2020年陕西省咸阳市高三一模数学试题

咸阳市2020年高考模拟检测（一）数学（理科）试题注意事项：1.本试卷共6页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设z ∙i =2i +1，则z =（ ）A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i2.已知集合A ={(x ，y)|y =2x }， B ={(x ，y)|y =x +1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 03.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（√32，12），若OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（√32，−12） D.（12，−√32） 4.已知b >a >0，则（ ）A. |1−a | >|1−b |B. ( 12)a <( 12)bC. lga <lgbD. 1a< 1b5.椭圆2x 2−my 2=1的一个焦点坐标为(0，−√2)，则实数m =（ ）A.23B.25C. −23D. −256.∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c既是等差数列又是等比数列，则角B的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.直三棱柱 ABC−A1B1C1中， AA1=AB=AC=BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A. −12B.12C. −14D.148.函数 y=sinx，在[0，π]中随机取一个数x，使y∈[0，12]的概率为（）A.16B.14C.13D.129.已知x+2y=xy(x>0，y>0)，则2x+y的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知曲线C1：y=sinx, C2：y=cos(12x−π3)，则下面结论正确的是（）A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2.B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2.C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向（第7题图）左平移π3个单位长度，得到曲线C2.D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2.11.设f(x)为R上的奇函数，满足f(2−x)=f(2+x),且当0≤x≤2时，f(x)=xe x，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(100)=（）A．2e+2e2B．50e+50e2C．100e+100e2D．−2e−2e212.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为( )A.√2+√2B. 2+√2C. 2−√2D.√2−√2第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y=x∙lnx在点（1，0）处的切线方程为.14.已知cos2x−sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)，则A=, b=. （本题第一空3分，第二空2分.）15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出 y=√x−1−√2−x 的一个“同域函数”的解析式为.16．秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.f (x )=a n x n +a n−1x n−1+a n−2x n−2+⋯+a 1x +a 0. 改写成以下形式：f (x )=a n x n +a n−1x n−1+a n−2x n−2+⋯+a 1x +a 0 =（a n x n−1+a n−1x n−2+a n−2x n−3+⋯+a 1）x +a 0 =（（a n x n−2+a n−1x n−3+⋯+a 3x +a 2）x +a 1）x +a 0⋮=(⋯((a n x +a n−1)x +a n−2)x +⋯+a 1)x +a 0若f (x )=(2+√3)x 5+(1+√3)x 4+(1+√3)x 3+(1+√3)x 2 +(1+√3)x −1.则f(2−√3)= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.（本小题满分12分）如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， E 是棱D 1C 1的中点，AB =2，BC =BB 1=1.（1）求证：平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1． （2）求二面角D −EB 1−C 1的余弦值.BADCD 1C 1B 1A 1E（第17题图）18.（本小题满分12分）甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为34，且各人是否答对每道题互不影响.（1）用X 表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. （2）设A 为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A 发生的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n −2n −1，(n ∈N +). （1）求证：数列{a n +2}是等比数列. （2）求数列{n ∙(a n +2)}的前n 项和.20.（本小题满分12分）已知f (x )=e x ，g (x )=ln(x +2).（1） f (x )和g (x )的导函数分别为f′(x )和g′(x )，令h (x )=f′(x )−g′(x ),判断h (x )在（−2，+∞）上零点个数. （2）当x >−2时，证明：f (x )>g (x ). 21.（本小题满分12分）如图，过抛物线C ：y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线C 于不同两点A ，B ，P 为抛物线上任意一点（与A 、B 不重合），直线PA ，PB 分别交抛物线准线l 于点M ，N. （1）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程； （2）求证：MF ⊥NF .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.OlPyxABN MF（第21题图）22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程{x =2√3cosβ，y =2sinβ (β为参数).直线l 的参数方程{x =√3+tcosα，y =1+tsinα (t 为参数).（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程;（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时，求直线 l 的倾斜角.23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )=|x −a |(x −2)+|x −2|(x −a ). （1）当a =2时，求不等式f (x )<0的解集；（2）若x ∈(0，2)时， f(x)≥0，求a 的取值范围．咸阳市2020年高考模拟检测（一）数学（理科）答案一、 选择题： 题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BACDCDCBDAA二、 填空题：13. y =x −1 14. A= √52b= 1215. y =2x −3，x ∈[1，2] 或y =2x −3，x ∈[1，2]或 y =3x−1−2，x ∈[1，2]或 y =log √2x −1，x ∈[1，2]… 16. 0 三、解答题：17、解：（1）证明：∵ABCD −A 1B 1C 1D 1是长方体∴B 1C 1⊥平面DCC 1D 1 ----------------------------------3分 又 ∵ B 1 C 1 平面DB 1C 1∴平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1 ------------------------6分 （2）方法一：取G 、M 、H 分别是AB 、EB 1、A 1B 1的中点，连接DG 、GM 、MH 、GH 、A 1E.∵AB =2，BC =BB 1=1A 1E ⊥EB 1，即HM ⊥EB 1, 又∵GH ⊥EB 1 ----------8分 ∴∠GMH 或其补角是二面角D −EB 1−C 1的平面角. 又∵MH =12A 1E =√22∴cos ∠GMH =MH MG=√22√12+(√22)2=√33-----------------------10分∴二面角D −EB 1−C 1的余弦值为−√33--------------------12分方法二：HGMz BADCD 1C 1B 1A 1E DC以D 1为坐标原点，以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；D(0，0，1)，B 1(1，2，0)，E(0，1，0)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，−1)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0) --------------8分 设n⃗ =(x 0，y 0，z 0)是平面DEB 1的一个法向量. {DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0，∴{y 0−z 0=0x 0+y 0=0令z 0=1则x 0=−1，y 0=1n⃗ =(−1，1，1) 平面EB 1C 1的一个法向量D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)cos <n ⃗ ，D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗ ∙D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗ |∙|D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×1=√33--------10分显然，二面角D −EB 1−C 1是钝角. 所以，二面角D −EB 1−C 1的余弦值为−√33----------12分18、解：（1）X 的取值为0，1，2，3 -------------------1分P (X =0)=(14)3=164P (X =1)=C 31(34)(14)2=964P (X =2)=C 32(3)2(1)=27xP(X=3)=(34)3=2764-----------------4分因此，X的分布列为EX=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94---------------6分(2)由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况；--------------------------8分P(A)=2764×164+2764×964=1352048-------12分19、（1）证明：令n=1则a1=3-------------1分∵S n=2a n−2n−1，(n∈N+)−−−①∴S n−1=2a n−1−2(n−1)−1，(n≥2，n∈N+)−−−②①-②得：a n=2a n−2a n−1−2a n=2a n−1+2∴a n+2a n−1+2=2(a n−1+2)a n−1+2=2∴{a n+2}是等比数列--------------6分（2）由（1）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2=5，公比为2的等比数列.∴a n+2=5×2n−1-----------------------8分∴n∙(a n+2）=5∙n∙2nX0123P16496427642764设数列{n∙(a n+2)}的前n项和为T n，则T n=52(1∙2+2∙22+3∙23+⋯+n∙2n)−−−③∴2T n=5（1∙22+2∙23+3∙24+⋯+n∙2n+1）−−−④③-④得:−T n=52（2+22+23+⋯+2n−n∙2n+1）=52[2(1−2n)1−2−n∙2n+1]∴T n=5(n−1)2n+5---------------12分20、解：（1）∵f′(x)=e x，g′(x)=1x+2(x>−2)∴h(x)=e x−1x+2(x>−2)-------------3分∵h(x)在（−2，+∞）内单调递增又 h(−1)=1e −1<0，h(0)=1−12>0∴h(x)在（−2，+∞）内有且只有一个零点-----------6分（2）令H(x)=f(x)−g(x)=e x−ln(x+2)H′(x)=e x−1x+2--------------------8分由（1）可知：存在x0∈（−1，0）使得H′(x0)=e x0−1x0+2=0即：e x0=1x0+2当x∈（−2，x0）时，H′(x)<0当x ∈（x0，+∞）时，H′(x)>0------------------10分H(x)min=H(x0)=e x0−ln(x0+2)=e x0+x0=1x0+2+x0=(x0+1)2x0+2>0∴f(x)>g(x)-----------------------12分21、解：由题意得：（1）抛物线的焦点为F(2，0)，准线l 的方程为：x =−2. ----2分（2）由（1）知，设直线AB 的方程为：x −2=my (m ∈R) 令P(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由{x −2=my y 2=8x消去x 得：y 2−8my −16=0由根与系数的关系得：y 1y 2=−16------------------4分直线PB 方程为：y−y 0y 2−y 0=x−x 0x 2−x 0y =y 2−y 0x 2−x 0(x −x 0)+y 0=y 2−y 0y 228−y 028(x −y 028)+y 0=8y 2+y 0(x −y 028)+y 0=y 2y 0+8x y 2+y 0当x =−2时，y =y 2y 0−16y 2+y 0 ∴N(−2，y 2y 0−16y 2+y 0)O l P y x A B N M F （第21题图）同理得：M(−2，y 1y 0−16y 1+y 0) ----------------------8分∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，y 2y 0−16y 2+y 0)，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，y 1y 0−16y 1+y 0) ∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+y 2y 0−16y 2+y 0×y 1y 0−16y 1+y 0=16(y 2+y 0)(y 1+y 0)+(y 2y 0−16)(y 1y 0−16)(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16y 1y 2+16y 02+y 1y 2y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16(−16)+16y 02+(−16)y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=0 ------------------10分∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以，MF ⊥NF ------------------12分22、解：（1）由曲线C 的参数方程{x =2√3cosβ，y =2sinβ(β为参数). 