【步步高高考数学总复习】§ 1.1 集合的概念及其基本运算

【解析】集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合 B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两 个交点，即A∩B的元素个数为2.
3．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集
的个数为( C )
A．9
B．8 C．7 D．6
【解析】当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；
当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，
§1.1 集合的概念与运算
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集合
1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具 体问题．
2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交 集．
(3)因为A∩B＝{3}，所以3∈A， 又因为(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A， 又U＝{1，3，5，7，9}， 假设1∈A，由A∩B＝{3}， 知1∉B，所以1∈∁UB， 则与(∁UB)∩A＝{9}矛盾， 所以1∉A，同理5，7∉A，则A＝{3，9}．
规律方法 集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图 求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解； (4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字 语言，然后适时应用数形结合求解.
5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}， 则(∁RA)∪B＝____{x_|_x_≤_1_或__x_>_2_}____． 【解析】由已知可得集合A＝{x|1<x<3}， 又因为B＝{x|2<x<4}， ∁RA＝{x|x≤1或x≥3}， 所以(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}．

>0,得
x>1 或 x<0.
集合 A 中的元素不属于集合 B 的有 0,1,故选 A.
3
(2)由题意得 m+2=3 或 2m2+m=3,解得 m=1 或 m=- .当 m=1
2
时,m+2=3,且 2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
3
1
3
当 m=-2时,m+2=2,而 2m2+m=3,故 m=-2.
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{0,1,2}
解析:A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.
3.(2019北京海淀一模,1)已知集合P={x|0<x<4},且M⊆P,则M可以
是( A )
A.{1,2}
B.{2,4}
C.{-1,2}
当x=0时,y=-1,0,1;
当x=1时,y=-1,0,1;所以共有9个,选A.
(2)由题意,得A={-2,-1,0,1,2,3,4},对于集合B,因为x∈Z,2x∈A,所
以B={0,1,2},故选D.
-9-
考点1
考点2
考点3
思考求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应注意什么?
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
中至少有一个元素不在集合 A 中,则 (或B⫌A)
集合 A 是集合 B 的真子集
若集合 A,B 中的元素相同或集合 A,B
互为子集,则集合 A 等于集合 B
A=B
-3-
知识梳理
考点自诊
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集

(2)高中学生中的灌篮高手. 解 对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R. (1)若－3∈A，试求实数a的值；
解 因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，实数a的值为0或－1.
6.(多选)下列说法中错误的有
√A.集合N中最小的数是1 √B.若－a∉Z，则a∈Z
C.所有的正实数组成的集合R＋
√D.由很小的数可组成集合A
解析 集合N中最小的数是0，A错误； Z表示整数集，若－a∉Z，则a∉Z，B错误； 所有的正实数组成集合R＋，C正确； 很小的数没有确定性，不可组成集合，D错误.
√A.P是由元素1， 3 ，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－ 3 |构成的集合
B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B， C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.
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5.(多选)集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为
√A.2
B.－2
√C.4
D.0
解析 若a＝2，则6－2＝4∈A； 若a＝4，则6－4＝2∈A； 若a＝6，则6－6＝0∉A.

[难点正本 疑点清源 难点正本 疑点清源] 1．正确理解集合的概念 ． 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征， 正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤 其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用． 其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数 问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性” 问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而 导致结论错误． 导致结论错误． 2．注意空集的特殊性 ． 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集． 若未明确说明集合非空时， 时 ， 若未明确说明集合非空时 ，要考虑到集合为空集的可能 例如： ⊆ ， 性．例如：A⊆B，则需考虑 A＝∅和 A≠∅两种可能的情况． ＝ ≠ 两种可能的情况． 3．正确区分∅，{0}，{∅} ．正确区分∅ ，∅ 是含有一个元素 ∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素 0 的集 是不含任何元素的集合，即空集． 是含有一个 合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是 0.{∅}是含有 它不是空集，因为它有一个元素， ∅ 是含有 一个元素∅的集合．∅⊆ ，∅⊆{∅ ， 一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆ ∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅. ∅， ∩∅＝
1 1 － a≤ － 2 则 4≥2 a
a≤2 ≤ ， ∴ a≤2 ≤
.∴0<a≤2. ∴ ≤
1 综上知， 综上知，当 B⊆A 时，－2<a≤2. ⊆ ≤
(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时，A＝B. 当且仅当 、 两个集合互相包含时， ＝ 由(1)、(2)知，a＝2. 、 知 ＝
(1)若 A⊆B，求实数 a 的取值范围； 若 ⊆ ， 的取值范围； (2)若 B⊆A，求实数 a 的取值范围； 若 ⊆ ， 的取值范围； (3)A、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试 、 能否相等？若能， 的值；若不能， 说明理由． 说明理由． 思维启迪 在确定集合 A 时，需对 x 的系数 a 进行讨

