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人教版八年级数学上册培优资料

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10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）培优升级·奥赛检测01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……P n与P重合，则n的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．802．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；⑵如果点P的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．04．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M．⑴求证：AB＝CD；⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．05．在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC边的对称点为A’，点B关于AC边的对称点为B’，点C关于AB边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以l为对称轴跳至P1点；⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a＝8，b＝6，c＝3，计算这时它与A的距离是多少？07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．⑴若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝___________时，△PAB的周长最短；⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝___________时，四边形ABCD的周长最短；⑶设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝___________，n＝___________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．第4讲等腰三角形考点·方法·破译1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形经典·考题·赏析2131221(4)(3)(2)(1)【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD ＝400，∴∠A ＝50∴∠B ＝∠ACB ＝1800−5002=650如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD ＝400，∠DAC ＝500∴∠DAC ＝∠B ＋∠ACB ＝2∠B∴∠B ＝∠ACB ＝250，故填650或250.【变式题组】 01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC 中，AB ＝AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A .7B .11C .7或11D ．7或1002.（黄冈）在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B ＝___________度．03.（襄樊）在⊿ABC 中，AB ＝AC ＝12cm ，BC ＝6cm ,D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t ＝_________秒时，过D 、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】 如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，AD ＝BD ＝BC ，求∠A 的度数． 【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数． 解：设∠A ＝x ,∵BD ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ＝x ， ∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∵BD ＝BC ，∴∠C ＝∠BDC ＝2x ， ∵AB ＝AC ，∴∠ C ＝∠ABC ＝2x ，∵在△ABC 中, ∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180° ∴x ＋2x ＋2x ＝180°，x ＝36°，∴∠A ＝36°． 【变式题组】01．如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝BC ,AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数．02．如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ ED ＝EA ，求∠A 的大小．【例３】 已知坐标原点O 和点A （2，－2），B 是坐标轴上的一点．若⊿AOB 是等腰三角形，则这样的点B 一共有（ ）个A ．4B ．5C ．6D ．8【解法指导】 ⊿AOB 是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO ＝OB ,②OA ＝AB ,③BA ＝BO ,又△B 是坐标轴上的点．要考虑x 轴与y 轴两种情况．解：①如图1，当OA 是底边时，B 在OA 的中垂线上，又B 在坐标轴上，因而B 是OA 中垂线与坐标轴的交点；②如图2，当OA 为腰时，若O 为顶点，则B 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点；③如图3，当OA 为腰时，若A 为顶点，则B 在以A 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点.故选D .C AD BACD B图2图1C AB D 图3图2图1B 8B 7OB 6B 3B 4B 5B 1B 2OO x y y x yxA AA【变式题组】01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，－3），点P 是y 轴上一点，则使⊿AOP为等腰三角形的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 02．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，0),点B 的坐标是（0，√3），点C 在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C 有_________个．03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG ＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．104．（济南）如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝4√3，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例４】 （枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．【解法指导】 判断⊿MEC 为等腰直角三角形，M 为直角顶点，即想证∠EMC ＝900，而⊿ABD 为等腰三角形，M 是BD 的中点，若连接AM 则有∠AMD ＝900,因而只需证∠DME ＝∠AMC ,利用全等三角形即可． 解：EMC △的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接AM ，由题意得：90DE AC DAE BAC =+=︒，∠∠． 90DAB ∴=︒∠． 又DM MB =Q ， 1452MA DB DM MAD MAB ∴====︒，∠∠． 10590MDE MAC DMA ∴==︒=︒，∠∠∠． EDM CAM ∴△≌△． DME AMC EM MC ∴==，∠∠． 又90DME EMA +=︒∠∠， 90EMA AMC ∴+=︒∠∠． CM EM ∴⊥．所以ECM △的形状是等腰直角三角形．【变式题组】01．如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点,以P 为直角顶点的两边分别与边AB 、AC 交于点E 、F ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，⊿PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由．02．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝900，D 是BC 的中点，DE △AB 垂足为E ，过点B 作BF △AC交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ． ⑴求证：AD △CF ;⑵连接AF ，试判断⊿ACF 的形状，并说明理由．03．如图，⊿ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ,CO 为中线．现将一直角三角板顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC 、CB 的延长线于点G 、H ．⑴试写出图中除AC ＝BC ,OA ＝OB ＝OC 外其他所有相等的线段； ⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．【例５】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；A B CD P E题图第3题图 第4题图A CBM D E (例4题图)⑵如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形； ⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ． 证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点．∵∠DCB ＝∠EBC ＝12∠A ，BC 为公共边，∴△BCF ≌△CBG ， ∴BF ＝CG ，∵∠BDF ＝∠ABE ＋∠EBC ＋∠DCB ，∠BEC ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠BDF ＝∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， ∴BD ＝CE∴四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB ＝∠DBC ，CF 交BE 于F 点． ∵∠DCB ＝∠EBC ＝12∠A ，BC 为公共边，∴△BDC ≌△CFB ，∴BD ＝CF ，∠BDC ＝∠CFB ， ∴∠ADC ＝∠CFE ，∵∠ADC ＝∠DCB ＋∠EBC ＋∠ABE ，∠FEC ＝∠A ＋∠ABE ，∴∠ADC ＝∠FEC ， ∴∠FEC ＝∠CFE ，∴CF ＝CE ，∴BD ＝CE ，∴四边形DBCE 是等边四边形． 【变式题组】01．如图，在∆ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 为∠BAC 的平分线．求证：AC ＝AB ＋BD .02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝1050，∠ABC ＝∠ADC ＝450，若AB＝2，求CD 的长．03．