得：{cosβ=2√3sinβ=y 2∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：x 212+y 24=1 ----------4分 （2）解法一：中点极坐标（2，π6）化成直角坐标为（√3，1）设直线l 与曲线C 相交于A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2）两点x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1 则{x 1212+y 124=1−−−−①x 2212+y 224=1−−−−②-------------6分 ②-①得：x 22−x 1212+y 22−y 124=0 化简得：y 2−y 1x 2−x 1=−x 1+x 23(y 1+y 2)=−2√33×2=−√33 -------------8分 即：k l =−√33=tanα又∵α∈（0，π） 所以，直线l 倾斜角为5π6. -----------------------10分 解法二：中点极坐标（2，π6）化成直角坐标为（√3，1）将{x=√3+tcosαy=1+tsinα 分别代入x212+y24=1得（√3+tcosα）212+(1+tsinα)24=1∴（cos2α+3sin2α）t2+(6sinα+2√3cosα)t−6=0 ∴t1+t2=−6sinα−2√3 cosαcos2α+3sin2α=0-------------8分∴sinα=−√3即：tanα=−√3又∵α∈（0，π）所以，直线l倾斜角为5π6. -----------------------10分23、解：（1）当a=2时，f(x)=|x−2|(x−2)+|x−2|(x−2)由f(x)<0得|x−2|(x−2)+|x−2|(x−2)<0--------------1分①当x≥2时，原不等式可化为：2（x−2)2<0解之得：x∈∅--------------------3分②当x<2时，原不等式可化为：−2(x−2)2<0解之得：x∈R且x≠2∴x<2因此，f(x)<0的解集为：{x|x<2}--------------------5分（2）当x∈(0,2)时，f(x)=|x−a|(x−2)+|x−2|(x−a)=(x−2)[|x−a|−(x−a)]--------------7分由f(x)≥0得(x−2)[|x−a|−(x−a)]≥0∴|x−a|≤x−a∴x−a≥0∴a≤x，x∈(0，2)∴a≤0所以， a的取值范围为(−∞，0]------------------10分。

数学（理科）注意事项：1．本试卷共4页满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>-，则()UA B ⋂=（）． A ．(1,0]-B ．(1,1)-C ．(1,)-+∞D ．[0,1) 2．已知复数41z i=+（为虚数单位），则的虚部为（）． A ．2B ．2i C ．2-D ．2i -3．已知向量(1,3)a =，(3,2)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（）．A ．91010B ．9C ．3-D ．913134．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（）．A ．66B ．55C ．45D ．385．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（）．A ．该组数据的极差为12B ．该组数据的中位数为21C ．该组数据的平均数为21D ．该组数据的方差为11 6．已知01a b <<<，则下列不等式不成立的是（）．A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln ln a b >C ．11a b >D ．11ln ln a b >7．已知，b 是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，且a β，b αβ⋂=，则“a α∥”是“a b ∥”的（）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．3(21)(2)x x -+的展开式中2x 项的系数为（）． A ．24B ．18C ．12D ．4 9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）． A ．18B ．38C ．12D ．7810．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（）． A ．403B ．52C ．203D 8711．将函数cos(2)22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移38π个单位长度后得函数()f x 图像，若()f x 为偶函数，则（）．A ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知函数323132,5()3log (4),5x x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则函数(())f f x 的零点个数为（）．A ．6B ．7C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数，满足不等式组2033030x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知定义在上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________．15．在ABC 中内角，，C 所对的边分别为，b ，，若1a =，b =，2sin sin cos sin A B C C =，则ABC 的面积为________．16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足23a =，4720a a +=，其前项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （Ⅱ）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且AB CD ∥，22CD AB AD ==，AD CD ⊥．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号 1 2 3 4 5 6 数学i x 89 87 79 81 78 90 物理i y797577737274（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．参考公式：ˆˆy bxa =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i n ni ii i x x yy x ynx y b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数()1axf x eax =--（a R ∈且0a ≠）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）对任意12,[1,1]x x ∈-，()()2123f x f x e =≤-恒成立，求的取值范围． （二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线22212:C x y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)6πθρ=≥与1C 相交于异于极点的交点为，与2C 的交点为，求||AB ．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，记实数的最大值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）正数，b ，满足2a b c M ++=，求证111a b b c+≥++． 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．C3．D4．B5．D6．B7．A8．B9．D10．A11．D12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．614．315．1216．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1132920a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，2d =（4分）∴21n a n =-，2n S n =，（6分）（Ⅱ）（错位相减法）23135212222n nn T -=++++…，① ①式两边同时乘12，得234111352122222n n n T +-=+++…，②-①②可得，23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…，（8分） 2311111112122222222n n n n T +-⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭…， 111121212222n n n n T +-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，（10分） 2332n nn T +=-．（12分） 18．解：（Ⅰ）证明：取CD 的中点，连接AE ，BE ，BD ．∵2CD AB =，∴AB DE =．又∵AB AD =，AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，AE平面ABCD ，∴PD AE ⊥．∵PD BD D ⋂=，∴PE ⊥平面PBD ．（4分） ∵AB EC =，AB EC ∥，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴BC AE ∥，∴BC ⊥平面PBD ． 又BC平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．（6分）（Ⅱ）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角， 即45PBD ∠=︒，则PD BD =．设1AD =，则1AB =，2CD =，2PD BD ==．以点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A，P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ． ∵DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =．（8分） 设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =，∵(1,1,PB =，(1,1,0)BC =-，则00PB m x y BC m x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,2)m =．（10分） 设二面角D PC B --的平面角为θ， ∴||1cos 2||||2m DA m DA θ⋅===⋅．由图可知二面角D PC B --为锐角，故二面角D PC B --的余弦值为12．（12分） 19．解：（Ⅰ）由题意得X 的可能取值为0，1，2， 6个学生中理科小能手有2人，24262(0)5C P x C ===，1124268(1)15C C P x C ===，（4分） 22261(2)15C P x C ===．（4分） ∴X 的分布列为()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．（6分） （Ⅱ）1(898779817890)846x =⨯+++++=，1(797577737274)756y =⨯+++++=，（8分）()()()11222111ˆ5nniii ii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---===--∑∑∑∑（9分） 1291ˆˆ758455ay bx =-=-⨯= ∴回归方程为：129155y x =+．（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴221914a b +=，又∵12c a =（2分） 解之得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=（4分） （Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -． ∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=， ∴20127x =． ∴O 到直线MN的距离为0d x ==22127x y +=．（6分） 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+．（8分） ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=∴()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=．∴()22222224128103434m k m k m k k-+⋅-+=++，即()227121m k =+．（10分）∴O 到直线MN 的距离为7d ===， 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切．（12分） 21．解：（Ⅰ）由()()1ax ax f x ae a a e '=-=-．（1分） 当0a <时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2分） 当0a >时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0 f x '>，()f x 单调递增．（3分） 综上所述，()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增．（4分） （Ⅱ）由题意知对任意12,[1,1]x x -，()()2123f x f x e -≤-恒成立，2max min ()()3f x f x e ⇔-≤-又由（Ⅰ）知，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以只需：222222(1)(0)31320.(1)(1)(0)31320.(2)a a a a f f e e a e e a e f f e e a e e a e --⎧⎧⎧-≤---≤---+≤⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨--≤-+-≤-+-+≤⎪⎩⎪⎩⎩（8分） 设2()2a h a e a e =--+．∵()1ah a e '=-，∴()h a 在区间(0,)+∞上单调递增；在区间(,0)-∞上单调递减． 注意到(2)0h =，所以，当02a ≤≤不等式（1）成立；当2a >时不等式（1）不成立． 又2222(2)2240h ee e e ---=+-+=+-<，∴当20a -≤<不等式（1）也成立，所以，22a -≤≤时不等式（1）成立．此时22a -≤≤，不等式（2）也成立，而当2a <-时，2a ->，由函数()h a 的性质知，不等式（2）不成立．综上所述，不等式组的解为22a -≤≤．（11分）又∵0a ≠，∴实数的取值范围为[2,0)(0,2]-⋃．（12分）（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．解：（Ⅰ）曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=，（2分）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，（3分）曲线2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=．（5分）（Ⅱ）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点的极径为12cos6πρ==（6分）射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26πρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得25ρ=，（8分）∴12||5AB ρρ=-=-．（10分） 23．解：（Ⅰ）|2||3||(2)(3)|5x x x x --+≤--+=，（2分） 若不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，则满足|1|5m +≤，（3分） 解得64m -≤≤．∴4M =．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数，b ，满足24a b c ++=， ∴11111[()()]4a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，（7分）112(2144b c a b a b b c ++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭．（9分） 当且仅当a c =，2a b +=时，取等号．（10分）。