§1.1集合的概念第1课时集合的概念学习目标 1.通过实例了解集合的含义.2.理解集合中元素的特征.3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．思考某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合中就确定了．知识点二元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A“a不属于A”思考设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？答案3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.知识点三常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R1．接近于0的数可以组成集合．(×)2．分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(√)3．一个集合中可以找到两个相同的元素．(×)4．由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．(×)一、对集合概念的理解例1(1)下列对象能组成集合的是()A.2的所有近似值B．某个班级中学习好的所有同学C．2020年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员答案 D解析D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．答案②解析①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．反思感悟判断一组对象是否能构成集合的三个依据(1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．跟踪训练1(多选)下列说法正确的有()A．花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合答案BD解析在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；在B中，正方体的全体能构成一个集合，故B正确；在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C 错误；在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确．二、元素与集合的关系例2(1)设集合M是由不小于25的数组成的集合，a＝15，则下列关系中正确的是() A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M答案 B解析判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵15<25，∴a∉M.(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．答案0,1,2解析∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.(学生)反思感悟判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B；(2)设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C,5________C ；(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ， (－1,1)________D .答案 (1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈解析 (1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11， ∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，且－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D . 三、元素特性的应用例3 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a . 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a ＝－32.延伸探究在本例中，若集合A 中的三个元素换为a －3,2a －1，a 2－4，其余不变，求实数a 的值． 解 ①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A 中的元素为－3，－1，－4，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A 中的元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A 中的元素为－2,1，－3，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. (学生)反思感悟 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 跟踪训练3 设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．解 (1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3， 且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，x ≠3.(2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴x ＝－2.1．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2 020,1)与(1,2 020)． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．0组 答案 B解析 ①中接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2 020,1)与(1,2 020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合． 2．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C.37 D.7答案 D解析 由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.3．已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( ) A ．3∈A 且－3∉A B ．3∈A 且－3∈A C ．3∉A 且－3∉A D ．3∉A 且－3∈A答案 D解析 ∵3－1＝2>3，∴3∉A . 又－3－1＝－4<3，∴－3∈A .4．由方程x 2－2x －3＝0和x 2－1＝0的根组成的集合中的元素的个数为________． 答案 3解析 解方程x 2－2x －3＝0可得x ＝－1或3，解方程x 2－1＝0可得x ＝－1或1，由于集合中的元素具有互异性，所以由两个方程的根组成集合中的元素的个数为3. 5．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________． 答案 k ≠±1解析 ∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．。

