2022年暑假初升高数学第12讲：方程组的解集(教师版)

数学教案解方程组的方法与应用数学教案：解方程组的方法与应用在数学中，方程组是由一组方程构成的集合，其中每个方程都包含有相同的变量。

解方程组的过程是寻找满足所有方程的变量值。

本教案将介绍解方程组的各种方法及其在实际问题中的应用。

一、方法一：代入法代入法是解方程组最基本的方法之一。

它的核心思想是通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而消去其中的一个变量，从而得到另一个变量的值。

下面我们通过一个例子来说明代入法的具体步骤。

例题1：解方程组：2x + y = 10x - y = 2解答步骤：1. 从第二个方程中解出 x，得到 x = y + 2。

2. 将 x 的值代入第一个方程中，即得到 2(y + 2) + y = 10。

3. 化简得到 3y + 4 = 10。

4. 解方程得到 y = 2。

5. 将 y 的值带入第二个方程中，求得 x = 4。

6. 因此，解为 x = 4，y = 2。

二、方法二：消元法消元法是解方程组常用的方法之一。

它通过将方程组中的一个或多个方程加减乘除等运算，使得方程组中的一个或多个变量的系数相等，从而消去这些变量，将问题转化为只有一个未知数的方程。

具体步骤如下。

例题2：解方程组：2x + 3y = 114x - y = 7解答步骤：1. 将第一个方程的两倍加到第二个方程中，得到新的方程 8x - 2y = 14。

2. 将该方程与第一个方程相减消去y，得到 6x = -3。

3. 解方程得到 x = -0.5。

4. 将 x 的值带入第一个方程中，得到 2(-0.5) + 3y = 11。

5. 化简得到 3y = 12。

6. 解方程得到 y = 4。

7. 因此，解为 x = -0.5，y = 4。

三、方法三：矩阵法矩阵法是解方程组较为高效的方法之一。

它将方程组的系数矩阵和常数向量构造成一个增广矩阵，通过对矩阵进行行变换，使其化为简化行阶梯形矩阵，进而求解未知数的值。

下面是一个示例。

2.1.3 方程组的解集教学目标1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题． 教学知识梳理 知识点 方程组的解集 1．概念一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 2．解法求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法． 3．方程组的解集当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素．此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 教学小测1．下列方程：①7x －3y ＝5；②x 2－2y ＝1；③2x ＋3y ＝8；④x ＋y ＝z ；⑤2xy ＋3＝0；⑥x 2＋y3＝1.其中是二元一次方程的为________． 【答案】①⑥2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2的解集为________．【答案】{(3，－1)} 3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，y ＋z －x ＝7，z ＋x －y ＝9的解集为________．【答案】{(4.5,3.5,8)}【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0， ①y ＋z －x ＝7， ②z ＋x －y ＝9. ③①＋②＋③得x ＋y ＋z ＝16，④ ④－①，得z ＝8； ④－②，得x ＝4.5； ④－③，得y ＝3.5.所以原方程组的解集为{(4.5,3.5,8)}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2－2x －3的解集是________． 【答案】{(－1,0)，(4,5)} 教学案例案例一、一次方程组的解集 例1 求下列方程组的解集：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，x ＋3y ＝6； (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝3，2x ＋y －3z ＝11，x ＋y ＋z ＝12.解 (1)已知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1， ①x ＋3y ＝6， ②由①得x ＝2y ＋1，③把③代入②，得2y ＋1＋3y ＝6， 解得y ＝1.把y ＝1代入③得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以原方程组的解集为{(3,1)}．(2)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝3， ①2x ＋y －3z ＝11， ②x ＋y ＋z ＝12， ③①＋②，得5x －z ＝14. ①＋③，得4x ＋3z ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －z ＝14 ，4x ＋3z ＝15，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝1. 把x ＝3，z ＝1代入③，得y ＝8. 所以原方程组的解集为{(3,8,1)}．反思感悟 (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法．(2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数． 跟踪训练1 求方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝6，x －y ＋2z ＝－1，x ＋2y －z ＝5的解集．解 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝6， ①x －y ＋2z ＝－1， ②x ＋2y －z ＝5. ③①－②×2，得5y －3z ＝8，④ ③－②，得3y －3z ＝6，⑤由④⑤组成二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3z ＝8，3y －3z ＝6.解这个二元一次方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－1.把y ＝1，z ＝－1代入②，得x ＝2， 所以原方程组的解集为{(2,1，－1)}． 案例二、二元二次方程组的解集命题角度1 “二·一”型的二元二次方程组例2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2xy ＋y 2＝4，x －2y ＝5.解 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2xy ＋y 2＝4， ①x －2y ＝5. ②方法一 由②得x ＝2y ＋5， ③ 将③代入①，得(2y ＋5)2＋2y (2y ＋5)＋y 2＝4. 整理，得3y 2＋10y ＋7＝0. 解得y 1＝－73，y 2＝－1.把y 1＝－73代入③，得x 1＝13，把y 2＝－1代入③，得x 2＝3.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x 1＝13，y 1＝－73或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1. 所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，－73，(3，－1). 方法二 由①得(x ＋y )2＝4，即x ＋y ＝2或x ＋y ＝－2.原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －2y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，x －2y ＝5解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝－1或⎩⎨⎧x 2＝13，y 2＝－73.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，－73，(3，－1). 反思感悟 这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再“回代”．如果能分解成两个二元一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解(如本例方法二)．跟踪训练2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y －1＝0.解 已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， ①x ＋y －1＝0. ②由方程②，得y ＝1－x ，③把方程③代入方程①，得x 2＋(1－x )2＝1. 整理，得x 2－x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝1.把x 1＝0代入方程③，得y 1＝1； 把x 2＝1代入方程③，得y 2＝0.原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝0.即其解集为{(0,1)，(1,0)}．命题角度2 “二·二”型的二元二次方程组例3 求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5(x ＋y )，x 2＋xy ＋y 2＝43的解集．解 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5(x ＋y )，①x 2＋xy ＋y 2＝43， ②由①得x 2－y 2－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y )－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y －5)＝0， ∴x ＋y ＝0或x －y －5＝0，∴ 原方程组可化为两个方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －5＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43，解这两个方程组，得原方程组的解集是{(－1，－6)，(6,1)，(43，－43)，(－43，43)}．反思感悟 解“二·二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二·一”型方程组．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次方程组．跟踪训练3 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xy －2y 2＝0，x 2＋2xy ＋y 2－x －y －2＝0.解 方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －y )(x ＋2y )＝0，(x ＋y －2)(x ＋y ＋1)＝0，即为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋1＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，x ＋y －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x ＋y ＋1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(1，1)，⎝⎛⎭⎫－12，－12，(4，－2)，(－2，1). 案例三、一次方程组的应用例4 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 解 设每餐甲、乙两种原料各需x g ，y g ，则有下表：⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ＝35，x ＋0.4y ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＝350 ①5x ＋2y ＝200. ②①－②，得y ＝30，把y ＝30代入②中，得x ＝28.答 每餐需甲种原料28 g ，乙种原料30 g. 反思感悟 用一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系．(2)设元：用字母表示题目中的未知数． (3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组．(4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值． (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．跟踪训练4 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)(1)辆？(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？解 (1)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋8y ＝120，400x ＋500y ＝8 200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝10.答 需甲车型8辆，乙车型10辆．(2)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，丙车型z 辆，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝16，5x ＋8y ＋10z ＝120，消去z 得5x ＋2y ＝40，x ＝8－25y ，因为x ，y 是正整数，且不大于16，得y ＝5,10， 由z 是正整数，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，z ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝10，z ＝2.有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆． 随堂演练1．若x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，则x ＋y 的值是( )A ．5B ．－1C ．0D ．1 【答案】A【解析】⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7， ①x ＋2y ＝8， ②方法一 ②×2－①，得3y ＝9，解得y ＝3. 把y ＝3代入②，得x ＝2. 所以x ＋y ＝2＋3＝5.方法二 由①＋②，得3x ＋3y ＝15. 化简，得x ＋y ＝5.故选A. 2．求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝11，x ＋z ＝5，x －y ＋2z ＝1的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )A ．先消去xB ．先消去yC ．先消去zD ．以上说法都不对【答案】B【解析】根据系数特点，先消去y 最简便，故选B.3．如果⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ，3x ＋2y ＝4的解是正数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎫－43，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－2，43 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43 【答案】C【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ，3x ＋2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝4＋2a 5，y ＝4－3a5由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＞0，4－3a ＞0， 解得－2＜a ＜43.4．以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x ＋2的解为坐标的点(x ，y )在第______象限．【答案】一【解析】方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫12，32，所以x >0，y >0，所以点(x ，y )在第一象限．5．已知方程12x ＋3y ＝5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1，这个方程可以是________． 【答案】x －4y ＝0(答案不唯一)【解析】设所写出的二元一次方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)． 把(4,1)代入y ＝kx ＋b ，得1＝4k ＋b ， 令b ＝0，则k ＝14，∴这个方程可以是y ＝14x ，即x －4y ＝0.课堂小结 1．知识清单：(1)求二元一次方程组、三元一次方程组的解集． (2)求二元二次方程组的解集． (3)一次方程组的实际应用．2．方法归纳：代入消元法、加减消元法． 3．常见误区：消元不恰当造成运算烦琐．。