2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合{M x y ==，{}1,0,1,2N =-，则M N =A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{1,1}-D.{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i + B ．13i -+ C ．13i -D ．13i --3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于 A.64B.32C.2D.45.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包 含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分， 据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 0x =B. 0y ±=C. 0y ±=D.0x =8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D 9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅= A.2- B. 4- C. 3 D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,,侧棱长为则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 13.若向量(1,2)a x =-与向量(2,1)b =垂直，则x =_____ . 14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂， 据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a bc cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不 存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为 (I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ） 若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++。

2020年咸阳市高三数学上期末一模试题(及答案)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．13．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．44．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20586．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．857．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．148．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5059．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =10．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．5711．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．112．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．若首项为1a ，公比为q （1q ≠）的等比数列{}n a 满足21123lim()2n n a q a a →∞-=+，则1a 的取值范围是________.14．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．15．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 16．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 17．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+形的外接圆半径是______18．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 20．已知是数列的前项和，若，则_____．三、解答题21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 22．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()A C -=DC 的长．24．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，22c =b ；（2）若14sin 4B =，3a =b ． 25．已知()f x a b =⋅v v ，其中()2cos ,32a x x =-v，()cos ,1b x =v ，x ∈R ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，7a =且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v共线，求边长b 和c 的值．26．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差d ∈N ，25a =，且53545S <<. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}237n S n -的前n 项和为n T ，若m n T T ≤，对n *∈N 恒成立，求m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．3．A解析：A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a b aC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．6．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．8．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.9．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 10．D 解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．12．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.二、填空题13．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题解析：33(0,)(,3)22U【解析】 【分析】由题意可得1q <且0q ≠，即11q -<<且0q ≠，211232a a a =+，化简可得13322a q =+由不等式的性质可得1a 的取值范围. 【详解】解：21123lim()2nn a q a a →∞-=+Q 21123lim 2n a a a →∞∴=+，lim 0n n q →∞= 故有11q -<<且0q ≠，211232a a a =+ 化简可得13322a q =+103a ∴<<且132a ≠即133(0,)(,3)22a ∈U 故答案为：33(0,)(,3)22U 【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.14．512【解析】【分析】利用已知将n 换为n+1再写一个式子与已知作比得到数列的各个偶数项成等比公比为2再求得最后利用等比数列的通项公式即可得出【详解】∵anan+1=2n （）∴an+1an+2=2n+解析：512 【解析】 【分析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2， 又∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ， 可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号 考点：1线性规划的应用；2利解析：7 【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.16．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题解析：2【解析】【分析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =，∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．17．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)22224B =︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262224R +⨯⨯+=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.18．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数解析：10 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =所以567890a a a a a ++++= 由等差数列性质可知70a = 因为40k a a += 所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．19．【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3116【解析】 【分析】由题意首先求得1S ，然后结合递推关系求解5S 即可. 【详解】由题意可知：12221S a =-=，且：()122n n n S S S +=--，整理可得：()11222n n S S +-=-， 由于121S -=-，故()455113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n 项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：【解析】 【分析】由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝24950．【点睛】本题考查了数列的递推式，属于中档题．三、解答题21．（1）3π；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >， 则31sin cos cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3cos B B =，tan 3B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由13sin 2ABC S ac B ac ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为4433⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】 【分析】（1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n nnn a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n nn n a =⋅, 所以1231323333nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ,则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n nT n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭,所以()132134n n n T ++-⋅=【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 23．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）5AD =．【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos 5A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos 2B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠．故5125xx =⇒=．所以5AD DC ==． 24．（1）b =2）b =【解析】 【分析】（12b =，根据已知可求b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B，由余弦定理可得2224a c ac =+-g，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】 （1）Q22sin 1cos sin A C B B =-=．∴2b =，2a =Q，c =b ∴=（2）sin 4B =Q，cos 4B ∴=， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-222a c ac =+-，又a =c =2b ∴=经检验，b本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题． 25．（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦;（2）3,2b c ==．