2020-2021学年江西省南昌二中高一(上)期中数学试卷及答案

南昌二中—上学期期中考试高一数学试题一、选择题（每小题5分，满分50分）1.已知全集{}2,1,0,1-=U ，集合{}2,1-=A ，{}2,0=B ，则=A B C U ）（ A.{}0B. {}1-C. {}12-，D.∅2.给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是①122=+y x ②0112=-+-y x③111=-+-y x④x x y -+-=12A.①B.②C.③D.④3.函数11)1()(0+--=x x x fA.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数，又是偶函数4.二次函数t x x y ++-=42的顶点在x 轴上，则t 的值是A.4-B.4C.2-D.25.下列函数中，在区间)2,0(上为增函数的是A.x y -=3B.12-=x y C.xy 1= D.2)1(-=x y 6.63a a -⋅等于A.a --B.a -C.a -D.a7.=+25.0log 10log 25151A.0B.1-C.2-D.28.若函数131311+⋅-⋅=--x x m m y 的定义域为R ，则它的图像可能经过的点是 A.)21,0( B.)1,1( C.)2,2( D.)2,2(-9.函数)12(log )(2.0+=xx f 的值域为A.),0(+∞B.)0,(-∞C.),0[+∞D.]0,(-∞ 10.若函数)1(-=x f y 的图像与函数1lg+=x y 的图像关于直线x y =对称，则=)(x f三、解答题16.（本题满分12分）已知集合{}{}m x m x B x x x A 21,12≤<-=-≥-≤=或，若,A B =∅IA B A =U 且，求实数m 的取值范围。

17.（本题满分12分）已知22121=--a a )1,0(≠>a a 且），求21212323--++aa a a 的值。

18.（本题满分12分）已知二次函数a x x a x f lg 42)(lg )(2++=的最小值为3，求50log 2log )5(log 2a a a ⋅+得值。

1．下列集合中，不同于另外三个集合的是 （ ）A ．｛3｝B ．M=｛｝C ．M=｛｝D ．M=｛｝2．已知全集{1,2,3,4,5,6,7},{1,2,3,4},{3,4,5,6}U P Q ===，= （ ）A ．B ．C ． D.3．已知集合{|A x y ==，，则 ( )A ．B ．C ．D ．4．幂函数2268()(44)m m f x m m x -+=-+在为减函数，则m 的值为 （ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 5．已知在上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A.（0， 1） B . C. D.6．函数的图象大致是 ( )7．已知函数, ,则（ ）A ．B ．C ．D ．8．若二次函数满足，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．不等式在恒成立，则实数的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数都有(1)(1)(x f x x f x+=+，则的值是 （ ） A ．0 B ． C ．1 D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知集合｛｝，｛｝，那么用列举法表示集合= 。

12．已知0.5133log 2,b log 0.5, 1.1,2a c d -====，那么、、、d 的大小关系为（用号表示）。

13．已知函数22log (1)(0)()2(0)x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，若函数有3个零点，则实数m 的取值范围是 。

14．已知一个公司原有职工8人，年薪1万元，現公司效益逐年改善，从今年开始每年工资比上年增长20%，且每年新招工人5名，第一年工资0.8万元，第二年与老职工发一样的工资。

则第n15．已知，函在上的最大值比最小值大，则的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本题满分12分）设{}{}24,21,,5,1,9A a a Ba a =--=--，已知，求的值。

江西省南昌市第二中学【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，则()UA B ⋂=（ ）．A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,5,6}2．下列角终边位于第二象限的是（ ） A ．420B ．860C ．1060D ．12603．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．()1f x =，0()g x x = B ．()1f x x ，21()1x g x x -=+C ．()f x x =，()g x =D ．()||f x x =，2()g x =4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．2()log f x x =-C ．3()f x x =-D ．1(0)()1(0)x x f x x x -+<⎧=⎨--≥⎩5．终边在直线y =上的角的集合为（ ） A ．{|2,}3k k z πααπ=+∈ B ．{|,}3k k z πααπ=+∈C ．{|2,}3k k z πααπ=±∈ D ．{|,}3k k z πααπ=±∈6．已知函数log (1)4a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (2)lg (5)f f +=（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．17．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20198．函数2lg ||()x f x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知24log log 3.2log 2a 3b 3c 5===，，，则（ ） A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>10．已知函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,4]-B ．[2,4]-C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞11．若函数()f x 的零点与2()log 21g x x x =++的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A ．5()42xf x x =+-B ．()1x f x e =-C ．2()(1)f x x =-D ．1()ln()2f x x =-12．设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的个数是（ ）①当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值；②当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数；③若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =；④方程()0f x =可能有三个实数根. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知扇形的圆心角为2rad ，扇形的周长为8cm ，则扇形的面积为_____2cm . 14．函数1()|lg |xf x x e =-的零点个数为______. 15．函数22()log (2)f x x ax a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______.16．函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2,(02)16()51,(2)2xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b ∈R ，有且仅有5个不同实数根，则实数a 的取值范围是______．三、解答题17．计算：（11421()0.25(22-+⨯；（2）7log 2334log lg25lg47log 8log +-+⋅18．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠，其中,a b 均为实数. （1）若函数()f x 的图象经过点()0,2,(1,3)A B ，求函数1()y f x =的值域； （2）如果函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-,求+a b 的值. 19．已知函数2()log )4f x x =⋅的定义域为. （1）设2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()f x 的最大值与最小值及相应的x 的值.20．已知集合22{|log (22)}A x y mx x ==-+，{|24}x B x =≤≤. （1）若A R =，求实数m 的取值范围； （2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围.21．已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+.（1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若2()55f x m mt ≤--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．对于函数1()f x ，2()f x ，()h x ，如果存在实数a ，b ，使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数．（1）当1a b ==，()xh x e =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（2）设函数21()ln(65)f x x x =++，2()ln(23)f x x a =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】由{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，∴{}3,4A B ⋂=，∴{}()1,2,5,6UA B ⋂=，故选D ．2．B 【解析】00042036060=+终边位于第一象限，0008602360140=⨯+终边位于第二象限，选B.3．C 【解析】 【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都得相同，故只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可． 【详解】对于A 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x |x ≠0}，∴不是同一函数对于B 选项，由于f （x ）的定义域为R ，21()1x g x x -=+定义域为{x |x ≠-1}，∴不是同一函数； 对于C 选项，f （x ）和 g （x ）的定义域均为R ，对应关系相同，∴是同一函数 对于D 选项，f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域均为[0,+∞）∴不是同一函数 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题． 4．C 【分析】由函数的奇偶性和单调性的判断方法，分别对选项加以判断，即可得到在其定义域内，既是奇函数又是减函数的函数． 【详解】对于A ．函数是奇函数，但在（﹣∞，0），（0，+∞）均为减函数，故A 错； 对于B ．函数定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，故B 错；对于C ．定义域为R ，且有f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，且f ′（x ）＝﹣3x 2≤0，即f （x ）为减函数，故C 对；对于D ．定义域为R ，但f （0）＝-1≠0，故不是奇函数，故D 错． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义加以判断，同时注意函数的定义域，属于基础题和易错题． 5．B 【分析】先求出终边在y =上的度数，即可得到结论． 【详解】在[0，2π]内终边在直线y =上的角为3π和433πππ=+， 则终边在直线y ＝x 上的角的集合为{α|α＝2k π3π+或2k π43π+}，k ∈Z ， 即{α|α＝k π3π+，k ∈Z}，故选B ． 【点睛】本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础． 6．B 【分析】令对数的真数等于0，求得x 、y 的值，可得图象经过的定点坐标．再根据在幂函数y ＝f （x ）的图象上，求出函数f （x ）的解析式，从而求出lg (2)lg (5)f f +的值． 【详解】∵已知a ＞0且a ≠1，对于函数log (1)4a y x =-+，令x ﹣1＝1，求得x ＝2，y 4=， 可得它的图象恒过定点P （2，4），∵点P 在幂函数y ＝f （x ）＝x n 的图象上，∴2n 4=，∴n 2=，∴f （x ）2x =则f （2）4,525f ==（）,故lg (2)lg (5)f f +=[]lg (2)(5)lg1002f f == 故选B ．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题． 7．A 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法． 8．D 【分析】分析函数的奇偶性和图像变化趋势，利用排除法可得答案． 【详解】 函数f （x ）＝2lg x x满足f （﹣x ）＝f （x ），即函数为偶函数，图象关于原点对称，故排除A,B ；当()0,x f x →→-∞ ，故排除C ，故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档． 9．C 【解析】因为24log 3.2l log 2>>，所以24log 3.2log 233a b =>=；因为log 5c ==41log 2233b ===，所以b c >，所以a b c >>．选C ． 10．