如图，在∆ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，F 在AC 延长线上，BD ＝CF ．求证DE ＝EF .【变式题组】 01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A ．200B ．1200C ．200或1200D ．3600图1图202．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（ ）A ．9B ．15C ．15D ．12或1503.（云南）如图，等腰∆ABC 的周长为21，底边BC ＝5，AB 的垂直平分线DE交AB 于点D ，交AC 于点E ，则∆BEC 的周长为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1604．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，若∠A ＝180，则∠GEF 的度数是（ ）A ．800B ．900C ．1000D ．108005．如图，Rt ∆ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD ＝∠B B .CH ＝CE ＝EFC .CH ＝HD D .AC ＝AF06．如图，∆ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ,交AC 于点E ,那么下列结论：①∆BDF 和∆CEF 都是等腰三角形；②DE ＝BD ＋CE ;③∆ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF ＝CF .其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①07.（武汉）如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC , ∠ABC ＝∠ADC ＝700,则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．700B ．1100C ．1400D ．1500 08．（滨州）已知等腰∆ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是____________.09．如图所示，在∆ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝360，BC ＝2，BD 是∆ABC 的角平分线，则AD ＝___________.10．(威海)如图，AB ＝AC ，BD ＝BC ,若∠A ＝400，则∠ABD 的度数是_________.11．(乌鲁木齐) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知：求证：AED △是等腰三角形． 证明：12．（泰安） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； ⑵证明：DC BE ⊥．13.（包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．⑴如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA上由图1图2DC E A BBEDACC 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？⑵若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？14.（临沂）如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =o ∠，把一块含30o 角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转． ⑴在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ． ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； ⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； ⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．培优升级·奥赛检测01．如图，∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ,PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，下列结论：①GA ＝GP ;②S ∆PAC :S ∆PAB =AC:AB;③BP 垂直平分CE ；④FP ＝FC ;其中正确的判断有（ ）A ．只有①②B ．只有③④C ．只有①③④D ．只有①②③④02．如图，点A 是5×5网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个AQCDBP图1图2图3小正方形的边长为1，以A 为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ） A .10个 B .12个 C .14个 D .16个03．如图，在∆ABC 中，AB ＝BC ,MN ＝NA , ∠BAM ＝∠NAC ,则∠MAC ＝_________.04．如图，AA ’、BB ’分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA ’＝BB ’＝AB .则∠BAC 的度数为______________.05．(全国联赛)在等腰Rt ∆ABC 中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE △AM 于E ,交AB 于F ．则S ∆MBF＝_____________06．如图，在∆ABC 中，AB ＝AC ,EF 为过点A 的任意一条直线，CF ⊥BC , BE ⊥BC .求证：AE ＝AF .07．（湖州市竞赛试题）如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC ,交CD 于K ，交BC 于E ，F 是BE 上一点，且BF ＝CE ，求证：FK ∥AB08.(四川省初二数学联赛试题)有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的顶角的度数．09.如图，在∆ABC 中，∠ABC ＝460，D 是边BC 上一点，DC ＝AB , ∠DAB ＝210，求∠CAD 的度数．10.（浙江省杭州市中考试题）如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E ，连接BP 交AC 于点F . (1) 证明：CBF CAE ∠=∠； (2) 证明：BF AE =；(3) 以线段BF AE ,和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为ABC S ∆和ABG S ∆，如果存在点P ，能使得ABG ABC S S ∆∆=,FB AC求∠C 的取值范围.11．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝900，AD ＝AE , AF ⊥BE 交BC 于F ，过F 作FG ⊥CD交BE 的延长线于G ．求证：BG ＝AF ＋FG第五讲 等边三角形考点 方法 破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60° ∴ ∠ACE ＝∠DCB ∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形． 【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ＝QC ＝AP ＝AQ ，CACQP BAD C ABQ C 则∠BAC 的大小等于__________ 度02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQ04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠PAB ＝∠PAC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】 由于∠PAB ＝∠PAC ,因而PA 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BPA ＝150°是特殊角，考虑∠BPA 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠PAB ＝22°∴∠BPA ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90° 为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△ECBBADCBACBB(1)D CA(2)DCBA(3)GDBA(4)NMDCDGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN＝CN一BM 解(1)关系为MN＝BM＋NC证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°在△DMB和△DGC中；DB＝DC．BM＝CG∴△DMB≌△DGC∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°∴△MND≌△GND∴MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°求证：AC＝BC＋DC．巩固练习反馈提高01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图第2题图02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：①BD 平分∠ABC②AD＝21AB③CE＝21BC④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是( ) A．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A’处，且A’在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________ cmDCBABED CABEDCAODBPCADEBFCA第3题图第4题图第5题图04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________． 05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由． 06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F (1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFC09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB 的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．EB AE BCF DC A(2)DB CA(1)第11讲 幂的运算考点·方法·破译幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）： 1．m n m n a a a +⋅= 2．()m nmna a=3．()n n nab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)pp a a aa a-=≠=≠， 经典·考题·赏析【例1】下列算式，正确的个数是（ ） ①3412a a a ⋅= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a --A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解法指导】①同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果应为7a ；②合并同类项，结果为52a ；③幂的乘方，底数不变，指数相乘，即过位9a ；④积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，结果为68a -，故选A .