方程的简单变形
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§6.2.1 方程的简单变形(2)科目:七年级数学备课人:王淑轶【教学目标】1.进一步理解等式的性质,掌握“移项”和“将未知数的系数化为1”两种变形的方法。
2.能正确地应用等式的性质对方程进行简单的变形求出方程的解。
3.进一步渗透化归的数学思想,培养逻辑思维和推理能力。
【教学重点】用等式的性质解简单的方程。
【教学难点】两次运用等式的性质,并具有一定的思维顺序。
【教学过程】一、复习回顾,导入新课1.方程两边都加上或都减去,方程的解不变。
2.方程两边都乘以或都除以,方程的解不变。
3.解下列方程,并说出每步计算的依据:(1)2x+3=1;(2)8x=2x-7;(3)-7x=-42;(4)- 14y=12.二、自主探索,预习展示自学课本6页~7页内容,完成下列问题:1.方程8x=2x-7,移项,得:;合并同类项,得:;将未知数的系数化为1,得:。
2.方程6=8+2x, ,得:8+2x=6;,得:2x=6 ;将未知数的系数化为1,得:x= 。
3.求方程的解的过程,就是通过、等变形,把方程转化成的形式。
三、合作探究1.解下列方程:(1)2y- 12=12y-3;(2)25x-8=14-0.2x.2.思考:你还有更好的解法吗?想一想,应如何选择解方程的步骤。
四、巩固练习1.解下列方程:(1)3x+4=0;(2)7y+6=-6y;(3)5x+2=7x+8;(4)10-9x=9-10x;(5)3y-2=y+1+6y;(6)1- 12x=x+13.2.根据下列条件列出方程,然后求出结果。
(1)某数比它的4倍小6;(2)比某数的3倍小2的数等于它的一半;(3) 某数的30%与17的差等于这个数的2倍。
3、已知y1=3x+2,y2=4-x。
(1)当x取何值时,y1=y2?(2)当x取何值时,y1比y2大4?五、整体感知本节课我们学习掌握“移项”和“将未知数的系数化为1”两种变形的方法在一元一次方程中的具体应用。
1.已知等式3a =2b +5,则下列等式中不一定成立的是( )A .3a -5=2bB .3a +1=2b +6C .3ac =2bc +5D .a =2533b + 2.下列四组变形中,变形正确的是( ) A .由5x +7=0得5x =-7B .由2x -3=0得2x -3+3=0C .由26x =得13x = D .由5x =7得x =35 3.方程-2x =12的解是( ) A .x =14- B .x =-4 C .x =14D .x =4 4.方程-ax =3(a ≠0)的解是( ) A .x =3 B .x =a C .x =3a -D .x =3a - 5.如果a +3=0,那么a 的值是( )A .3B .-3C .13D .13- 6.方程3x +6=0的解是x =_______.7.如图所示,天平右盘里放了一块砖,左盘里放了半块砖和2kg 的砝码,天平两端正好平衡,那么一块砖的质量是( )A .1kgB .2kgC .3kgD .4kg8.已知关于x 的方程4x -3m =2的解是x =-m ,则m 的值为_____.9.利用等式的性质解下列方程.(1)9x =8x -6;(2)8m =4m +1.1.下列变形中,错误的是( ) A.2x+6=0变形为2x=-6B.32x+=2+x变形为x+3=4+2xC.-2(x-4)=2变形为x-4=1D.1122x+-=变形为-x-1=12.在等式3y-6=5两边都_____,得到3y=11.3.利用等式性质解方程:13x--5=4.4.由方程3x-5=2x-4变形得3x-2x=-4+5,那么这是根据( )A.合并同类项法则B.乘法分配律C.等式性质1 D.等式性质25.在解方程3x-5=2x-4中,下面变形正确的是( )A.3x+x=5+1 B.3x-x=-5-1C.1-5=-3x+x D.3x+x=5-16.当x=3时,代数式3x2+5ax+10的值为7,则a等于( )A.2 B.-2 C.1 D.-17.若代数式3x+1比代数式2x-1的值大1,则x的值是( )A.2 B.-2 C.1 D.-18.若a,b互为相反数(a≠0),则关于x的方程ax+b=0的解是( )A.1 B.-1 C.1或-1 D.任意数9.小丁在解方程5a-x=13(x为未知数)时,误将-x看作+x,解得方程的解是-2,则原方程的解为______.10.x=2是方程ax-4=0的解,检验x=3是不是方程2ax-5=3x-4a的解.。
第6章一元一次方程 (2)§6.1 从实际问题到方程 (2)§6.2 解一元一次方程 (4)1. 方程的简单变形 (4)2. 解一元一次方程 (6)阅读材料 (10)方程史话 (10)§6.3 实践与探索 (10)阅读材料 (14)2=3? (14)小结 (14)复习题 (15)第6章一元一次方程一队师生共328人,乘车外出旅游,已有校车可乘64人,如果租用客车,每辆可乘44人,那么还要租多少辆客车?44×?+64=328§6.1 从实际问题到方程问题1某校初中一年级328名师生乘车外出春游,已有2辆校车可乘坐64人,还需租用44座的客车多少辆?回忆小学里已经学过列方程的解法,我们不妨回顾一下:设需租用客车x 辆,共可乘坐44x 人,加上乘坐校车的64人,就是全体 328人.可得44x +64=328.