A 【分析】由题意根据复合函数的单调性，结合对数函数的性质，可得t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数，故有224240a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，由此解得a 的范围．【详解】∵函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2，+∞）上是减函数，又12log y t =是减函数，∴t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数，∴224240aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，解得﹣2＜a ≤4， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题． 11．A 【分析】由题意判断2()log 21g x x x =++的零点在（14，12）上；再由各个函数的零点可知答案． 【详解】 g （12）＝2﹣12＞0，g （14）1212=-++＜0； 且2()log 21g x x x =++连续且单增， 故2()log 21g x x x =++的零点在（14，12）上； f （x ）＝e x ﹣1的零点为0，f （x ）＝（x ﹣1）2的零点为1； f （x ）＝ln （x 12-）的零点为32；都不合题意， 故选：A ．本题考查了函数的零点的应用，准确判断零点所在区间是关键，属于基础题． 12．C 【分析】①当b ＞0时，把函数f （x ）＝|x |x -bx +c 分x ≥0和x ＜0两种情况讨论，转化为二次函数判单调性，求最值即可；②当b ＜0时，判断f （x ）在()0+∞，和,0是单调增函数加以判断；③推导f （x ）+ f （-x ）＝2c 即可求解；④对b ，c 取特值求方程f （x ）＝0有三个实数根，故可判断． 【详解】①当b ＞0时，f （x ）＝|x |x -bx +c 2200x bx c x x bx c x ⎧+≥=⎨-+-⎩-，，＜，知函数f （x ）在22b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是单调减函数,在+2b⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，， 2b ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-，-上是单调增函数,故函数()f x 在R 上无最小值；故①错误；②当b ＜0时，由①知函数f （x ）在()0+∞，和,0是单调增函数,且函数在0x =处连续，则()f x 在R 是单调增函数；故②正确；③f （x ）+ f （-x ）＝2c,故若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =；故③正确④令b ＝3，c ＝2，则f （x ）＝|x |x ﹣3x +2＝0，解得x ＝1，2．故④正确． 故正确的为②③④． 故选：C 【点睛】此题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决．是好题，属中档题． 13．4 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r ＝2，l ＝4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S ． 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则282l r l r+=⎧⎨=⎩解得r ＝2，l ＝4 由扇形面积公式可得扇形面积S 12=lr 12=⨯2×4＝4故答案为4 【点睛】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题． 14．2 【分析】分别画出两函数图像即可求解 【详解】1()|lg |xf x x e =-的零点个数即1,lg x y y x e ==的交点个数； 在同一个坐标系画出两函数图像得：故1,lgxy y xe==有两个交点，即1()|lg|xf x xe=-的零点个数为2故答案为2【点睛】本题考查指数与对数函数的图像，考查方程与函数零点问题，考查数形结合思想，是中档题15．(,0][8,)-∞+∞【分析】由函数f（x）＝log2（x2﹣ax+2a）的值域为R，可得t＝x2﹣ax+2a能够取到大于0的所有数，再由判别式≥0求得a的取值范围．【详解】∵函数f（x）＝log2（x2﹣ax+2a）的值域为R，∴t＝x2﹣ax+2a能够取到大于0的所有数，则△＝（﹣a）2﹣8a≥0，解得a≤0或a≥8，∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[8，+∞）．故答案为（﹣∞，0]∪[8，+∞）．【点睛】本题考查函数的值域，考查数学转化思想方法，是中档题．16．1 (0,1)4⎧⎫-⎨⎬⎭⎩【分析】做出f（x）的函数图象，令f（x）＝t，根据图象得出方程f（x）＝t的解的情况，得出t的范围，从而得出a的范围．【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）＝t，显然，当t＝0时，方程f（x）＝t有三个解，当0＜t14＜时，方程f（x）＝t有四个解，当t14=或-1＜t＜0时，方程f（x）＝t有两解，当t≤-1或t14＞时，方程f（x）＝t无解．∵关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0，a，b∈R有且仅有5个不同实数根，∴关于t的方程t2+at+b＝0，t∈R有两解，且一解为t1=0，另一解21 4t=或t1=0，另一解-1＜2t＜0，∴b＝0，∵t2+at＝0的两解分别为t1＝0，t2＝﹣a，∴1=4a-，或1-<-a＜0．解得14a=-或0<a＜1故答案为：1 (0,1)4⎧⎫-⎨⎬⎭⎩．【点睛】本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，考查偶函数的性质，注意分类讨论的合理运用，属于中档题．17．（1）7-；（2）2.【分析】（1）利用分数指数幂运算及根式求解即可 （2）利用对数运算求解 【详解】（1）原式4181(72=--+⨯=-； （2）原式32332131log 3lg1002(3log 2)(log 3)222622=+-+⋅=+-+=. 【点睛】本题考查指数幂及对数运算，是基础题 18．（1）()0,1；（2）32-. 【分析】（1）由题意先求得a 、b 的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数()1y f x =的值域．（2）根据函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a 、b 的值，可得a +b 的值． 【详解】（1）函数()f x 的图象经过点()0,2,(1,3)A B所以012213a a b b a b =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩, 所以()21xf x =+,因为20,211x x >+>，即()1f x >，所以1()y f x =()0,1∈ 故1()y f x =的值域为()0,1； （2）当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩,无解． 