集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.明白得集合之间包括与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.明白得两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.明白得在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能利用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特点：确信性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的大体关系对任意的x∈A，都有x∈B，那么A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，那么A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，那么A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，那么A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．设全集为U，那么∁U A＝{x|x∈U且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2020·长沙模拟)以下集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}答案 C2．(2020·辽宁)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，那么M ∩N 等于( )A ．{x |－5<x <5}B ．{x |－3<x <5}C ．{x |－5<x ≤5}D ．{x |－3<x ≤5}答案 B解析 画数轴，找出两个区间的公共部份即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2020·湖北)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，那么A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 A解析 易知椭圆x 24＋y 216＝1与函数y ＝3x 的图象有两个交点，因此A ∩B 包括两个元素，故A ∩B 的子集个数是4个．4．(2020·潍坊五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R}，那么M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)} D ．∅ 答案 B解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0. ∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．(2020·福州模拟)已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，那么a ＝________. 答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经查验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探讨点一 集合的大体概念例1 (2020·沈阳模拟)假设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，求b －a 的值． 解题导引 解决该类问题的大体方式为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意查验，看所得结果是不是符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }可知a ≠0，那么只能a ＋b ＝0，那么有以下对应关系： ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1 ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1. ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解． ∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知， a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探讨点二 集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，那么以下关系中正确的选项是( )A ．M ＝NB ．MN C ．M N D ．M ∈N解题导引 一样地，关于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判定它们之间的关系，应先确信集合中元素的形式是数仍是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每一个集合中的元素个数或范围，再判定它们之间的关系．答案 A解析 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R}＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R}＝{y |y ≥1}．∴M ＝N . 变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R}，那么以下关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅答案 A解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0. ∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P Q .探讨点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)假设(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，第一要理清题目要求，看清集合间存在的彼此关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用和空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}， A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}． 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，知足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12， 解得－14≤a <0. 综上可得，a 的取值范围为a ≥－14. 变式迁移3 (2020·阜阳模拟)已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)假设a ＝1，求A ∩B ；(2)假设A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时， A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用 例 (12分)(1)假设集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)假设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，知足S ⊆P ； [2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ， 为知足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2， 即a ＝13或a ＝－12. [4分]故所求集合为{0，13，－12}． [6分] (2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，知足B ⊆A ； [8分]若B ≠∅，且知足B ⊆A ，如下图，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[10分]故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}． [12分]【冲破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，幸免犯错的一个有效手腕即是合理运用数轴帮忙分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原那么，然后关于每一类情形都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情形．(2)想固然以为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情形．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意查验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x }表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应付A 是不是为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一样地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素持续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，能够利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅的情形，然后取补集．(总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．知足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．8答案B解析A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然如此的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．2．(2020·杭州模拟)设P、Q为两个非空集合，概念集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．假设P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，那么P＋Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．6答案B解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的个数是8.3．(2020·北京)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，那么P∩M等于( )A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3}答案B解析由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．4．(2020·天津)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．假设A∩B＝∅，那么实数a的取值范围是( )A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}答案C解析由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，因此a≤0或a≥6.5．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|2x－1≥1}，那么右图中阴影部份所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}答案C解析题图中阴影部份可表示为(∁U M)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为{x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}．二、填空题(每题4分，共12分)6．(2020·绍兴模拟)设集合A＝{1,2}，那么知足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．答案4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2020·天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，假设A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，那么集合B＝________.答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．8．(2020·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，那么实数a＝____.答案1解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·烟台模拟)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}＝{x|－6≤x≤1}．(3分)B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}．(6分)如下图，∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R.(9分)A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(12分)10．(12分)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x |－12<x ≤2}．假设B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ≤－12，－1a>2，(5分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(7分) 当a >0时，如图，假设B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1a ≤－12，4a ≥2，(9分)∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(11分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(12分)11．(14分)(2020·岳阳模拟)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )； (2)假设A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解 由x －5x ＋1≤0，因此－1<x ≤5，因此A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)因此A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)因此有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 现在B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。

研一研•问题探究、课堂更高效
第1课时
探究点一 集合概念的形成过程 问题 1 在初中，我们学过哪些集合？用集合描述过什么？ 答 在初中代数里学习数的分类时，学过自然数的集合，正 数的集合，负数的集合，有理数的集合．在学习一元一次不 等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习 圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形 都可以看成点的集合．
3．说出下面集合中的元素． (1)大于 3 小于 11 的偶数； (2)平方等于 1 的数； (3)15 的正约数． 解 (1)中的集合元素为 4,6,8,10； (2)中的集合元素为－1,1； (3)中的集合元素为 1,3,5,15.
第1课时
第1课时
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特 征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有， 能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
填一填·知识要点、记下疑难点
第1课时
1．一般地，一定范围内某些__确___定__的_____、___不__同__的___对象的全 体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的
_元__素_____，简称___元_____． 2．集合元素的三个特性：__确__定____性、__互__异____性、_无__序___性． 3．非负整数集(自然数集)：__N______，正整数集：_N_*_或___N_＋_，整
第 1 课时 集合的含义
第1课时
【学习要求】 1.通过实例理解并掌握集合的有关概念； 2.初步理解集合中元素的三个特征； 3.体会元素与集合的属于关系； 4.掌握常用数集及其专用记号，初步认识用集合语言表示有关数
学对象． 【学法指导】 通过经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，理解 并掌握集合的含义；通过由用自然语言描述集合到用抽象的符 号语言描述集合的过程，体会集合语言的严谨性和逻辑性，逐 渐养成严密的思维习惯.