【变式题组】 01.计算212()()nn c c+⋅的结果是()A ．42n c +B ．44n c +C ．22n c +D ．34n c +02．计算100101(2)(2)-+-＝_______________03．如果3915()nma b b a b ⋅=，则m ＝_________，n ＝____________ 04．计算2323()()()nn x y x y +-⋅-＝_______________【例２】若2n+12448n +=，求n 的值.【解法指导】将等式的左右两边变形为同底数幂的形式.解：∵2n+12448n +=，∴2n+122248n +=，22222232n n n ⋅+=⋅，243232n ⋅=⋅， ∴24,2n n == 【变式题组】01．若24m=，216n =，求22m n+的值02．若35n x =，求代数式2332(2)4()n nx x -+的值03．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________.04．已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n ab a b a b +-⋅⋅⋅的值05．已知232122192m m ++-=，求m 的值【例３】（希望杯）552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．a >d >b >c【解法指导】逆用幂的乘方公式()mnm n aa =，将a 、b 、c 、d 变为指数相同的幂的形式.解：∵55511112(2)32a =-=-=-，44411113(3)81b =-=-=-，33311115(5)125c =-=-=-，22211116(6)36d =-=-=-，∴a >d >b >c.故选D .【变式题组】01．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a <b <cD ．b >c >a02．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a【例4】求满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数【解法指导】将左右两边变成指数相同的幂的形式 解：∵200300(1)3x ->∴21003100[(1)](3)x ->∴2(1)27x -> ∵x 为正整数∴1x ->1x >∴x 的最小正整数为7 【变式题组】01．求满足2003005n ＜的最大整数值n.02．如果x 、y 是正整数，且2232x y⋅=，求满足条件的整数x 、y03．求满足22(1)1n n n +--=的整数n.演练巩固 反馈提高01．（无锡）下列运算正确的是（）A ．3412x x ⋅=B ．623(6)(2)3x x x -÷-=C ．23a a a -=-D ．236(2)6x x -=-02．（泰州）下列各式计算正确的是（）A ．23523a a a +=B ．235(2)6b b = C ．2(3)()3xy xy xy ÷= D ．56236x x x ⋅=03．当n 为正整数时，221()n x +-等于（）A ．42n x +-B ．41n x +-C ．41n x +D ．42n x +04．计算3224()a a a +⋅的结果为（）A ． 92aB ．62aC ．68a a +D ．12a05．下列命题中，正确的个数是（）（１）m 为正奇数时，一定有等式(4)4mm-=- （２）等式(2)2mm-=，无论m 为何值时都不成立（３）三个等式：236326236()()[))]a a a a a a -=-=--=，，（（都不成立； （４）两个等式：3434(2)2mmmm x y xy -=-，3434(2)2n n n n x y x y -=-都不一定成立.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个06．下列各题中，计算正确的是（）A ．322366()()m n m n --=B ．322331818[()()]m n m n --=-C ．2222398()()m n mn m n --=- D ．232399()()m n mn m n --=- 07．已知22|2||238|0yxx x y x y y x -+-+=⋅-⋅，则＝_______________ 08．32125a a x x x x +⋅⋅=，则关于y 的方程ay ＝a ＋14的解是________________ 09．在555511(2)(3)()()23----，，，中，最大的数是_________________10．一块长方形草坪的长是1m a -米，宽是3m a +米（m 、n 均为大于1的正整数），则该长方形草坪的面积是______________2米. 11．计算⑴2001100021()(2)34-⋅＝_______________ ⑵200120022003113(1)(1)()345⋅-⋅-＝____________________12．计算 ⑴122n n y y y y +⋅-⋅⑵4344()()2()()x x x x x x x -+⋅-+⋅---⋅⑶4224223322()()()()()()x x x x x x x x +-⋅--⋅-⋅-⑷232223()7()()()x y x x y -+⋅-⋅-13．若2(32)|235|0a b a b ++++=，化简：2322231()()()a a ax y bxy x y z a⋅-⋅14．已知n 是正整数，216n x =，求322211()()1616n nx x -的值15．已知a 、b 、c 为自然数，且227371998a b c⋅⋅=，求2010()a b c --的值培优升级 奥赛检测01．（江苏竞赛）若1122222n n n n x y +--=+=+，，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（）A ．x ＝4yB ．y ＝4xC ．x ＝12yD ．y ＝12x02．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（）A ．1128n +-B ．12n +-C ．78D ．7403．化简2231424m m m ++--＝__________________ 04．15825⨯的位数为_____________________05．2001200220033713⨯⨯所得积的末位数字是____________________ 06．若3436x y ==，，求2927x y x y --+的值07．是否存在整数a 、b 、c 满足91016()()()28915a b c ⋅⋅=？若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，说明理由.08．如果整数x 、y 、z 满足10981()()()271615256x y z ⋅⋅=，求()x yx y z ---的值09．已知311nm+能被10整除，求证：42311n m +++也能被10整除10．设a 、b 、c 、d 都是非零自然数，且543219a b d c a ==-=，c ，，求d b -的值11．（江苏竞赛）已知k 、x 、y 、z 是整数，且k >x >y >z ，若k 、x 、y 、z 满足方程16(2222)330kxyz+++=，求k 的值第12讲 整式的乘除考点·方法·破译(缺奥赛部分)1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+.⑵()2222b ab a b a +±=±⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++⑷()()3322b a b ab a b a ±=+±μ⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=±经典·考题·赏析【例１】 计算：⑴()()c b a c b a 3232-+-- ⑵()()()31222-+-+x x x⑶()()()2222211412x x x ++-【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.解：⑴()()c b a c b a 3232-+--＝()[]()[]()22222496432323b c ac a b c a b c a b c a -+-=--=+--- ⑵()()()31222-+-+x x x ＝()3224422---++x x x x＝10864244222++-=++-++x x x x x x⑶()()()2222211412x x x ++-＝()()()[]22141212++-x x x ＝()()[]2221414+-x x ＝()1322561164824+-=-x x x 【变式题组】01．计算：⑴()()()22933y x y x y x ++- ⑵()()c b c b --+22⑶()()c b a c b a -++-3232 ⑷()()()()221222513-+-+-+m m m m02．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x ,y ）恒有（x ,y ）＊(x ,y )＝(x ＋y ＋1),x 2－y －1).若实数a ,b 满足（a ,b ）＊(a ,b )＝(b ,a ),则a ＝__________,b ＝_________ 【例２】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形（ a ＞b ）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A .()2222b ab a b a ++=+B .()2222b ab a b a +-=-C .()()b a b a b a -+=-22D .()()2222b ab a b a b a -+=-+【解法指导】图甲中阴影部分面积为22b a -，图乙中阴影部分面积为()()b a b a -+.故选C . 【变式题组】01．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）.把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种形式表示，例如()()22322b ab a b a b a ++=++就可以用图1的形式表示. ⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：()()22343b ab a b a b a ++=++03．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性. ⑴根据下列图形写出一个代数恒等式；⑵已知正数a 、b 、c 和m 、n 、l 满足k l c n b m a =+=+=+，试构造边长为k 的正方形，利用图形面积证明2k cn bm al ＜++.【例３】已知()()的值及求2222,3,7b a ab b a b a +=-=+.【解法指导】形如()()2222,,,b a ab b a b a +-+的式子均为完全平方公式这一家族的成员，应由它们变形得来.解：∵ ()()3,722=-=+b a b a ，∴()()1022=-++b a b a 即(),10222=+b a 522=+b a ，()()422=--+b a b a ，1,44==ab ab【变式题组】01.=+==+b a ab b a 则,3,1122 .a aa b bb b甲 乙a a ab b b第1题图 b aaa ab a aa aab b bbbb第2题图弦图1 图2aaaabbb b。

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初二数学上册培优辅导讲义 ( 人教版 )