《2.1.3 方程组的解集》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题是“方程组的解集”。

通过本课的学习，学生将掌握二元一次方程组的解法，理解解集的概念，并能够通过解集的表示方法，判断方程组是否有解以及解的个数。

二、学习目标1. 知识与理解：掌握二元一次方程组的解法，理解解集的概念，能够用数轴或平面直角坐标系表示解集。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作精神和探究精神。

三、评价任务1. 理解评价：通过课堂提问和小组讨论，评价学生对解集概念的理解程度。

2. 应用评价：通过解决实际问题，评价学生对方程组解法掌握的程度和应用能力。

3. 反思评价：通过课后作业和学后反思，评价学生对本课知识点的掌握情况和学习态度。

四、学习过程1. 导入新课：通过回顾一元一次方程的解法，引出二元一次方程组的概念和解题思路。

2. 新课讲解：（1）讲解二元一次方程组的概念和形式。

（2）介绍解集的概念和表示方法。

（3）演示二元一次方程组的解法，包括代入法和消元法。

（4）引导学生归纳总结解二元一次方程组的步骤和方法。

3. 课堂练习：提供几道二元一次方程组的例题，让学生尝试解答，并引导学生互相讨论、交流解题思路。

4. 小组讨论：分组进行讨论，让学生分享自己的解题经验和技巧，加深对解集概念的理解。

5. 课堂总结：总结本课知识点，强调解集的概念和表示方法，以及解二元一次方程组的步骤和方法。

五、检测与作业1. 检测：布置相关的练习题，检测学生对二元一次方程组解法的掌握情况。

2. 作业：布置适当的作业题，包括填空题、选择题和解答题，让学生巩固所学知识。

六、学后反思1. 学生应反思自己在解题过程中遇到的问题和困难，分析原因并寻找解决方法。

2. 学生应总结本课学习的重点和难点，加深对解集概念的理解和对方程组解法的掌握。

3. 教师应对学生的课堂表现和作业情况进行评估，针对学生的不足之处进行指导和帮助。

专题12 函数的奇偶性A 组 基础巩固1．（江苏省木渎高级中学、苏苑高级中学2022届高三下学期联合适应性检测数学试题）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3log y x =32y x x =+x y e =3y x -=【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质逐项分析，即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A ：函数是偶函数，故不符合题意；3log y x =对于选项B ：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；32y x x =+对于选项C ：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；x y e =对于选项D ：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意； 3y x -=故选：B2．（2022·湖北武汉·高二期末）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则()f x R ()1f x +()1f x -（ ）A ．是偶函数B ．()3f x +()()3f x f x =+C ．D ．()30f =()00f =【答案】A【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B 错误；由()()40f x f x ++=()()8f x f x +=推导得到，知A 正确；由已知关系式无法推导得到，()()51f x f x +=-+()()33f x f x +=-+()()3,0f f【详解】是奇函数，；()1f x + ()()11f x f x ∴+=--+是偶函数，，()1f x - ()()11f x f x ∴-=--，，()()()()()121213f x f x f x f x ∴+=+-=-+-=--()()310f x f x ∴--+-+=，，()()40f x f x ∴++=()()()84f x f x f x ∴+=-+=是周期为的周期函数，B 错误；()f x ∴8，，是偶函数，A 正确；()()()511f x f x f x +=-+=-+ ()()33f x f x ∴+=-+()3f x ∴+，，无法得到，C 错误；()()()1530f f f ==-= ()()31f f =--()3f ，无法得到，D 错误.()()()()0224f f f f =-=-=- ∴()0f 故选：A.3．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））已知函数，若，则()3sin 3f x ax b x =++()2f m =（ ）()f m -=A ．4B ．5C ．7D ．2-【答案】A【解析】【分析】构建可以判断其为奇函数，根据题意结合奇函数定义求解．()()3g x f x =-()()0g m g m +-=【详解】构建在R 上为奇函数，则()()33sin g x f x ax b x =-=+()()0g m g m +-=即，则()()330f m f m --+-=()4f m -=故选：A ．4．（2022·浙江·镇海中学高二期末）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R 的是（ ）A ．y =x 2B ．C ．y =tan|x |D ．y =|sin x |1||||y x x =+【解析】【分析】由函数的值域首先排除ABD ，对C 进行检验可得．【详解】选项A ，B 中函数值不能为负，值域不能R ，故AB 错误，选项D 值域为，故D 也错误，那么选项C 为偶函数，[]0,1当时，，值域是R ，因此在定义域内函数值域为R ，3(,)22x ππ∈tan tan y x x ==故选：C5．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）函数的部分图像大致为（ ）()333x x x f x -=+A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性排除选项BD ，再利用函数值排除选项C 即得解.【详解】解：因为，所以为奇函数，排除B ，D ；因为当时，33()()()3333x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x 0x >，排除C ；()0f x >故选：A.6．（2022·新疆·三模（文））函数的部分图象大致为（ ）()242xf x x =+A．B．C．D ．【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊点进行排除即可求解.【详解】因为函数的定义域为，()242xf x x =+(,)-∞+∞且，()2244()()22x x f x f x x x --==-=--++即是奇函数，其图象关于原点对称，()f x 即排除选项C ；因为，所以排除选项A ；()3140f =>当时，，0x >()24422x f x x x x ==≤=++所以排除选项D ，即B 正确.故选：B.7．（广西南宁市部分校2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试题）已知是定义在上的偶()f x R 函数，且对任意，有，当时，，则x ∈R (1)(1)f x f x +=--[0,1]x ∈2()2f x x x =+-（ ）(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++= A ．0B ．-2C ．1D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意分析可知，，故的周期为4，且一个周期的和为0，所以()4()f x f x +=()f x ，求出，代入即可得出答案.(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++= (2021)(2022)f f +(2021),(2022)f f 【详解】依题意，为偶函数，且关于对称，()f x (1)(1)()f x f x f x +=--⇒(1,0)则(4)(1f x f x +=+3)(1(3))(2)((2))f x f x f x +=--+=---=--+，故的周期为4.(11)(1(1))()f x f x f x =-++=-+=-()f x =()f x 由的周期为4，且一个周期的和为0，()f x .(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++= (2021)(2022)f f +又，，(2021)(1)0f f ==(2022)(2)(0)2f f f ==-=故.(1)(2)(3)f f f +++ (2022)(2021)(2022)2f f f +=+=故选：D.8．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）已知定义在上的函数满足，且在上是R ()f x ()()f x f x =-[)0,∞+增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是（ ）()()32f ax f +≤-[]1,2x ∈a A ．B ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．D ．51,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数可得的单调性，将恒成立的不等式化为，分别在、和()f x 232ax -≤+≤0a =0a >的情况下，根据函数最值可构造不等式组求得结果.0a <【详解】由知：为上的偶函数，图象关于轴对称，()()f x f x =-()f x R y又在上是增函数，在上是减函数；()f x [)0,∞+()f x ∴(],0-∞对于恒成立，，()()32f ax f +≤- []1,2x ∈32ax ∴+≤即对于恒成立；232ax -≤+≤[]1,2x ∈当时，不等式不成立，不合题意；0a =当时，，解得：（舍）；0a >32232a a +≥-⎧⎨+≤⎩152a -≤≤-当时，，解得：；0a <23232a a +≥-⎧⎨+≤⎩512a -≤≤-综上所述：的取值范围为.a 5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B.9．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）A ．B ．()e e 2x xf x -+=()5sin f x x =C ．D ．()f x x =()323f x x x=+【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义，单调性的定义判断，从而可得答案．【详解】对于A ，因为，定义域为R ，所以，所以是偶函数，所以不正()e e 2x x f x -+=()()e e 2-+-==x x f x f x ()f x 确；对于B ，因为定义域为R ，，所以是奇函数，但在()5sin f x x =()()5sin -=-=-f x x f x ()f x ()f x 上是减函数，所以不正确；()π3π2π,2π22⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦x k k k Z对于C ，因为不关于原点对称，所以不具备奇偶性，所以不正确；()f x x ={}|0x x ³()f x对于D ，因为，定义域为R ，，()323f x x x =+()()()323-=-+=-f x x x f x 是奇函数，设，则，()f x 12x x >()()()()()33331211221212232323=+-+=-+--f x f x x x x x x x x x 因为，所以，，12x x >120x x ->3312x x >所以，即，是定义域为R 的单调递增函数，所以正确.()()120f x f x ->()()12f x f x >()f x 故选：D ．10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知函数是偶函数，且函数的图象关于点()()1R f x x -∈()f x （1，0）对称，当时，则（ ）[]1,1x ∈-()1,f x x =-()2022f =A ．B ．C ．0D ．22-1-【答案】B【解析】【分析】由条件确定函数的周期，根据条件及周期的性质求.()2022f 【详解】根据题意，函数是偶函数，()()1R f x x -∈则函数的对称轴为，()f x 1x =-则有，()()2f x f x =--又由函数的图象关于点成中心对称，()f x ()1,0则，()()2f x f x =--则有，即，()()22f x f x --=--()()4f x f x +=-变形可得，()()8f x f x +=则函数是周期为8的周期函数，，()()()()202222538201f f f f =-+⨯=-==-故选：B.11．（2022·贵州·凯里一中高一期中）函数，若，则实数m 的取值范围是()22f x x x =-()()213f m f +<____________．【答案】()2,1-【解析】【分析】作出函数的图象，根据图象可得，从而可求出实数m 的取值范围3213m -<+<【详解】因为()()22()22f x x x x x f x -=---=-=所以是偶函数，作出的图象如下：()f x ()f x由得，，()()()2133f m f f +<-=3213m -<+<∴．21m -<<故答案为：()2,1-12．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数为奇函数，为偶函数，且，(2)y f x =-(1)y f x =+(0)(6)4f f -=则___________.(2022)f =【答案】2-【解析】【分析】根据题意可得，进而推出，可得函数的周期，结()()()()22,11f x f x f x f x --=---=+(6)()f x f x +=-合求得，由此利用函数的周期即可求得答案.(0)(6)4f f -=(6)2f =-【详解】因为函数为奇函数，为偶函数，(2)y f x =-(1)y f x =+所以 ，()()()()22,11f x f x f x f x --=---=+即 ，(4)(),(2)()f x f x f x f x --=--=故，即 ，(4)(2)f x f x --=--(6)()f x f x -=-故，即，(6)()f x f x +=-(12)()f x f x +=令 ，则由可得，0x =(6)()f x f x +=-(6)(0)f f =-结合得， ，(0)(6)4f f -=(6)2f =-所以，(2022)(168126)(6)2f f f =⨯+==-故答案为：2-13．（2022·江西·临川一中高一期中）奇函数的定义域为R ，若为偶函数，且，则()f x ()2f x +()12f =______．()()20202021f f +=【答案】2-【解析】【分析】双对称性可以推出周期性，利用周期性改变自变量的大小，利用奇偶性调自变量的符号，即可求解【详解】由函数为偶函数可得，，()2f x +()()22f x f x +=-又，()()f x f x -=-故()()22f x f x -=--所以，()()22f x f x +=--即()()4f x f x +=-所以()()()84f x f x f x +=-+=故该函数是周期为8的周期函数．又函数为奇函数，故，．()f x ()00f =()()400f f =-=所以．()()()()()()()2020202145030312f f f f f f f +=+=+-=-=-=-故答案为：2-14．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知定义域为的函数在上单调递增，且[]22-,()f x []2,0-，若，则不等式的解集为___________.