当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩,解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,所以a ＋b ＝32-.【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题． 19．（1）1[,3]2；（2），当x =()f x 有最小值254-，当8x =时，()f x 有最大值4-. 【分析】（1）利用对数的单调性，若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；（2）利用对数的运算法则化简()22(log 4)(1log )f x x x =-+，结合配方法，即可得出结论． 【详解】（1）由题意可得x ∈，∴21log 32x ≤≤，即t 的取值范围为1[,3]2；（2）222()log ()2(log 2)(1log )4f x x x =⋅=+ 22(log 4)(1log )x x =-+，令2log t x =，则22325(4)(1)34()24y t t t t t =-+=--=--，其中1[,3]2t ∈， 所以，当32t =，即x =()f x 有最小值254-， 当3t =，即8x =时，()f x 有最大值4-. 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查对数的运算法则，配方法的运用，属于中档题． 20．（1）1(,)2+∞；（2）(4,)-+∞. 【解析】 【分析】（）根据函数定义域为R,即可求集合A ；（2）若A ∩B ≠∅，得到集合B 的取值情况，分离参数，转化为有解问题求实数m 的取值范围． 【详解】（1）因为函数22log (22)y mx x =-+的定义域为R ，所以2220mx x -+>在R 上恒成立. 当0m =时，1x <，不在R 上恒成立，故舍去； 当0m ≠时，则有00m >⎧⎨∆<⎩，解得12m >，综上所述，实数m 的取值范围为1(,)2+∞；（2）易得1[,2]2B =，若A B ⋂≠∅，所以2220mx x -+>在1[,2]2上有解，∴22221112()22m x x x >-+=--+有解， 当12x =即12x =时，min 222()4x x-+=-，所以4m >-， 所以实数m 的取值范围为(4,)-+∞. 【点睛】本题主要考查集合的基本应用，考查不等式有解，分离参数是常用方法，是基础题 21．（1）是增函数，证明见解析；（2）(,6][6,)-∞-+∞． 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f （x ）在[﹣1，1]上是的增函数；（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式max ()f x ≤m 2﹣5mt -5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m 的取值范围． 【详解】（1）函数()f x 在[－1，1]上是增函数. 设1211x x∵()f x 是定义在[－1，1]上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+-. 又1211x x ，∴21()0x x +->，由题设2121()()0()f x f x x x +->+-有21()()0f x f x +->，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[－1，1]上是增函数.（2）由（1）知max ()(1)1f x f ==，∴2()55f x m mt ≤--对任意[1,1]x ∈-恒成立， 只需2155m mt ≤--对[1,1]t ∈-]恒成立，即2560m mt --≥对[1,1]t ∈-恒成立，设2()56g t m mt =--，则(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩22560560m m m m ⎧+-≥⇔⎨--≥⎩6,11,6m m m m ≤-≥⎧⇔⎨≤-≥⎩，解得6m ≤-或6m ≥，∴m 的取值范围是(,6][6,)-∞-+∞． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（1）存在，1()2x x e e f x --=，2()2x xe ef x -+=；（2）102[,)33--.【分析】（1）根据定义，列出12(),()f x f x 的方程组求解即可；（2）2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--有唯一解，等价为2453x x a ++=-（5x <-或1x >-），有唯一解，分离参数a 结合函数图像求解即可【详解】（1）依题意可知，12()()xf x f x e +=，① 将x -代替x 得，12()()x f x f x e--+-=，因为1()f x 是奇函数，2()f x 是偶函数，所以12()()xf x f x e --+=，②由①、②可得，1()2x x e e f x --=，2()2x xe ef x -+=；（2）依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--，令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453x x a ++=-（5x <-或1x >-），令2()45g x x x =++（5x <-或1x >-）， 结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点， 所以，实数a 的取值范围为102[,)33--. 【点睛】本题考查了新定义函数的理解和有解的转换．注意数形结合的应用，是中档题。

南昌二中2020—2021学年度上学期期中考试高一数学试卷一、选择题(每小题5分,共60分) 1.已知全集为实数集R ，集合A ={x|x 2+2x −8>0}，B ={x|log 2x <1)，则(∁R A)∩B 等于（ ） A. [−4,2] B. [−4,2) C. (−4,2) D. (0,2) 2.下列关系是从A 到B 的函数的是（ ） A. A =R ，B ={x|x >0}，f ：x →y =|x| B. A =Z ，B =Z ，f ：x →y =x 2 C. A =Z,B =Z,f ：x →y =√xD. A ={x|−1≤x ≤1}，B ={1}，f ：x →y =0 3．在下列区间中函数()243x f x x =-+的零点所在的区间为（ ）A.(1,2)B.1(0,)2C.3(1,)2D.1(,1)24.若a =log 13380，b =2√22，c =2log 210，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b与集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z k k M ,215.αα）之间的关系是（⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k N ,2ααA. M ⊆NB. N ⊆MC. M =ND.6．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y ＝()()122log 2f x x -的定义域为（ ）A ．[32，＋∞) B ．[32，2) C ．(32，＋∞) D ．[12，2) 7.