①解这个方程,就能得到所求的结果.问题2在课外活动中,X 老师发现同学们的年龄大多是13岁.就问同学:“我 今年45岁,几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”“三年!”小敏同学很快发现了答案.他是这样算的:1年后,老师的年龄是46岁,同学的年龄是14岁,不是老师年龄的31; 2年后,老师的年龄是47岁,同学的年龄是15岁,也不是老师年龄的 31; 3年后,老师的年龄是48岁,同学的年龄是16岁,恰好是老师年龄的31. 也有的同学说,我们可以列出方程来解:设x 年后同学的年龄是老师年龄的31,而x 年后同学的年龄是(13+x ) 岁,老师的年龄是(45+x )岁,可得13+x =31(45+x ). ② 这个方程不像问题1中的方程①那样容易求出它的解.但小敏同学的方法 启发我们,可以用尝试、检验的方法找出方程②的解,即只要将x =1,2,3, 4,…代入方程②的左右两边,看哪个数能使两边的值相等.这样得到x =3是 方程的解.思 考如果未知数可能取到的数值较多,或者不一定是整数,该从何试起?如果 试验根本无法入手又该怎么办?练 习根据题意设未知数,并列出方程(不必求解):1. 某班原分成两个小组活动,第一组26人,第二组22人,根据学校活动器材的数量,要将第一组人数调整为第二组人数的一半,应从第一组调多少人到第二组去?2. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出,得到的本息和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.1. 检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解:2. (1) 1815-=+x x ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-3,23; 3. (2) 2(y -2)-9(1-y )=3(4y -1), {-10,10}.4. 根据班级内男、女同学的人数编一道应用题,和同学交流一下.5. 小赵去商店买练习本,回来后问同学:“店主告诉我,如果多买一些就给我八折优惠.我就买了20本,结果便宜了 1.60元.你猜原来每本价格多少?”你能列出方程吗?§6.2 解一元一次方程1. 方程的简单变形联 想测量一些物体的质量时,我们经常将它们放在天平的左盘内,在右盘内放 上砝码,使天平处于平衡状态,这时两边的质量相等,我们就可测得该物体的 质量.如果我们在两边盘内同时添上(或取下)相同质量的物体,可以发现天平 依然平衡;如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数(或同时缩小到原来的几分之一),也会看到天平依然平衡.图~3反映了由天平联想到的几个方程的变形.x+2=5 ⇒x=5-2图3x=2x+2 ⇒3x-2x=2图2x=6 ⇒x=6÷2图归纳我们可以看到,方程能够这样变形:方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式,方程的解不变.方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数,方程的解不变.通过对方程进行适当的变形,可以求得方程的解.例1解下列方程:(1)x-5=7;(2)4x=3x-4.解(1)由x-5=7,两边都加上5,得x=7+5 ,即x=12.(2)由4x=3x-4,两边都减去3x ,得 4x -3x =-4,即x =-4.概 括像这样,将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边的变形 叫做移项(transposition ).例2 解下列方程:(1) -5x =2; (2)23x =31. 解 (1) 方程两边都除以-5,得x =52-. (2) 方程两边都除以23(或乘以32),得 x =31×32 , 即 x =92. 这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.概 括以上例1和例2解方程的过程,都是对方程进行适当的变形,得到x =a 的 形式.练 习1.列方程的变形是否正确?为什么?(1) 由3+x =5,得x =5+3; (2)由7x =-4,得x =-47; (3) 由021=y ,得y =2; (4)由3=x -2,得x =-2-3. 2. (口答)求下列方程的解:(1)x -6=6; (2)7x =6x -4;(3)-5x =60; (4)2141=y .§6.1中问题1所列出的方程.做一做利用方程的变形,求方程2x +3=1的解,并和同学讨论与交流.例3 解下列方程:(1) 8x =2x -7; (2) 6=8+2x ;(3) 321212-=-y y 解 (1) 8x =2x -7,8x -2x =-7,6x =-7,x =67-. (2) 6=8+2x ,8+2x =6,2x =-2,x =-1.(3) 321212-=-y y , 213212+-=-y y 2523-=y , y =35- 练 习解下列方程:1. 3x +4=0 .2. 7y +6=-6y3. 5x +2=7x +84. 