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2018届北师大版(文科数学) 专题验收评估(五) 解析几何 单元测试

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专题验收评估(五) 解析几何(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心，且倾斜角为π6的直线方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x －2y ＋3＝0C ．x －3y ＋23－1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 已知圆的圆心坐标为(1,2)，所以经过已知圆的圆心，倾斜角为π6的直线方程为x －3y ＋23－1＝0.2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：选B 两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x解析：选B 在双曲线中离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选A 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.5．(2017·宁波效实中学模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为( )A.214 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由题意得F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP ―→·FP ―→＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x 2＋x ＋y 2，又点P 在椭圆上，故x 24＋y 23＝1，所以x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，又－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，14(x ＋2)2＋2取得最大值6，即OP ―→·FP ―→的最大值为6.6．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.7．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233解析：选A 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. 8．(2017·河北唐山模拟)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12C ．－14D ．－2解析：选B 设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2，整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12. 又G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B. 9．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10解析：选B 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨假设y 1>0，y 2<0)，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，且直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x 消去x ，得y 2－ty －m ＝0，所以y 1y 2＝－m .又OA ―→·OB ―→＝2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝2，(y 1y 2)2＋y 1y 2－2＝0，因为点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y 1y 2＝－2，故m ＝2.又F ⎝⎛⎭⎫14，0，于是S △ABO ＋S △AFO ＝12×2×(y 1－y 2)＋12×14×y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当98y 1＝2y 1，即y 1＝43时取“＝”，所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3.10．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1解析：选A C 1的焦点为(±m 2－1，0)，C 2的焦点为(±n 2＋1，0)， ∵C 1与C 2的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1，∴m 2＝n 2＋2，∴m 2＞n 2. ∵m ＞1，n ＞0，∴m ＞n .∵C 1的离心率e 1＝m 2－1m ，C 2的离心率e 2＝n 2＋1n ，∴e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝(m 2－1)(n 2＋1)mn ＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2n 2＝(n 2＋1)2(n 2＋2)n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＞1＝1.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．设集合{(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2≤10}所表示的区域为A ，过原点O 的直线l 将A 分成两部分．当这两部分面积之差最大时，直线l 的方程为________，此时直线l 落在区域A 内的线段长为________．解析：区域A 表示以C (1,2)为圆心，半径为10的圆周及其内部，当这两部分面积之差最大时，直线l 应该垂直于直线OC ，而k O C ＝2，所以k l ＝－12，直线l 的方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0，此时弦心距OC ＝5，弦长为210－5＝2 5.答案：x ＋2y ＝0 2 512．(2018届高三·金华十校联考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则a ，b 的关系是________，双曲线的离心率为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，y ＝b a x ，得ax 2－bx ＋2a ＝0，令Δ＝0，得b 2＝8a 2，故c 2＝9a 2，e ＝3.答案：b 2＝8a 2 313．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________，这时a ，b 的关系是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22.答案：22a 2＝2b 2 14．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，过右焦点F 2的直线l ：y ＝kx ＋m与椭圆C 相交于A ，B 两点，M 是弦AB 的中点，直线OM (O 为原点)的斜率为14，则△ABF 1的周长等于________，斜率k ＝________.解析：依题意得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝8，即|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝8，△ABF 1的周长为8.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0.又y 1＋y 2x 1＋x 2＝2y 02x 0＝y 0x 0＝14，因此y 1－y 23＋(x 1－x 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－3，k ＝－3.答案：8 －315．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°.在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：416．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6. 答案：617．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C⎝⎛⎭⎫32a ，b 2.又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2，CF ―→＝⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c ＋32a ⎝⎛⎭⎫c －32a ＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．答案：63三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分14分)(2017·甘肃高台县一中模拟)如图，设直线l ：y ＝kx ＋p2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0，p 为常数)交于不同的两点M ，N ，且当k ＝12时，弦MN 的长为415.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 过点B (1，－1)，求证：直线NQ 过定点．