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第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ABCDEFAB CDEFPQR02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50°D ．80°CEFEA ADO 143 202．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.ABO2l 1⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．FBAOCDECDBAEO⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：B ACDO ABAEDCFEBAD1 42 3 65∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.AB DCHＧEF7 1 5 6 8 4 2 3 3 4 5 61 2303．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.1A BC23 456 7 ABCD O【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知）∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ）ABDEFCA BCD E F1203．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF . 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.ABCDEA BC DEl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .A E BCF DABC DFEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81ACD EBABC DEF1213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.A ．60B ． 55C ．50D ．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40C ．45D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ab08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析ABC【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥C 【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.ABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）EAFG DCB BA MCDN P （第3题图）【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】 因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FGCDABE F1 32G B3 C A1D2 E F （第1题图）02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：∠AED＝∠ACB 03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 求证：AD平分∠BAC．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）A2CF3ED1B（第2题图）31AB G D CEDA 2E1BCBF EACD证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.A DMCNEBD21 A B CαβP BA ∠P ＝α＋β3 21γ 4 ψ α βE B AFH【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷Fγ Dα β E BC AFD EBC A AA′l B′善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B作AA/的平行线l ③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/西B 30° A北东南的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°B B /AA /C C /C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.150°120°DBCE 湖21AB13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？4P 231 ABEFCD15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD .B. O. AFEBA CGD05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720°B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90B ．1620C ．6480D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？FEBACGD 100°09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF .⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. ⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？F EBACO A B12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a的平方根，记为：a 的平方根为x ＝，其中a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3∵24242a b a -++=∴24242a b a -+++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2＝−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4-=-．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．∵a b b a【变式题组】01．若3a，b，则a＋b的值为____．02a，小数部分为b a）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，c=，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与C．4D．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a -153a -＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．002．( )A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋，则a＋b＝____．-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．05．若a b-=，则a− 20092＝_______．06．已知实数a满足2009a am满足关系式=m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．。

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第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

人教版八年级数学上册培优讲义

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第十一章三角形1．三角形的边预习归纳1．按边的相等关系，三角形可分类如下：⎧⎪⎪⎪三角形⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩2．三角形三边的关系：在三角形中，任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．例题讲解【例】等腰三角形的两边长为4和6，求第三边长．基础题训练1．如图，在△ABC中，∠A的对边是；在△ABD中，∠A的对边是．CD E第1题第2题2．如图，以AD为边为边的三角形是；以∠C为一个内角的三角形是；△AED的三个内角是．3．（2014·宜昌）已知三角形的两边长分别3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．124．（2014•西宁）下列线段能够成三角形的是（）A．2,2,4 B．3,4,5 C．1,2,3 D．2,3,65．（2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1,2,4 B．4,5,9 C．4,6,8 D．5,5,116．等腰三角形的一边长是7cm，另一边长是4cm，则此三角形的周长是（）A．18cm B．15cm C．18cm或15cm D．7．5cm或9cm 7．（2014•淮安）若一个三角形三边长分别为2,3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）8．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？（1）6cm，8cm，10cm （2）5cm，8cm，2cm（3）三条线段之比为4:5:6 （4）a+1，a+2，a+3（a>0）中档题训练9．(2012·哈尔滨)若等腰三角形的周长为26cm ， 一边为11cm ，则腰长为( )A ． 11CmB ． 7.5cmC ． 11cm 或7.5cmD ．以上都不对10．(2014·包头)长为9， 6， 5， 4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( ) A ．1种 B ． 2种 C ． 3种 D ． 4种11．一个三角形的两边长分别是3和7，且第3边长为整数，这样的三角形周长最大的值为( )A ．15B ．16C ．18D ．19 12．(2012·攀枝花)已知实数x ， y满足04x +=-，求以x ， y 的值为两边长的等腰三角形的周长．l 3．有一条长为 21cm 的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少? (2)能围成一边长为5cm 的等腰三角形吗?说明理由．小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m 和5m 的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．(1) 有几种规格木棒可供小明的爷爷选择? (2)选择哪一种规格木棒最省钱? 综合题训练15．如图， P 是△ABC 内一点，连接BP ， PC ，延长 BP 交AC 于D ( 1) 图中有几个三角形; (2)求证: AB +AC >PB +PC ．2·三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性预习归纳 1·从三角形的一个顶点向它的对边 作垂线 ．与顶点和 垂 足 间的 线段 叫角形的高．2·在三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线． 3· 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．