研一研•问题探究、课堂更高效
问题 4 集合{x|x<－3，x∈R}＝{y|y<－3，y∈R}成立吗？为什 么？由此说明了什么？
答 成立．因为他们都表示小于－3 的实数组成的集合．说 明了描述法表示集合与代表元素用怎样的字母无关．
问题 5
答
什么类型的集合适合用描述法表示？
描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素
个数较多的有限集．
研一研•问题探究、课堂更高效
例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程 x2－ 2＝ 0 的所有实数根组成的集合； (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合．
解 (1)设方程 x2－2＝0 的实数根为 x，并且满足条件 x2－2 ＝0，因此，用描述法表示为 A＝{x∈ R|x2－2＝0}．方程 x2－ 2＝0 有两个实数根 2， － 2， 因此， 用列举法表示为 A＝{ 2， － 2}．
第 2 课时
【学习要求】
集合的表示
1．掌握集合的两种常用表示方法 (列举法和描述法 )； 2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述 法 )描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 【学法指导】 通过由用自然语言描述数学概念到用集合语言描述数学概念的 抽象过程，感知用集合语言思考问题的方法，体会将实际问题 数学化的过程 .
表示出来，写成{x|p(x)}的形式． 3．集合按所含元素多少分类：
有限个 元素的集合； (1)有限集 ——含有 ____________
无限个 元素的集合； (2)无限集 ——含有 ____________
空集 ，即不含任何元素的集合． (3)∅ 表示 ________
研一研·问题探究、课堂更高效

的个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,即A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},故满足条件
的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
高考总复习数学核心知识点
(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的取值范围为
就称这个集合为全集,通常记作U.
2.讨论补集的前提是集合A是全集U的子集,没有这一前提无法求补集.补
集是相对于全集而存在的,研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应
的全集.一个确定的集合A,对于不同的全集U,它的补集不同.
高考总复习数学核心知识点
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔ B⊆A .
元素的个数为( D )
A.3
B.6
C.8
D.10
根据题意,知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},
共有10个元素.

(2)已知a,b∈R,若{a,,1}={a2,a+b,0} ,则a3 021+b3 021为( C )
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概
念的作用.
高考总复习数学核心知识点
备考指导
集合知识高考必考,一般为选择题第1题或第2题难度较小.常与不等式、函
数、方程结合,主要考查集合的交、并、补集运算.复习时要理解集合的表

x∉A}＝{x|3≤x≤4}.
解析 答案
课时作业
基础保分练
1.已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是
A.－3∈A
B.3∉B
√C.A∩B＝B
D.A∪B＝B
解析 由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练 (1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若
B⊆A，则实数a的值为
A.13或－12
B.－13或12
C.13或－12或 0
√D.－13或12或 0
解析 由题意知，A＝{2，－3}.
当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A； 当 a≠0 时，ax－1＝0 的解为 x＝1a， 由 B⊆A，可得1a＝－3 或1a＝2，∴a＝－13或 a＝12.
在集合A中
集合A，B中的元素相同或 集合相等
集合A，B互为子集
__A_＝___B__
Venn图
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
由属于集合A且属于集合B A∩B＝{x|x∈A 交集
的所有元素组成的集合 且x∈B}
由所有属于集合A或属于 A∪B＝{x|x∈A 并集
集合B的元素组成的集合 或x∈B}
解析 答案
思维升华
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元 素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合. (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨 论的思想方法常用于解决集合问题.
题型二 集合的基本关系

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练出高分
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1.已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.
解析答案
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2.设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A} ，则集合B中 的元素个数为___. 6 解析 ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b， ∴x＝2,3,4,5,6,8. ∴B中共有6个元素.
思维升华
解析答案
跟踪训练3
(1)(2015· 天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合
{2,5} B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝_____.
解析 由题意知，∁UB＝{2,5,8}， 则A∩(∁UB)＝{2,5}.
解析答案
(2) 已知集合 A ＝ {x|x>2 或 x< － 1} ， B ＝ {x|a≤x≤b} ，若 A∪B ＝ R ， A∩B ＝ b －4 {x|2<x≤4}，则 a ＝ ____. 解析 由A＝{x|x>2或x<－1}，A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}， 可得B＝{x|－1≤x≤4}， b 则a＝－1，b＝4，故 ＝－4. a
1
2
3
4
5
解析答案
[0,1] 3.(2015· 陕西改编)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝_____. 解析 由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1].