解：(1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，当k ＝12时，直线l ：y ＝12⎝⎛⎭⎫x ＋p 2，即x＝2y －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －p 2，y 2＝2px ，得y 2－4py ＋p 2＝0. ∴y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝p 2，于是得|MN |＝1＋4|y 1－y 2|＝5×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝215|p |＝415， 因为p >0，所以p ＝2，即抛物线C 的标准方程为y 2＝4x .(2)证明：设点M (4t 2,4t )，N (4t 21，4t 1)，Q (4t 22，4t 2)，易得直线MN ，MQ ，NQ 的斜率均存在， 则直线MN 的斜率k MN ＝4t －4t 14t 2－4t 21＝1t ＋t 1， 从而直线MN 的方程为y ＝1t ＋t 1(x －4t 2)＋4t ，即x －(t ＋t 1)y ＋4tt 1＝0.同理可知MQ 的方程为x －(t ＋t 2)y ＋4tt 2＝0， NQ 的方程为x －(t 1＋t 2)y ＋4t 1t 2＝0.又易知点(－1,0)在直线MN 上，从而有4tt 1＝1，即t ＝14t 1， 点B (1，－1)在直线MQ 上，从而有1－(t ＋t 2)×(－1)＋4tt 2＝0， 即1－⎝⎛⎭⎫14t 1＋t 2×(－1)＋4×14t 1×t 2＝0， 化简得4t 1t 2＝－4(t 1＋t 2)－1.代入NQ 的方程得x －(t 1＋t 2)y －4(t 1＋t 2)－1＝0，即(x －1)－(t 1＋t 2)(y ＋4)＝0. 所以直线NQ 过定点(1，－4)．19．(本小题满分15分)(2017·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． 解：(1)设F 的坐标为(－c,0)．依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，p2＝a ，a －c ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 23＝1消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62， 故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63， 所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.20．(本小题满分15分)(2018届高三·安徽皖南八校联考)如图，点A (－2,0)，B (2,0)分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P ，M ，N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－14，AP ∥OM ，BP ∥ON .(1)求椭圆C 的方程；(2)判断△OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 解：(1)设P (x ，y )，则k 1k 2＝y x ＋2·y x －2＝y 2x 2－4＝－14，化简得y 2＝－x 24＋1，又点P 在椭圆C 上，所以x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝－b 2a2x 2＋b 2，所以－b 2a 2x 2＋b 2＝－x 24＋1，所以b 2a 2＝14，b 2＝1，则a 2＝4.即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意得直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0，Δ＝(8kt )2－4(4k 2＋1)(4t 2－4)＝16(4k 2－t 2＋1)>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8kt4k 2＋1，x 1x 2＝4t 2－44k 2＋1.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，k 1k 2＝－14，所以k OM ·k ON ＝－14，y 1x 1·y 2x 2＝－14，化简得4y 1y 2＋x 1x 2＝0，即4(kx 1＋t )(kx 2＋t )＋x 1x 2＝0，(4k 2＋1)x 1x 2＋4kt (x 1＋x 2)＋4t 2＝0，(4k 2＋1)·4t 2－44k 2＋1－4kt ·8kt4k 2＋1＋4t 2＝0，化简得2t 2－4k 2＝1，此时Δ＝8(8k 2－2t 2＋2)＝8(4k 2＋1)>0，符合题意． |MN |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ (1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－8kt 4k 2＋12－4×4t 2－44k 2＋1＝22×k 2＋14k 2＋1， 又点O 到直线MN 的距离d ＝|t |k 2＋1， 所以△OMN 的面积S ＝12|MN |·d ＝2×k 2＋14k 2＋1×|t |k 2＋1＝2×|t |2t 2＝1. 即△OMN 的面积为定值，定值为1.21．(本小题满分15分)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.(1)求该椭圆的离心率；(2)设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．解：(1)依题意，设F (－c,0)，则bc ＝tan 60°＝ 3. 将b ＝3c 代入a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2c .所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝12.(2)由(1)，椭圆的方程可设为x 24c 2＋y 23c 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x D ，y D )． 依题意，直线AB 不能与x ，y 轴垂直， 故设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )， 将其代入3x 2＋4y 2＝12c 2，整理得(4k 2＋3)x 2＋8ck 2x ＋4k 2c 2－12c 2＝0.则x 1＋x 2＝－8ck 24k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2c )＝6ck 4k 2＋3，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4ck 24k 2＋3，3ck 4k 2＋3.因为GD ⊥AB ，所以3ck4k 2＋3－4ck 24k 2＋3－x D ·k ＝－1，x D ＝－ck 24k 2＋3.因为△GFD ∽△OED ，所以S 1S 2＝|GD |2|OD |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4ck 24k 2＋3－－ck 24k 2＋32＋⎝⎛⎭⎫3ck 4k 2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫－ck 24k 2＋32＝(－3ck 2)2＋(3ck )2(－ck 2)2＝9c 2k 4＋9c 2k 2c 2k 4＝9＋9k 2>9. 所以S 1S 2的取值范围是(9，＋∞)．22．(本小题满分15分)(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦距为2. (1)求椭圆E 的方程； (2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24，M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．解：(1)由题意知e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以a ＝2，b ＝1，因此椭圆E 的方程为x 22＋y2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32 消去y ，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0，显然Δ>0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)， 所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝1＋k 21·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21. 由题意可知圆M 的半径r 为r ＝23|AB |＝223·1＋k 21·1＋8k 212k 21＋1. 由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1， 因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x . 联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21， 因此|OC |＝x 2＋y 2＝ 1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r ， 而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 21223·1＋k 21·1＋8k 211＋2k 21＝324·1＋2k 211＋4k 21·1＋k 21， 令t ＝1＋2k 21，则t >1，1t ∈(0,1)， 因此|OC |r ＝32·t 2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t 2＝32·1－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22， 所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6， 所以∠SOT 的最大值为π3. 综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.。