()()0f x f x +-=1(1)2f -=-()1212f x -≤【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数在上单调递增，再利用单调性的定义求解.()f x []22-,【详解】解：因为定义域为的函数在上单调递增，且，[]22-,()f x []2,0-()()0f x f x +-=所以函数在上为奇函数，且在上单调递增，()f x []22-,[]2,2-又，所以，()112f -=-()112f =又不等式等价于，()1212f x -≤()()211f x f -≤所以，解得，2211x -≤-≤112x -≤≤所以不等式的解集为.()1212f x -≤1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．（2021·江苏·高一专题练习）若函数为奇函数，则_______()(ln f x x=+=a 【答案】1【解析】【分析】由为奇函数便可得到，进行分子有理化和对数的运算便可得到()f x ((ln ln xx -+=-，从而便可得出，这便得到．((ln ln ln x a x -==-0lna =1a =【详解】因为为奇函数，()f x ，()()f x f x ∴-=-即，((ln ln x x -=-，((ln ln ln x a x -==-又因为所以=，(ln x -+(ln ln a x -所以，ln 0a =．1a \=故答案为：．116．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知是定义在R 上的偶函数，且在区间上单调递增，()f x (],0-∞若实数满足，则的取值范围是______．a ()(212a f f ->a 【答案】13(,)44【解析】【分析】根据偶函数和单调性的关系，可判断出在区间上单调递减，然后根据偶函数的性质将不等式进()f x (0,)+∞行转化求解即可．【详解】是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，()f x R (,0]-∞在区间上单调递减，()f x ∴[0,)+∞则，等价为，21(2)(a f f ->21(2)(|a f f ->即，212a -<则，得，1|21|2a -<1344a <<即实数的取值范围是，a 13(,)44故答案为：13(,)4417．（2021·安徽·高一阶段练习）设是定义在R 上的奇函数，且时，，若对于任意的()f x 0x ≥()3f x x =，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.[]1,x t t ∈-()()127f t x f x -≤t 【答案】[)4,+∞【解析】【分析】先根据是定义在R 上的奇函数，且时，，解得的解析式，得到其单调性求解.()f x 0x ≥()3f x x =()f x 【详解】是定义在R 上的奇函数，且时，，()f x 0x ≥()3f x x =设，则，，0x <0x ->()()()3f x x f x -=-=-∴，()3f x x =∴在R 上单调递增，且，()f x ()11273f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为对于任意的恒成立，()()11273f t x f x f x ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭[]1,x t t ∈-所以，对于任意的恒成立，13t x x -≤[]1,x t t ∈-即，对于任意的恒成立，43t x ≤[]1,x t t ∈-∴，()413t t -≤解得.4t ≥故答案为；[)4,+∞18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________.()2228xf x x =+-()234f x x -≤【答案】[]1,4-【解析】【分析】分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关()f x [)0,∞+()()234f x x f -≤于的不等式，解之即可.x 【详解】函数的定义域为，，()f x R ()()()22228228x x f x x x f x --=+--=+-=所以，函数为偶函数，()f x当时，为增函数，0x ≥()2228x f x x =+-因为，则，()42424284f =+-=()()2344f x x f -≤=所以，，所以，，所以，，()()234f x x f -≤234x x -≤2434x x -≤-≤因为，故恒成立，223734024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭234x x -≥-由可得，解得.234x x -≤2340x x --≤14x -≤≤因此，原不等式的解集为.[]1,4-故答案为：.[]1,4-19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且当x ＞0时，，则______.()f x ()21f x x x =+()1f '-=【答案】－1【解析】【分析】根据偶函数的性质求出时函数的解析式，求导计算即可.0x <【详解】设时，则，0x <0x ->，21()()f x f x x x ∴=-=-，21()2f x x x '∴=+.()1211f '∴-=-+=-故答案为：－120．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知定义域为的函数在上单调递增，且R ()f x (],0-∞，若，则不等式的解集为___________.()()0f x f x +-=()112f -=-()1212f x -≤【答案】(],1-∞【解析】【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数在R 上单调递增，再利用单调性的定义求解.()f x【详解】因为定义域为的函数在上单调递增，且，R ()f x (],0-∞()()0f x f x +-=所以函数在R 上单调递增，()f x 又，()112f -=-所以，()112f =又不等式等价于，()1212f x -≤()()211f x f -≤所以，解得，211x -≤1x ≤所以不等式的解集为，()1212f x -≤(],1-∞故答案为：(],1-∞21．（2022·江西吉安·高三期末（理））已知为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满()f x [1,1]-[1,0]-足不等式的a 的取值范围是__________．（用区间表示）(2)(41)f a f a <-【答案】10,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据偶函数的性质可知在上的单调性，再由求解即可.[0,1](|2|)(|41|)f a f a <-【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减，()f x [1,1]-[1,0]-所以在上单调递增，()f x [0,1]所以，，，121a -≤≤1411a -≤-≤|2||41|a a <-所以．106a ≤<故答案为：10,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 组 能力提升22．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：(1)；()f x =(2)；()22,0,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩(3)．()(2log f x x =【答案】(1)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数(3)奇函数【解析】【分析】（1）求出函数定义域后化简函数式，由奇偶性定义可得；（2）根据奇偶性定义分类讨论判断与的关系；()f x -()f x （3）确定定义域后，根据奇偶性定义及对数运算法则变形可得．(1)由得x 2=3，解得x2230,30,x x ⎧-≥⎨-≥⎩即函数f (x )的定义域为，{从而f (x 因此f (－x )=－f (x )且f (－x )=f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )=－(－x )2－x =－x 2－x =－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )=(－x )2－x =x 2－x =－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )=－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为R ，f (－x )=log 2[－x ]=log 2－x )=log 2＋x )－1=－log 2＋x )=－f (x )，故f (x )为奇函数．23．（2022·天津天津·高二期末）求证：(1)是上的偶函数；()|3||3|f x x x =++-R (2)是上的奇函数.()|3||3|g x x x =+--R 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义证明即可(1)由题意函数定义域为()f x R且()|3||3||3||3|()f x x x x x f x -=-++--=-++=故是上的偶函数()|3||3|f x x x =++-R (2)由题意函数定义域为()g x R且()|3||3||3||3|()g x x x x x g x -=-+---=--+=-故是上的奇函数()|3||3|g x x x =+--R 24．（2022·安徽阜阳·高一期末）设a 为实数，已知函数是奇函数．()()2R 21x f x a x =-∈+(1)求a 的值；(2)若对任意实数x ，恒成立，求实数m 的取值范围．()()260f mx m f mx ++->【答案】(1)1a =(2)（8，＋∞）【解析】【分析】（1）因为是奇函数，由即可求出a 的值.())2R 2(1x f x a x =-∈+()()0f x f x +-=（2）由定义法证得函数f (x )在上单调递增，由恒成立结合f (x )得是奇函数得R ()()260f mx m f mx ++->，转化为对任意实数x ，恒成立，所以，()()26f mx m f mx +>-+260mx mx m ++->2Δ4(6)00m m m m ⎧=--<⎨>⎩解不等式即可得出实数m 的取值范围．(1)因为是奇函数，())2R 2(1x f x a x =-∈+所以对任意实数x ，，即．()()f x f x =--()()0f x f x +-=所以，即，2202121x x a a --+-=++222222*********x x x x x a -⋅=+=+=++++所以．1a =(2)由（1）得，()2121x f x =-+设，为上的任意两个实数，且，1x 2x R 12x x <则，()()()()()1212212112222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -æöæöç÷ç÷-=---=-=ç÷ç÷++++++èøèø因为，所以，，12x x <1210x +>212210,22x x x+><所以，即，()()()122122202121x x x x -<++()()12f x f x <所以函数f (x )在上单调递增．R 由，得，()()260f mx m f mx ++->()()26f mx m f mx +>--因为f (x )为奇函数，所以，()()26f mx m f mx +>-+所以，即，26mx m mx +>-+260mx mx m ++->所以对任意实数x ，恒成立，260mx mx m ++->所以，2Δ4(6)00m m m m ⎧=--<⎨>⎩解得，所以实数m 的取值范围为（8，＋∞）8m >25．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在上的函数是奇函数．R ()22x x f x k -=-⋅(1)求实数的值；k (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．R x ∈()()240f x tx f x ++->t 【答案】(1)1k =(2)()3,5-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可取出，再代入检验即可；()00f =k （2）首先判断函数的单调性，依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围；()2140x t x +-+>∆<0(1)解： 函数是定义域上的奇函数，()22x x f x k -=-⋅R ，即，解得．∴(0)0f =()000220f k =-⋅=1k =此时，则，符合题意；()22x x f x -=-()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-(2)解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，()22x x f x -=-2x y =R 2x y -=R 所以在定义域上单调递增，()22x xf x -=-R 则不等式恒成立，()()240f x tx f x ++->即恒成立，()()24f x tx f x +>-即恒成立，24x tx x +>-即恒成立，()2140x t x +-+>所以，解得，即；()21440t ∆=--⨯<35t -<<()3,5t ∈-26．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.()21mx f x x n -=+()322f =(1)求实数的值；,m n (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；()f x ()0,∞+(3)当时，解关于的不等式：.0x >x ()()223f x f x >+【答案】(1)，，1m =0n =(2)证明见解析，(3)(3,)+∞【解析】【分析】（1）由题意可得，求出，再由可求出，22()11m x mx x nx n ---=--++0n =()322f =1m =（2）任取，且，然后求，化简变形可得结论，12,(0,)x x ∈+∞12x x <21()()f x f x -（3）由（2）可知在上单调递增，所以原不等式可化为，解不等式可得结果()f x ()0,∞+223x x >+(1)因为函数是奇函数，()21mx f x x n -=+所以，即，()()f x f x -=-22()11m x mx x n x n ---=--++，2211mx mx x n x n --=--++所以，解得，()x n x n -+=-+0n =所以，()21mx f x x -=因为，()322f =所以，解得，41322m -=1m =(2)证明：由（1）可知()211x f x x x x -==-任取，且，则12,(0,)x x ∈+∞12x x <21212111()()f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()211211x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()212112x x x x x x -=-+，()211211x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为，且，12,(0,)x x ∈+∞12x x <所以，，210x x ->12110x x +>所以，即，21()()0f x f x ->21()()f x f x >所以在上单调递增；()f x ()0,∞+(3)当时，，0x >20,230x x >+>由（2）可知在上单调递增，()f x ()0,∞+因为，()()223f x f x >+所以，即，解得（舍去），或，223x x >+2230x x -->1x <-3x >所以不等式的解集为(3,)+∞。