【解析】试题分析：（1）化简()f x 得()12cos 23f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，代入[]()2,2k k k Z πππ-∈，求得增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()1f A =-求得3A π=，余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =r 与()2,sin n C r=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =，解得3,12b c ==.试题解析：（1）由题意知,()22cos 21cos 2212cos 23f x x x x x x π⎛⎫==+-=++⎪⎝⎭, cos y x =Q 在[]()2,2k k k Z πππ-∈上单调递增,∴令2223k x k ππππ-≤+≤,得236k x k ππππ-≤≤-,()f x ∴的单调递增区间()2,36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）()12cos 21,cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ,又72,23333A A πππππ<+<∴+=,即3A π=.a =Q ,由余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =r 与()2,sin n C r=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得323,,12b c b c =∴==.考点：三角函数恒等变形、解三角形． 26．（1）31n a n =-；（2）11m =或12m = 【解析】 【分析】(1)由5335545S a <=<可解得3d =,进而求出1a ,得到31n a n =-;(2)由(1)可求出n S ,进而求出237n S n -,即可求出其前n 项和的最小值,从而得出结论.(1)()()5325555S a a d d ==+=+Q ,()355545d <∴+<,即24d <<, d ∈N Q ,3d ∴=,则122a a d =-=,故()21331n a n n =+-⨯=-; (2)由(1)知,()()2313122n n n n n S +-+==, 则2237336n S n n n -=-,令2370n S n -≤,解得012n ≤≤, 则()1211min n T T T ==, 故11m =或12m =. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式及其性质的应用,属于中档题.。

2020年咸阳市高三数学下期末一模试题(及答案)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<2．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20583．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24B ．16C ．8D ．124．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．135．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种C ．40种D ．60种7．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()f x =()f x y ==()f x x =与()g x =③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③C ．③ ④D ．① ④8．若θ是ABC ∆的一个内角，且1sin θcos θ8=-，则sin cos θθ-的值为（ ）A ．BC ．2-D 9．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．10．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u v u u u v u u u v u u u v则·BC OM u u u vu u u u v的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．012．已知非零向量AB u u u v 与AC u u uv 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅=⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v 且12AB AC AB AC ⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABC V 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{}nS 都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．15．若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．17．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 18．复数()1i i +的实部为 ． 19．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 20．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．三、解答题21．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D . 现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .22．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n . 23．已知直线352:{132x t l y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.24．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.25．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？26．已知函数()32f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =+．（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]3,1-上的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．3．B解析：B【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。

数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项正确。

1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()2i i i x y +=-，则i x y -=（）A ．1B ．2C ．3D ．52．已知集合{}2|40A x x x =∈-<N ，集合{}2|20B x x x a =++=， 若{}1,2,3,3A B =-，则A B =（）A ．{}1 B ．{}2C ．{}3D ．∅3．函数()()sin 2f x x ϕ=+图象向右平移π6个单位后所得图象关于原点对称，ϕ可以是（） A ．π6B ．π3C ．π4D ．2π34．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（） A ．14 B ．25 C ．710 D ．155．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中(),MODm n 表示m 除以n 的余数，例如()7,31MOD =．若输入m 的值为8时，则输出i 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7．已知235log log log 0x y z ==<，则2x、3y 、5z的大小排序为（ ） A ．235x y z << B ．325y x z << C ．523z x y << D ．532z y x<< 8．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ B ．若m α⊂，αβ∥，则m β∥ C ．若l αβ=，m α∥，m β∥，则m l ∥ D ．若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥9．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的离心率为2，其一条渐近线被圆()()2240x m y m -+=>截得的线段长为22，则实数m 的值为（）A ．3B ．1C 2D ．210．已知函数()31sin 31x x f x x x -=+++，若[]21x ∃∈-，，使得()()20f x x f x k ++-<成立，则实数k 的取值范围是（） A ．()1,-+∞ B ．()3,+∞ C ．()0,+∞ D ．(),1-∞-11．如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令1AF BF λ=，2BC BFλ=，则当π3α=时，12λλ+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义域为R的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z•i=2i+1，则z=（）A. 2+iB. 2-iC. -2+iD. -2-i2.已知集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 03.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则=（）A. （0，1）B. （1，0）C.D.4.已知b＞a＞0，则（）A. |1-a|＞|1-b|B.C. lg a＜lg bD.5.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c既是等差数列又是等比数列，则角B的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.函数y=sin x，在[0，π]中随机取一个数x，使的概率为（）A. B. C. D.9.已知x+2y=xy（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知曲线C1：y=sin x，，则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C211.设f（x）为R上的奇函数，满足f（2-x）=f（2+x），且当0≤x≤2时，f（x）=xe x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）A. 2e+2e2B. 50e+50e2C. 100e+100e2D. -2e-2e212.已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x•ln x在点（1，0）处的切线的方程为______．14.已知cos2x-sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0），则A=______，b=______．15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出的一个“同域函数”的解析式为______．16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0改写成以下形式：f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1）x+a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a3x+a2）x+a1）x+a0⋮=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0若，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，AB=2，BC=BB1=1．（Ⅰ）求证：平面DB1C1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求二面角D-EB1-C1的余弦值．18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响．（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n-2n-1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．20.已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）-g'（x），判断h（x）在（-2，+∞）上零点个数；（Ⅱ）当x＞-2时，证明f（x）＞g（x）．21.如图，过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于不同两点A，B，P为拋物线上任意一点（与A，B不重合），直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N．（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）求证：MF⊥NF．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．23 已知函数f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. B2. B3. A4. C5. A6. C7. D8. C9. B10. D11. A12. A13. x-y-1=015. y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或…16. 017. 解：（I）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴B1C1⊥平面DCC1D1，又B1C1⊂平面DB1C1，∴平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）解：方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．又∵，∴．∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：D（0，0，1），B1（1，2，0），E（0，1，0），．设n=（x0，y0，z0）是平面DEB1的一个法向量，∵，∴，令z0=1，则x0=-1，y0=1．n=（-1，1，1），平面EB1C1的一个法向量，．显然，二面角D-EB1-C1是钝角，∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．18. 解：（I）X的取值为0，1，2，3，，，，．因此X的分布列为X0123P．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，∴事件A发生的概率为：．19. 解：（I）证明：令n=1，则a1=3．∵S n=2a n-2n-1，（n∈N+）①∴S n-1=2a n-1-2（n-1）-1，（n≥2，n∈N+）②①-②得：a n=2a n-2a n-1-2，a n=2a n-1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2=5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③-④得：=，∴．