4·角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接顶点与对边交点的线段叫做三角形的角平分线．5·三角形的三边确定了，那么三角形的形状就确定了．这个性质叫做三角形的稳定性 而四边形没有稳定性． 例题讲解[例]如图，画△ABC 的边BC 的高正确的是( )DCBACCCC基础题训练1．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC =80°，则∠DBC =2．如图， 当 _时， AD 是△ABC 的中线． 当 时，AD 是△ABC 的角平分线．3．如图，用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根4．如图所示，AM 是△ABC 的中线，那么若用S 表示△ABM 的面积，用S 表示△ACM 的面积，则S 1和S 2的大小关系是（ ）A ．S 1>S 2B ． S 1<S 2C ． S 1=S 2D ．以上三种情况都有可能B5．如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ）A ．AD 是△ABC 的角平分线B ．CE 是△ACD 的角平分线C ．132ACB ∠=∠ D ．CE 是△ABC 的角平分线6．在直角三角形ABC 中， ∠ACB =90°， AC =3cm ，BC =4cm ，CD 是AB 边的中线，则AC 边上的高为 cm ，三角形BCD 的面积= cm．B7．如图，已知△ABC和△EFD，在图中分别画出这两个三角形的三条高．中档题训练8．如图，△ABC中，∠A=80°，高BE和CH的交点为O，则∠BOC等于（）A．80°B．120°C．100°D．150°9．(2013·常德改编）如图,AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，如果△DEF的面积是2，那么△ABC的面积为（）A．12 B．11 C．16 D．1810．如图所示，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D、E分别在△ABC 的边AB和BC上，则下列说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC 边上的高；③△DBE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高．其中正确的是11．如图AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM//AC交AB于M，PN//AB交AC 于N，求证:PA平分∠MPN．12．如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE＝9，AB＝12．（1）求△ABC的面积；（2）求BC的长．13．在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm 两部分，求三角形各边长．综合题训练14．张爷爷家有一块三角形的花圃△ABC张爷爷准备将其分成面积相等的四部分，分别种上不同的花卉．请你帮张爷爷设计三种不同的方案．专题三角形的边一、利用“三边”关系巧判断1．用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8的等腰三角形吗？为什么？2、已知a、b、c是△ABC的三边，化简：∣a＋b－c∣＋∣b－a－c∣－∣c＋b－a∣=二、利用“中线”巧解题3．△ABC中，AB=AC，△ABC周长为16cm，BD为中线，且将△ABC分成的两个小三角形周长的差为2cm．求△ABC各边的长．三、利用“高线”防漏解4．已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．四、利用“特例”找规律5．在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根火柴能搭成几种不同形状的三角形？3．三角形的内角预习归纳1．三角形的三个内角的和等于．2．直角三角形的两个锐角．例题讲解[例]△ABC中，∠A是∠B的3倍，∠A是∠C的6倍．求∠A、∠B、∠C的度数．基础题训练1．△ABC中，若∠A＝60°，∠B= 65°，则∠C等于（）A．65°B．55°C．45°D．75°2．（2014·昆明）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°3．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于．4．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1 : 2 : 3，则∠C＝，△ABC是三角形．5．（2012·河北）如图，AB，CD相交于点O，AC丄CD于点C，若∠BOD＝90°，则∠A等于．6．若一个三角形两个内角度数分别为60°、70°，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．如图，AC丄FB于C，FD交AC于E，交AB于D，∠1＝∠B，则图中的直角三角形有．8．（2014·邵阳）如图，在△ABC 中，∠B = 46°，∠C =54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE //AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ） A ．45° B ．54° C ．40° D ．50°9．如图所示，已知AD 与BC 相交于点O ，AB //CD ，∠B ＝20°，∠D = 40°，求∠BOA 的度数．中档题训练10．如图中的∠α= 度．11．如图，在△ABC 中，∠C =70°，沿途中虚线截去∠C ，则∠1+∠2=( ) A ．140° B ．180° C ．250° D ．360°12．如图，在△ABC 中，∠B =66°，∠C =54°，AD 是∠A 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ．求∠BDE 的度数．13．如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A =35°，求∠BDC 的度数．14．如图，在△ABC 中，∠A =70°，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，求∠BOC 的度数．A CBOA B CD 1 2 AB CD E30° 20°40° α 1 2 AB C (10题图) (11题图)15．如图，AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B =36°，∠C =76°，求∠DAF 的度数．综合题训练16．△ABC 中，∠A =50°，BD 、CE 是高，直线BD 、CE 交于点H ，求∠BHC 的度数．A B C F4．三角形的外角预习归纳1．三角形的一边与另一边的 组成的角叫做三角形的外角． 2．三角形的一个外角等于与它 的两个内角之和．3．三角形的外角和等于 ．例题讲解【例】求图中的x ．基础题训练1． △ABC 中，已知∠A =60°， ∠B =80°，则∠C 的外角的度数是 ． 2．如图：在△ABC 中，∠A =45°， ∠B =60°则外角∠ACD = 度． 3．如图所示，已知∠ACD =150°，∠A =80°，则∠B = ． 4．如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．∠1＞∠2＞∠AB ．∠1＞∠A ＞∠2C ．∠A ＞∠2＞∠1D ．∠2＞∠1＞∠A5．如图，AB ∥CD ，∠A =45°， ∠Ｃ=35°，则∠D = ，∠１＝ ． 6．如图，平面上直线a ，b 分别过线段GK 两端点（数据如图），则a ，b 相交所成的锐角是 ．7．如图，∠1+∠2+∠3的度数是 ．8．如图，AB ∥CD ，∠A =48°， ∠Ｃ=22°，则∠E 等于( )A ．70°B ．26° Ｃ．36° D ．16°9．AD 是△ABC 的外角∠CAE 的角平分线，∠B =35°∠DAE =60°求∠Ｃ的度数．x °°C D A B A BC D 第2题图 AB C 1 2第3题图 第4题图 D A B C 1 70°100°G a b A B C D E 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 A B C 12 3 A B C D E中档题训练10．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= ．11．如图，C 在AB 延长线上，CE ⊥AF 于E ，交FB 于D ，∠F =40° ，∠C =20°则∠FBA 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°12．如图，△ABC 的两个外角平分线交于D 点，若∠D =65°，则∠B 等于（ ） A ．60° B ．70° C ．50° D ．40°13．如图，Ｄ是△ABC 的BC 边上一点，∠B =∠BAD ，∠ADC =80°，∠BAC =70°，求∠B和∠C 的度数．14．如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAB 、∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求∠ADE 的度数．15．如图, ∠A =10°，∠ABC =90°，∠ACB =∠DCE ，∠ADC =∠EDF ，∠CED =∠FEG ．求∠F 的度数.综合题训练16．如图，△ABC 的内角平分线BP 与外角平分线CP 交于P ，试探究∠A 与∠P 之间的数量关系． 45°30° AEFBCDAB C FD E第11题图第11题图 第12题图αA B C D EA B CDP A B CA BC D E F专题 三角形的内角与外角一、已知角的关系求角度1． 在△ABC 中，已知∠A +∠B =80°，∠C =2∠B ，试求∠A ，∠B ，∠C 的度数．二、综合内外角求角度2． 如图，已知DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 与D 、E ，交BC 的延长线于F ，∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．三、将外角用未知数表示3． 如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC =63°，求∠DAC 的度数．四、利用“整体”求多角和4． 如图，试求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数.五、内外角在航海中的应用5． 如图 ，在海面上停着三艘船A 、B 、C ，C 船在A 船的北偏西40°方向，B 船在A 船的南偏西80°方向，C 船在B 船的北偏东35°方向，从C 船看到A 、B 两船，视线CA 、CB 的夹角∠ACB 是多少度？FA B C DEA B C DA BCDED F1 2 3 4五、利用高求角度6．如图,在△ABC 中，O 是高AD 、BE 的交点，若∠C =75°，求∠AOB 的度数．OED ABC六、利用“两线”求解7．如图，在△ABC 中，∠B =63°，∠C =51°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求∠DAE 的度数．七、利用角平分线求角度8．如图．AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ．（1）若∠B =32°，∠D =38°．求∠M 的度数； (2)求证: ∠M =(∠B +∠D ) .9．已知△ABC ．（1）如图1,若Ｐ点为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，试说明1902P A ∠=︒+∠；(2)如图2，若Ｐ点为∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，试说明12P A ∠=∠；(3) 如图3,若Ｐ点为外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线的交点，试说明1902P A ∠=︒-∠；A BC D E AB CDMA BPC D EPABABCDP5．