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2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修五模块检测试题及答案解析

2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修五模块检测试题及答案解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )． A ．91 B ．152 C ．218 D ．279 解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152. 答案 B2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( )． A ．－14B.14C ．－23 D.23解析 由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝ 9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－14.答案 A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )．A ．16B ．32C ．64D ．256解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 102(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64. 答案 C4．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )． A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3， ∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.答案 D5．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )．A. 2B.32C.322D ．2解析 |CD|＝1＋1＝2，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1，∴S △CDA ＝12×2×12＝12，S △CDB ＝12×2×1＝1.故所求区域面积为32.答案 B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m)x ＋(3－m)＞0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m ＜3. 答案 A7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )． A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )．A ．a n ＋a n ＋3＜a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3＞a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关 解析 因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)， a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝ a n (1－q)(1－q 2)＝a n (1－q)2(1＋q)＞0. 答案 C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )． A. 3 B.2C ．±3D ．± 2解析 等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }， 则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d3d ＝3，∴q ＝± 3.答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m＝ 1. 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析 ∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 32＝1. ∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q)＋1＝13.② 由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n .∴b n ＝3－n.∴S 10＝－25. 答案 －2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树高的高度为________．解析 ∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝PA sin ∠PBA ，60sin 15°＝PAsin 135°，∴PA ＝60(3＋1)，PQ ＝PA ·sin ∠A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案 (30＋303)m13．设，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C(1,4)，当直线l ：y ＝－abx＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4， ∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．答案 414．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 解析 如图，设AB ＝k ， 则AC ＝2k ，再设BD ＝x ， 则DC ＝2x.在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x ，① 在△ADC 中，由余弦定理得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x.② 由①②得x 2－4x －1＝0， 解得x ＝2＋5(负值舍去)． 答案 2＋ 515．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析 因为a ＞1，b ＞1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23， 所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤ log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 1三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n(n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21， ∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.17．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x>b}， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0， 即x 2－(2＋c)x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c)＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； 当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为∅.18．(12分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解 据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12.∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12，解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×5×3×32＝1534.19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6) 解 (1)第一年末的住房面积为 a ·1110－b ＝(1.1a －b)(m 2)． 第二年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b)(m 2)．(2)第三年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102，第四年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103，第五年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b.依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.20．(13分)已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 法一 作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑 z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．法二 设2x －3y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)＝mx ＋my ＋nx －ny ＝(m ＋n)x ＋(m －n)y则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.则2x －3y ＝－12(x ＋y)＋52(x －y)∵1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，∴－52≤－12(x ＋y)≤－12，－52≤52(x －y)≤152，∴－5≤2x －3y ≤7. 即2x －3y 的取值范围为[－5,7]．21．(14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt.此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675.由于0＜t ≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