20. 解（I）∵，∴∵h（x）在（-2，+∞）内单调递增，又∵，∴h（x）在（-2，+∞）内有且只有一个零点．（II）令H（x）=f（x）-g（x）=e x-ln（x+2），．由（I）可知：存在x0∈（-1，0）使得，即．当x∈（-2，x0）时，H'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，H'（x）＞0.==，∴f（x）＞g（x）．（II）由（I）知，设直线AB的方程为：x-2=my（m∈R）．令P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x得：y2-8my-16=0，由根与系数的关系得：y1y2=-16．直线PB方程为：，即===．当x=-2时，∴，同理得：，∴，，∴===，∴，∴MF⊥NF．22. 解：（I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．得：∴曲线C的参数方程化为普通方程为：．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．则②-①得，化简得：．即．又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得．∴，∴，即．∴，即又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．23. 解：（I）当a=2时，f（x）=|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2），由f（x）＜0得|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2）＜0．①当x≥2时，原不等式可化为：2（x-2）2＜0，解之得：x∈∅．②当x＜2时，原不等式可化为：-2（x-2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）=（x-2）[|x-a|-（x-a）]．由f（x）≥0得（x-2）[|x-a|-（x-a）]≥0，∴|x-a|≤x-a，∴x-a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（-∞，0]．【解析】1. 解：由z•i=2i+1，得z=．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2. 解：∵集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，∴A∩B={（x，y）|}，作出y=2x和y=x+1的图象如下图：结合图象得y=2x和y=x+1有两个交点，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．图象得y=2x和y=x+1有两个交点，由此能求出A∩B中元素的个数．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 解：∵平面直角坐标系中，O为坐标原点，，∴sin∠AOx=，cos∠AOx=，∴和x轴的夹角为∠AOx=30°．若绕点O逆时针旋转60°得到向量，∴∠BOx=30°+60°=90°．设=（0，b），则=1•1•cos60°=0+b，∴b=1，即=（0，1），故选：A．由题意求得∠BOx=30°+60°=90°，设=（0，b），再利用两个向量的数量积的定义和公式，求得b的值，可得结论．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4. 解：b＞a＞0，则|1-a|＜|1-b|，＞，lg a＜lg b，＞．故选：C．由b＞a＞0，利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6. 解：由题意，a，b，c既是等差数列又是等比数列，则a，b，c是常数数列，即a=b=c．故A=B=C，∵180°=A+B+C=3B，∴B=60°．故选：C．本题首先根据a，b，c既是等差数列又是等比数列判断出a，b，c是常数数列，即a=b=c．则有A=B=C，再根据三角形内角和知识可得角B的值．本题主要考查等差数列和等比数列的综合，以及三角形的基础知识．本题属基础题．7. 解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．则A（0，-1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，1，0），∴=（，1，-2），=（-，1，-2），∴cos＜，＞===．故选：D．如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．利用cos＜，＞=即可得出．本题考查了异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 解：解三角不等式0≤sin x≤（x∈[0，π]，得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得：事件发生的概率为=，故选：C．由三角不等式的解法得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得事件发生的概率本题考查了三角不等式的解法及几何概型中的线段型，属简单题9. 解：由x+2y=xy（x＞0，y＞0），可得=1，则2x+y=（2x+y）（）=5+≥5+4=9，当且仅当且=1，即x=3，y=3时取等号，此时取得最小值9．故选：B．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题10. 解：结合函数的图象的变换可知，把y=sin x上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得，y=sin，再把，y=sin向左平移个单位可得y=sin=sin（）=sin（+）=cos（）．综上可知，D正确．故选：D．结合正弦函数的图象的变换，结合选项中的变换顺序即可判断》本题主要考查了正弦函数的图象的变换，属于基础试题．11. 解：由f（2-x）=f（2+x），f（x+2）=-f（x-2），f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），故f（x）周期为8的奇函数，f（0）=0，f（1）=e，f（2）=2e2，f（3）=f（1）=e，f（4）=f（0）=0，f（5）=f（-1）=-f（1）=-e，f（6）=f（-2）=-2e2，f（7）=f（-1）=-f（1）=-e，f（8）=f（0）=0，所以f（1）+…+f（8）=e+2e2+e+0-e-2e2-e+0=0f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=0+f（97）+f（98）+f（99）+f（100）=0+f（1）+f故选：A．先判断函数的周期为8，根据题意，结合奇函数求出f（1）到f（8）的值，代入求出即可．考查函数的周期性和奇偶性的应用，中档题．12. 解：设MN与x轴交于E，因为四边形PQMN为正方形，所以△OEN为等腰直角三角形，所以OE=NE=，由题意可得半径ON=c，所以N坐标（c，c），而N是F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入双曲线方程可得：，而b2=c2-a2，整理可得：c4-4a2c2+2a4=0，离心率e=所以可得：e4-4e2+2=0，解得e2=2+，所以e=，故选：A．由题意画图可得：△ONE为等腰直角三角形，由题意可得N的坐标，而N是以F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入曲线方程求出a，c之间的关系，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．13. 解：由f（x）=x lnx，得，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），整理得：x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14. 解：因为cos2x-sin2x==，=[-sin2x+cos2x]+，=+，其中cosφ=-，sinφ=．故A=，b=．故答案为：，．由已知结合二倍角公式及辅助角公式先对函数进行化简，然后比对系数即可求解．本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题．15. 解：因为，所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1，2]．下面求函数y的值域，不妨先求函数y2的值域，令，令g（x）=（x-1）（2-x），x∈[1，2]，所以g（x）∈[0，]，从而得出f（x）∈[0，1]，所以y∈[-1，1]，即函数的值域为[-1，1]．只要满足定义域为[1，2]，且值域为[-1，1]的函数均符合题意，例如y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]……故答案为：y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或……（符合题意即可）分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．本题考查了求函数定义域和值域的方法，再者开放性试题还考查到学生对基本初等函数概念与性质的熟练程度，属于基础题．16. 解：=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1则=0．故答案为：0．=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1x=2-代入即可得出．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. （I）由B1C1⊥平面DCC1D1，即可得平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．可得GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．解三角形即可求二面角D-EB1-C1的余弦值．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：求得平面DEB1的一个法向量和平面EB1C1的一个法向量即可得二面角D-EB1-C1的余弦值．本题考查了面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题．18. （I）X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，由此能求出事件A发生的概率．本题考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （I）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（II）运用等比数列的通项公式和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．20. （I）先对函数h（x）求导，然后结合导数研究单调性，进而结合函数的零点判定定理可求；（II）要证明x＞-2时，f（x）＞g（x），转化为证明H（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立，结合导数转化为求函数的最值．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解零点个数，综合考查了导数与函数性质的综合应用．21. （Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）设P，A，B的坐标，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之积，再求直线PA，PB的方程，进而求出M，N的坐标，求出数量积为0可得MF⊥NF．考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合，属于中档题．22. （I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．利用平方关系即可得出．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，．把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入椭圆方程化简，可得直线的斜率．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的意义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. （Ⅰ）将a=2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x-a|≤x-a，由此得解．本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算能力，属于基础题．。

2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=r r )A B ．7 C ．5 D ．255．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( )A ．10B ．9C ．8D ．79．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ；④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．1311．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e-C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) AB．2C．2-D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 ． 14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件：22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y =+的最大值是 ．15．（5分）已知22cos sin 2sin()(0x x A x b A ωϕ+=++>，0)ω>，则A = ，b = ． 16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 改写成以下形式：121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 1231210()n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++⋯++ 2313210(())n n n n a x a x a x a x a x a ---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(23)(13)(13)(13)(13)1f x x x x x x =+++++++++-，则(23)f -= ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin ,3)2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积．18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程23(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程3cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：集合{|22}{0A x N x =∈-<<=，1}，{1B =-，1，2，3}， 则{1}A B =I ， 故选：A ．