多边形预习归纳1．_______________，由一些线段_____________相接组成封闭的图形叫做多边形．2．连接多边形_____________的两个顶点的线段，叫做对变形的对角线，从n边形（n＞3）一个顶点出发引对角线，有_______条．3．各条边_______，各个角_________的多边形叫做正多边形．【例题讲解】【例】从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，把五边形分成_______个三角形；从八边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将八边形分成______个三角形．基础题训练1．下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形3．四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线．4．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（）A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形内角的大小D．四边形的内角和5．已知一个多边形从一个顶点处只能引出4条对角线，则它是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形6．从六边形一个顶点所引的对角线有（）A．6条B．5条C．4条D．3条7．从凸n边形的一个顶点，所画的全部对角线，把这个n边形分割成________个三角形．8．画出下列多边形的全部对角线．9．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．FEDCB A中档题训练10．把一个正方形据掉一个角，剩下的多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．三角形或四边形或五边形11．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，△ABC 、△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB＝4，则图形ABCDEFG 外围的周长是______．G FEDCB A13．观察图形，并阅读图形下面的相关文字：三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n 边形的对角线有多少条吗？综合题训练14．已知，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°． （1）求证：∠ABC ＋∠ADC ＝180°；（2）如图1，若DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC 外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明； （3）如图2，若BF 、DE 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证明．图2图1CFB MN E DACEFMB NDA6．多边形的内角和预习归纳n 边形的内角和为______________，外角和为_____________．例题讲解【例】求下列图形中的x 值．(1)x82°73°(2)xx x -30°x +30°60°基础题训练1．（2014·遵义）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是_______． 2．多边形的外角和为________． 3．（2012·北京）正十边形的每个外角等于（ ）A ．18°B ．36°C ．45°D ．60° 4．（2014·衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是_______． 6．当多边形的边数每增加1时，它的内角和与外角和（ ）A ．都不变B ．内角和增加180°，外角和不变C ．内角和增加180°，外角和减少180°D ．都增加180° 7．（2012·贵州铜仁）一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_______． 8．若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）A ．180°B ．720°C ．1080°D ．540° 9．（2012·江苏南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A ＝120°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．EDCBA 432110．在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠C ＝240°，∠C ＝∠D ＝∠E ＝2∠B ，求∠B 的度数．中档题训练11．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角与一个外角的度数之比为5：1．则这个多边形的边数是_______．12．多边形的内角和为1800°，那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数是（）A．12条B．10条C．9条D．8条DCBA13．如图，已知矩形ABCD，一条直线将矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．630°14．如图，∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数（本题至少两种方法）．CDBACDBA15．如图，已知五边形ABCDE的每一个角都相等．（1）求∠B；（2）连AC，若∠BAC＝∠BCA，求∠ACD．EDCBA综合题训练16．求如图星形中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．EDBCA专题 多边形的内角与外角一、多边形内角和定理的运用1．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．15或16或17二、内外角结合解题2．如图，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园由A 点经B →C →D →E →F 散步，张老师共转了（ ）A ．440°B ．360°C ．260°D ．270°三、多边形与平行线结合3．如图所示，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，试说明AF 和CD 平行．FED CBA四、运用对角三角形的性质“转移”角4．如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．FEDCBA5．如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数．EF BG ACD7.全等三角形预习归纳1．能够 的两个图形叫全等形．2．能够 的两个三角形叫做全等三角形．3．经过 、 、 等变换前后的三角形全等． 4．全等三角形的对应边 ，对应角 ．例题讲解［例］已知△ABC ≌△FED ，若△ABC 的周长为32，AB ＝8，BC ＝12，求FD 的长．基础题训练1．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）．2．如果△ABC ≌△B ＇C ＇A ＇，则AB 的对应边是 ，BC 的对应边是 ，∠B ＇A ＇C ＇的对应角是 ． 3．如果△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇，且∠BCA ＝30°，则∠B ＇C ＇A ＇＝ ． 4．已知△ABC ≌△BAD ，AB ＝7，BC ＝2，AC ＝9，则BD 的长是（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．无法确定 5．如果△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇，且∠B ＝65°，∠C ＝60°，则∠A ＇＝ ． 6．（2014▪淮安）如图，△ABD ≌△CBD ，若∠A ＝80°，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数为 ．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若∠A ＝22°，则∠BDC 等于（ ）A ．44°B ．60°C ．67°D ．77°8．如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝5．求∠DFE 的度数及DH 的长．ABCD 第6题图第7题图BE第8题图AHBCDF（1）（2）（3）（4） （5）中档题训练9．如图，AC 、BD 交于点O ，△ABO ≌△CDO ，则下列结论错误的是（ ） A ．AB ＝CD B ．AB ∥CD C ．OA ＝OD D ．OB ＝OD10．如图，已知△ABC ≌△CDA ，则下列结论：①AB ＝CD ，BC ＝DA ．②∠BAC ＝∠DCA ，∠ACB ＝∠CAD ． ③AB ∥CD ，BC ∥DA ．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③11．已知△ABC ≌△DEF ，且∠B ＝70°，∠F －∠D ＝60°，求△DEF 各内角的度数．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ＇处，折痕为CD ，求∠A ＇DB 的度数．13．如图，△ACE ≌△DBF ，AE ＝DF ，CE ＝BF ，AD ＝10，BC ＝2 （1）求证：AB ＝CD ； （2）求AC 的长度；（3）若∠A ＝40°，∠E ＝80°，求∠DBF 的度数．ABCFDEA ODCAB综合题训练14．如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到△AEF．（1）△ABC与△AEF的度数关系如何？（2）求∠EAB的度数．（3）△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A在同一直线上？C8．三角形全等的判定（一）SSS预习归纳三边 的两个三角形全等，简写成 或 ．例题讲解［例］如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，求证：∠1＝∠2．基础题训练1． 如图，D 、C 为AF 上两点，AD ＝CF ，AB ＝DE ，要使得△ABC ≌△DEF ，需补充边的条件为 ．2．如图，AB ＝CD ，BF ＝DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE ＝CF ，欲证∠B ＝∠D ，可先运用等式的性质证明AF ＝ ，再用“SSS ”证明 ≌ 得到结论． 3．如图，已知AB ＝CD ，若根据“SSS ”证得△ABC ≌△CDA ，需要添加一个条件是 ． 4．如图，E 为BC 的中点，AB ＝DE ，AE ＝CD ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠A ＝∠D B ．∠B ＝∠DEC C ．∠C ＝∠AEB D ．∠B ＝∠C5．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝30°，∠BAD ＝46°，则∠ACD 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．127° D ．104° 6．如图，AB ＝AD ，BE ＝DE ，BC ＝DC ，则图中全等三角形有（ ）CADEB第1题图E第2题图F B ADC 第3题图ABC D第4题图ADCE BABCED1 27．