函数f(x)=xlog a |x||x|(0<a <1)的图象大致形状是（ ）A. B. C. D.8.已知对任意的a ∈[−1,1]，函数f(x)=x 2+(a −4)x +4−2a 的值总大于0，则x 的取值范围是（ ）A. x <1或x >3B. 1<x <3C. 1<x <2D. x <2或x >39.设函数f (x )={e x −a (x <1)ln (x +a )(x ≥1)，其中a >−1.若f (x )在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. [e +1,+∞)B. (e +1,+∞)C. (e −1,+∞)D. [e −1,+∞)10．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (−x 0)=−f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”，设f (x )=3x +m −1(m ∈R,m ≠0)是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A. [−23,0)B. [−23,−13]C. [−23,0]D. (−∞,0)φ=N M11.设函数，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ）A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6)12.已知f (x )=x (x +1)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =1对称，则f (x )的值域为（ ）A. [−4,+∞)B. [−94,+∞) C. [−94,4] D. [0,4]二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m 2−m−1在(0,+∞)上单调递增，则m 值为______． 14．函数)2(log log )(24x x x f ⋅=的值域为______．15．函数f (x )=x 2−2x +4的定义域[−1,t ]上的值域为[3,7]，则t 的可取范围为______． 16.已知f(x)=4x −m ⋅2x+1，设g(x)=2x −12x +1，若存在不相等的实数a ，b 同时满足方程g(a)+g(b)=0和 f(a)+f(b)=0，则实数m 的取值范围为______．三、解答题(70分) 17．（1（2）22666661(log 2)(log 3)3log 2(log log 2)3++⨯.18．（本小题12分）已知集合{}{}{}2310,9140,52A x x B x x x C x m x m =<<=-+<=-<<．（1）;)(B A C R 求（2）.),的取值范围求（若m B A C ⋂⊆⎩⎨⎧<+≥+-=0,430,66)(2x x x x x x f19.（本小题12分）已知函数是定义在区间上的奇函数，对于任意的都有．（1）证明在定义域上单调递增;（2）解不等式.20.（本小题12分）已知函数f(x)=log2x，g(x)=ax2−4x+1．（1）若函数y=f(g(x))的值域为R，求实数a的取值范围（2）函数ℎ(x)=f2(x)−f(x2)，若对于任意的x∈[12,2]，都存在t∈[−1,1]使得不等式ℎ(x)>k⋅2t−2成立，求实数k的取值范围21.（本小题12分）已知函数f(x)=a·4x −14x +1是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[k 4m ,k4n ]？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.（本小题12分）已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x+a).（1）当a =4时，解不等式f(x)>0；（2）若关于x 的方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0有两个不等的实数根，求a 的取值范围.高一数学期中考试参考答案1. D 解：∵A ={x|x <−4或x >2}，B ={x|0<x <2}，∴∁R A ={x|−4≤x ≤2}， ∴(∁R A)∩B =(0,2)．故选：D ．2.B 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，A 中有元素0，在对应关系下y =0，不在集合B 中，不是函数；对于B ，符合函数的定义，是从A 到B 的函数； 对于C ，A 中元素x <0时，B 中没有元素与之对应，不是函数；对于D ，A 中任意元素，在对应关系下y =0，不在集合B 中，不是函数；故选：B ． 3．D 由题意得，因为x x 2,3在其定义域内都为增函数，因此)(x f 在R 上为增函数，通过观察发现01)1(,033)21(>=<-=f f ，那么)(x f 在1(,1)2必有零点，故选D.4.C ∵2=log 1319<log 13380<log 13127=3，2√22<2,2log 210=10，∴b <a <c ．故选：C ．与集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z k k M ,2125.A αα.,2N M Z k k N ⊆⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==αα 6．B 由题意得()12326log 20x x ≤≤⎧⎪⎨->⎪⎩⇒332021x x ⎧≤≤⎪⎨⎪<-<⎩⇒32≤x<2，选B 项．7.C 解：f(x)=xlog a |x||x|={log a x,x >0−log a (−x),x <0，且0<a <1，由题意，f(−x)=−f(x)， 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ；x >0时，f(x)=log a x(0<a <1)是单调减函数，排除A ．故选：C ．8．A 解：原题可转化为关于a 的一次函数y =a(x −2)+x 2−4x +4>0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{(−1)(x −2)+x 2−4x +4>0x −2+x 2−4x +4>0⇒{x >3或x <2x >2或x <1⇒x <1或x >3． 9.D 解： 由解析式知f(x)在(−∞,1)单调递增，在(1,+∞)也单调递增， 若f(x)在R 上是增函数，则e 1−a ≤ln(1+a)，即a +ln(a +1)≥e ，因为函数y =x +ln(x +1)在(−1,+∞)单调递增，且当x =e −1时，y 的值为e ， 所以由a +ln(a +1)≥e ，得a ≥e −1．故选D ．10．A 解：因为f(x)=3x +m −1是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，所以存在x 0∈[−1,1]满足f(−x 0)=−f(x 0)，所以3−x 0+m −1=−3x 0−m +1，所以2m =−3−x 0−3x 0+2，构造函数y =−3−x 0−3x 0+2，x 0∈[−1,1]，令t =3x 0,t ∈[13,3]，y =−1t −t +2,y ∈[−43,0]，所以−43≤2m <0,所以−23≤m <0．故答案为[−23,0) ．