答 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同 学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序 的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样， 我们就称这两个集合是相等的．
研一研•问题探究、课堂更高效
问题 4 通过问题 3 的讨论， 你能给两个集合相等下个定义吗？
答 如果两个集合所含的元素完全相同(即 A 中的元素都是 B 的元素，B 中的元素也都是 A 的元素)，那么称这两个集 合相等．
研一研•问题探究、课堂更高效
问题 2 数学中的“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语
的意义相近？
答
数学中的“集合”与我们日常生活中“全体”、“一
类”、“一群”、“所有”、“整体”等意义相近．
研一研•问题探究、课堂更高效
问题 3 你在和朋友聊天时，往往会向朋友介绍你的家庭、原来 读书的学校、现在的班级情况，那么像“家庭”、“学校”、 “班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？
(2)“young 中的字母” 能构成一个集合，该集合的元素是 “y，o，u，n，g”；
填一填·知识要点、记下疑难点
确定的 不同的 对象的全 1．一般地，一定范围内某些 ____________ 、__________
体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的 ________ 元素 ，简称________ 元 ．
互异 性、 ______ 无序 性． 确定 性、 ________ 2．集合元素的三个特性： ________
答 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的 标准，高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因标准确 定．“某些确定的”含义是：集合中的元素必须是确定的， 也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个 集合中就确定了．

1 4 则 a 8 a 2 ， ∴ 1 1 a 2 2 a
1 ∴- ＜a＜0； 2 当a>0时，若B A，如图,
1 1 a 2 a 2 则 , 1 a 4 2 2 a 0 a 2 . 1 综上知， 当B A时， a 2 . 2
解 A
①若a=0，则A=R
1 4 ②若a＜0，则A={x| ≤x＜- }; a a a 4 ③若a＞0,则A= {x|- ＜x≤ }. 1 a
（1）当a=0时，若AB，此种情况不存在. 当a＜0时，若A B，如图,
4 1 则 a 2 1 2 a
a 8 ∴
B.
1.（2008·山东，1）满足M {a1，a2，a3，aa2}的集合M的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
4
（B
）
解析
由题意知a1,a2必属于M,a3
M,a 不一定,故选B.
2.（2009·安徽怀远三中月考）若A={2，3，4 }B={x|x=m
论；④归纳结论.
UB)
画出满足条件的 Venn 图，如图，
由图可知A∩( UB)= .
题型一 集合的概念 bb 若a，b R，集合{1,a+b，a}={0， a
，b}，求
a的值. 【思维启迪】 能a+b=0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别 b 求 a 出a 、b的值即可. 解 由{1,a+b,a}={0, ,b }可知a≠0, a b 0 则只能a+b=0,① 则有以下对应关系：
B
若A含有n个元素，则A的子集有 2n-1 ，A的非空真子集有 2n-2 个. 7.集合相等 若A B且B A，则A=B.

反思 感悟
元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合
中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对
应相等.
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要
互不相等.
跟踪训练3 已知集合A中含有两个元素：a＋1，a2－1，若0∈A，则实数a的值为 __1__.
解析 ∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1. 当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意. 当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1(舍)，∴a＝1. 经检验，a＝1符合题意.
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
根据已知元素与集合的循环关系推理
1.若y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.( √ ) 2.0∈N但0∉N＋.( √ ) 3.由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.( × )
2 题型探究
PART TWO
题型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过20的非负数； 解 对任意一个实数都能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
第一章 §1.1 集合与集合的表示方法
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解集合与元素的含义. 2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题. 3.理解集合与元素的关系. 4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
关系
语言描述