2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【解答】解：由21z i i =+g ，得212(12)()2i i i z i i i ++-===--． 故选：B ．3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定【解答】解：1(1)0a q +=，解得1q =-． 故选：B ．4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=rr )A B ．7 C ．5 D ．25【解答】解：Q (1,2)a =r，(1,0)b =r ， ∴2(3,4)a b +=rr ， ∴|2|5a b +=rr ．故选：C ．5．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由20x x +>，解得0x >，或1x <-．∴ “0x >”是“20x x +>”的的充分不必要条件，故选：A ．6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-【解答】解：椭圆2221x my -=的标准方程为：221112y x m +=-，一个焦点坐标为(0,，，解得25m =-，故选：D ．7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈【解答】解：解224k x k πππππ--剟得，312244k x k -+剟， ∴函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是31[2,2]()44k k k Z -+∈． 故选：C ． 8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．7【解答】解：Q121x y +=，且0x >，0y >，∴1242(2)()2248x y x y x y xyy x +=++=++++=…，当且仅当4x y y x=，即24y x ==时取等号，2x y ∴+的最小值为8．故选：C ．9．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【解答】解：①根据线面垂直的性质定理，可知①正确； ②根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可知②正确；③若//m α，//n α，则m 与n 的位置关系是平行、相交或异面，即③错误； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，即④错误． 故选：A ．10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．13【解答】解：有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球， 每个盒子放入一个小球，基本事件总数336n A ==， 小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本事件有： 编号为1，2，3的三个盒子对应的小球的编号分别为： 2，3，1或3，1，2，共有2个，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163p ==． 故选：D ．11．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -【解答】解：()(1)x f x x e '=+，当1x >-时，()0f x '>，函数单调递增，当1x <-时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =-时，函数取得极小值1(1)f e --=-． 故选：B ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) A ．22+B ．22+C ．22-D ．22-【解答】解：设MN 与x 轴交于E ，因为四边形PQMN 为正方形，所以OEN ∆为等腰直角三角形，所以2OE NE ON ==，由题意可得半径ON c =， 所以N 坐标2(c ，2)c ，而N 是12F F 为直径的圆交双曲线C 的交点， 代入双曲线方程可得：2222122c c a b-=，而222b c a =-，整理可得：4224420c a c a -+=，离心率ce a=所以可得：42420e e -+=，解得222e =+，所以22e =+， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 10x y --= ． 【解答】解：由()f x xlnx =，得 11y lnx x lnx x'=+=+g ，f ∴'（1）111ln =+=，即曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线的斜率为1，则曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线方程为01(1)y x -=⨯-， 整理得：10x y --=． 故答案为：10x y --=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件：22022020x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y=+的最大值是10．【解答】解：画出约束条件的可行域，32z x y=+得3122y x z=-+，当3122y x z=-+经过可行域的(2,2)B目标函数取得最大值：322210⨯+⨯=．故答案为：1015．（5分）已知22cos sin2sin()(0x x A x b Aωϕ+=++>，0)ω>，则A2，b=．【解答】解：22cos sin21cos2sin22)14x x x x xπ+=++++，则2A=，1b=，21．16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++改写成以下形式：121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++1231210()n n nn n na x a x a x a x a-----=+++⋯++2313210(())n nn na x a x a x a x a x a---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(2(1(1(1(11f x x x x x x =++++++++-，则(2f -= 0 ．【解答】解：5432()(2(1(1(1(11(((((f x x x x x x =++++++++-=2+ )11111x x x x x +++++++-则(20f =． 故答案为：0．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin 2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，b =ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）Q m n ⊥r r ，∴2sin cos 022B BB =．化简得：tan B =，又0B π<<Q ，∴23B π=．（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，222112()2c c =+--，解之得：1c =．∴11sin 1122ABC S ac B ∆==⨯⨯=． 18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D -Q 是长方体，11B C ∴⊥平面11DCC D ． 又DE ⊂Q 平面11DCC D ，11B C DE ∴⊥．（Ⅱ）2AB =Q ，E 是棱11D C 的中点，11EC ∴=，∴11111111111111111111332326E DB C B DEC DEC V V S B C DD EC B C --===⨯=⨯⨯⨯⨯=V g g g g ．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 【解答】解：（Ⅰ）记这50名员工学习得分的平均数为x ， 则1(55151025153513457)26.450x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20)中选2人，记这2人分别为1a ，2a ； 从[20，30)中选3人，记这3人分别为1b ，2b ，3b ． 从1a ，2a ，1b ，2b ，3b 中再任取2人的情况有：12a a ，11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b ，12b b ，13b b ，23b b 共10种．其中得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的情况有： 11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b 共6种．记事件A 为“得分在[10，20)和[20，30)中各有1人”则63()105P A ==． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()f x lnx ax =-的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-． ①当0a „时，由()0f x '>，知()f x 在(0,)+∞内单调递增． ②当0a >时，由()0f x '>，即10a x ->得10x a<<， 由()0f x '<，即10a x -<得1x a >，()f x ∴在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减． 因此，①当0a „时，()f x 在(0,)+∞内单调递增．②当0a >时，()f x 在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减．（Ⅱ）()f x 有两个零点． 即：方程0lnx ax -=有两个实根， 即：方程lnxa x=有两个实根， 即：函数y a =和()lnx g x x =有两个公共点，21()lnxg x x -'=． 由()0g x '>，即：210lnxx ->，0x e ∴<<． 由()0g x '<，即：210lnxx-<，x e ∴>． ∴1()()max g x g e e==． 又1()0g e e=-<，当1x >时，0lnxx>，∴10a e <<，∴当10a e<<时，()f x lnx ax =-有两个零点． 21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．【解答】解：()I 抛物线的焦点为(2,0)F ， 准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）由()I 知：设直线AB 的方程为：2()x my m R -=∈， 令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，228x myy x -=⎧⎨=⎩，消去x 得：28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-．直线PB 方程为：228888y x y x --=--，22222888(8)8888y y x y x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，∴22816(2,)8y N y --+，同理得：11816(2,)8y M y --+．∴22816(4,)8y FN y -=-+u u u r ，11816(4,)8y FM y -=-+u u u u r ， ∴212121122121212181681616(8)(8)(816)(816)80(16)80(1616)16088(8)(8)(8)(8)(8)(8)y y y y y y y y FN FM y y y y y y y y --+++--+-+=+⨯====++++++++u u u r u u u u r g ，∴FN FM ⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．【解答】解：()I 由曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(β为参数）．得：cos sin 2y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：221124x y +=．()II 解法一：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为．设直线l 与曲线C 相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y两点，1212122x x y y ++=． 则2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ②-①得222221210124x x y y --+=，化简得：211221123()y y x x x x y y -+=-==-+即tan l k α==． 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π．解法二：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为，将cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩分别代入221124x y +=，2(1sin )14t α++=．∴222(cos 3sin )(6sin )60t t αααα+++-=，∴120t t +==，即6sin 0αα--=．∴sin cos αα=，即tan α= 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．【解答】解：()I 当2a =时，()|2|(2)|2|(2)f x x x x x =--+--， 由()0f x <得|2|(2)|2|(2)0x x x x --+--<． ①当2x …时，原不等式可化为：22(2)0x -<， 解之得：x ∈∅．②当2x <时，原不等式可化为：22(2)0x --<， 解之得x R ∈且2x ≠，2x ∴<． 因此()0f x <的解集为：{|2}x x <．()II 当(0,2)x ∈时，()||(2)|2|()(2)[||()]f x x a x x x a x x a x a =--+--=----． 由()0f x …得(2)[||()]0x x a x a ----…， ||x a x a ∴--„，0x a ∴-…， a x ∴„，(0,2)x ∈，0a ∴„，∴的取值范围为(-∞，0]．a。