11.D 解：函数的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2，x 3关于直线x =3对称，故x 2+x 3=6，且x 1是图中线段AB 上的点对应的横坐标，故x B <x 1<x A ，即−73<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：−73+6<x 1+x 2+x 3<0+6；即x 1+x 2+x 3∈(113,6)．故选D ．⎩⎨⎧<+≥+-=0,430,66)(2x x x x x x f12.B 解：因为函数f(x)=x(x +1)(x 2+ax +b)有两个零点−1，0，又因为其图象关于直线x =1对称，所以2，3也是函数f(x)的两个零点，即f(x)=x(x +1)·(x −2)(x −3)，所以f(x)=(x 2−2x)(x 2−2x −3)，令t =x 2−2x =(x −1)2−1≥−1，则y =t(t −3)=t 2−3t =(t −32)2−94(t ≥−1)，所以y ≥−94，即f(x)的值域为[−94,+∞)．13.2 ∵幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m 2−m−1在 (0,+∞)上单调递增， ∴m 2−3m +3=1，且m 2−m −1>0，解得m =2，故答案为：2． 14．),81[+∞-因为242221()log )[(log )log ]2f x x x x ===+ 22111(log )228x =+-，所以1()8f x ≥-，故应填),81[+∞-. 15.[1,3]解：函数f(x)=x 2−2x +4的对称轴为x =1，当x ∈[−1,1]时，f(x)∈[3,7]，当x ⩾1时，f(x)为增函数，可得当x ∈[1,t]时，f(x)∈[3,7]，可得f(t)=7，解得：t =3， 故要使f(x)=x 2−2x +4的定义域[−1,t ]上的值域为[3,7]，t 的可取范围为[1,3]． 16.(12,+∞) 解：易知函数f(x)，g(x)的定义域均为R ．由g (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−g (x )可得，函数g (x )=2x −12x +1是奇函数，所以若g (a )+g (b )=0，必有a +b =0，所以方程f (a )+f (−a )=0有解，即4a −m ⋅2a+1+4−a −m ⋅2−a+1=0有解，4a +4−a −2m ⋅(2a +2−a )=0．令2a +2−a =t ≥2，则2m =t −2t，t ∈[2,+∞)时有解，又函数y =x −2x 在区间[2,+∞)上单调递增，当x =2时，y =1，所以2m ≥1，即m ≥12， 当且仅当a =0时取等号，此时a =b =0不合题意，故m >12． 17．解：（1）131)2()7()271000()12(3256)71(027.04382310143231+-+--=-+-+-----.191316449310131249)310(63133 =+-+-=+-+-=（2）22666661(log 2)(log 3)3log 2(log log 2)3++⨯226666(log 2)(log 3)3log 2log =++⨯226666(log 2)(log 3)3log 2log =++⨯所以原式226666(log 2)(log 3)3log 2log 3=++⨯ 266(log 2log 3)1=+=18．解：（1）{}{}{}2|9140|(2)(7)0|27B x x x x x x x x =-+<=--<=<<{}{}=310=310A x x C A x x x <<∴≤≥R 又或(){}710C A B x x x ∴=<≥R 或.（2);)φφ≠=⇒⋂⊆C C B A C 或（当C =∅时，即52m m -≥⇒53m ≤； 当C ≠∅时，52,53,27,m m m m -<⎧⎪-≥⎨⎪<⎩⇒523m <≤；综上所述，实数m 的取值范围为(],2-∞．19.解：(1)设，，∵m +n ≠0，则x 1≠x 2，则， ∵f （x ）是奇函数，∴f （-x 2）=-f （x 2），∴，不妨设，则，由函数单调性的定义可得函数在区间[-1，1]上是增函数;(2)由(1)知函数在区间[-1，1]上是增函数.又由，得,解得．所以不等式的解集为．20.解：(1)a <0时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意； 当a =0时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当a >0时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0， 故只需△≥0，解得a ∈(0,4]．综上得a ∈[0,4]．(2)由题意可得k ⋅2t <ℎ(x)+2=log 22x −2log 2x +2在x ∈[12,2]恒成立， 则k ⋅2t <ℎ(x)min +2=1在t ∈[−1,1]有解，即k <12t 在t ∈[−1,1]有解， ∴k <(12t )max =2，综上，实数k 的取值范围k <2． 21.解：(1)∵f (x )=a⋅4x −14x +1是定义在R 上的奇函数，∴f (0)=0，从而得出a =1，（2）假设存在实数k ，使之满足题意函数f (x )在[m,n ]上单调递增，∴{f (m )=k4mf (n )=k 4n,∴{4m −14m +1=k4m 4n −14n +1=k 4n,∴m,n 为方程4x −14x +1=k4x 的两个根，即方程4x −14x +1=k4x 有两个不等的实根， 令4x =t >0，即方程t 2−(1+k )t −k =0有两个不等的正根，∴{1+k 2>0Δ>0−k >0, ∴−3+2√2<k <0．∴存在实数k ，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4m ,k4n ]，并且实数k 的取值范围是(−3+2√2,0)．22.解：(1)当时，f(x)=log 2(1x+4)，由得log 2(1x+4)>0=log 21，得，即，解得或，当时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<031x x x 或.(2)由题意得，该问题等价于，化简得，即当时，，不合题意，舍去；当时，，不合题意，舍去．当且时，且.由，得(且)；由，得(且).依题意，若原方程由两个不等的实数根，则(且).故所求的取值范围为．。

2020-2021高一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z5．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20196．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 7．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．69．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7810．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．212．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.14．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 16．函数的定义域为______________．17．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数） 18．