《2.1.3 方程组的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业旨在帮助学生深入理解方程组的解集概念，掌握求解方程组解集的方法，提高解决实际问题的能力。

二、作业内容1. 基础题：写出三个二元一次方程组，并求出它们的解集。

通过求解过程，体会解集的含义和求法。

2. 中等题：给出一组二元一次方程组，求出其解集，并尝试用图形方式表示出解集的包含关系。

3. 拓展题：给出三个三元一次方程组，求出它们的解集，并分析解集之间的关系。

尝试总结求解方程组解集的一般方法。

4. 思考题：结合实际，提出一个需要求解方程组解集的问题，尝试自行解决，并总结求解过程中的心得体会。

三、作业要求1. 独立完成：所有题目需独立完成，不得抄袭。

2. 正确率：要求正确解答所有题目，错误部分需注明思路。

3. 质量：在解答过程中，要求能够准确理解题意，运用所学知识进行解答，字迹工整。

4. 完成时间：所有题目需在规定时间内完成，超时将影响总成绩。

四、作业评价1. 批改方式：教师批改后，对错误部分进行标注，给出总体评价和改进建议。

2. 评价标准：正确率、解题方法、字迹工整、完成时间。

3. 反馈方式：学生根据教师批改和评价，针对自己的作业进行反思和改进，对于思考题，学生需写出解题思路和心得体会。

五、作业反馈通过作业反馈，学生可以了解自己对知识的掌握程度，发现自己存在的问题，从而进行针对性的改进。

教师也可以根据学生的作业情况，了解学生对知识的掌握程度，调整教学策略，提高教学质量。

对于基础题，学生需要进一步理解解集的含义，掌握求解方法；对于中等题，学生需要学会用图形方式表示解集的包含关系，提高自己的解题能力；对于拓展题，学生需要总结一般方法，提高自己的解决问题的能力；对于思考题，学生需要深入思考，提高自己的知识运用能力和创新能力。

总之，本次作业旨在帮助学生加深对方程组解集概念的理解，掌握求解方法，提高解决问题的能力，同时也希望通过思考题培养学生的创新能力和知识运用能力。

《2.1.3 方程组的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对方程组解集的理解，掌握求解方程组的基本方法，并能够通过实际问题的解决，加深对方程组解集应用的认识。