2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设z •i =2i +1，则z =（ ） A ．2+iB ．2–iC ．–2+iD ．–2–i【点睛】由复数代数形式的乘除运算化简求解． 【答案】B【解析】由题意得z =1+2i i =(1+2i)(−i)−i2=2−i ． 故选B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A ={（x ，y ）|y =2x }，B ={（x ，y ）|y =x +1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【点睛】数形结合得y =2x 与y =x +1有两个交点，即可求出A ∩B 中元素的个数． 【答案】B【解析】由题意得A ∩B ={（x ，y ）|{y =2xy =x +1}；画出y =2x 与y =x +1的图象，如图所示，由图象得它们有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2． 故选B ．【点评】本题考查交集，函数的图象，是基础题．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA →=(√32，12)，若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB →，则OB →=（ ） A ．（0，1）B ．（1，0）C ．(√32，−12)D ．(12，−√32)【点睛】先求得∠BOx =90°，设OB →=（0，b ），用两个向量的数量积求得b ，可得结论． 【答案】A【解析】因为OA →=(√32，12)，所以sin ∠AOx =12，cos ∠AOx =√32，所以OA →和x 轴的夹角为∠AOx =30°．若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到OB →，所以∠BOx =30°+60°=90°，所以设OB →=（0，b ），所以OA →⋅OB →=1×1×cos60°=0+12b ，解得b =1，所以OB →=（0，1）. 故选A ．【点评】本题考查向量的坐标表示与数量积，是基础题． 4．已知b >a >0，则（ ） A ．|1–a |>|1–b | B ．(12)a <(12)bC ．lga <lgbD ．1a<1b【点睛】由不等式的基本性质、函数的单调性即可判断． 【答案】C【解析】因为b >a >0，由不等式的性质得|1–a |<|1–b |，A 错误；由y =(12)x 单减得(12)a >(12)b ，B 错误；由y =lgx 单增得lga <lgb ，C 正确. 故选C ．【点评】本题考查不等式的基本性质、函数的单调性，是基础题． 5．椭圆2x 2–my 2=1的一个焦点坐标为（0，−√2），则实数m =（ ） A ．23B ．25C ．−23D ．−25【点睛】由椭圆的标准方程及焦点坐标求解． 【答案】D【解析】因为椭圆的一个焦点坐标为（0，−√2），将椭圆化为标准方程y 2−1m+x 212=1，所以√−1m −12=√2，解得m =−25.故选D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程与简单性质，是基础题．6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列，则角B 的值为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【点睛】先由a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列得a =b =c ，即A =B =C ，可得角B ． 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 既是等差数列又是等比数列，所以a+c=2b 且ac=b 2，解得a =b =c ，即A =B =C ；而180°=A +B +C =3B ，解得B =60°． 故选C ．【点评】本题考查等差、等比数列，是基础题．7．如图，直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AA 1=AB =AC =BC ，则异面直线AB 1和BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．−12B ．12C ．−14D ．14【点睛】建立空间直角坐标系，利用cos <AB 1→，BC 1→>=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|即可得出．【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，如图所示；不妨设AA 1=AB =AC =BC =2．则B 1（√3，0，0），C 1（0，1，0），A （0，–1，2），B （√3，0，2）；所以BC 1→=（−√3，1，–2），AB 1→=（√3，1，–2），所以cos <AB 1→，BC 1→>=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=8⋅8=14．故选D ．【点评】本题考查异面直线的夹角，空间向量法求夹角，是基础题． 8．函数y =sin x ，在[0，π]中随机取一个数x ，使y ∈[0，12]的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【点睛】由题意得0≤x ≤π6或5π6≤x ≤π，由几何概型得：事件y ∈[0，12]发生的概率 【答案】C【解析】因为y =sin x ∈[0，12]，即0≤sin x ≤12，而x ∈[0，π]，解得0≤x ≤π6或5π6≤x ≤π；由几何概型得：事件y ∈[0，12]发生的概率P =(π6−0)+(π−5π6)π−0=13.故选C ．【点评】本题考查三角不等式的解法，几何概型，是基础题. 9．已知x +2y =xy （x >0，y >0），则2x +y 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【点睛】用“乘1法”与基本不等式的性质即可求解． 【答案】B【解析】由x +2y =xy （x >0，y >0）得1y+2x=1；所以2x +y =（2x +y ）（1y+2x）=5+2x y+2y x≥5+4=9(当且仅当x =3，y =3时取等号)．所以2x +y 的最小值为9.故选B ．【点评】本题考查基本不等式，是基础题.10．已知曲线C 1：y =sin x ，C 2：y =cos(12x −π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C 2【点睛】结合正弦函数的图象变换即可求解. 【答案】D【解析】由题意得：C 1：y =sin x 上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得y =sin 12x ，再将y =sin 12x 向左平移π3得y =sin 12(x +π3)=sin （12x +π6）=cos （12x −π3）．所以D 正确．故选D ．【点评】本题考查正弦函数的图象变换，是基础题．11．设f （x ）为R 上的奇函数，满足f （2–x ）=f （2+x ），且当0≤x ≤2时，f （x ）=xe x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （100）=（ ） A ．2e +2e 2B ．50e +50e 2C ．100e +100e 2D ．–2e –2e 2【点睛】先得函数的周期为8，再结合奇函数求出f （1）~f （8），代入求出即可． 【答案】A【解析】因为f （x ）为R 上的奇函数，所以f （0）=0，f （2–x ）=f （2+x ）=– f （x –2），所以f （x +4）=–f （x ），f （x +8）=f （x +4+4）=–f （x +4）=f （x ），所以f （x ）周期为8的奇函数；所以f （1）=e ，f （2）=2e 2，f （3）=f （1）=e ，f （4）=f （0）=0，f （5）=f （–1）=–f （1）=–e ，f （6）=f （–2）=–2e 2，f （7）=f （–1）=–f （1）=–e ，f （8）=f （0）=0；所以f （1）+…+f （8）=e +2e 2+e +0–e –2e 2–e +0=0；所以f （1）+f （2）+f （3）+…+f （100）=0+f （97）+f （98）+f （99）+f （100）=f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=e +e +2e 2+0=2e 2+2e . 故选A ．【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，中档题． 12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2+√2B ．2+√2C ．2−√2D ．√2−√2【点睛】先求得N 的坐标，而N 是以F 1F 2为直径的圆交双曲线C 的交点，代入曲线方程求出a ，c 间的关系，再由a ，b ，c 之间的关系求出双曲线的离心率． 【答案】A【解析】设MN 与x 轴交于E ，因为PQMN 为正方形，所以△OEN 为等腰直角三角形，所以OE =NE =√22ON ；由题意得半径ON =c ，所以N （√22c ，√22c ），而N 是F 1F 2为直径的圆交双曲线C 的交点，代入双曲线方程得c 22a 2−c 22b 2=1；结合b 2=c 2–a 2，得c 4–4a 2c 2+2a 4=0，即e 4–4e 2+2=0，解得e 2=2+√2，所以e =√2+√2. 故选A ．【点评】本题考查双曲线的性质，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y =x •ln x 在点（1，0）处的切线的方程为 ． 【点睛】求切线斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【答案】x –y –1=0【解析】f （x ）=x ln x ，f （1）=0，所以点（1，0）为切点；y ′=lnx +1，f ′（1）=ln1+1=1，即切线的斜率为1；所以切线方程为y –0=1×（x –1），即x –y –1=0．所以曲线y =x •ln x 在点（1，0）处的切线的方程为x –y –1=0. 故答案为x –y –1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程，是基础题．14．已知cos 2x –sin2x =A sin （ωx +φ）+b （A >0，ω>0），则A = ，b = ． 【点睛】由二倍角公式、辅助角公式化简，然后比对系数即可求解． 【答案】√52，12【解析】由题意得cos 2x –sin2x =1+cos2x 2−sin2x =12cos2x −sin2x +12=√52[−2√55sin2x +√55cos2x ]+12=√52sin(2x +φ)+12(其中cos φ=−2√55，sin φ=√55)．所以√52sin(2x +φ)+12= A sin （ωx +φ）+b ，所以A =√52，b =12． 故答案为√52，12． 【点评】本题考查二倍角公式，辅助角公式，是基础题．15．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出y =√x −1−√2−x 的一个“同域函数”的解析式为 ．【点睛】函数解析式中包含根式，所以不妨将其平方再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．【答案】y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]或y =log √2x −1，x ∈[1，2]⋯⋯【解析】由题意得y =√x −1−√2−x 的定义域为[1，2]；下面求函数的值域，不妨先求函数y 2的值域，令f(x)=y 2=1−2√(x −1)(2−x)，因为x ∈[1，2]，所以（x –1）（2–x ）∈[0，14]，所以f （x ）∈[0，1]，所以y ∈[–1，1]，即函数的值域为[–1，1]；“同域函数”必须满足：定义域为[1，2]且值域为[–1，1]；例如y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]……，所以答案可以为y =2x –3，x ∈[1，2]或y =2x –3，x ∈[1，2]或y =3x –1–2，x ∈[1，2]或y =log √2x −1，x ∈[1，2]⋯⋯（符合题意即可）【点评】本题考查函数定义域与值域的求解，基本初等函数，是开放性试题，是中档题． 16．秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f （x ）=a n x n +a n –1x n –1+a n –2x n –2+…+a 1x +a 0 改写成以下形式：f （x ）=a n x n +a n –1x n –1+a n –2x n –2+…+a 1x +a 0 =（a n x n –1+a n –1x n –2+a n –2x n –3+…+a 1）x +a 0 =（（a n x n –2+a n –1x n –3+…+a 3x +a 2）x +a 1）x +a 0 ⋮=（…（（a n x +a n –1）x +a n –2）x +…+a 1）x +a 0若f(x)=(2+√3)x 5+(1+√3)x 4+(1+√3)x 3+(1+√3)x 2+(1+√3)x −1，则f(2−√3)= ．【点睛】由题意得f(x)=（（（（（2+√3)x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x –1，即可求解． 【答案】0【解析】由题意得f(x)=（（（（（2+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x +1+√3）x –1，所以f(2−√3)=0．故答案为0．【点评】本题考查秦九韶算法，理解题意是解题关键，是基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是D 1C 1的中点，AB =2，BC =BB 1=1． （Ⅰ）求证：平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1； （Ⅱ）求二面角D –EB 1–C 1的余弦值．【点睛】（I ）由B 1C 1⊥面DCC 1D 1，可得面DB 1C 1⊥面DCC 1D 1． （II ）方法一：建立空间直角坐标系，用空间向量法求解.方法二：找到GMH 或其补角是二面角D –EB 1–C 1的平面角．解三角形即可． 【解析】（I ）因为ABCD –A 1B 1C 1D 1是长方体，所以B 1C 1⊥平面DCC 1D 1， 又B 1C 1⊂平面DB 1C 1，所以平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1． （II ）方法一（空间向量法）：建立空间直角坐标系，如图所示：则D （0，0，1），E （0，1，0），B 1（1，2，0），，DE →=(0，1，−1)，EB 1→=(1，1，0)． 设m →=（x 0，y 0，z 0）是平面DEB 1的一个法向量，所以{DE →⋅m →=0EB →1⋅m →=0，即{y 0−z 0=0x 0+y 0=0，令z 0=1，则x 0=–1，y 0=1． 所以m →=（–1，1，1），而平面EB 1C 1的法向量D 1D →=(0，0，1)， 所以cos <m →，D 1D →>=m →⋅D 1D→|m →||D 1D →|=13×1=√33． 由图得：二面角D –EB 1–C 1是钝角， 所以二面角D –EB 1–C 1的余弦值为−√33．方法二：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D–EB1–C1的平面角．又∵MH=12A1E=√22，∴cos∠GMH=MHMG=√22√12+(√22)=√33．∴二面角D–EB1–C1的余弦值为−√33．【点评】本题考查面面垂直的判定、二面角的求解，是中档题．18．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为34，且各人是否答对每道题互不影响．（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．【点睛】（I）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，求出X的分布列与数学期望．（II）分“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，求出事件A发生的概率．【解析】（I）由题意得：X的取值为0，1，2，3，P(X=0)=(14)3=164，P(X=1)=C31(34)(14)2=964，P(X=2)=C32(34)2(14)=2764，P(X=3)=(34)3=2764．所以X的分布列为X0123P16496427642764EX=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，所以P(A)=2764×164+2764×964=1352048．