如图，在△ABC 和△FED 中，AC ＝FD ，BC ＝ED ，要利用“SSS ”来判定△ABC 和△FED 全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB ；②AB ＝FE ；③AE ＝BE ；④BF ＝BE ，可利用的是（ ）A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或④8．如图，AC ＝EF ，BC ＝DE ，AD ＝BF ，求证：AC ∥EF ．中档题训练9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，则下列结论不正确的是（ ） A ．AD 平分∠BAC B ．∠B ＝∠C C ．△ABD 是直角三角形 D ．△ABC 是等边三角形 10．（2014 ▪牡丹江）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，请添加一个条件 ，使△ABC ≌△DEF ．第11题图ADBF第9题图第10题图BDAEFCBCAD第5题图第6题图E B DA第7题图BADEF11．如图，AD ＝BC ，AB ＝CD ，求证：AB ∥CD ． 证明：连接BD ，在△ADB 和△CBD 中，()⎪⎩⎪⎨⎧===__________CDAB BC AD∴△ADB ≌△CBD ( ) ∴ ＝ ， ∴AB ∥CD ．12．如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，求证：∠ABO ＝∠DCO ．13．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ， （1）求证：∠BAC ＝∠EAD ；（2）写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并予以证明．综合题训练14．如图，D 是BC 上一点，AB ＝AD ，BC ＝DE ．（1）在条件：①∠C ＝∠E ，②AC ＝AE 中，选择 可得△ABC ≌△ADE ． （2）在（1）的条件下，求证：∠CDE ＝∠BAD ．BDOCA9．三角形全等的判定（二）SAS预习归纳1．有两边和它们的 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 2．有两边及其其中一边的对角对应相等的两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．例题讲解［例］如图，E 、F 是线段AB 上两点，且AE ＝BF ，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，求证：∠D ＝∠C ．基础题训练1．如图，在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB ＝A ＇B ＇，BC ＝B ＇C ＇，∠B ＝∠B ＇，则△ABC 和△A ＇B ＇C ＇ ．2．如图，已知∠BAD ＝∠BAC ，AD ＝AC ，则 ≌ ，根据是 ．3．如图，线段AC 、BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，那么AB 、CD 的位置关系是 4．下列两个三角形全等的是（ ）50°ABC2 3 ① CA B2 350° ②50° A B23 ③50°2 ABC3④A 第3题图C ABD第1题图B ACA ＇B C ＇EACDBFA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．(2013▪娄底)如图，AB ＝AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 ． 6．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，需补充的条件是（ ） A ．∠B ＝∠C B ．∠D ＝∠E C ．∠1＝∠2 D ． ∠CAD ＝∠2 7．如图所示，AC ＝DF ，BD ＝EC ，AC ∥DF ，∠ACB ＝80°，∠B ＝30°，则∠F ＝ ．8．如图，点C 为BE 上一点，点A 、D 分别在BE 两侧，AB ∥ED ，AB ＝CE ，BC ＝ED ， 求证：AC ＝CD ．中档题训练9．(2014·泰安)将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB ＝∠CED ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图②，连接D 1B ，则∠E 1DB 的度数（ ）A ．10°B ．20°C ．7.5°D ．15°ACBDE 图①图②ACBD 1E 1 第5题图AD CBE2第7题图CDABEDACBE第6题图1 DB CAE10．如图，在D 、E 分别为AB 、AC 上两点，AD ＝AE ，BD ＝CE ． 求证：∠B ＝∠C ．11．(2014·苏州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． ⑴求证：△BCD ≌△FCE ；⑵若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数．综合题训练12．如图，已知△ABC 和△AEF 中，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠CAB ＝∠EAF ，BE 交FC 于O 点． ⑴当∠CAB ＝90°，求证：BE ＝CF ，BE ⊥CF ； ⑵当∠CAB ＝60°，求∠BOC 的度数；⑶当∠CAB ＝α时(0°＜α＜90°)，直接写出∠BOC 的度数为 (用含α的式子表示)．ABFECO BCFA BCE FD A BCD E10．三角形全等的判定(三)ASA 和AAS预习归纳1．有两角和它们的 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 2．有两角和其中 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 3．三个角分别相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”)．例题讲解【例】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ．求证：AB ＝CD ．基础题训练1．如图，在△ABC 和△A ´B ´C ´中，∠B ＝∠B ´，BC ＝B ´C ´，∠C ＝∠C ´，则△ABC 和△A ´B ´C ´ ．2．如图，AB ＝AC ，若利用“ASA ”来证明△ABE ≌△ACD ，需补充的一个条件是 ．3．如图，已知∠1＝∠2，AB ⊥AC ，BD ⊥DC ，AC 、BD 相交点E ．则图中的全等三角形有 对．4．已知在△ABC 和△A ´B ´C ´中，AB ＝A ´B ´，∠A ＝∠A ´，∠B ＝∠B ´，则△ABC ≌△A ´B ´C ´的根据是（ ）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．都行5．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，则下列条件中错误的是（ ）A ．AC ＝DFB ．BC ＝EF C ．∠A ＝∠D D ．∠C ＝∠FABCDF EA BC A ´B ´C ´A D E BCAB C DE126．(2014·绥化)如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是(填出一个即可) ．7．如图，AC、BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC．求证：AB＝CD．8．(2013·北京)如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．中档题训练9．(2014·南充)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，，则点C的坐标为（）A．(1) B．(－1C．1) D．(1)BCDEAB CDOA BOBC10．(2014·邵阳)如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE ．⑴从图中任找出两组全等三角形； ⑵从⑴中任选一组进行证明．11．如图，已知AD ∥BC ，点E 为CD 上一点，AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠CBA ，BE 交AD 的延长线于点F ．⑴求证：△ABE ≌△AFE ； ⑵求证：AD ＋BC ＝AB ．综合题训练12．已知，如图，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠EAC ＝∠EDC ．⑴若△ABC 中，∠B ＜90°，D 为BC 上的一点，点E 在△ABC 的外部，求证：AD ＝AB ． ⑵若△ABC 中，∠B ＞90°，D 在CB 的延长线上，点E 在△ABC 的下方，则⑴的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．A BCDFEABCED FABDCEF（1）ABC D（2）11．三角形全等的判定(四)HL预习归纳斜边和 分别相等的两个直角三角形全等，简写成 或 ．例题讲解【例】(2014·贵州) 如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ） A ．CB ＝CD B ．∠BAC ＝∠DAC C ．∠BCA ＝∠DCA D ．∠B ＝∠D ＝90°基础题训练1．判定两直角三角形全等的方法有 (填简写)．2．如图，若PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB ＝PC ，则AB ＝ ，理由是 (填全等三角形及三角形全等的理由)．3．如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．∠B ＝45°4．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，欲证OB ＝OC ，可以先利用“HL ”说明 得到AB ＝DC ，再利用 证明△AOB ≌ 得到OB ＝OC ．A CBDABCP ABCDABC DO5．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，BD ＝CD ． 求证：AD ⊥BC ．6．如图，已知∠A ＝90°，AB ＝BD ，ED ⊥BC 于D ． 求证：DE ＋CE ＝AC ．7．如图，∠ACB ＝∠BDA ＝90°，若要使△ACB ≌△BDA ，还需添加一个什么条件？把它们写出来(不再添加字母)⑴ ，理由 ； ⑵ ，理由 ； ⑶ ，理由 ； ⑷ ，理由 ．中档题训练8．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 、BD 相交于O ，如果AC ＝BD ．那么下列结论中：①AD ＝BC ；②∠DAC ＝∠CBD ；③OC ＝OD ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①② C ．① D ．③9．如图，已知AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE ＝DF ，AB ＝DC ，AC 与BD 有怎样的关系？你能进行证明吗？BADCE FDCAB OCD BODC BABECD10．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE＝DF．求证：AB＝AC．11．如图，AB＝AE，BC＝DE，AF⊥CD于F，∠B＝∠E．求证：AF平分∠BAE．综合题训练12．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P(4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．⑴求OA＋OB的值；⑵将直角三角形绕点P(逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA－OB的值．xxAB CDF EABC DEF专题图形变换与全等（一）基础一、平移型1．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：AB＝DE．