二、作业内容作业内容主要包括以下几个方面：1. 复习方程组的基本概念和性质，包括线性方程组和非线性方程组的定义、解集的表示方法等。

2. 练习二元一次方程组的解法，包括代入法、消元法等，并能够通过实际问题抽象出二元一次方程组。

3. 掌握三元一次方程组的解法，通过增广矩阵、行变换等方法求解，并能够判断解的存在性和唯一性。

4. 拓展训练：利用所学知识解决实际问题，如物流问题、资源配置问题等，将实际问题抽象为方程组问题并求解。

三、作业要求1. 学生对每一种方法都需要进行实践操作，理解其基本原理和应用范围。

2. 对于每道题目，学生需要写出详细的解题步骤和结果，表达清晰、逻辑严谨。

3. 在完成作业的过程中，学生需要注重知识的迁移和拓展，尝试用所学知识解决更为复杂的问题。

4. 作业需在规定时间内独立完成，不得抄袭他人答案。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的准确度、解题步骤的完整性、逻辑的严密性以及解题思路的创新性进行评价。

2. 评价方式：采取教师批改、同学互评和自我评价相结合的方式，以全面了解学生的学习情况和存在的问题。

3. 反馈方式：通过作业评语、分数等形式，及时向学生反馈评价结果，指出存在的问题和不足，并提供改进建议。

五、作业反馈1. 针对学生在作业中出现的共性问题，教师需要在课堂上进行集中讲解和辅导，帮助学生理解和掌握相关知识点。

2. 对于个别学生的问题，教师需要通过个别辅导或课后答疑等方式，给予针对性的指导和帮助。

3. 鼓励学生进行自我反思和总结，找出自己在解题过程中的不足和错误，以便在今后的学习中加以改进。

4. 通过本次作业的完成情况，教师可以了解学生的学习情况和存在的问题，为后续的教学提供参考和依据。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对方程组解集的理解，能够运用基本的解法求解各类方程组，并理解解集的表示方式，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2022年暑假初升高数学第12讲同步练习：方程组的解集一、选择题1．若方程组⎩⎨⎧ax ＋y ＝0x ＋by ＝1的解集是{(x ，y )|(1，－1)}，则a ，b 为( )A.⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝1 B.⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝0 C.⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1D.⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0B [将x ＝1，y ＝－1代入方程组，可解得a ＝1，b ＝0.]2．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ 5x ＋y ＝3，ax ＋5y ＝4和⎩⎨⎧x －2y ＝5，5x ＋by ＝1有相同的解集，则a ，b 的值为( )A.⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2 B.⎩⎨⎧ a ＝－4，b ＝－6 C.⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝2D.⎩⎨⎧a ＝14，b ＝2D [解方程组⎩⎨⎧ 5x ＋y ＝3，x －2y ＝5，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2，将⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2代入⎩⎨⎧ ax ＋5y ＝4，5x ＋by ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝14，b ＝2.] 3.某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为( )A.⎩⎨⎧ 7y ＝x ＋3，8y ＋5＝xB.⎩⎨⎧ 7y ＝x ＋3，8y －5＝xC.⎩⎨⎧7y ＝x －3，8y ＝x ＋5D.⎩⎨⎧7y ＝x ＋3，8y ＝x ＋5C [根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程7y ＝x －3；根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程8y ＝x ＋5.列方程组为⎩⎨⎧7y ＝x －3，8y ＝x ＋5.故选C.]4．若二元一次方程3x －y ＝7,2x ＋3y ＝1，y ＝kx －9有公共解，则k 的取值为( )A ．3B ．－3C ．－4D ．4 D [由⎩⎨⎧ 3x －y ＝7，2x ＋3y ＝1得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，代入y ＝kx －9得－1＝2k －9，解得k ＝4.故选D.]5．若a 2＝b 3＝c7，且a －b ＋c ＝12，则2a －3b ＋c 等于( ) A.37 B ．2 C ．4 D ．12 C [设a 2＝b 3＝c7＝k ， 则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k ，代入方程a －b ＋c ＝12得：2k －3k ＋7k ＝12， 解得k ＝2，即a ＝4，b ＝6，c ＝14， 则2a －3b ＋c ＝2×4－3×6＋14＝4.故选C.] 二、填空题6．已知二元一次方程2x －3y －5＝0的一组解为⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b ，则6b －4a ＋3＝________.－7 [∵⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝b 是二元一次方程2x －3y －5＝0的解，∴2a －3b －5＝0，即2a －3b ＝5，∴6b －4a ＋3＝－2(2a －3b )＋3＝－2×5＋3＝－10＋3＝－7.]7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为________．⎩⎨⎧9x ＝11y (10y ＋x )－(8x ＋y )＝13[设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： ⎩⎨⎧9x ＝11y ，(10y ＋x )－(8x ＋y )＝13，故答案为：⎩⎨⎧9x ＝11y ，(10y ＋x )－(8x ＋y )＝13.]8．三元一次方程组⎩⎨⎧y ＋z －x ＝－5，x ＋y －z ＝－1，x ＋z －y ＝15的解集为________．{(x ，y ，z )|(7，－3,5)}[解⎩⎨⎧y ＋z －x ＝－5，①x ＋y －z ＝－1，②x ＋z －y ＝15，③①＋②得：2y ＝－5－1，解得：y ＝－3， ②＋③得：2x ＝－1＋15，解得：x ＝7，把x ＝7，y ＝－3代入①得：－3＋z －7＝－5，解得：z ＝5， 方程组的解集为{(x ，y ，z )|(7，－3,5)}．] 三、解答题9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(1,0)，(－5,0)，顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式．[解] ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(1,0)，(－5,0)， ∴对称轴为：x ＝－2，∵顶点的纵坐标为92，∴顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，92， 设此二次函数解析式为：y ＝a (x ＋2)2＋92， ∴0＝a (1＋2)2＋92，解得：a ＝－12， ∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2－2x ＋52.10．已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，2x 2＋xy ＋8y 2＝36.(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________．(2)求x 2＋4y 2的值；(3)若已知：1x ＋12y ＝2y ＋x 2xy 和(2y ＋x )2＝x 2＋4y 2＋4xy ；则1x ＋12y ＝________(直接求出答案，不用写过程)[解] (1)乙 原方程组不是二元一次方程组， 故乙的说法正确，故答案为：乙． (2)⎩⎨⎧3x 2－2xy ＋12y 2＝47，①2x 2＋xy ＋8y 2＝36，② ①＋②×2得，7x 2＋28y 2＝119， 整理得，x 2＋4y 2＝17.(3)②×3－①×2得，7xy ＝14，解得，xy ＝2，则(2y ＋x )2＝x 2＋4y 2＋4xy ＝25，∴2y ＋x ＝±5， ∴1x ＋12y ＝2y ＋x 2xy ＝±54，故答案为±54.[等级过关练]1．|3a ＋b ＋5|＋|2a －2b －2|＝0，则2a 2－3ab 的值是( ) A ．14 B ．2 C ．－2D ．－4D [∵|3a ＋b ＋5|＋|2a －2b －2|＝0，∴⎩⎨⎧3a ＋b ＝－5，①a －b ＝1，②解得：a ＝－1，b ＝－2，则2a 2－3ab ＝2－6＝－4.故选D.]2．若购买甲商品3件，乙商品2件，丙商品1件，共需140元；购买甲商品1件，乙商品2件，丙商品3件，共需100元；那么购买甲商品1件，乙商品1件，丙商品1件，共需( )A ．50元B ．60元C ．70元D ．80元B [设一件甲商品x 元，乙商品y 元，丙商品z 元．根据题意得：⎩⎨⎧3x ＋2y ＋z ＝140，①x ＋2y ＋3z ＝100，②①＋②得：4x ＋4y ＋4z ＝240，所以x ＋y ＋z ＝60，故选B.]3．已知x ＝2，y ＝－1，z ＝－3是三元一次方程组⎩⎨⎧mx －ny －z ＝7，2nx －3y －2mz ＝5，x ＋y ＋z ＝k的解，则m 2－7n ＋3k 的值为________．113[∵x ＝2，y ＝－1，z ＝－3是三元一次方程组⎩⎨⎧mx －ny －z ＝7，2nx －3y －2mz ＝5，x ＋y ＋z ＝k的解，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＋3＝7，4n ＋3＋6m ＝5，2－1－3＝k ，解得：k ＝－2，m ＝7，n ＝－10， ∴m 2－7n ＋3k ＝49＋70－6＝113.]4．某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有________人；该班至少有学生________人．16,29 [思想品德、历史两门课程都选了的有3人，∴选了思想品德而没有选历史的有19－3＝16人，设三门课都选的有x 人，同时选择地理和思想品德的有y 人， 则有总人数为19＋18＋13－3－4－2x －y ＝43－2x －y ，∵选择历史没有选择思想品德的有6人，∴2x ＜6，∴x ＜3，∴x ＝1,2， ∵只选思想品德的现在有19－3－4－1－y ＝11－y ，∴y 最大是10， 该班至少有学生43－4－10＝29，故答案为16；29；]4．水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)(1)元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？[解] (1)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，得： ⎩⎨⎧5x ＋8y ＝120，400x ＋500y ＝8 200， 解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝10.答：需甲车型8辆，乙车型10辆．(2)设需甲车型x 辆，乙车型y 辆，丙车型z 辆，得： ⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝16，5x ＋8y ＋10z ＝120，消去z 得5x ＋2y ＝40，x ＝8－25y ，因x ，y 是正整数，且不大于16，得y ＝5,10，由z 是正整数，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝5，z ＝5，或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝10，z ＝2.有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆．。