2018年北京大学高等代数与解析几何试题及解答

2018年北京大学高等代数与解析几何试题及解答


6. (1) 显然V = 0及V = Mn (K )为两个平凡的公共子空间,但不是n维的. 设 Vi = span {E1i , E2i , · · · , Eni } , i = 1, 2, . . . , n. 则Vi 是n维公共子空间. 另外, V = {(α, α, 0, . . . , 0) | α ∈ K n }也是n维公共子空间. (2) 若V ⊂ V , 但是V = 0, 则存在B ∈ V 设bij = 0, 则
u v w
可得 yw − vz = 0
(x − 1)w − (z − 1)u = 0 , (x + 1)v − (y + 1)u = 0 因为(u, v, w) = 0, 因此上述线性方程组有非零解, 从而 0 1−z −z 0 y x−1 w = 0.
−y − 1 x + 1
B= sin θ3
cos θ2 cos θ3 − sin θ1 sin θ2 cos θ3 − cos θ1 sin θ3 − cos θ1 sin θ2 cos θ3 + sin θ1 sin θ3 sin θ2 sin θ1 cos θ2 cos θ1 cos θ2
= cos θ2 sin θ3
9. (15分) 记A是与下面三条直线都相交的直线的并集: 达式f (x, y, z ) = 0,其中f 是一个三元多项式.
y = 0 z = 0
,
x = 1 z = 1
,
x = −1 y = −1
. 给出A的一个一般表
10. (15分) 证明几何空间中任意一个旋转变换f , 只要转轴通过原点, 就一定可以写成f = gz ◦ gy ◦ gx 的形式, 其 中gx , gy , gz 分别表示绕x, y, z 轴的旋转变换.
2017-2018学年高中数学(北师大版)5：模块综合检测含答案

2017-2018学年高中数学(北师大版)5：模块综合检测含答案

模块综合检测（时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若a〈1，b〉1，那么下列命题中正确的是( ）A。

错误!〉错误! B.错误!〉1C．a2<b2D．ab〈a＋b解析：选D 利用特值法，令a＝－2，b＝2。

则错误!〈错误!，A 错；错误!<0，B错；a2＝b2，C错，ab<a＋b，D正确．2．已知数列｛a n｝的前n项和S n＝n3，则a5＋a6的值为( ）A．91 B．152C．218 D．279解析：选B a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.3．不等式组错误!表示的平面区域是（）A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示,所以不等式组错误!表示的平面区域是等腰梯形．4．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于（）A．16 B．32C．64 D．256解析：选C ∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a错误!(a n ＞0），∴a8·a10·a12＝a错误!＝64。

5．在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，若A＝错误!，b＝1,△ABC的面积为错误!，则a的值为( )A．1 B．2C.错误!D.错误!解析：选D 根据S＝错误!bc sin A＝错误!,可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝3，故a＝错误!。

6．若AB―→·BC―→＋AB―→2＝0，则△ABC是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：选A 由AB―→·BC―→＋AB―→2＝0,得c2＝－ac·cos （π－B)，∴cos B＝错误!，根据余弦定理得错误!＝错误!，整理得a2＝c2＋b2,所以该三角形为直角三角形．7．等比数列｛a n}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24,则公比q为（)A.错误!B．2C。