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____19．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.20．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.22．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.23．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．24．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．25．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）． 26．计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．6．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.7．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.8．C解析：C【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．12．B解析：B【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 14．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．15．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1c osx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23，即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.18．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：13【解析】 【分析】 由点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax by +=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax by +=，可得关于,a b 的方程组，从而可得结果. 【详解】Q 点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上，把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax by +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13.【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.19．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：320．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()())()()2222f x f x ln1x 1ln1x 1ln 122x x x x +-=+++++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增， 所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩；当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立； 当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立. 【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.22．(1) 60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【解析】 【分析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =⋅的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可. 【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以02106030a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+. 故60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. (2)由题, 260,030()()170,302103x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩,故当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =. 当30210x ≤≤时, 21703()f x x x -+=开口向下且对称轴为70105123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,故此时()f x 最大值为2(105)10517031053675f -⨯+⨯==.综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题.23．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性； （2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930xxx x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围． 【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f = 令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦ ()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q210x x ∴->()210f x x ∴-> ()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930xxxxf k f ⋅+-+>Q()()32793xxxxf k f ∴⋅>--+()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+- 931x x k ∴>-+-令931xxy =-+-，下面求该函数的最大值 令()30xt t =>则()210y t t t =-+->当12t =时，y 有最大值，最大值为34-34k ∴>-∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键． 24．（1）；（2）.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可．【详解】函数是奇函数，，故，故；当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.25．（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5}【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等的解集即可．试题解析：（1）令，得，∴定义域关于原点对称，得，∴∴是奇函数，即又由已知得：由函数是增函数，不等式转化为∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．26．（1）9512；（2）3.【解析】【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=．【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.。