2．1.3 方程组的解集考点学习目标核心素养 二元一次方程组的解法会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组数学运算三元一次方程组的解法 会选用适宜的消元法求解三元一次方程组数学运算二元二次方程组的解法 灵活运用具体方法求解“二·一〞型和“二·二〞型的二元二次方程组数学运算问题导学预习教材P51－P54的内容，思考以下问题： 1．什么是方程组？ 2．什么是方程组的解集？1．方程组一般地，将多个方程联立，就能得到方程组． 2．方程组的解集方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．■名师点拨 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋m ＝4，y －3＝m 可得x 与y 的关系是( )A ．x ＋y ＝1B ．x ＋y ＝－1C ．x ＋y ＝7D ．x ＋y ＝－7⎩⎪⎨⎪⎧x ＋m ＝4， ①y －3＝m ， ②，将②代入①得 x ＋y －3＝4，即x ＋y ＝7.假设|x ＋y －5|＋(x －y －9)2＝0，那么x ，y 的值分别为( )A ．－2，7B ．7，－2C ．－7，2D ．2，－7⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0， ①x －y －9＝0， ② ①＋②得2x －14＝0，即x ＝7， ①－②得2y ＋4＝0，即y ＝－2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6y ＝12，3x －2y ＝8的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6y ＝12， ①3x －2y ＝8， ②②×3得9x －6y ＝24 ③ ①＋③得10x ＝36，即x ＝185，将x ＝185代入①得y ＝75，所以方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫185，75.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫185，75方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0， ①y ＋z －x ＝7， ②z ＋x －y ＝9 ③的解集为________．解析：①＋②＋③得x ＋y ＋z ＝16 ④ ④－①，得z ＝8； ④－②，得x ＝4.5； ④－③，得y ＝3.5.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z ，，8)}． 答案：{(x ，y ，z ，3.5，8)}二元一次方程组的解法选择适宜的方法解以下方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3， ①3x ＋4y ＝10. ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3， ①3x －4y ＝4. ② 【解】 (1)由①，得y ＝2x －3， ③把③代入②，得3x ＋4(2x －3)＝10，解得x ＝2. 把x ＝2代入③，得y ＝1.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2，1)}． (2)①×2，得2x ＋4y ＝6， ③ ③＋②，得5x ＝10，解得x ＝2.把x ＝2代入①，得2＋2y ＝3，解得y ＝12.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.解二元一次方程组看系数选方法当方程中有未知数的系数为1(或－1)时，可直接用代入法消元．否那么观察一样未知数的系数，当系数互为相反数时，相加消元；当系数相等时，相减消元；当系数既不相等，又不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数相等或互为相反数再相减或相加消元．1．假设x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，那么x ＋y 的值是( )A ．5B ．－1C ．0D ．1解析：选A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7， ①x ＋2y ＝8. ②法一：②×2－①，得3y ＝9，解得y ＝3. 把y ＝3代入②，得x ＝2. 所以x ＋y ＝2＋3＝5.法二：由①＋②，得3x ＋3y ＝15. 化简，得x ＋y ＝5.应选A. 2．用适当的方法解方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧3〔x ＋y 〕－4〔x －y 〕＝4， ①x ＋y 2＋x －y6＝1. ② 解：由②×6，得3(x ＋y )＋(x －y )＝6. ③ ③－①，得5(x －y )＝2，即x －y ＝25.把x －y ＝25代入③，得x ＋y ＝2815.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2815，x －y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1715，y ＝1115.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1715，1115.三元一次方程组的解法角度一 一般型三元一次方程组的解法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12， ①x ＋2y ＋5z ＝22， ②x ＝4y . ③【解】 把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧5y ＋z ＝12，6y ＋5z ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2. 把y ＝2代入③，得x ＝8.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(8，2，2)}．消元法解三元一次方程组的两个注意点(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．(2)消去的未知数一定是同一未知数，否那么就达不到消元的目的． 角度二 轮换型三元一次方程组的解法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3， ①y ＋z ＝5， ②z ＋x ＝4. ③【解】 ①＋②＋③，得2(x ＋y ＋z )＝12，即x ＋y ＋z ＝6. ④ ④－①，得z ＝3；④－②，得x ＝1；④－③，得y ＝2. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(1，2，3)}．解三元一次方程组时，应具体问题具体分析，找出其构造特点及系数之间的关系，灵活巧妙地消元．本例中，由于未知数的系数都一样，故采用了整体代入来消元的方法，简化了运算．角度三 连等型三元一次方程组的解法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝y 4＝z 5， ①x －y ＋2z ＝18. ②【解】 设x 3＝y 4＝z5＝k (k 为常数，k ≠0)， 那么x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝5k .将它们代入②中，得3k －4k ＋10k ＝18，解得k ＝2. 所以x ＝6，y ＝8，z ＝10，所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(6，8，10)}．用参数法解连等形式的方程组解连等形式的方程组时，通常采用参数法，用同一个字母表示方程组中各个未知数，根据题目所给的条件一步就可求出字母的值．此外，比例形式的方程也可运用参数法．通过参数法到达消元的目的，使运算更加简便，且不易出错．二次函数的图像过点(1，0)，(2，3)，(3，28)，求这个二次函数的解析式．解：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝3， ②9a ＋3b ＋c ＝28. ③②－①，得3a ＋b ＝3， ④ ③－②，得5a ＋b ＝25， ⑤由④和⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝3，5a ＋b ＝25.解得a ＝11，b ＝－30，把a ＝11，b ＝－30代入①，得11－30＋c ＝0，解得c ＝19. 所以a ＝11，b ＝－30，c ＝19.所以所求函数解析式为y ＝11x 2－30x ＋19.二元二次方程组的解法角度一 “二·一〞型的二元二次方程组解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2xy ＋y 2＝4， ①x －2y ＝5. ②【解】 法一：由②得x ＝2y ＋5， ③ 将③代入①，得(2y ＋5)2＋2y (2y ＋5)＋y 2＝4.整理，得3y 2＋10y ＋7＝0. 解得y 1＝－73，y 2＝－1.把y 1＝－73代入③，得x 1＝13，把y 2＝－1代入③，得x 2＝3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－73，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1. 所以方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－73，〔3，－1〕.法二：由①得(x ＋y )2＝4， 即x ＋y ＝2或x ＋y ＝－2. 原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝5.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，x －2y ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 2＝－73.所以方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－73，〔3，－1〕.“二·一〞型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．角度二 “二·二〞型的二元二次方程组解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3xy －4y 2＝0， ①x 2＋4xy ＋4y 2＝1. ② 【解】 由①得(x －4y )(x ＋y )＝0， 所以x －4y ＝0或x ＋y ＝0， 由②得(x ＋2y )2＝1， 所以x ＋2y ＝1或x ＋2y ＝－1. 原方程可化为以下四个方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝0，x ＋2y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝0，x ＋2y ＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋2y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋2y ＝－1. 解这四个方程组，得原方程组的四个解是：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝23，y 1＝16，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－23，y 2＝－16，⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝1，y 4＝－1.所以方程组的解集为{(x ，y )|⎝ ⎛⎭⎪⎫23，16，⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－16，(－1，1)，(1，－1)}．解“二·二〞型方程组的根本思想仍是“转化〞，转化的方法是“降次〞“消元〞．它的一般解法是：(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一〞型方程组，解这两个“二·一〞型方程组，所得的解都是原方程组的解．(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8， ①xy ＝12. ②解：法一：由①得y ＝8－x ， ③ 把③代入②，整理得x 2－8x ＋12＝0， 解得x 1＝2，x 2＝6. 把x 1＝2代入③，得y 1＝6. 把x 2＝6代入③，得y 2＝2.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2，6)，(6，2)}．法二：根据方程中根与系数的关系可知，x ，y 是一元二次方程z 2－8z ＋12＝0的两个根，解这个方程，得z 1＝2，z 2＝6.所以原方程组的解集为{(x ，y )|(2，6)，(6，2)}．2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1， ①〔x －y 〕2－2〔x －y 〕－3＝0. ② 解：由②得(x －y －3)(x －y ＋1)＝0. 所以x －y －3＝0或x －y ＋1＝0.所以原方程组可化为两个方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，x －y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，x －y ＋1＝0. 用代入消元法解方程组，分别得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，y 1＝－43，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝0. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－43，(－1，0)}．1．解以下方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝16， ①8x －7y ＝10； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝5〔y ＋2〕，x －32＝y ＋63.解：(1)由①，得2x ＝16－5y ， ③把③代入②，得4(16－5y )－7y ＝10，解得y ＝2. 