2018届北师大版 解析几何 单元测试

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1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B. 5 C ．2 5 D ．3 5 答案 B解析 易知双曲线C 的左焦点到渐近线的距离为b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5，选B. 2．若动圆的圆心在抛物线x 2＝12y 上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6) 答案 C解析 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．3．以双曲线x 23－y 26＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆上任意一点P 与椭圆的两个焦点构成的三角形面积的最大值为( )A ．3 6B ．3 2C ．2 3D ．2 2 答案 B解析 因为双曲线x 23－y 26＝1的顶点坐标为(±3，0)，焦点为(±3,0)，所以椭圆的长半轴长a ＝3，半焦距c ＝3，短半轴长b ＝a 2－c 2＝6，当P 为短轴端点时，P 与椭圆的两个焦点构成的三角形的面积最大，且最大值为12×23×6＝32，选择B.4．已知P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点，且x 1＋x 2＝2.若线段PQ 的垂直平分线经过定点A ，则点A 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 C解析 因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆x 24＋y 22＝1上，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－1y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，所以线段PQ 的垂直平分线的方程为y －n ＝2n (x －1)，即y ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，该直线恒过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0；当x 1＝x 2时，线段PQ 的垂直平分线也过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫12，0.故线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 5．已知双曲线mx 2＋ny 2＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点重合，则此双曲线的方程为( )A ．y 2－x 23＝1 B ．x 2－y 23＝1C.x 22－y 26＝1D.y 22－x 26＝1 答案 A解析 因为抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为(0,2)，所以m <0，n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝421n＝2，即n ＝1，m ＝－13，所以双曲线方程为y 2－x23＝1.6．设F 为抛物线C ：x 2＝12y 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，若F A →＋FB→＋FC →＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．18 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，因为A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，则A 、B 、C 可以构成三角形．抛物线C ：x 2＝12y 的焦点为F (0,3)，准线方程为y ＝－3. 因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F 为△ABC 的重心，从而有x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9.又根据抛物线的定义可得|F A |＝y 1－(－3)＝y 1＋3， |FB |＝y 2－(－3)＝y 2＋3，|FC |＝y 3－(－3)＝y 3＋3，所以|F A |＋|FB |＋|FC |＝y 1＋3＋y 2＋3＋y 3＋3＝y 1＋y 2＋y 3＋9＝18. 7．[2015·河北名校联盟质检]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为_____．答案233解析 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233.8．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与C 相交于A 、B 两点，AB 的中点M 的坐标为(3,2)，则抛物线C 的方程为______．答案 y 2＝4x 或y 2＝8x解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，与抛物线C 的方程y 2＝2px (p >0)联立可得k 2x 2－k 2px －2px ＋k 2p 24＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋p k 2＝3p k ＝2，解得k ＝1，p ＝2或k ＝2，p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝8x .9．已知点P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若点M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM |的取值范围是______．答案 (0,4)解析 解法一：如图，延长PF 2，F 1M ，交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，xy ≠0)，设点P 的坐标为(x 0，y 0)(－a <x 0<a )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，故|PF 1|＝(x 0＋c )2＋y 20＝(x 0＋c )2＋b 2－b 2x 2a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c a x 02＝a ＋ex 0，同理|PF 2|＝a －ex 0，∴|OM |＝12||PF 1|－|PF 2||＝12|2ex 0|＝12×2e |x 0|＝e |x 0|，∵点P 是椭圆上与四个顶点不重合的点，故|x 0|∈(0，a )，故|OM |∈(0，c )，对于x 225＋y 29＝1，c ＝4，故|OM |的取值范围是(0,4)．解法二：由椭圆的对称性，只需研究动点P 在第一象限内的情况，当点P 趋近于椭圆的上顶点时，点M 趋近于点O ，此时|OM |趋近于0；当点P 趋近于椭圆的右顶点时，点M 趋近于点F 1，此时|OM |趋近于25－9＝4，所以|OM |的取值范围为(0,4)．解法三：如图，延长PF 2，F 1M 交于点N ，∵PM 是∠F 1PF 2的角平分线，且F 1M ⊥MP ，∴|PN |＝|PF 1|，M 为F 1N 的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|OM |＝12|F 2N |＝12||PN |－|PF 2||＝12||PF 1|－|PF 2||，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|OM |＝12|2|PF 1|－10|＝||PF 1|－5|，又|PF 1|∈(1,5)∪(5,9)，∴|OM |∈(0,4)，故|OM |的取值范围是(0,4)．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝32，M 是椭圆C 上的一点，且点M 到椭圆C 两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，P (0，t )是y轴上一点，满足|P A |＝|PB |，P A →·PB→＝4，求实数t 的值． 解 (1)由已知得2a ＝4，则a ＝2， 又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)易知A (－2,0)，设B (x 1，y 1)，根据题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，把它代入椭圆C 的方程，消去y ，整理得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0，由根与系数的关系得－2＋x 1＝－16k 21＋4k 2， 则x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝k (x 1＋2)＝4k 1＋4k2， 所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2.①当k ＝0时，则有B (2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是P A →＝(－2，－t )，PB→＝(2，－t )， 由P A →·PB →＝－4＋t 2＝4，解得t ＝±2 2.②当k ≠0时，则线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k1＋4k 2＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2. 因为P (0，t )是线段AB 垂直平分线上的一点， 令x ＝0，得t ＝－6k1＋4k 2，于是P A →＝(－2，－t )，PB →＝(x 1，y 1－t )， 由P A →·PB →＝－2x 1－t (y 1－t )＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，解得：k ＝±147，代入t ＝－6k 1＋4k 2，解得t ＝±2145. 综上，满足条件的实数t 的值为t ＝±22或t ＝±2145.。