3y -2=y +1+6y .5.x x 2.041852-=-. 6. 1-21x =x +31习题1. 解下列方程:(1)18=5-x ; (2)x x 413243-=+; (3)3x -7+4x =6x -2; (4)10y +5=11y -5-2y ;(5)a -1=5+2ax +1.2-2xx .2. 解下列方程:(1)2y +3=11-6y (2)2x -1=5x +7(3)31x -1-2x =-1; (4)21x -3=5x +41 3. 已知y 1=3x +2,y 2=4-x .(1)当x 取何值时,y 1=y 2? (2)当x 取何值时,y 1比y 2大4?2. 解一元一次方程前面我们遇到的一些方程,例如44x +64=328,13+x =31(45+x ) 等等,有一个共同特点,它们都只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程(linearequationwithoneunknown ).我们再一起来解几个一元一次方程.例4 解方程: 3(x -2)+1=x -(2x -1).解 原方程的两边分别去括号,得3x -6+1=x -2x +1,3x -5=-x +1,3x +x =1+5,4x =6, x =23. 练 习1.解下列方程:(1)5(x +2)=2(5x -1);(2)(x +1)-2(x -1)=1-3x ;(3)2(x -2)-(4x -1)=3(1-x ).2.列方程求解:(1)当x 取何值时,代数式3(2-x )和2(3+x )的值相等?(2)当y 取何值时,2(3y +4)的值比5(2y -7)的值3?3.解§6.1中问题2所列出的方程.例5 解方程:解 由原方程得3(x -3)-2(2x +1)=6,3x -9-4x -2=6,3x -4x =6+9+2,-x =17,x =-17.在上述解方程的过程中,第一步是方程的两边都乘以同一个数6,使方程中的系数不出现分数.这样的变形通常称为“去分母”.讨 论在以上各例解一元一次方程时,主要进行了哪些变形?如何灵活运用这些变形合理、简洁地解一元一次方程?练 习1.指出下列方程求解过程中的错误,并给予纠正:(1)解方程:1524213-+=-x x (2)解方程:246231x x x -=+-- 解: 15x -5=8x +4-1, 解: 2x -2-x +2=12-3x15x -8x=4-1+5, 2x-x +3x =12+2+27x =8 4x =1687=x x =4.2.解下列方程:(1);47815=-a (2)15334--=-x x 例6 如图,天平的两个盘内分别盛有51 g 、45 g 盐,问应该从盘A 内拿出多少盐放到盘B 内,才能使两者所盛盐的质量相等?图6.2.4分析 设应从盘A 内拿出盐xg ,可列出表.表6.2.1解 设应从盘A 内拿出盐x g 放到盘B 内,则根据题意,得 51-x =45+x .解这个方程,得x =3.经检验,符合题意.答: 应从盘A 内拿出盐3 g 放到盘B 内.例7 学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖.女同学每人搬6块,男同学每人搬8块,每人搬了4次,共搬了1800块.问这些新团员中有多少名男同学?分析 设新团员中有x 名男同学,可列出表.解设新团员中有x名男同学,则根据题意,得32x+24(65-x)=1800.解这个方程,得x=30.经检验,符合题意.答:新团员中有30名男同学.练习1. 学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,问小刚在冲刺阶段花了多少时间?2. 将上题的分析和列得的方程与例7相比较,看看是否相似.将你的想法和同学交流一下.3.第1题中,若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”,你该如何求解?归纳用一元一次方程解答实际问题,关键在于抓住问题中有关数量的相等关系,列出方程.求得方程的解后,经过检验,就可得到实际问题的解答.这一过程也可以简单地表述为:其中分析和抽象的过程通常包括:(1)弄清题意和其中的数量关系,用字母表示适当的未知数;(2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系;(3)对这个等量关系中涉及的量,列出所需的表达式,根据等量关系,得 到方程.在设未知数和解答时,应注意量的单位.习题1.解下列方程:(1))4(213x +-=; (2)1)34(2)52(3++=+x x2.解下列方程:(1)353235x x -=-; (2)x x 613211-=-; (3)161242=--+y y . 3.(1)在等式S =2)(b a n +中,已知S =279,b =7,n =18,求a 的值. (2)已知梯形上底a =3,高h =5,面积S =20,根据梯形的面积公式S =h b a )(21+,求下底b 的长. 4.球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的,共计有32块,已知黑色块数比白色块数的一半多2,问两种皮块各有多少?5.