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，是中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n–2n–1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．【点睛】（I）用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（II）用等比数列的通项公式、错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可求解．【解析】（I）S n=2a n–2n–1，（n∈N+），令n=1，求得a1=3．因为S n=2a n–2n–1①，所以S n–1=2a n–1–2（n–1）–1②；①–②得a n=2a n–2a n–1–2，即a n=2a n–1+2，所以a n+2a n−1+2=2(a n−1+2)a n−1+2=2，所以{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：{a n+2}是首项为a1+2=5，公比为2的等比数列．所以a n+2=5×2n−1，所以n⋅(a n+2)=52⋅n⋅2n，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则T n=52(1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n)③2T n=52(1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1)④③–④得：−T n=52(2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1)=52[2(1−2n)1−2−n⋅2n+1]，即T n=5(n−1)2n+5．所以数列{n•（a n+2）}的前n项和为5(n−1)2n+5．【点评】本题考查等比数列，数列的错位相减法求和，是中档题．20．已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）–g'（x），判断h（x）在（–2，+∞）上零点个数；（Ⅱ）当x>–2时，证明f（x）>g（x）．【点睛】（I）先对h（x）求导，然后结合导数研究单调性，结合函数的零点可求；（II ）不等式转化为：证明H （x ）=f （x ）–g （x ）>0恒成立，求导即可求解． 【解答】（I ）因为f′(x)=e x ，g′(x)=1x+2(x >−2)，所以ℎ(x)=e x −1x+2(x >−2) 因为h （x ）在（–2，+∞）内单增， ℎ(−1)=1e −1<0，ℎ(0)=1−12>0， 所以h （x ）在（–2，+∞）内有且只有一个零点．（II ）构造函数H （x ）=f （x ）–g （x ）=e x –ln （x +2），H′(x)=e x −1x+2． 由（I ）可知：存在x 0∈（–1，0）使得，H′(x 0)=e x 0−1x 0+2=0即e x 0=1x 0+2． 当x ∈（–2，x 0）时，H '（x ）<0，H （x ）单减； 当x ∈（x 0，+∞）时，H '（x ）>0，H （x ）单增； 所以H(x)min =H(x 0)=ex 0−ln(x 0+2)=ex 0+x 0=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0，所以H （x ）=f （x ）–g （x ）>0， 所以当x >–2时，f （x ）>g （x ）．【点评】本题考查导数在研究函数中的应用，函数与方程，是中档题．21．如图，过抛物线C ：y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线C 于不同两点A ，B ，P 为拋物线上任意一点（与A ，B 不重合），直线P A ，PB 分别交抛物线的准线l 于点M ，N ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程； （Ⅱ）求证：MF ⊥NF ．【点睛】（Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线求出两根之积，再求P A 、PB 的方程，进而求出M ，N 的坐标，由FN →⋅FM →=0可得MF ⊥NF ． 【解析】（I ）因为抛物线C ：y 2=8x ，所以抛物线的焦点F （2，0），准线l 的方程为x =–2．（II ）由（I ）知，设直线AB 的方程为x –2=my （m ∈R ）． 令P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x −2=my y 2=8x ，消去x 得y 2–8my –16=0，由根与系数的关系得y 1y 2=–16．直线PB 方程为：y−y 0y 2−y 0=x−x 0x 2−x 0，即y =y 2−y 0x 2−x 0(x −x 0)+y 0=y 2−y 0y 228−y 028(x −y 028)+y 0=8y 2+y 0(x −y 028)+y 0=y 2y 0+8x y 2+y 0． 当x =–2时，y =y 2y 0−16y 2+y 0，所以N(−2，y 2y 0−16y 2+y 0)；同理可得M(−2，y 1y 0−16y 1+y 0)； 所以FN →=(−4，y 2y 0−16y 2+y 0)，FM →=(−4，y 1y 0−16y 1+y 0)，所以FN →⋅FM →=16+y 2y 0−16y 2+y 0×y 1y 0−16y 1+y 0=16(y 2+y 0)(y 1+y 0)+(y 2y 0−16)(y 1y 0−16)(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16y 1y 2+16y 02+y 1y 2y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16(−16)+16y 02+(−16)y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=0， 所以FN →⊥FM →； 所以MF ⊥NF ．【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，是中档题．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑. [选修4––4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程{x =2√3cosβy =2sinβ（β为参数）．直线l 的参数方程{x =√3+tcosαy =1+tsinα（t 为参数）． （Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2，π6)时，求直线l 的倾斜角． 【点睛】（I ）利用平方关系消去参数即可求解．（II ）解法一：中点化成直角坐标为(√3，1)，将{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1，得(cos 2α+3sin 2α)t 2+(6sinα+2√3cosα)t −6=0，用根与系数的关系、参数的意义即可得出．解法二：中点的直角坐标为(√3，1)．联立直线l 与曲线C ，求得 x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1．由点差法求得直线的斜率．【解析】（I ）{x =2√3cosβy =2sinβ，（β为参数），即{cosβ=x23sinβ=y 2消去参数得x 212+y 24=1；所以曲线C 的普通方程为x 212+y 24=1．（II ）解法一(参数法)：中点极坐标(2，π6)化成直角坐标为(√3，1)，将{x =√3+tcosαy =1+tsinα代入x 212+y 24=1，得(√3+tcosα)212+(1+tsinα)24=1．所以(cos 2α+3sin 2α)t 2+(6sinα+2√3cosα)t −6=0， 由参数t 的几何意义得t 1+t 2=−6sinα+2√3cosαcos 2α+3sin 2α=0，即−6sinα−2√3cosα=0． 即sinαcosα=−√33，所以tanα=k =−√33； 又α∈（0，π），所以直线l 的倾斜角为5π6．解法二(点差法)：中点极坐标(2，π6)化成直角坐标为(√3，1)．设直线l 与曲线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点， 所以x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1．联立{x 1212+y 124=1x 2212+y 224=1，得x 22−x 1212+y 22−y 124=0，化简得y 2−y 1x 2−x 1=−x 1+x 23(y 1+y 2)=−2√33×2=−√33． 所以k l =tanα=−√33．又α∈（0，π），所以直线l 的倾斜角为5π6．【点评】本题考查参数方程化为普通方程，参数的意义，是中档题． [选修4––5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x–a|（x–2）+|x–2|（x–a）．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）<0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．【点睛】（Ⅰ）将a=2代入，分类求解；（Ⅱ）用绝对值不等式的性质得|x–a|≤x–a，由此得解．【解析】（I）当a=2时，f（x）=|x–2|（x–2）+|x–2|（x–2），由f（x）<0得|x–2|（x–2）+|x–2|（x–2）<0．①当x≥2时，原不等式可化为2（x–2）2<0，无解；②当x<2时，原不等式可化为–2（x–2）2<0，解得x<2；所以f（x）<0的解集为{x|x<2}．（II）当x∈（0，2）时，x–2≤0；f（x）=|x–a|（x–2）+|x–2|（x–a）=（x–2）[|x–a|–（x–a）]．由f（x）≥0得（x–2）[|x–a|–（x–a）]≥0，因为x–2≤0，所以|x–a|–（x–a）≤0，即|x–a|≤x–a，所以x–a≥0，即a≤x，x∈（0，2），所以a≤0；所以a的取值范围为（–∞，0]．【点评】本题考查绝对值不等式，是基础题．。

2020年咸阳市高考模拟考试试题（一）理 科 数 学考生须知：1、本试题卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷共4页21题；满分为150分；考试时间为120分钟。

2、第Ⅰ卷，第Ⅱ卷都做在答题卷上，做在试题卷上不得分。

参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么 球的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn kn n p k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．平面向量a 与b 的夹角为 ）A 2．抛物线24x y =的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（l ，0）D ．（0，1）3．已知()()()()f x x a x b a b =-->的图像如图所示 ,则函数()xg x a b =+的图像是（ ）（第3题图）4.若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．125．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为（ ）A ．9214+π B.8214+π C.9224+π D.8224+π 6．已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（ ）A ．0()0f x =B ．0()0f x >C ．0()0f x <D ．0()f x 的符号不确定 7. 已知A=｛x|2()lg(2)f x x x =--,x∈R｝，B=｛x||x-i|<10，i 为虚数单位，x>0｝,则A I B=（ ）A ．（0,1） B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)8执行如图所示的程序框图，输入的N ＝2020，则输出的S ＝（ ） A ．2020 B ．2020 C ．2020 D ．20209.)与每天的销售量y (个)统计如下表：x 16 17 18 19 y50344131据上表可得回归直线方程^y =b ∧x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定 为15元时，销售量为 ( )A ．48B ．49C ．50D ．51开始输入NS ＝1，i ＝1i ＜N输出S结束S=(i －1)S ＋(2i －1)ii ＝i ＋124左视图第5题图 6主视图俯视图4是否10.设)(x f 的定义域为D ，若)(x f 满足条件：存在D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[ba ，则称)(x f 为“倍缩函数”.若函数)ln()(t e x f x+=为“倍缩函数”，则t 的范围是A . ),41(+∞ B. )1,0( C. ]21,0( D. )41,0(Ⅱ卷 非选择题 （共100分）二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11.⎰ex 11dx +=-⎰-dx x 2224 .12. 设命题p :实数x 满足03422<+-a ax x ,其中0<a ;命题q :实数x 满足2280,x x +->且p q 是的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .13．[]n 表示不超过n 的最大整数.123[1][2][3]3,[4][5][6][7][8]10,[9][10][11][12][13][14][15]21,,S S S =++==++++==++++++=L那么n S = .14．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =__________时，0)(=k a f . 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）（1）（选修4—4坐标系与参数方程）已知直线的极坐标方程为242sin()πρθ+=，则极点到该直线的距离是 .（2）（选修4—5 不等式选讲）已知c b a ,,都是正数，且12=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 .（3）(选修4—1 几何证明选讲）如图，两个等圆⊙O 与⊙'O 外切，过O 作⊙'O 的两条切线,,OA OB ,A B 是切点，点C 在圆'O 上且不与点,A B 重合，则ACB ∠= .三、解答题（共6个题， 共75分）16．（本小题满分12分）已知函数2()23sin cos 12sin f x x x x =+-，x ∈R ．（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;（II ）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间]80[π，上的最小值.17. （本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<. 18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°． （Ⅰ）求证：PC⊥AC；（Ⅱ）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面MAC 的距离．19．（本小题满分12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。