人教A版数学（文）
第十编 统计、统计案例
§10.1 随机抽样
§10.2 用样本估计总体
§10.3 变量间的相关关系 §10.4 统计案例
单元检测十
第十一编 概率 §11.1 随机事件的概率
§11.2 古典概型
§11.3 几何概型
单元检测十一
下一页
人教A版数学（文）
第十二编 算法初步、推理与证明、复数 §12.1 算法与程序框图 §12.2 基本算法语句、算法案例 §12.3 流程图与结构图
§12.4 合情推理与演绎推理 §12.5 直接证明与间接证明 §12.6 数系的扩充与复数的引入 单元检测十二
返回
三角函数模型的简单应用 §4.5 两角和与差的正弦、余弦和正
切 单元检测四
§5.1 平面向量的概念及线性运算 §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 §5.3 平面向量的数量积 §5.4 正弦定理和余弦定理 §5.5 正弦定理、余弦定理的应用 单元检测五
第六编 数 列 §6.1 数列的概念及简单表示法 §6.2 等差数列及其前n项和
§6.3 等比数列及其前n项和 下一页
人教A版数学（文）§6.4 数 Nhomakorabea的通项及求和 §6.5 数列的综合应用 单元检测六
第七编 不等式 §7.1 不等关系与不等式 §7.2 一元二次不等式及解法 §7.3 二元一次不等式（组）与简单的 线性规划问题 §7.4 基本不等式: ab a b
2
单元检测七
人教A版数学（文）
第一编 集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念及其基本运算 §1.2 命题及其关系、充分条件与必 要条件 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词 单元检测一
第二编 函数与基本初等函数Ⅰ §2.1 函数及其表示 §2.2 函数的单调性与最大（小）值 §2.3

§1.1集合最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B ，则A ⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B} A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B} A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A} ∁U A概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n，2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2，1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．(√)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则下列结论正确的是() A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A ＝{a ，b }，若A ∪B ＝{a ，b ，c }，满足条件的集合B 有________个． 答案 4解析 因为(A ∪B )⊇B ，A ＝{a ，b }，所以满足条件的集合B 可以是{c }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，所以满足条件的集合B 有4个．4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝________. 答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)解析 因为∁U A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 题组三 易错自纠5．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________.答案 0或3解析 因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m .即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知m ≠1，所以m ＝0或3.6．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 答案 0或1或－1解析 易得M ＝{a }．∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，∴N ＝∅或N ＝M ，∴a ＝0或a ＝±1.集合的含义与表示1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9答案 C解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析 因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．给出下列四个命题：①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}；②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3.其中正确的命题是________．(填序号)答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个) ．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ＝NC ．M ⊆ND ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D. (2)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．答案 4解析 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．(3)已知集合A ＝{x |x 2－2 021x ＋2 020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________．答案 [2 020，＋∞)解析 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2 020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．A BB ．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A 答案 B解析 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A ，故选B.(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 解析 A ＝{x |－1≤x ≤6}．∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m <－2.符合题意．当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52. 得m <－2或0≤m ≤52. 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B 等于( )A．(1,3) B．(1,3]C．[－1,2) D．(－1,2)答案 C解析因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝[－1,2)．(2)(2019·沈阳检测)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5}答案 B解析由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U(A∪B)＝{7}．故选B.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)(2019·银川模拟)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2答案 D解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．可知a≥2.本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，由B ⊆A 结合数轴观察(如图)．可得a ≤1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn 图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2019·烟台模拟)设全集为R ，集合M ＝{x |x >1}，N ＝{x ∈Z |0≤x ≤4}， 则(∁R M )∩N 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{2,3,4}答案 B解析 N ＝{0,1,2,3,4}，∁R M ＝{x |x ≤1}，∴(∁R M )∩N ＝{0,1}．(2)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1 答案 D解析 在数轴上画出集合A ，B (如图)，观察可知a >－1.以集合为背景的信息迁移是近几年高考的热点题型，解决这类问题首先要理解题意，准确把握问题本质，回归到数学问题，其次要用好集合的性质，解决信息迁移后的集合问题．例1 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．例2 (2019·湖北武汉部分重点中学联考)对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．40B ．41C ．50D ．51答案 B解析 由题意知a *b ＝36，a ，b ∈N *.若a 和b 的奇偶性相同，则a ＋b ＝36，满足此条件的有1＋35,2＋34,3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a ，b )有35个；若a 和b 的奇偶性不同，则a ×b ＝36，满足此条件的有1×36,3×12,4×9，共3组，此时点(a ，b )有6个．所以M 中元素的个数为41.故选B.例3 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.。