学校大扫除,某班原分成两个小组,第一组26人打扫教室,第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要,要使第二组人数是第一组人数的2倍,那么应从第一组调多少人到第二组去?6.学校所在地的出租车计价规则如下:行程不超过3千米李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?阅读材料方程史话你知道吗?现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”“啊哈,它的全部,它的71,是19”;“一堆,它的71,21,32,居然是33”.译得更明白一点就是:.33712132;1971=+++=+x x x x x x 在我国,“方程”一词最早出现于东汉初年(公元前后)的数学经典著作《九章算术》的第八章“方程”“天元术”解题,从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在这段时期,方程的知识从中国传入日本.古希腊数学家丢番图(Diophantus ),是以研究一类方程(不定方程)著称于世的数学家.在他的墓碑上,刻写着这样一段墓志铭:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.请你列出方程算一算,丢番图去世时的年龄.§6.3 实践与探索问题1用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形.(1) 使长方形的宽是长的32,求这个长方形的长和宽. (2) 使长方形的宽比长少4厘米,求这个长方形的面积.(3) 比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小.还能围出面积更大的 长方形吗?讨 论每小题中如何设未知数?在第(2)小题中,能不能直接设面积为x 平方 厘米?如不能,该怎么办?探 索将题(2)中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米(即 长与宽相等),长方形的面积有什么变化?练 习1.一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为的圆柱,它的高是多少?(精确到,π取3.14)2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中,能否完全装下?若装不下,那么瓶内水面还有多高?若未能装满,求杯内水面离杯口的距离.读一读本节问题1中,通过探索我们发现,长方形的周长一定的情况下,它的长 和宽越接近,面积就越大.当长和宽相等,即成为正方形时,面积最大,通过以后的学习,我们就会知道其中的道理.有趣的是:若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形(包括随意七凹八凸的不规则图形),面积最大的是圆.这里面的道理需要较为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗?小常识本章§6.1练习中讨论过的教育储蓄,是我国目前暂不征收利息税的一种储蓄.国家对其他储蓄所产生的利息,征收20%的个人所得税,即利息税.问题2小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄.今年到期后,扣除利息税,所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器.问小明爸爸前年存了多少元?讨论扣除利息的20%,那么实际得到利息的多少?你能否列出较简单的方程?练习填空:1. (1)学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,则现在有图书_______册;(2)某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨,则可列方程__________________;(3)某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_________元.2.肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少(精确到0.01%)?习题1. 一个角的余角比这个角的补角的一半小40°,求这个角的度数.2. 一X覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸,展开是一个周长为88厘米的正方形(不计接口部分),求这个罐头的容积(精确到1立方厘米,π取3.14).3. 有一批截面是长11厘米、宽10厘米的长方形铁锭,现要铸造一个42. 9千克的零件,应截取多长的铁锭(铁锭每立方厘米重)?4. 某市去年年底人均居住面积为11平方米平方米.求今年的住房年增长率(精确到0.1%).5. 某银行设立大学生助学贷款,分3~4年期,5~7年期两种.贷款年利率分别为6.03%、6.21%,贷款利息的50%由国家财政贴补.某大学生预计6年 后能一次性偿还2万元,问他现在大约可以贷款多少(精确到0.1万元)?问题3小X 和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站,去家乡看望爷爷.