函数的性质反函数·函数的单调性

解析数学中的函数与反函数关系函数是数学中的重要概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。

而反函数则是函数的逆运算，用于确定原始函数的自变量。

在本文中，我们将详细解析数学中的函数与反函数关系。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数可以用公式、图表或描述性语言来表示。

一个函数可以由以下三个要素确定：1. 定义域(Domain)：函数能够接受的自变量的取值范围。

2. 值域(Range)：函数可以输出的因变量的取值范围。

3. 规则(Rule)：描述自变量与因变量之间关系的数学表达式。

在函数中，每个自变量只能对应一个因变量。

这确保了函数的唯一性。

另外，函数还具有以下性质：1. 单调性：函数可以是递增的（当自变量增大时，因变量也增大）或递减的（当自变量增大时，因变量减小）。

2. 奇偶性：函数可以是奇函数（满足f(-x)=-f(x)）或偶函数（满足f(-x)=f(x)）。

3. 定义域与值域：函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或其他特定集合。

4. 周期性：函数可以是周期函数，即f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。

二、反函数的定义与性质反函数是函数的逆运算，用于确定原始函数的自变量。

如果函数f(x)的定义域为D，值域为R，则反函数可以表示为f^(-1)(x)，其定义域为R，值域为D。

反函数的性质如下：1. 反函数与原始函数的关系：如果f(x)与g(x)是反函数，那么f(g(x))=x，g(f(x))=x。

2. 图像关于y=x的对称性：函数与反函数的图像关于y=x对称，即它们的图像沿y=x对称折叠。

3. 度量关系：如果函数f(x)在x=a处连续且具有可导性，反函数f^(-1)(x)在x=b处也连续且可导，而且它们的导数互为倒数。

三、函数与反函数的实际应用函数与反函数在数学中具有广泛的应用，尤其是在代数、几何和物理等领域。

1. 代数：函数与反函数的应用在方程求解中尤为重要。

数学中的函数与反函数在数学中，函数是一种非常基础且重要的概念。

函数可以理解为一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

函数在解决实际问题、描述数学规律以及推导数学定理等方面起到了至关重要的作用。

在函数的概念之上，还有一个与之相关且同样重要的概念，那就是反函数。

一、函数的定义与性质函数可以简单地定义为，对于一个自变量集合中的每一个元素，函数都能唯一确定一个对应的因变量集合中的元素。

符号上，我们可以用f(x)表示函数，其中x表示自变量，f(x)表示函数对应的因变量。

函数可以用图像、表格或公式等方式进行表示。

函数具有以下一些基本的性质：1. 定义域：函数的自变量的取值范围称为定义域。

函数在定义域内有定义，而在定义域外则没有定义。

2. 值域：函数的因变量的取值范围称为值域。

值域是函数图像在因变量轴上的投影。

3. 单调性：函数可以是递增的，也可以是递减的，甚至可以是常数函数。

对于递增函数，当自变量增加时，对应的因变量也随之增加；对于递减函数，则相反。

4. 奇偶性：函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，即对于任意x，有f(-x) = -f(x)；偶函数满足f(x) = f(-x)，即对于任意x，有f(x) = f(-x)。