把y ＝2代入③，得x ＝3，所以原方程组的解集为{(x ，y )|(3，2)}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝5〔y ＋2〕，x －32＝y ＋63.化简方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x －5y ＝9， ①3x －2y ＝21. ②②－①×3，得13y ＝－6，解得y ＝－613.把y ＝－613代入①，得x ＝8713.故原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕|⎝ ⎛⎭⎪⎫8713，－613. 2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝4， ①x ＋y ＋z ＝6， ②2x ＋3y －z ＝12. ③解：①＋③，得5x ＋2y ＝16. ④ ②＋③，得3x ＋4y ＝18. ⑤解由④⑤组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2，y ＝3代入②，得z ＝1.所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(2，3，1)}．3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4y 2＋x ＋3y －1＝0， ①2x －y －1＝0. ②解：由②，得y ＝2x －1， ③把③代入①，整理，得15x 2－23x ＋8＝0. 解这个方程，得x 1＝1，x 2＝815. 把x 1＝1代入③，得y 1＝1； 把x 2＝815代入③，得y 2＝115.所以原方程组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫〔x ，y 〕|〔1，1〕，⎝ ⎛⎭⎪⎫815，115.[A 根底达标]1．假设方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －3b ＝13，3a ＋5b ＝30.9的解集为{(a ，b )}，那么方程组⎩⎪⎨⎪⎧2〔x ＋2〕－3〔y －1〕＝13，3〔x ＋2〕＋5〔y ，的解集为( ) A ．{(x ，y )} B ．{(x ，y )} C ．{(x ，y )}D ．{(x ，y )}⎩⎪⎨⎪⎧x ，y －1＝1.2.即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ＝2.2. 2．|x －z ＋4|＋|z －2y ＋1|＋|x ＋y －z ＋1|＝0，那么x ＋y ＋z ＝( ) A ．9 B ．10 C ．5D ．3，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＋4＝0， ①z －2y ＋1＝0， ②x ＋y －z ＋1＝0. ③③－①，得y ＝3. 把y ＝3代入②，得z ＝5. 把z ＝5代入①，得x ＝1.所以x ＋y ＋z ＝1＋3＋5＝9.应选A.3．关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4ax ＋5by ＝－22和⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－4，ax －by ＝8有一样的解，那么(－a )b的值为________．解析：因为两方程组有一样的解，所以原方程组可化为①⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，2x ＋3y ＝－4；②⎩⎪⎨⎪⎧4ax ＋5by ＝－22，ax －by ＝8. 解方程组①，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.代入方程组②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －10b ＝－22，a ＋2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 所以(－a )b ＝(－2)3＝－8. 答案：－8 4．假设x ＋43＝y ＋64＝z ＋85，且x ＋y ＋z ＝102，那么x ＝________.解析：由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋43＝y ＋64， ①x ＋43＝z ＋85， ②x ＋y ＋z ＝102， ③ 由①得y ＝4x －23， ④由②得z ＝5x －43， ⑤把④⑤代入③并化简，得12x －6＝306， 解得x ＝26. 答案：265．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y －z ＝3，z ＋x ＝1的解也是方程3x ＋my ＋2z ＝0的解，那么m 的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2， ①y －z ＝3， ②z ＋x ＝1. ③①＋②，得x －z ＝5， ④将③④组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧z ＋x ＝1，x －z ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝－2.把x ＝3代入①，得y ＝1.故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝－2.代入3x ＋my ＋2z ＝0，得9＋m －4＝0，解得m ＝－5.答案：－56．解以下三元一次方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y ＋x ， ①2x －3y ＋2z ＝5， ②x ＋2y ＋z ＝13； ③(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝11， ①x ＋y ＋z ＝0， ②3x －y －z ＝－2. ③解：(1)将①代入②、③，消去z ，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2，y ＝3代入①，得z ＝5. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(2，3，5)}．(2)①－②，得x ＋2y ＝11. ④①＋③，得5x ＋2y ＝9. ⑤④与⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11，5x ＋2y ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝234. 把x ＝－12，y ＝234代入②，得z ＝－214. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，234，－214}． 7．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xy ＝12， ①xy ＋y 2＝4. ② 解：①－②×3得x 2＋xy －3(xy ＋y 2)＝0，即x 2－2xy －3y 2＝0⇒(x －3y )(x ＋y )＝0，所以x －3y ＝0或x ＋y ＝0，所以原方程组可化为两个二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝0，xy ＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，xy ＋y 2＝4. 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝－1. 所以该方程组的解集为{(x ，y )|(3，1)，(－3，－1)}．8．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧xy －x －y ＋1＝0， ①3x 2＋4y 2＝1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－xy －4y 2－3x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＝25. ② 解：(1)由①得(x －1)(y －1)＝0，即x ＝1或y ＝1.(ⅰ)当x ＝1时，4y 2＝－2无解．(ⅱ)当y ＝1时，3x 2＝－3无解，所以原方程组的解集为∅.(2)由①得(3x －4y )(x ＋y )－(3x －4y )＝0，(3x －4y )(x ＋y －1)＝0，即3x －4y ＝0或x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(4，3)，(－4，－3)，(4，－3)，(－3，4)}．[B 能力提升]9．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5〔x ＋y 〕， ①x 2＋xy ＋y 2＝43. ② 解：由①得，x 2－y 2－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y )－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y －5)＝0， 所以x ＋y ＝0或x －y －5＝0，所以原方程组可化为两个方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43， 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝－6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝1或⎩⎨⎧x 3＝43y 3＝－43，⎩⎨⎧x 4＝－43y 4＝43， 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(－1，－6)，(6，1)，(43，－43)，(－43，43)}．10．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋xy ＋y 2＝15， ①3x 2－31xy ＋5y 2＝－45； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＝1， ①16a 2＋1b 2＝1. ②(a >0，b >0) 解：(1)①×3＋②得，3x 2－7xy ＋2y 2＝0，(3x －y )(x －2y )＝0，3x －y ＝0或x －2y ＝0，将y ＝3x 代入①得，x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， 将x ＝2y 代入①得，y 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(1，3)，(－1，－3)，(2，1)，(－2，－1)}．(2)令x ＝1a 2，y ＝1b 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝116x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1201b 2＝15. 所以⎩⎨⎧a ＝25b ＝5(因为a >0，b >0)． 即原方程组的解集为{(a ，b )|(25，5)}．11．k 为何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2， ①y 2－4x －2y ＋1＝0. ② (1)有一个实数解，并求出此解；(2)有两个不相等的实数解；(3)没有实数解．解：将①代入②，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0， ③ Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＝－16(k －1)．(1)当k ＝0时，y ＝2，那么－4x ＋1＝0，解得x ＝14， 方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝0时，原方程组有一个实数解，即k ＝1时方程组有一个实数解，将k ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－4x －2y ＋1＝0，y ＝x ＋2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝－16〔k －1〕>0时，原方程组有两个不相等的实数解，即k <1且k ≠0. 所以当k <1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝－16〔k －1〕<0时，解得k ＞1，即当k >1时，方程组无实数解． [C 拓展探究]12．规定：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c bd ＝ad －bc .例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －13 0＝2×0－3×(－1)＝3. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 y 2 x ＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x z －3 5＝8，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6 y ＝－3. 解：根据规定，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 y 2 x ＝3x －2y ＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x z －3 5＝5x ＋3z ＝8， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6 y ＝3y －6z ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1， ①5x ＋3z ＝8， ②3y －6z ＝－3， ③②×2＋③，得10x ＋3y ＝13. ④将①与④组成二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，10x ＋3y ＝13. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 把y ＝1代入③，得z ＝1，所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(1，1，1)}．。