在行驶了一半路程时,小X 向司机询问行车时间,司机估计继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出.根据司机的建议小X 和父亲随即下车改乘出租车,车速提高了一倍,结果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知公共汽车的平均速度是30千米/时,问小X 家到火车站有多远?吴小红同学给出了一种解法:设小X 家到火车站的路程是x 千米,由实际乘车时间比原计划乘公共汽车提前了41小时,可列出方程 4160230230=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 解这个方程:411206030=--x x x , 4x -2x -x =30,x =30.经检验,它符合题意.答: 小X 家到火车站的路程是30千米.X 勇同学又提出另外一种解法:设实际上乘公共汽车行驶了x 千米,则从小X 家到火车站的路程是2x 千米,乘出租车行驶了x 千米.注意到提前的41小时是由于乘出租车而少用的,可列出方程416030=-x x 解这个方程,得x =15.2x =30.所得的答案与解法一相同.讨 论试比较以上两种解法,它们各是如何设未知数的?哪一种比较方便?是不是还有其他设未知数的方法?试试看.练 习加制作,每天制作40面.完成了三分之一以后,全班同学一起参加,结果比原计划提前一天半完成任务,假设每人的制作效率相同,问共制作小旗多少面?2. 将上题与问题3比较,你发现了什么?3. 编一道联系实际的数学问题,使所列的方程是3x +4(45-x )=150.并与同学交流、比较一下.习题1. 师徒两人检修一条长180米的自来水管道,师傅每小时检修15米,徒弟每小时检修10米.现两人合作,多少时间可以完成整条管道的检修?2. 学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.3. 师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成要10小时,徒弟单独完成要15小时.现两人合作,需多少小时完成?4. 中国民航规定:乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李,超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票.一名旅客带了35千克行李乘机,机票连同行李费共付1 323元,求该旅客的机票价.5. 小王每天去体育场晨练,都见到一位田径队的叔叔也在锻炼.两人沿400米跑道跑步,每次总是小王跑2圈的时间,叔叔跑3圈.一天,两人在同地反向而跑,小明看了一下记时表,发现隔了32秒钟两人第一次相遇.求两人的速度.第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑,看叔叔隔多少时间再次与他相遇.你能先给小王预测一下吗?问题4课外活动时李老师来教室布置作业,有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌,请来两名工人.已知师傅单独完成需4天,徒弟单独完成需6天”,就因校长叫他听一个而离开教室.调皮的小X说:“让我试一试.”上去添了“两人合作需几天完成?”有同学反对:“这太简单了!”但也引起了大家的兴趣,于是各自试了起来:有添上一人先做几天再让另一人做的,有两人先合作再一人离开的,有考虑两人合作完成后的报酬问题的……李老师回教室后选了两位同学的问题,合起来在黑板上写出:现由徒弟先做1天,再两人合作,完成后共得到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报酬,那么该如何分配?试解答这一问题,并与同学们一起交流各自的做法.习题1.试将下题内容改为与我们日常生活、学习有关的问题,使所列得的方程相同或相似:食堂存煤若干吨,原来每天烧煤3吨,用去15吨后,改进设备,耗煤量改为原来的一半,结果多烧了10天,求原存煤量.2.试对以下情境提出问题,并讨论解答(必要时可对情境作适当补充):3.某班级组织去风景区春游,大部分同学先坐公共汽车前往,平均速度为24千米/时;4名负责后勤的同学晚半小时坐校车出发,速度为60千米/时,同时到达山脚下.到达后发现乘坐缆车上山费用较大,且不能游览沿途风景.于是商定:大部队步行上山,4名后勤改为先遣队,乘缆车上山,做好在山顶举行活动的准备.缆车速度是步行的3倍,步行同学中途在一个景点逗留了10分钟,到达山顶时比先遣队晚了半小时.阅读材料2=3?小红和小兵一起讨论方程2+xx的解法.=332+小红说,移项求解:+xx=22+33-xx=322-3-x1-=x=1小兵边听边想,只见他写下了如下的式子:+x=x3232+-x3=x2-32-xx=(3)1)1(2-2=3小红一看,怎么,2=3?!你能帮助他们解开这个谜吗?小结一、知识结构二、注意事项1.对一元一次方程的认识,要联系生活实际,在学习中体会:方程是反映现实世界中数量相等关系的一个有效的数学模型.2.解一元一次方程时,要注意合理地进行方程的变形,也要注意根据方程的特点灵活运用.3.意,将实际问题转化为数学问题,特别是寻求主要的数量相等关系,列出方程.求得方程的解后,要注意检验所得结果是否符合实际问题的要求.