，则其图象为圆在x 轴上方的部分，故B 符合；③当0a <时，222()f x x a y =-=，即22y x a -=-，其图象表示为双曲线的上支，故D 符合.故选：C 2．【答案】A 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即rx h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r rπππ⋅=⇒=⇒=⋅， 而,,r H v 都是常数，即2323H vrπ是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A 3．【答案】C 【分析】作出函数()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案. 【详解】先作出()2,10,01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的图象，如图所示，所以A 正确；对于B ，()1y f x =-的图象()f x 是由的图象向右平移一个单位得到，故B 正确； 对于C ，当0x >时，()y f x =的图象与()f x 的图象相同，且函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故C错误；对于D ，()y f x =-的图象与()f x 的图象关于y 轴对称而得到，故D 正确. 故选：C .4．【答案】BC 【分析】根据函数图像变换求得结果. 【详解】解：由题意函数ln y x =的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e， 可得到函数ln()y ex =的图象，则A 错误，B 正确； 因为ln()ln 1y ex x ==+，则将函数ln y x =的图象向上平移一个单位可得到函数ln()y ex =的图象， 则C 正确，D 错误. 故选：BC.1．【答案】B 【分析】考查函数()f x 在()0,π上的函数值符号，结合特殊值法、排除法可得出合适的选项. 【详解】()00f =，排除A 选项；当0πx <<时，sin 0x >，则()sin 0txf x e x =>，排除D 选项；因为0t >，所以1t e >，根据指数函数的性质，对于00x >，000tx tx e e ->>， 因为()00sin sin x x =-，故()()00f x f x >-，排除C 选项. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 2．【答案】C 【分析】通过奇偶性及特殊值分析即可 【详解】A 项为奇函数，排除，B 项，当0x >，1||e 2e 2||x xy x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，排除 D 项2x =时 218e y =<，排除故选：C 3．【答案】D 【分析】根据函数图象的变换，求得函数lg |1|()||x x f x x -=，根据当0x <时，得到()0f x <，可排除A 、B ；当01x <<时，得到()0f x <，可排除C ，进而求解.【详解】由题意，可得lg |1|()(1)||x x f x g x x -=-=，其定义域为(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞，当0x <时，11x -+>，函数lg |1|lg(1)()||x x x x f x x x--+===-lg(1)0x --+<，故排除A 、B 选项；当01x <<时，011x <-+<，故函数lg |1|()||x x f x x -==lg(1)lg(1)0x x x x-+=-+<，故排除C 选项；当x 1>时，函数lg |1|lg(1)()lg(1)||x x x x f x x x x--===-，该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合. 故选：D .4．【答案】B 【分析】根据函数为非奇非偶函数排除A ，C ；设题干中函数图象与x 轴交点的横坐标分别为12,x x ，且120x x <<，且12x x <，利用数形结合分别判断()f x 的零点可得出. 【详解】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A ，C 中的函数为偶函数，故排除A ，C. 设题干中函数图象与x 轴交点的横坐标分别为12,x x ，且120x x <<，且12x x <.对于B ，令()||ln sin 0f x x x =-=，即ln ||sin x x =，作出ln y x =和sin y x =的函数图象，如图所示：由图象可知，函数ln ||sin y x x =-的图象与x 轴交点的横坐标满足120x x <<，且12x x <，符合题意； 对D ，令()||ln sin 0f x x x =+=，即ln ||sin x x =-，作出ln y x =和sin y x =-的函数图象，如图所示：由图象可知，函数ln ||sin y x x =+的图象与x 轴交点的横坐标满足120x x <<，且12x x >，故D 不符合题意. 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数图象选择解析式，解题的关键是先判断奇偶性，再数形结合根据函数零点情况判断. 5．【答案】A 【分析】根据所给函数及其性质，画出对应的图像，直接观察交点即可得解. 【详解】由[]201,()122x x x f x ∈=++，，可得当[]2,()()122x xx f x f x ∈=-=-+-1，0，再根据函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数， 故可画出函数()y f x =的图象与函数||133x y =+的图象，根据图像知，共有6个交点， 故选：A. 6．【答案】B 【分析】讨论01a <<、1a >确定()()log a f x x b =--的单调性和定义域、()g x bx a =+在y 轴上的截距，再讨论0b >、0b <，结合()g x bx a =+的单调性，即可确定函数的可能图象. 【详解】当01a <<时，10t x b =>-单调递减，()log a f t t =单调递减，所以1()log a f x x b=-单调递增且定义域为(,)b +∞，此时()g x bx a =+与y 轴的截距在(0,1)上，排除C. 当1a >时，10t x b =>-单调递减，()log a f t t =单调递增，所以1()log a f x x b=-单调递减且定义域为(,)b +∞，此时()g x bx a =+与y 轴的截距在(1,)+∞上.∴当0b >时，()g x 单调递增；当0b <时，()g x 单调递减，故只有B 符合要求. 故选：B. 7．【答案】B 【分析】 分析得出11PMN CB C △△，可得出1PNx CC =，求出PMN S △关于x 的函数关系式，由此可得出合适的选项. 【详解】设M 、N 分别为截面与1DB 、1DC 的交点，DP x =，01x ≤≤，CD ⊥平面PMN ，CD ⊥平面11B CC ，所以，平面//PMN 平面11B CC ，因为平面1DCC 平面PMN PN =，平面1DCC 平面111B CC CC =，所以，1//PN CC ，同理可得11//MN B C ，1//PM B C ，所以，111111PN DN MN DM PM DPx CC DC B C DB B C DC======， 所以，11PMNCB C △△，易知111111122CB C S B C CC =⋅=△， 因此，112212PMN CB C S x S x ==△△. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断. 8．【答案】D 【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得()3xg x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23x f x a-=，又因为()xf x a =，所以，23x x a a -=，整理可得23a =，因为0a >且1a ≠，解得a =故选：D. 9．