方程组的解集方程组的解集是指将一个或多个方程联立，以求解未知量的一组值的集合。

在数学中，方程组的解集是非常重要的，因为它们在各种现实世界的问题中得到了广泛的应用。

下面将从以下几个方面来探究方程组的解集的相关内容。

一、方程组的解集定义方程组的解集是关于未知量的值得一组集合，该集合可以由一个或多个方程确定。

方程通常包括等式、不等式和约束等。

方程组的解集的求解要涉及到代数方程的知识，包括化简方程、消元、代入、逐步解方程等方法。

二、方程组的解集举例1、二元一次方程组解：$$\begin{cases}2x + 4y = 6 \\4x - 2y = 2 \\\end{cases}$$将第二个方程两边都除以2，化成一般形式：$$\begin{cases}2x + 4y = 6 \\2x - y = 1 \\\end{cases}$$将第一行减去第二行，消去 $x$：$$\begin{cases}2x + 4y = 6 \\-5y = -4 \\\end{cases}$$解得 $y= \frac{4}{5}$，带入第一个方程解得 $x= -\frac{11}{5}$。

所以，方程组的解集为 $ \left( -\frac{11}{5},\frac{4}{5} \right) $。

2、非线性方程组解：$$\begin{cases}x^2+y^2-1=0\\xy+\frac{1}{4}=0\\\end{cases}$$将第二个方程乘以 $4$ 化简成 $4xy+1=0$，代入第一个方程，得到：$$\begin{cases}x^2+y^2-1=0 \\4xy=-1 \\\end{cases}$$化简后得到$$(x,y)=\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \mp\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$所以，方程组的解集为 $ \left\{ \pm\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right\}$三、方程组的解集应用方程组的解集是数学中用来表示实际问题的解决方案的一种方法。

第二章等式与不等式《2.1.3 方程组的解集》教学设计1．掌握解方程组的方法．2．判断方程组解集是有限集还是无限集．3．解读古代数学语境，能正确列出方程组．教学重点：1．用消元法解方程组．2．判断方程组是有限集还是无限集．3．在特定的语境中能正确列出方程组．教学难点：在应用题中正确解读语境，能够列出题目要求的方程组．PPT课件．一、整体概述问题1：阅读课本第51~54页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节将要研究方程组的解集．（2）起点是二元一次方程的解集，目标是会用消元法求解二元一次方程组、三元一次方程组以及二元二次方程组．提升数学运算素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1．情境与问题《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三来⑧，中禾二秉，下禾一来，实三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三来，下禾一乘，实三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，实二十六斗．问上、中、下禾实一乘各几何．请列方程组求解这个问题．设计意图：以古代名题创设情境，既让学生了解中国古代数学史，激发学生的爱国情怀，又激发学生学习数学的兴趣．2．探究新知知识点1 方程组的解集问题1：为了更好地解决上述问题，我们先来研究以下问题：将x－y=1看成含有两个未知数x，y的方程：（1）判断（x，y）=（3，2）（指的是32xy=⎧⎨=⎩下同）是否是这个方程的解；（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集．师生活动：学生回答：因为3－2=1，所以（x，y）=（3，2）是方程x－y=1的解．教师与学生一起讨论，只要给定一个x或y的值，随之可得相应的y或x的值，进而得到方程的一个解，所以方程x－y=1的解集是无限集．【想一想】二元一次方程的解集都是无限集吗？师生活动：学生回答！预设的答案：是！问题2：在刚才二元一次方程的基础上再增加一个方程，如何求方程组13x yx y-=⎧⎨+=⎩①②的解集？解集是有限集还是无限集．师生活动：学生回答：13 x yx y-=⎧⎨+=⎩①②是一个方程组，而且通过①+②可以消去y，得到x=2；②一①可以消去x，得到y=1，从而得出这个方程组的解为（x，y）=（2，1）．教师总结：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．因此，方程组13x yx y-=⎧⎨+=⎩的解集是{（x，y）| x－y=1 } ∩{（x，y）| x+y=3 }={（2，1）}．由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法（消元的方法有代入消元法与加减消元法）．【想一想】一般情况下，二元一次方程组的解集是单元素集合，那么二元一次方程组的解集都是单元素集合吗？师生活动：学生讨论，派代表回答！如二元一次方程组12x y x y -=⎧⎨-=⎩的解集为空集；二元一次方程组1333x y x y -=⎧⎨-=⎩的解集为无限集．预设的答案：不是！问题3：如何求解情境与问题中的实际应用问题？师生活动：学生互相讨论，并请一代表回答：设上禾实一秉x 斗，中禾实一秉y 斗，下禾实一秉z 斗，根据题意，可列方程组32392334 2326.x y z x y z x y z ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩，，由此可解得这个方程组的解集为371711(,,)444⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 教师总结：解三元一次方程组的基本步骤：（1）观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；（2）利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；（3）解二元一次方程组，求出两个未知数的值；（4）将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；（5）写出三元一次方程组的解．【想一想】如果是三个未知时两个方程，如何求解集呢？如：设方程组1 3 5.x y z x y z -+=+-=⎧⎨⎩，的解集为A ．判断（x ，y ，z ）=（3，2，0）和（x ，y ，z ）=（4，4，1）是否是集合A 中的元素；判断A 是一个有限集还是一个无限集．师生活动：学生回答：（x ，y ，z ）=（3，2，0）和（x ，y ，z ）=（4，4，1）均为上述方程组的解．师生一起探讨：如果我们将z 看成已知数，就可以解得x = z +3，y =2 z +2． 这样一来，方程组的解集可以写成A ={（x ，y ，z ）|x = z +3，y =2 z +2，z ∈R ）．不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集．教师总结：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．设计意图：层层递进 ，让学生熟悉和理解二元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法以及解集是有限集还是元限集．三、初步应用例1 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．分别求出该市今年外来和外出旅游的人数．师生活动：学生思考分析，派代表发言：根据等量关系“去年外来旅游的人数－去年外出旅游的人数＝20万人”和“今年外来旅游的人数＋今年外出旅游的人数＝226万人”列方程组求解．教师写出规范解答．预设的答案：解：设去年同期外来旅游的人数为x 万人，外出旅游的人数为y 万人．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝20，1＋30%x ＋1＋20%y ＝226，解这个方程组，得10080x y =⎧⎨=⎩．所以（1＋30%）x ＝130，（1＋20%）y ＝96．故该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人．方程组应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列方程组来加以解决．教师总结：列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出题目中的两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案．设计意图：数学来源于生活，又作用于生活！通过本题说明如何求解实际应用问题． 例2 求方程组2215x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩①②的解集． 师生活动：师生一起来认识这个方程组，探讨求解方法．教师写出规范解题过程． 预设的答案：解：将②代入①，整理得x 2+x －2=0，解得x =1或x =－2．利用②可知，x =1时，y =2；x =－2时，y =－1．所以原方程组的解集为{（1，2），（－2，－1）}．设计意图：通过本题说明如何用代入消元法求一个是二元一次方程与一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解集．例3 求方程组22222(1)(2)1x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩①② 的解集．师生活动：师生一起来认识这个方程组，观察方程组中两个方程之间的联系，给出消元的方案．教师写出规范解题过程．预设的答案：解：由①－②，整理得x+2y－3=0．③由③解得x=3－2y．代人①，并整理，得5y2－12y+7=0，解得y=1或75 y=利用③可知，y=1时，x=1；75y=时，15x=因此，原方程组的解集为17 {(1,1),(,)}55．设计意图：通过本题说明如何用化归法求解一类二元二次方程组的解集：两个都是二元二次的方程组成的二元二次方程组，首先通过加减消元转化为例1的类型，进而再用代入消元法将方程组求解问题转化为一元二次方程的求解问题．练习：教科书P54练习A1、2、3、4、5四、归纳小结，布置作业1．板书设计：2.1.3方程组的解集1．方程组的解集二元一次方程的解集二元一次方程组的解集三元一次方程的解集二元二次方程的解集例1例2例32．总结概括：回顾本节课，你有什么收获？（1）二元一次方程的解集（2）二元一次方程组的解集（3）三元一次方程组的解集（4）二元二次方程组的解集师生活动：学生总结，老师适当补充．作业：教科书P55练习B 1、2、3、4、5【拓展阅读】《九章算术》中的代数成就简介《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就，代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 394 0 0 371 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠．《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的数值求解步骤．而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！。