复习题A组1.解下列方程:(1);321132+=-x x (2);0)12(2)5(5=-+-x x (3)4x +3=2(x -1)+1; (4);3221y y -=+ (5);232)73(72x x -=+ (6).1823652=--+x x 2.(1)x 取何值时,代数式4x -5与3x -6的值互为相反数?(2)k 取何值时,代数式31+k 的值比213+k 的值小1? 3.课外活动中一些学生分组参加活动,原来每组8人,后来重新编组,每组12人,这样比原来减少2组.问这些学生共有多少人?4.一种药品现在售价每盒56.10元,比原来降低了15%,问原售价多少元?5.用一根直径12厘米的圆柱形铅柱,铸造10只直径12厘米的铅球,问应截取多长的铅柱(球的体积为π34R 3)? 6.一个三位数,百位上的数字比十位上的数字大1,个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后,所得的三位数与原三位数的和是1 171,求这个三位数.7.一年级三个班为希望小学捐赠图书.1班捐了152册,2班捐书数是三个班级的平均数,3班捐书数是年级总数的40%,三个班共捐了多少册?B 组8.(1);532)21(223x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- (2);5174732+-=--x x (3);535.244.2x x =--(4).22)141(34=---x x 9.已知x =32是方程x x x m 523)43(3=+-的解,求m 的值. 10.当k 取何值时,方程2(2x -3)=1-2x 和 8-k =2(x +1)的解相同?11.(1) 阅读以下例题:解方程 |3x |=1.解:① 当3x ≥0时,原方程可化为一元一次方程3x =1,它的解是 31=x ; ② 当3x <0时,原方程可化为一元一次方程-3x =1,它的解是 31-=x . 所以原方程的解是311=x ,312-=x . (2) 解下列方程:① |x -3|=2; ② |2x +1|=5.12.学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种,已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵,杉树的棵数比总数的三分之一少14棵.两类树各种了多少棵?13.一家商店将某型号彩电先按原售价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”.经顾客投诉后,执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2 700元的罚款.求每台彩电的原售价.C 组14.从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时,开通高速公路后,路程近了30千米,而车速平均每小时增加了30千米,只需4个小时即可到达。
掌握代数方程的解法与变形技巧代数方程是数学中常见的问题类型之一,解决代数方程需要掌握一定的解法和变形技巧。
本文将介绍几种常见的代数方程解法和变形技巧,帮助读者掌握解决代数方程的方法。
一、一元一次方程的解法与变形技巧一元一次方程是最简单的代数方程,形式为ax+b=0,其中a和b为已知常数,x为未知数。
解决一元一次方程可以通过以下步骤实现:1. 移项法:将方程中的已知常数移至方程的另一侧,使得方程变为ax=-b的形式;2. 去括号法:如果方程中含有括号,可以通过去括号法将括号内的表达式展开,再进行移项;3. 合并同类项:将方程两侧的同类项合并,化简方程;4. 二次移项:如果方程的系数不为1,可以通过二次移项将方程化简为ax=b的形式;5. 求解:根据方程的形式,求解未知数x的值。
二、一元二次方程的解法与变形技巧一元二次方程是一种更复杂的代数方程,形式为ax^2+bx+c=0,其中a、b、c为已知常数,x为未知数。
解决一元二次方程可以通过以下步骤实现:1. 求根公式法:对于一元二次方程,可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解;2. 配方法:如果方程无法直接使用求根公式求解,可以通过配方法将方程转化为完全平方形式,再进行求解;3. 完全平方公式法:完全平方公式(x±a)^2=x^2±2ax+a^2可以用于将一元二次方程转化为完全平方形式,再进行求解;4. 因式分解法:如果一元二次方程可以进行因式分解,可以通过因式分解法求解;5. 图像法:绘制一元二次方程的图像,根据图像特点判断方程的解。
三、其他类型代数方程的解法与变形技巧除了一元一次方程和一元二次方程外,还存在其他类型的代数方程,如高次方程、分式方程等。
解决这些方程需要根据具体情况选择合适的解法和变形技巧:1. 因式分解法:对于具有因式相同的项的方程,可以尝试使用因式分解法;2. 有理化技巧:对于包含根式或分式的方程,可以尝试使用有理化技巧将方程转化为分母为整数的形式,再进行求解;3. 变量代换法:对于复杂的方程,可以通过引入一个新的变量进行代换,降低方程的复杂程度;4. 求导法:对于某些特殊形式的方程,可以通过求导的方法得到方程的最值或极值,并结合原方程求解。