【答案】BD 【分析】根据所给新定义，进行转化，首先求出0x <时2()=f x ax 关于原点对称的函数为2()g x ax =-，即32xx ax e=-在[)0,+∞上有两解，构造函数()x x h x e =-，研究()h x 的图像与性质，即可得解. 【详解】首先求出0x <时2()=f x ax 关于原点对称的函数为2()()g x f x ax =--=-，若要32,0(),0x x x f x e ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩恰有两个“友情点对”，则32x x ax e=-有两解，即x x a e =-在[)0,+∞上有两解，令()x x h x e =-，求导可得1()0xx h x e-'==，1x =， 当(0,1)x ∈，()0h x '<，()h x 为减函数， 当(1,)x ∈+∞，()0h x '>，()h x 为增函数， 则1(1)h e=-，所以其图像为：若要x x a e =-在[)0,+∞上有两解，则10a e-<<， 故选：BD 【点睛】本题考查了函数新定义，考查了利用导数研究函数，考查了函数方程思想，同时考查了转化思想，有一定计算量，属于中档题.本题的关键有：（1）理解“友情点对”，并转化为一侧函数图像关于原点对称过去后和另一侧函数图像的交点； （2）把方程解得问题转化为函数图像交点问题. 10．【答案】ABC 【分析】根据每个选项对图象的描述求出变换后的函数解析式，从而可选出正确答案. 【详解】解析对于A ，变换过程为2x x →+，即233xx y y +=→=，故A 正确；对于B ，变换过程为23933xxx y y +=→=⨯=，故B 正确；对于C ，变换过程为1233333xxx x y y y ++=→=⨯=→=，故C 正确；对于D ，变换过程为1133333xx x x y y y --=→=→=⨯=，故D 错误.故选:ABC. 11．【答案】811,34⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设1x <2x <3x <4x ，由12121211211x x x x x x =-⇒+=--，346x x +=，则问题转化为34123434331111622(6)x x x x x x x x x x ++++=+=+-，根据3(2,3)x ∈，求得范围即可. 【详解】设1x <2x <3x <4x ，则2212334412696911x x x x x x a x x ==-+=-+=--，由图知12121212121111211x x x x x x x x x x --=-⇔=⇒+=--，346x x +=， 当2691x x -+=时，2x =或4，则3(2,3)x ∈故34123434331111622(6)x x x x x x x x x x ++++=+=+-，易知其在3(2,3)x ∈单减， 故123433111168112(,)(6)34x x x x x x +++=+∈- 故答案为：811,34⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：找到方程()f x a =四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x 之间的关系，将问题中的四个变量转化为一个变量，即函数问题进行解决. 12．【答案】（1）作图见解析；（2）3． 【分析】（1）按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数，然后画出图象； （2）由图象得m ，利用“1”的代换，由柯西不等式得最小值． 【详解】（1）()5,233,125,1x x f x x x x x -+≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，图像如下所示（2）由（1）知，()max 3f x =，所以3,3t m ≥=，利用柯西不等式()()1211422322a c b c a c b c a c b c ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 2114223322a c b c a c b c ⎛⎫≥⋅++⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭． 所以12a c b c+++最小值为3．当且仅当==1a c b c ++时等号成立． 【点睛】思路点睛：本题考查含绝对值的函数的图象与最值，考查柯西不等式．含绝对值的函数一般用绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号，化函数为分段函数形式然后求解．求最值的关键是凑配出柯西不等式的形式，然后应用不等式求得结论．1．【答案】D 【详解】与曲线y=e x 关于y 轴对称的曲线为xy e -=， 向左平移1个单位得(1)1x x y e e -+--==，即1()x f x e --=．故选D ． 2．【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得ππππ22,512424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可排除C,D ；当π04x <<时点P 在边BC 上，tan PB x =，2224tan PA AB PB x +=+，所以()2tan 4f x x tan x =+可知π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时图像不是线段,可排除A,故选B. 考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 3．【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4．【答案】D 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 5．【答案】C 【详解】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.6．【答案】C 【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项. 【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A ；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x 轴平行，由此排除D ，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B 不正确． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题. 7．【答案】A 【详解】满足题意时()f x 的图象恒不在函数2xy a =+下方， 当23a =C,D 选项；当23a =-时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.8．【答案】C【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像9．【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．10．【答案】（1）见解析（2）5【详解】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．（2）结合（1）问可得a ，b 范围，进而得到a+b 的最小值详解：（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数要求积的最大值，．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在数值的正负，排除BC ，结合函数图象的走势，排除D ，得到正确答案【详解】()22ln x x f x =变形为，定义域为()(,00,∞-U当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，【B组在综合中考查能力】A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为【C组在创新中考查思维】则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线。