二、翻折型2．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F．求证：∠A＝∠D．3．如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD，∠D＝70°，∠EC D＝150°，求∠B的度数．4．如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，BE 、CD 交于点O ．求证：OB ＝OC ．B三、旋转型5．如图，AB ⊥CD 于B ，CF 交AB 于E ，CE ＝AD ，BE ＝BD ．求证：CF ⊥AD ．四、二次变换6．如图，AD ⊥AB 于A ，BE ⊥AB 于B ，点C 在AB 上，且CD ⊥CE ，CD ＝CE ． 求证：AB ＝AD ＋BE ．DA专题 图形变换与全等（二）小综合1．将两个全等的直角三角形如图1摆放，其中∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠A ． （1）求证：AB ⊥DE ；（2）将图中的△DCE 绕点C 顺时针旋转45°得到图2，AB 、CD 交于点N ，DE 、BC 交于点M ．求证：CM ＝CN ．图2图1AAEE2．将两块含45°角大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图1摆放，连AC 、BD ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）将图1中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度到△C 1O 1D 1的位置（如图2），连接AC 1、BD 1，线段AC 1与BD 1存在着什么样的数量关系与位置关系，请下结论并说明理由．图1图2C C3．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE ，AC ＝BC ，CD ＝CE ，M 、N 分别为AE 、BD 的中点．（1）判断线段CM 与CN 的位置关系和数量关系；（2）若将△CDE 绕点C 旋转任意角度，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍成立？试证明．图2图1D专题 中点问题（一）中线倍长构造全等【方法归纳】将中点处的线段倍长，构造SAS 全等三角形1．如图，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连CE ． 求证：AB ＝CE ，且AB ∥CE ．2．如图，△ABC 中，D 为BC 的中点． （1）求证：AB ＋AC ＞2AD ；（2）若AB ＝5，AC ＝3，求AD 的取值范围．C3．如图，在△ABC 中，点O 为BC 的中点，点M 为AB 上一点，ON ⊥OM 交AC 于N ． 求证：BM ＋CN ＞MN ．AB4．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE＝2AD．5．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点．求证：DE＝2AM．B专题 中点问题（二）向中线作垂线构造全等【方法归纳】过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形1．如图，AD 是△ABC 的中线，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ．求证：DE ＝DF ．ABC2．如图，AD 为△ABC 的中线．求证：AB ＋AC ＞2AD ．AB3．如图，D 为CE 的中点，F 为AD 上一点，且EF ＝AC ．求证：∠DFE ＝∠DAC ．4．如图，∠C ＝90°，BE ⊥AB 且BE ＝AB ，BD ⊥BC 且BD ＝BC ，CB 的延长线交DE 于F ． （1）求证：点F 是ED 的中点； （2）求证：S △ABC ＝2 S △BEF ．专题 等线段代换法证线段和差问题【方法归纳】三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为证两线段相等的问题 1．如图，D 为△ABC 边BC 的中点，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ． （1）求证：BE ＝CF ；（2）求证：AE ＋AF ＝2AD ．A BC2．(2014·德州)如图，若四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋DF ．3．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，点P 为BC 边上一动点（BP ＜CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E ，CF ⊥AP 于F ．（1）求证：①△ABE ≌△CAF ；②EF ＝CF －BE ．B（2）若点P为BC延长线上一点，其他条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．AB4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，O为AC的中点，AD为高，OG⊥AC，交AD延长线于G，OB交AD于F，OE⊥OB交OB于E．（1）求证：△AOG≌△BAC；（2）求证：△ABF≌△COE；（3）求证：BC＝CE＋FG．BA专题 截长补短法证线段和差问题【方法技巧】：无论是截长还是补短，构造出全等三角形是解题的关键．1．如图，△ABC 中，∠CAB =∠CBA =45°，CA =CB ，点E 为BC 的中点，CN ⊥AE 交AB 于N ，连EN ，求证：AE =CN +EN ．A2．如图，四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠D =60°，AB =BC ，E ，F 分别在AD 、CD 上，且∠EBF =60°，求证：EF =AE +CF ．B3．如图，在上题中，若E ，F 分别在AD 、DC 的延长线上，其余条件不变，求证：AE =EF +CF ．4．如图，△DBC 中，DB =DC ，A 为△DBC 外一点，且∠BAC =∠BDC ，DM ⊥AC 于M ，求AMABAC 的值．12． 角平分线的性质（一）性质预习归纳1．角平分线上的点到角两边的 相等．2．三角形三条 的交点到三边的距离相等．例题讲解【例】如图，△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BE =CF ． 求证：（1）DE =DC ； （2）BD =DFA基础题训练1．如图，∠B =∠C =90°，根据角平分线性质填空： （1）若∠1=∠2，则 = ． （2）若∠3=∠4，则 = ．ACC（第1题图） （第2题图）2．(2013·长沙) 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ． 3．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE 垂直AB 于点E ，若DE =1．5cm ，BD =3cm ，则BC =( )A ． 3cmB ． 7．5cmC ． 6cmD ． 4．5cm4．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB =12，BC =15，S △ABD =36，则DE 的长是 ，S △BCD = ．BCCABEABA DEDFDC（第3题图） （第4题图） （第6题图）5． 在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BD :DC =3:2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为（ ）A ． 10B ． 20C ． 15D ． 256．(2013·丽水)如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD =3，BC =10，则△BDC 的面积是 ．7．如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，点P 是AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF 垂直CD 于F ，求证：PE =PF ．CBAEDF P中档题训练8．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20,30,40，其三条角平分线的交点为O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．OACCBEABD（第8题图） （第9题图）9．（2014·遂宁）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △CAO =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 5 10．（2014·黄冈）已知，如图，AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE =DF ．CBAEDF11．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，S △ABC =90，AB =18，BC =12，求DE 的长．A CEB D。

初二数学上册培优辅导讲义(人教版)(2020年整理).pptx

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经典·考题·赏析 【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？
【解法指导】
AE
【变式题组】
01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC
D ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）
A．20° B． 40°
C．50°
第 12 讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译
【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝ 1 ∠BOC，∠FOC 2
1. 了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2. 掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用 图 形或几何符号表示它们.
不重合） 09．如图所示，直线 a、b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，
②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断 a∥b 的条件的 序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知 BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试
02．在同一平面内有 2010 条直线 a1,a2,…，a2010,如果 a1⊥a2,a2∥a3， a3⊥a4，a4∥a5…… 那 么 a1 与 a2010 的 位 置 关 系 是 . 03．已 知 n（n＞2）个点 P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三 点在同 一直线上，设 Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直 线 的 条 演数练，巩显固然·反：馈S2＝提1高，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10… 则 Sn＝ . 01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（ ） A．α 的余角只有∠B C B．α 的邻补角是∠DAC