二、反函数的定义与性质反函数是函数的一种特殊形式，它与原函数的定义域和值域互换，即将原函数的自变量与因变量进行互换，从而得到一个新的函数。

如果函数f的定义域为X，值域为Y，那么它的反函数g的定义域为Y，值域为X，记作g(y) = x。

反函数具有以下一些基本的性质：1. 反函数的存在性：只有满足一对一的条件的函数才存在反函数。

一对一指的是对于不同的自变量，函数能唯一确定对应的因变量。

2. 反函数与原函数的关系：若函数f的反函数为g，那么对于f(x) = y，则有g(y) = x。

也就是说，若x在函数f中有对应的y值，那么y在反函数g中有对应的x值。

反函数基础概念 一、基础知识概述本周主要学习了反函数，了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，掌握并会灵活应用互为反函数的函数图象间的关系．二、重难点知识归纳1、反函数的概念： （1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称，即点),(b a 在)(x f y =的图象上，则点),(a b 必在)(1x f y -=图象上．（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．2、反函数的性质： （1）)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)(x f y =也是)(1x f y -=的反函数，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数．（2）函数)(x f y =存在反函数的充要条件是函数)(x f y =是定义域到值域的一一映射．（3）函数)(x f y =和反函数)(1x fy -=的定义域，值域互换，即：函数)(x f y = 函数)(1x f y -= 定义域A C 值域C A 3、互为反函数的图象关系：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称． 4、反函数与函数的其它性质的联系：（1）反函数与原函数：x x ff =-)]([1，x x f f =-)]([1． 注意：)]([11x ff --并不是反函数的反函数，而是)(1x f y -=与自身形成的复合函数，谨防出现)()]([11x f x f f =--的错误作法．（2）反函数与单调性：如果函数)(x f y =有单调性，则反函数)(1x f y -=也有与)(x f y =一致的单调性，即)(x f y =在],[b a 上为增函数，则)(1x f y -=在)](,)([b f a f 上为增函数；)(x f y =在],[b a 上为减函数，则)(1x f y -=在)](,)([a f b f 上为减函数．典型例题例1、求下列函数的反函数：（1）⎩⎨⎧<-≥-=)0(12)0(1)(2x x x x x f ；（2）)23(321)(≥-+=x x x f ；（3）)1(12)(2>-=x x x x f ． 解析： （1）分析：求分段函数的反函数，也应分段来求，要注意分段后在所分区间内函数的值域． 设)(x f y =，则：当0≥x 时，1-≥y ，∴12+=y x ，又0≥x ，∴1+=y x ，即)1(1)(1-≥+=-x x x f ．当0<x 时，1-<y ，∴21+=y x ，∴)1(21)(1-<+=-x x x f ． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=-)1(21)1(1)(1x x x x x f ． （2）分析：求无理函数的反函数，应先求函数的值域．设)(x f y =，则因23≥x ，∴1≥y ． ∴321-=-x y ，∴]3)1[(212+-=y x ， ∴)1(]3)1[(21)(21≥+-=-x x x f ． （3）分析：求二次分式函数的反函数，一要注意函数的值域，二要注意函数的定义域，即在开方求x 时注意x 的取值范围．)(x f y =，∵1>x ，∴0<y ．x yx y 22=-，即022=-+y x yx ．∵0<y ，∴yy y y x 22112442+±-=+±-=． ∵1>x ，0<y ．∴yy x 211+--=． ∴)0(11)(21<+--=-x x x x f ． 点评：分段函数的反函数也是分段函数，一般是先分别求出各区间的反函数，再归纳．在求反函数的过程中，如果在反解x 时需要进行开方运算，特别要注意x 的取值范围，有时还要结合值域来考虑． 例2、已知函数)05(251)(2≤≤-+-=x ax x f ，点)4,2(-- P 在它的反函数的图象上．（1）求)(x f 的反函数)(1x f-； （2）证明)(1x f -在其定义域上是减函数．分析：先由题设条件求出参数a 的值后，再求反函数．解析：（1）∵)4,2(-- P 在)(x f 的反函数图象上，∴)2,4('-- P 在函数)(x f y =的图象上，∴251612+-=-a ．∴92516=+a ，∴1-=a ，即251)(2+--=x x f ．∵05≤≤-x ，∴1)(4≤≤-x f ． 由2512+--=x y 得：22)1(25-=+-y x ．∴22)1(25--=y x ，∵05≤≤-x ，∴2)1(25---=y x ， ∴)14()1(25)(21≤≤----=-x x x f ．（2）∵2)1(25--=x u 在]1,4[ -上是增函数，故对1x 、2x ]1,4[ -∈，当21x x <时，有210u u ≤≤．又u -在0≥u 上是减函数，∴21u u ->-，即)()(2111x f x f-->．