§1.1集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特点：确信性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2．集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，那么A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：假设A⊆B，且A≠B，那么A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)假设A含有n个元素，那么A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：假设A⊆B，且B⊆A，那么A＝B.3．集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 4．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.1．判定下面结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(2){1,2,3}＝{3,2,1}． ( √ ) (3)∅＝{0}．( × ) (4)假设A ∩B ＝A ∩C ，那么B ＝C .( × )(5)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，那么M ∩N ＝N .( √ ) (6)假设全集U ＝{－1,0,1,2}，P ＝{x ∈Z |x 2<4}，那么∁U P ＝{2}．( √ )2． (2021·北京)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，那么A ∩B 等于( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1} 答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．3． (2021·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，那么集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.4． (2021·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N 等于 ( )A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}答案 A解析 化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，那么M ∩N ＝{0,1,2}．5． 设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．假设A ∩B 中恰含有一个整数，那么实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0， 依照对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，那么那个整数为2， 因此有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43.即34≤a <43. 题型一 集合的大体概念例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，那么B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，那么b －a ＝________.思维启发 解决集合问题第一要明白得集合的含义，明确元素的特点，抓住集合的“三性”． 答案 (1)D (2)2解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ， 当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个． 故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D.(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，因此a ＋b ＝0，得b a＝－1，因此a ＝－1，b ＝1.因此b －a ＝2.思维升华 (1)用描述法表示集合，第一要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集仍是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要专门注意．分类讨论的思想方式经常使用于解决集合问题．(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，那么A ∩B的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)假设集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，那么实数a ＝________. 答案 (1)C (2)0或98解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图像，可得图像有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2.(2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98. 故a ＝0或98.题型二 集合间的大体关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，那么知足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，假设B ⊆A ，那么实数m 的取值范围是________． 思维启发 关于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形． 答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，依照集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴知足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，那么m ≤2. 当B ≠∅时，假设B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的情形， 不然会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间 端点间的关系，进而转化为参数所知足的关系．经常使用数轴、Venn 图来直观解决这种问题．(1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，那么如此的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，假设A ⊆B ，那么实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 (1)A (2)4解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故知足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．(2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4， 即A ＝{x |0<x ≤4}， 而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如下图，那么a >4，即c ＝4. 题型三 集合的大体运算例3 (1)(2021·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，那么A ∩(∁R B )等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}(2)(2021·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，那么m ＝________，n ＝________.思维启发 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算． 答案 (1)C (2)－1 1解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4} ∴A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．(2)先求出集合A ，再依照集合的交集的特点求解．A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，因此m ＝－1，n ＝1.思维升华 (1)一样来讲，集合中的元素假设是离散的，那么用Venn 图表示；集合中的元素假设是持续的实数，那么用数轴表示，现在要注意端点的情形．(2)运算进程中要注意集合间的特殊关系的利用，灵活利用这些关系，会使运算简化．(1)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，那么A ∩B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{3}C ．{2,3}D ．{x |－1≤x <2}(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．假设(∁U A )∩B ＝∅，那么m 的值是________．答案 (1)B (2)1或2解析 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x >2}， ∴A ∩B ＝{x ∈Z |2<x ≤3}＝{3}．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①假设B ＝{－1}，那么m ＝1；②假设B ＝{－2}，那么应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③假设B＝{－1，－2}，那么应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经查验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.题型四集合中的新概念问题例4在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4思维启发解答此题要充分明白得[k]的意义，然后对选项一一验证．答案C解析因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n＋4|n∈Z}，因此2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，因此－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，因此③正确；若a，b属于同一“类”，那么有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，因此a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来，若是a－b∈[0]，也能够取得a，b属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．思维升华解决以集合为背景的新概念问题，要抓住两点：(1)紧扣新概念．第一分析新概念的特点，把新概念所表达的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题进程当中，这是破解新概念型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要擅长从试题中发觉能够利用集合性质的一些因素，在关键的地方用好集合的运算与性质．