七年级数学下册 方程的简单变形(二)教案 华东师大版 知识技能目标1.运用方程的变形规律熟练解方程;2.理解解方程的步骤,掌握移项变号规则.过程性目标通过解方程过程的探讨,使学生获得解方程的步骤,体会数学中由特殊到一般的思想方法.教学过程一、创设情境方程的变形是怎样的?请同学们利用方程的变形,求方程2x + 3 = 1的解.并讨论:(1)解方程的每一步的依据是什么?(2)解方程应解到什么形式为止?(3)通过解方程,你能归纳出解方程的一般步骤吗?二、探究归纳解2x = 1-3,………………移项;2x = -2,………………合并同类项;x = -1.………………未知数的系数化为1.(1)第一步的依据是方程的变形:在方程的两边同时减去3;第二步的依据是合并同类项;第三步的依据是方程的变形:方程的两边同时除以2.(2)解方程应得到x = a 的形式.(3)解方程的一般步骤是:①移项;②合并同类项;③系数化为1.三、实践应用例1 解下列方程,并能说出每一步的变形过程.(1)8x = 2x -7 ;(2)6 = 8 + 2x ;(3)2y -21 =321 y ; (4)3y -2 = y + 1 + 6y .解(1)8x = 2x -7,移项,得8x -2x =-7,合并同类项,得6x = -7,系数化为1,得x = -67. (2)分析本题含有未知数的项在方程的右边,在解题时可考虑先把8 + 2x 放到方程的左边,把6放到方程的右边,然后再解方程.解8 + 2x = 6,移项2x = 6-8,合并同类项2x = -2,系数化为1x = -1.注意:(1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的,把8 + 2x 放在方程左边,6放到方程的右边时,符号不变.(2)也可考虑直接把含未知数的项2x 移到方程的左边,然后再解方程.或解 6 = 8 + 2x ,移项- 2x = 8 - 6,合并同类项- 2x =2,系数化为1x = -1.或解6 = 8 + 2x ,移项6-8 = 2x ,合并同类项-2 = 2x ,即 2x = -2,系数化为1x =-1.以上三种解法,让学生通过对比分析,体会每种方法的优点,寻求较简捷的方法.(3) 2y -21 =321 y 移项2y -y 21=-3 + 21, 合并同类项y 23= -25, 系数化为1y = -25÷23= -25×32, 即y = -35.注将系数化为1时,如果系数是分数,要特别细心,若结果是分数,则要化为最简分数. 思考:这个方程还有其他的解法吗?能否采用把方程的分母去掉把系数化为整数?并比较哪种方法更好?(4)3y -2 = y + 1 + 6y ,合并同类项3y -2 = 7y + 1,移项3y -7y = 1 + 2,合并同类项-4y = 3,系数化为1y = 3÷(-4) = 3 ×(-41) =-43.通过上面的解方程,想一想,你能选择解方程的步骤了吗?例2 解下列方程,并按例1的解题格式书写解题过程.(1)2x :3 = 6:5; (2)1.3x +1.2-2x =1.2-2.7x .分析把方程中的比先化为分数,再解方程.解(1) 2x :3 = 6:5,56=32x,系数化为1x =56÷32= 56×32= 54.(2) 1.3x + 1.2-2x =1.2-2.7x ,移项1.3x -2x +2.7x = 1.2-1.2,合并同类项2x = 0,系数化为1x = 0÷2 = 0.例3 已知y 1 = 3x + 2,y 2 = 4-x .当x 取何值时,y 1与 y 2互为相反数?分析y 1与 y 2互为相反数,即y 1+ y 2 = 0.本题就转化为求方程3x + 2 + 4-x = 0的解. 解由题意得:3x + 2 + 4-x = 0,3x -x = -4-2,x = -3.所以当x = -3时,y 1与 y 2互为相反数.四、交流反思1.解方程的一般步骤为:(1)移项;(2)合并同类项;(3)系数化为1.2.方程解的结果是化为x = a 的形式.3.移项时要注意改变符号.4.将系数化为1时,如果系数是分数,要特别细心,若结果是分数,则要化为最简分数.五、检测反馈1.解下列方程,并写出每步变形的依据.(1)3x + 4 = 0; (2)7y + 6 = -y ; (3)41852=-x -0.2x ; (4)1-3121+=x x .2.解下列方程:(1)3x -7 + 4x = 6x -2; (2)10y + 5 = 11y -5-2y ;(3)a -1 = 5 + 2a ; (4)x x 413243-=+;(5)512131-=--x x ; (6)415321+=-x x . 3.已知y 1 = 3x + 2,y 2 = 4-x .(1)当x 取何值时,y 1 = y 2? (2)当x 取何值时,y 1比 y 2大4?。
方程的简单变形教案引言方程是高中数学中的重要内容,对于掌握方程的变形方法具有至关重要的意义。
本教案将介绍方程的简单变形方法,帮助学生提高解方程的能力。
一、一元一次方程的变形1. 移项法移项法是解一元一次方程最基本的变形方法。
当方程中项的系数和常数项给出时,可以通过移动项的位置来变换方程。
例如,对于方程2x + 3 = 7,我们可以通过移项法将方程变形为2x = 7 - 3,即2x = 4。
2. 合并同类项法合并同类项法适用于方程中存在多个同类项的情况,通过合并同类项可以简化方程表达式。