2022高考数学函数与方程汇编一、选择题1.【2022高考真题重庆理7】已知f(某)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(某)为[0,1]上的增函数”是“f(某)为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】D【解析】因为f(某)为偶函数，所以当f(某)在[0,1]上是增函数，则f(某)在[1,0]上则为减函数，又函数f(某)的周期是4，所以在区间[3,4]也为减函数.若f(某)在区间[3,4]为减函数，根据函数的周期可知f(某)在[1,0]上则为减函数，又函数f(某)为偶函数，根据对称性可知，f(某)在[0,1]上是增函数，综上可知，“f(某)在[0,1]上是增函数”是“f(某)为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件，选D.2.【2022高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

m值为（）A.5B.7C.9D.11【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。

3.【2022高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：f(2某)2f(某)的是（）(A)f(某)某(B)f(某)某某(C)f(某)某【答案】C【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。

(D)f(某)某【解析】f(某)k某与f(某)k某均满足：f(2某)2f(某)得：A,B,D满足条件．4.【2022高考真题天津理4】函数f(某)2某某32在区间(0,1)内的零点个数是（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】B【解析】因为函数f(某)2某某32的导数为f'(某)2某ln23某20，所以函数f(某)2某某32单调递增，又f(0)1210，f(1)21210，所以根据根的存在定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1个，选B.5.【2022高考真题全国卷理9】已知某=lnπ，y=log52，ze12，则(A)某＜y＜z（B）z＜某＜y(C)z＜y＜某(D)y＜z＜某【答案】D111111，所以【解析】某ln1，ylog52，，ze22log252ee1yz某，选D.6.【2022高考真题新课标理10】已知函数f(某)为（）1；则yf(某)的图像大致ln(某1)某【答案】B【解析】排除法，因为f(2)110，排除A.f()ln222110，排11elnln222除C,D，选B.7.【2022高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.y某1B.y某2C.y1D.y某|某|某【答案】D.【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且某2,某0是减函数；C是奇函数且在(,0)，(0,)上是减函数；D中函数可化为y2某,某0易知是奇函数且是增函数.故选D.8.【2022高考真题重庆理10】设平面点集1A(某,y)(y某)(y)0,B(某,y)(某1)2(y1)21，则AB所表示的平某面图形的面积为（A）334（B）（C）（D）5472【答案】Dy某0y某01【解析】由(y某)(y)0可知或者，在同一坐标系中做出平面11某y0y0某某区域如图：，由图象可知AB的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D.2某9.【2022高考真题山东理3】设a0且a1，则“函数f(某)a在R上是减函数”，是3“函数g(某)(2a)某在R上是增函数”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数f(某)a某在R上为减函数，则有0a1。

2022高考新课标数学考点总动员考点1重点知识，压轴选择，系统掌握函数与方程函数是高考数学的重要内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，通过对2011年新课标卷的各省高考题的研究发觉，本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是差不多函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。

涉及到得函数思想也是相当的丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方程根的情形判定常涉及函数与方程思想和等等价转化思想，研究函数的图像问题和差不多函数的性质经常利用数形结合思想等。

