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§1.1集合的概念第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．思考某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合中就确定了．知识点二元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A“a不属于A”思考设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？答案3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.知识点三常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R1．接近于0的数可以组成集合．(×)2．分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(√)3．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)4．由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．(×)一、对集合概念的理解例1(1)下列对象能组成集合的是()A.2的所有近似值B．某个班级中学习好的所有同学C．2020年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员答案 D解析D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．答案②解析①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．反思感悟判断一组对象是否能构成集合的三个依据(1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．跟踪训练1(多选)下列说法正确的有()A．花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合答案BD解析在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；在B中，正方体的全体能构成一个集合，故B正确；在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C 错误；在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确．二、元素与集合的关系例2(1)设集合M是由不小于25的数组成的集合，a＝15，则下列关系中正确的是() A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M答案 B解析判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵15<25，∴a∉M.(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．答案0,1,2解析∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.(学生)反思感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C ；(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ， (－1,1)________D .答案 (1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈解析 (1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11， ∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，且－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D . 三、元素特性的应用例3 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a . 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a ＝－32.延伸探究在本例中，若集合A 中的三个元素换为a －3,2a －1，a 2－4，其余不变，求实数a 的值． 解 ①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A 中的元素为－3，－1，－4，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A 中的元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A 中的元素为－2,1，－3，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. (学生)反思感悟 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 跟踪训练3 设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．解 (1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3， 且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，x ≠3.(2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴x ＝－2.1．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2 020,1)与(1,2 020)． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．0组 答案 B解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合． 2．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C.37 D.7答案 D解析 由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.3．已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A 且－3∉A B ．3∈A 且－3∈A C ．3∉A 且－3∉A D ．3∉A 且－3∈A答案 D解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A . 又－3－1＝－4<3，∴－3∈A .4．由方程x 2－2x －3＝0和x 2－1＝0的根组成的集合中的元素的个数为________． 答案 3解析 解方程x 2－2x －3＝0可得x ＝－1或3，解方程x 2－1＝0可得x ＝－1或1，由于集合中的元素具有互异性，所以由两个方程的根组成集合中的元素的个数为3. 5．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________． 答案 k ≠±1解析 ∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．。
集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.明白得集合之间包括与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.明白得两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.明白得在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能利用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特点：确信性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的大体关系对任意的x∈A，都有x∈B，那么A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，那么A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，那么A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，那么A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．设全集为U，那么∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2020·长沙模拟)以下集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}答案 C2．(2020·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，那么M ∩N 等于( )A ．{x |－5<x <5}B ．{x |－3<x <5}C ．{x |－5<x ≤5}D ．{x |－3<x ≤5}答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部份即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2020·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，那么A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 A解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，因此A ∩B 包括两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2020·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R}，那么M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)} D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0. ∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．(2020·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，那么a ＝________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经查验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探讨点一 集合的大体概念例1 (2020·沈阳模拟)假设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，求b －a 的值． 解题导引 解决该类问题的大体方式为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意查验，看所得结果是不是符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }可知a ≠0，那么只能a ＋b ＝0，那么有以下对应关系： ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1 ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1. ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解． ∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知， a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探讨点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，那么以下关系中正确的选项是( )A ．M ＝NB ．MN C ．M N D ．M ∈N解题导引 一样地，关于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判定它们之间的关系，应先确信集合中元素的形式是数仍是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每一个集合中的元素个数或范围，再判定它们之间的关系．答案 A解析 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R}＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R}＝{y |y ≥1}．∴M ＝N . 变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R}，那么以下关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅答案 A解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0. ∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P Q .探讨点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)假设(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，第一要理清题目要求，看清集合间存在的彼此关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用和空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}， A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}． 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，知足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12， 解得－14≤a <0. 综上可得，a 的取值范围为a ≥－14. 变式迁移3 (2020·阜阳模拟)已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)假设a ＝1，求A ∩B ；(2)假设A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时， A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用 例 (12分)(1)假设集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)假设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，知足S ⊆P ； [2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ， 为知足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2， 即a ＝13或a ＝－12. [4分]故所求集合为{0，13，－12}． [6分] (2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，知足B ⊆A ； [8分]若B ≠∅，且知足B ⊆A ，如下图，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[10分]故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}． [12分]【冲破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，幸免犯错的一个有效手腕即是合理运用数轴帮忙分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原那么，然后关于每一类情形都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情形．(2)想固然以为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情形．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意查验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x }表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应付A 是不是为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一样地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素持续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，能够利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅的情形，然后取补集．(总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．知足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．8答案B解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然如此的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．2．(2020·杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，概念集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．假设P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，那么P＋Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．6答案B解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.3．(2020·北京)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，那么P∩M等于( )A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3}答案B解析由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．4．(2020·天津)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．假设A∩B＝∅，那么实数a的取值范围是( )A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}答案C解析由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，因此a≤0或a≥6.5．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x－1≥1}，那么右图中阴影部份所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}答案C解析题图中阴影部份可表示为(∁U M)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}．二、填空题(每题4分，共12分)6．(2020·绍兴模拟)设集合A＝{1,2}，那么知足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．答案4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2020·天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，假设A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，那么集合B＝________.答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．8．(2020·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，那么实数a＝____.答案1解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·烟台模拟)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}＝{x|－6≤x≤1}．(3分)B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}．(6分)如下图，∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R.(9分)A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(12分)10．(12分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．假设B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ≤－12，－1a>2，(5分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(7分) 当a >0时，如图，假设B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1a ≤－12，4a ≥2，(9分)∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(11分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(12分)11．(14分)(2020·岳阳模拟)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )； (2)假设A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解 由x －5x ＋1≤0，因此－1<x ≤5，因此A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)因此A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)因此有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 现在B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。