设U为全集，对集合X，Y，概念运算“”，知足X Y＝(∁U X)∪Y，那么关于任意集合X，Y ，Z ，X (Y Z )等于 ( )A ．(X ∪Y )∪(∁U Z )B ．(X ∩Y )∪(∁U Z )C ．[(∁U X )∪(∁U Y )]∩ZD ．(∁U X )∪(∁U Y )∪Z 答案 D 解析 因为X Y ＝(∁U X )∪Y ，因此Y Z ＝(∁U Y )∪Z ，因此X(YZ )＝(∁U X )∪(YZ )＝(∁U X )∪(∁U Y )∪Z ，应选D.遗忘空集致误典例：(5分)假设集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，那么由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，那么S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情形． 解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，知足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为知足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提示 (1)依照集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系和集合元素的特点．(2)在解答此题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－1a能够为－3或2.因此，在解答此类问题时，必然要注意分类讨论，幸免漏解. 方式与技术1．集合中的元素的三个特点，专门是无序性和互异性在解题时常经常使用到．解题后要进行查验，要重视符号语言与文字语言之间的彼此转化．2．对持续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知持续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一表现．失误与防范1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集仍是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，避免漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包括关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的经常使用方式，其中运用数轴图示法要专门注意端点是实心仍是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．A组专项基础训练(时刻：30分钟)一、选择题1．(2021·重庆)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，那么∁U(A∪B)等于( ) A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}答案D解析因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，因此∁U(A∪B)＝{4}，应选D.2．以下集合中表示同一集合的是( ) A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．3． 已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁S A ＝{3}，那么实数a 等于( )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．2答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4． 设集合M ＝{m ∈Z |m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，那么(∁Z M )∩N 等于( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}答案 B解析 由已知，得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，因此(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}．5． 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，那么P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 B解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个．6． 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，那么( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅答案 B解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}， 因此A ＝{x |－1<x <2}．又B ＝{x |－1<x <1}，画出数轴，可得B A .7． (2021·辽宁)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，那么A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案 D解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．8．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，那么右图中阴影部份表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8答案 C解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}， 由题意，知题图中阴影部份表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，因此其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．二、填空题9． 已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，那么a ＝__________.答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经查验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，因此舍去．故a ＝－1或2.10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，那么A ∩B ＝__________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．11．(2021·天津改编)已知集合A ＝{x ||x |≤2}，B ＝{x |x ≤1}，那么A ∩B ＝________.答案 {x |－2≤x ≤1}解析 易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．假设C ∩A ＝C ，那么a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，因此C ⊆A .①当C ＝∅时，知足C ⊆A ，现在－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. B 组 专项能力提升(时刻：15分钟)1．假设集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N＋}，B ＝{y |4y ∈N ＋}，那么A ∩B 中元素个数为 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个答案 D 解析 ∵A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N ＋}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{y |4y∈N ＋}＝{1,2,4}，因此A ∩B ＝{1,2,4}，含有3个元素，选D.2． 已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，那么M ∩N 等于( ) A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 C解析 由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠1，x x －1≥0， ∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}， M ∩N ＝{x |x >1}．3． 已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x ∈Z }，那么集合{4,5}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∩(∁U N )C ．N ∩(∁U M )D ．(∁U M )∪(∁U N ) 答案 B解析 集合U 为函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －1的概念域内的整数集， 由9x －1>0，即9－x x>0，解得0<x <9， 又x ∈Z ，因此x 可取1,2,3,4,5,6,7,8， 故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．集合M 为知足不等式|x －4|≤1的整数集， 解|x －4|≤1，得3≤x ≤5，又x ∈Z ，因此x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}．集合N 是使6x为整数的自然数集合， 显然当x ＝1时，6x＝6； 当x ＝2时，6x＝3； 当x ＝3时，6x＝2； 当x ＝6时，6x＝1. 因此N ＝{1,2,3,6}．显然M ⊆U ，N ⊆U .而4∈M,4∈U,4∉N,5∈M,5∈U,5∉N ， 因此4∈M,4∈∁U N,5∈M,5∈∁U N ， 即{4,5}＝M ∩(∁U N )．4． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，那么∁U P ＝________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0<y <12}， ∴∁U P ＝{y |y ≥12}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 5． 已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，假设A ⊆B ，那么实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0， c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如右图所示，得c ≥1.6． 已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，假设集合A ∩B 只有一个真子集，那么实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图像向上平移一个单位长度后取得的函数图像上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图像只能有一个交点，因此实数a 的取值范围是(1，＋∞)．。