高考常命制两道小题，一道基础题目，显现在前5道题目中，常考查差不多函数的性质或零点问题，另一道常以压轴的小题显现，常与方程的根或复合函数为背景考查，有一定的难度和灵活性。

2．考纲解读（1）了解简单的分段函数并能简单应用；（2）明白得函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，结合具体函数了解奇偶性的含义；（3）明白得指数（对数）函数的概念，明白得指数（对数）函数的单调性，把握指数（对数）函数图像通过的专门点；结合常见的幂函数图像解决简单问题；把握二次函数的三个表达形式，能够数形结合分析二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系。

（4）会应用函数图像明白得和研究函数的性质；（5）依照具体函数的图像，能够运用二分法求相应方程的近似解；（6）结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

3 .2020年高考命题趋向（1）以分段函数为表示形式考查求值问题是一类基础题目，常与指对数运算结合在一起，同时也考查学生能否灵活运用分类讨论思想的解题能力。

（2）以二次函数、分段函数、对数函数等为载体考查函数的性质是热点。

研究函数的性质可充分利用函数的各种性质所反映的函数特点，来解决函数的相关问题.命题思路常以函数的各种性质相互交融，只有认真审题，充分挖掘，把题目隐含的条件一一挖掘出来，综合利用性质才能达到解决问题的目的.（3）与指数（对数）函数有关的综合问题的考查，以函数某个性质为核心，结合其他知识，把问题延伸，要紧考查知识的综合运用和能力进展为目的.（4）函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵活，经常以新面孔显现，在差不多的初等函数图象熟练地把握基础上，加以变换考查新函数的图象、性质等.（5）利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函数应用问题，利用数形结合思想研究方程根的分布问题，是高考的热点和难点，常作为压轴的选择题的形式显现。

2022届高考数学总复习：函数与方程1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1，2)．3．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.5．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x ＝1xC ．2－x 2＝lg|x |D ．cos x ＝|x |＋1解析：选ABD 对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合；对于B ，设g (x )＝e x －1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x ＝1x 有唯一解，符合；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又H (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时cos x ＝x －1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合．6．(多选)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．d ＜aB ．d ＞bC ．d ＞cD ．d ＜c解析：选ABD 由y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．7．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ＞0，x 2－x －2，x ≤0，则f (x )的零点为________．解析：当x ＞0时，由f (x )＝0， 即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1； 当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1. 综上，函数f (x )的零点为1，－1. 答案：1，－19．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)． 答案：[5，10)10．(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．答案：－1 (0，1)11．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋2x . 又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(－1，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则有t ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1＜1，而原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.13．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >d >bB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选A 根据题意，设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝g (x )＋2 019，若g (x )＝0，则x ＝a 或x ＝b ，即函数g (x )的图象与x 轴的交点为(a ，0)和(b ，0)．f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )＝0即g (x )＝－2 019，若f (x )＝2 019＋(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则g (x )的图象与直线y ＝－2 019的交点坐标为(c ，－2 019)和(d ，－2 019)，由图象知a >c >d >b ，故选A.14．若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________． 解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 分别与函数y ＝1x 的图象的公共点A ，B的横坐标，而A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于直线y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1. 答案：115．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b .(1)求证：a >0且－3<b a <－34；(2)求证：函数f (x )在区间(0，2)内至少有一个零点． 证明：(1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴c ＝－32a －b .∵3a >2c ＝－3a －2b ，∴3a >－b .∵2c >2b ，∴－3a >4b . 若a >0，则－3<b a <－34；若a ＝0，则0>－b ，0>b ，不成立； 若a <0，则b a <－3，b a >－34，不成立．(2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2>0.当c >0时，f (0)>0，f (1)<0， ∴f (x )在(0，1)内至少有一个零点．当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)<0，f (2)＝4a ＋2b ＝a >0，∴f (x )在(0，2)内有一个零点．当c <0时，f (0)<0，f (1)<0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c >0，∴f (x )在(0，2)内有一个零点． 综上，f (x )在(0，2)内至少有一个零点．16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x )＋f (2－x )＝0；②f (x －2)＝f (－x )；③当x ∈[－1，1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos ⎝⎛⎭⎫π2x ，x ∈（0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选A 由①f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )的图象关于点(1，0)对称；由②f (x －2)＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．如图，作出f (x )在[－1，1]上的图象，再由对称性，作出f (x )在[－3，3]上的图象，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在[－3，3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y ＝f (x )－⎝⎛⎭⎫12|x |在区间[－3，3]上的零点个数为5.故选A.。