∴21)1(25)(---==-x x fy 在]1,4[ -上是减函数．点评： 当点),(b a 在函数)(x f 的图象上时，),(a b 必在)(x f 的反函数的图象上．另外，由于函数与其反函数具有相同的单调性，故可以先证)(x f 在]0,5[ -上是减函数，从而)(1x f -在]1,4[ -上是减函数． 例3、判断函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 是否存在反函数，若存在，求出)(1x f -．若不存在，说明理由．分析：函数)(x f 存在反函数的充要条件是确定函数的对应是一一对应．即对于值域中的一个y 值，方程)(x f y =有唯一的解x ，则函数存在反函数，否则，不存在反函数．解析：设120++=x x y ．∵R x ∈，∴x x x -≥>+||12，∴00>y ，∴120+=-x x y ，∴12020=-x y y ． ∵00>y ，∴02021y y x -=．∴函数)(1)(2R x x x x f ∈++= 存在反函数． 由以上证明过程知)0(21)(21>-=-x x x x f ． 点评：根据函数和反函数的概念可知，在定义域上的单调函数一定存在反函数．因此本题还可通过证明)(x f 在R 上是单调函数来证明)(x f 存在反函数． 例4、已知函数b kx y +=的图象过)2,1( 点，它的反函数)(1x f -的图象过)0,4( 点，求函数)(x f 的解析式．解析：)(1x f -的图象过)0,4( 点，)(1x f -与)(x f 的图象关于直线x y =对称，∴)(x f 的图象过)4,0( ，又由已知也过)2,1( 点，∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧+=+=24204k b b k b ， ∴42)(+-=x x f ．说明：)(x f y =图象上点),(b a 关于x y =的对称点),(a b 必在)(1x f y -=的图象上．基础练习一、选择题1、函数d cx b ax x f ++=)(的反函数为)(1x f -，若433)1(1++=+-x x x f ，则a 、b 、c 、d 的值依次为（ ）A ．1、2、3、1B ．－1、2、3、－1C ．1、－2、－3、1D ．－1、2、－3、－12、若函数)(x f y =的反函数是)(x g y =，b a f =)(，0≠ab ，则)(b g 等于（ ）A ．aB ．a 1C ．bD ．b1 3、已知函数)(x f y =的反函数是21x y --=，则函数)(x f y =的定义域为（ ）A ．)0,1( -B ．]1,1[ -C ．]0,1[ -D ．]1,0[4、已知函数)(x f 的图象过点)1,0( ，则)4(x f -的反函数的图象过点（ ）A ．)4,1(B ．)1,4(C ．)0,3(D ．)3,0(5、设点)2,1( P 既在函数b ax y +=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ） A ．3-=a ，7=b B ．1=a ，2=b C ．1-=a ，3=b D ．2=a ，1=b6、奇函数)(x f 的反函数是)(1x f -，若a a f -=)(，则)()(1a f a f -+-的值是（ ）A ．a 2B ．a 2-C ．0D ．无法确定7、若函数)(x f y =的图象只经过第一、四象限，那么函数)(1x f -的图象一定经过（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第一、四象限8、对于]1,0[ ∈x 的所有x 值，函数2)(x x f =与其反函数)(1x f-的相应函数值间一定有（ ）A ．)()(1x f x f -≥B ．)()(1x f x f -≤C ．)()(1x f x f -<D ．)()(1x f x f -=9、若)0(32)1(2≤+-=-x x x x f ，则)(1x f -为（ ）A ．)2(2≥-x xB ．)2(21≥--x xC ．)3(2≥--x xD ．)3(2≤-x x10、设函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则函数)(1x f -的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题 11、函数a x x x f ++=1)(与函数12)(-+=x b x x g 的图象关于x y =对称，则=+b a _________． 12、若函数21++=x ax y 在其定义域内存在反函数，则a 的取值范围是___________． 13、函数)1(1≥+=x x x y 的反函数=-)(1x f ___________． 三、解答题14、已知)21(12)(≠++=x a x x x f ． （1）求它的反函数；（2）若函数)(x f 的图象关于x y =对称，求a 的值；（3）若af 2)3(1-=-，求a 的值． 15、已知函数)1(12≥-=x x y 的图像为1C ，函数)(xg y =的图像为2C ，1C 与2C 关于直线x y =对称，又)(x g y =的定义域为M ，对于任意1x 、2x M ∈，且21x x ≠，试比较|)()(|21x g x g -与||21x x -的大小．16、已知13)(-+=x ax x f ．（1）求)(x f y =的反函数)(1x fy -=的值域； （2）若点)7,2( 是)(1x f y -=的图象上的一点，求)(x f y =的值域．。