例如,对于方程3x + 2 - 5x = 1,我们可以通过合并同类项得到-2x + 2 = 1。
3. 去括号法当方程中存在括号时,可以通过去括号法进行变换。
例如,对于方程2(x + 3) = 8,我们可以通过去括号法将方程变形为2x + 6 = 8。
4. 公因式提取法公因式提取法适用于方程中存在公因式的情况,通过将公因式提取出来可以简化方程的形式。
例如,对于方程3x + 6y = 9,我们可以通过公因式提取法将方程变形为3(x +2y) = 9。
二、二元一次方程的变形解二元一次方程需要对方程进行变形以消去未知数的系数。
下面介绍常见的变形方法:1. 消元法消元法是解二元一次方程最基本的方法。
通过将方程相加或相减,消去其中一个未知数的系数,从而得到含有另一个未知数的一元一次方程。
例如,对于方程2x + 3y = 7和3x - 2y = 1,我们可以通过消元法将方程变形为13x = 13,然后解得x = 1,再带入方程求解y的值。
2. 代入法代入法适用于方程中一个方程的系数较为简单的情况。
通过将一个未知数用另一个未知数的表达式进行代替,从而得到含有一个未知数的一元一次方程。
例如,对于方程2x + 3y = 7和3x - 2y = 1,我们可以通过代入法将方程变形为2x + 3(1 - \frac{3x}{2}) = 7,然后解得x = 1,再带入方程求解y的值。
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外,本文将不包括解的推导过程。
常微分方程,我们一般可以将其归纳为如下n类:1.可分离变量的微分方程(一阶)2.一阶齐次(非齐次)线性微分方程(一阶),包含伯努利3.二阶常系数微分方程(二阶)4.高阶常系数微分方程(n阶),包含欧拉1.可分离变量的微分方程(一阶)这类微分方程可以变形成如下形式:f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分,不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量,但是经过换元之后,其实还是可分离变量的,不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次(非齐次)线性微分方程(一阶)形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程,若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0,则方程齐次,否则称为非齐次。
解法:直接套公式:y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程,这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程:y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u,方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n,得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
初中数学什么是方程的变形方程的变形是指通过一系列数学运算和等式转换,将一个方程转化为与之等价的另一个方程。
在初中数学中,方程的变形是解决代数问题的关键步骤之一。
下面将介绍一些常见的方程变形方法。
1. 合并同类项:方程中的同类项是具有相同变量和相同指数的项。
通过合并同类项,可以简化方程并减少计算量。
例如,对于方程2x + 3x = 10,可以合并同类项得到5x = 10。
2. 移项:当方程中存在多个变量时,可以通过移项将变量移到方程的一侧,从而简化方程的结构。
例如,对于方程2x + 3 = 7,可以通过移项将3移到方程的另一侧得到2x = 7 - 3,进一步简化为2x = 4。
3. 因式分解:当方程中存在多个项时,可以通过因式分解将方程简化为更简单的形式。
例如,对于方程x^2 + 5x = 6x,可以通过因式分解得到x(x + 5) = 6x。
4. 去括号:当方程中存在括号时,可以通过去括号将方程简化为更简单的形式。
例如,对于方程2(x + 3) = 10,可以通过去括号得到2x + 6 = 10。
5. 消元法:当方程中存在多个方程时,可以通过消元法将方程简化为只含一个变量的方程。
例如,对于方程组2x + 3y = 10和3x - 2y = 4,可以通过消元法将方程组简化为只含x的方程。
6. 分式方程的化简:当方程中存在分式时,可以通过化简分式将方程转化为更简单的形式。
例如,对于方程(2x + 3)/5 = 2,可以通过将分式两边乘以5来化简方程。
7. 平方根法:当方程中存在平方项时,可以通过平方根法将方程转化为更简单的形式。
例如,对于方程x^2 = 9,可以通过取平方根得到x = ±3。
8. 对数法:当方程中存在指数项时,可以通过对数法将方程转化为更简单的形式。
例如,对于方程2^x = 16,可以通过取对数得到x = log2(16)。
这些是初中数学中常用的方程变形方法,通过运用这些方法,可以简化方程、解决代数问题,并提高数学思维能力。