函数与反函数的概念与性质随着数学的发展，函数和反函数成为了数学中一个非常重要的概念。

函数被广泛应用于各个学科领域中，而反函数则帮助我们更好地理解和运用函数。

本文将介绍函数与反函数的概念和性质，并探讨它们在数学中的作用。

一、函数的概念与性质函数是数学中一种非常常见的关系，它描述了两个集合之间的对应关系。

具体来说，函数是将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中唯一的元素上的规则。

函数常用符号表示为 f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，而 f(x) 则是函数在 x 上的取值。

函数的性质有以下几点：1. 唯一性：每个自变量只能对应一个函数值，即一个 x 对应一个f(x)。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。

3. 单调性：函数可以是增函数（随着自变量的增大，函数值也增大），也可以是减函数（随着自变量的增大，函数值减小）。

4. 奇偶性：函数可以是奇函数（f(-x) = -f(x)），也可以是偶函数（f(-x) = f(x)）。

5. 周期性：函数可以是周期函数，即存在一个正数 T，使得对于所有 x，有 f(x + T) = f(x)。

6. 连续性：函数可以是连续函数，即函数在定义域内的任意两个点之间的函数值也满足函数关系。

二、反函数的概念与性质反函数，顾名思义，是函数的逆运算。

对于一个函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，使得 g(f(x)) = x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。

反函数可以理解为将函数输入的结果逆向还原为输入的过程。

反函数的性质如下：1. 唯一性：原函数的每个函数值对应反函数的一个自变量。

2. 交换性：原函数和反函数的自变量和函数值可以互换位置。

3. 定义域和值域：反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域。

4. 奇偶性：如果原函数是奇函数，则反函数也是奇函数；如果原函数是偶函数，则反函数也是偶函数。

三、函数与反函数的应用函数与反函数在数学中有着广泛的应用。

函数的单调性、凹凸性、反函数C 单调性：能准确判断初等函数复合后的函数的单调性，能根据数形结合解题。

d 凹凸性：理解函数图像凹凸性的代数意义，原理就是比较曲线上不重合两点值域的算术平均数与两点中点的函数值的大小。

()()121222fx fx x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭比较与的大小反函数的几个性质：1.原函数与反函数单调性一致；2.原函数与反函数关于y=x 对称；3.原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域例1．已知(31)41()lo g 1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，， 是()-∞+∞，上的减函数，那么a 的取值范围是 A （0，1） B 103⎛⎫⎪⎝⎭， C 1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D 117⎡⎫⎪⎢⎣⎭，R (31)41()R lo g 1310110173(31)14lo g 1a a a x a x f x x x a a a a a ≥-+<⎧=⎨≥⎩-<⎧⎪∴<<⇒≤<⎨⎪-⋅+≥⎩解析：分段函数是上的严格递减函数要满足两个条件： 1：分段函数的每一段是递减的；2：左段函数的最小值右段函数的最大值；，是上的严格递减函数，，例2.已知函数()1)1f x a a =≠-，（1）若a ＞0 ，则()f x 的定义域是(2) 若()f x 在区间(]01，上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 解析：（1）当a ＞0时，由30ax -≥得3x a ≤，所以()f x 的定义域是3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，；(2) 由题意知10a a ≠≠且，于是对参数a 进行分类讨论同时注意定义域：① 当a <0时，()f x 在区间(]01，上是减函数； ②当0<a <1时，为增函数，舍；③当a ＞1时，为减函数，注意定义域的成立得到30a -≥，于是13a <≤；例3．对于函数f(x)定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：① f (x 1＋x 2)=f (x 1) f (x 2)； ② f (x 1 x 2)=f (x 1)+f (x 2) ③1212()()f x f x x x -->0； ④1212()()()22x x f x f x f ++<.当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是解析： 是指数函数 是对数函数 是单调性是凸函数 答案是 ● ❍ ●例4．给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ()3xf x =B ()sin f x x =C 2()log f x x =D ()tan f x x =()()()()()()()()()1()()()()()f xy f x f y f x y f x f y f x f y f x y f x f y f x y f x f y =++=++=-+=+解析： 是对数函数； 是指数函数；是正切函数；是过原点的一次函数例5．在222l og c o s2xy y x y xy x====，，，这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A 0B 1C 2D 3()212122()()()222cos 201log x x x f x f x f y y x y x y x ++>====解析：是凸函数，和是凹函数，在，上有凹有凸是凸函数例6. 设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a aax f xx的反函数 ，则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为（ ）A 21()2a a-+∞， B 21()2a a --∞， C 21()2a a a-， D [)a +∞，112111()() (1)()12()111()A22x xf x a aa fx fx a x a aa----=->>>--=解析：是增函数，解不等式相当于是原函数的定义域大于1求值域的范围，于是轻松解得的解是，选>例7．设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f1-，则A ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1B ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 C ()x f1-在其定义域上是减函数且最大值为1 D()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0解析：())101f x x =≤<为连续区间上的增函数，排除B 、C ，()x f1-的值域是[)01，，选D。