南昌二中期中考试 高一数学试卷一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知全集为实数集R ，集合A ={x|x 2+2x −8>0}，B ={x|log 2x <1)，则(∁R A)∩B 等于（ ）A. [−4,2]B. [−4,2)C. (−4,2)D. (0,2) 2.下列关系是从A 到B 的函数的是（ ） A. A =R ，B ={x|x >0}，f ：x →y =|x| B. A =Z ，B =Z ，f ：x →y =x 2 C. A =Z,B =Z,f ：x →y =√xD. A ={x|−1≤x ≤1}，B ={1}，f ：x →y =0 3．在下列区间中函数()243xf x x =-+的零点所在的区间为（ ）A.(1,2)B.1(0,)2C.3(1,)2D.1(,1)24.若a =log 13380，b =2√22，c =2log 210，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b与集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z k k M ,215.αα）之间的关系是（⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k N ,2ααA. M ⊆NB. N ⊆MC. M =ND.6．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y ＝()()122log 2f x x -的定义域为（ ）A ．[32，＋∞) B ．[32，2) C ．(32，＋∞) D ．[12，2) 7.函数f(x)=xlog a |x||x|(0<a <1)的图象大致形状是（ ）A. B. C. D.8.已知对任意的a ∈[−1,1]，函数f(x)=x 2+(a −4)x +4−2a 的值总大于0，则x 的取值范围是（ ）A. x <1或x >3B. 1<x <3C. 1<x <2D. x <2或x >39.设函数f (x )={e x−a (x <1)ln (x +a )(x ≥1)，其中a >−1.若f (x )在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. [e +1,+∞)B. (e +1,+∞)C. (e −1,+∞)D. [e −1,+∞)10．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (−x 0)=−f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”，设f (x )=3x +m −1(m ∈R,m ≠0)是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ）φ=N MA. [−23,0)B. [−23,−13]C. [−23,0]D. (−∞,0)11.设函数，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ）A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6)12.已知f (x )=x (x +1)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =1对称，则f (x )的值域为（ ） A. [−4,+∞)B. [−94,+∞)C. [−94,4]D. [0,4]二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m 2−m−1在(0,+∞)上单调递增，则m 值为______． 14．函数)2(log log )(24x x x f ⋅=的值域为______．15．函数f (x )=x 2−2x +4的定义域[−1,t ]上的值域为[3,7]，则t 的可取范围为______． 16.已知f(x)=4x −m ⋅2x+1，设g(x)=2x −12x +1，若存在不相等的实数a ，b 同时满足方程g(a)+g(b)=0和 f(a)+f(b)=0，则实数m 的取值范围为______．三、解答题(70分) 17．（1（2）22666661(log 2)(log 3)3log 2(log log 2)3++⨯.18．（本小题12分）已知集合{}{}{}2310,9140,52A x x B x x x C x m x m =<<=-+<=-<<．（1）;)(B A C R 求（2）.),的取值范围求（若m B A C ⋂⊆⎩⎨⎧<+≥+-=0,430,66)(2x x x x x x f19.（本小题12分）已知函数是定义在区间上的奇函数，对于任意的都有．（1）证明在定义域上单调递增;（2）解不等式.20.（本小题12分）已知函数f(x)=log2x，g(x)=ax2−4x+1．（1）若函数y=f(g(x))的值域为R，求实数a的取值范围（2）函数ℎ(x)=f2(x)−f(x2)，若对于任意的x∈[12,2]，都存在t∈[−1,1]使得不等式ℎ(x)>k⋅2t−2成立，求实数k的取值范围21.（本小题12分）已知函数f(x)=a·4x −14x +1是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[k 4m ,k4n ]？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.（本小题12分）已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x+a).（1）当a =4时，解不等式f(x)>0；（2）若关于x 的方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0有两个不等的实数根，求a 的取值范围.高一数学期中考试参考答案1. D 解：∵A ={x|x <−4或x >2}，B ={x|0<x <2}，∴∁R A ={x|−4≤x ≤2}， ∴(∁R A)∩B =(0,2)．故选：D ．2.B 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，A 中有元素0，在对应关系下y =0，不在集合B 中，不是函数；对于B ，符合函数的定义，是从A 到B 的函数； 对于C ，A 中元素x <0时，B 中没有元素与之对应，不是函数；对于D ，A 中任意元素，在对应关系下y =0，不在集合B 中，不是函数；故选：B ． 3．D 由题意得，因为x x2,3在其定义域内都为增函数，因此)(x f 在R 上为增函数，通过观察发现01)1(,033)21(>=<-=f f ，那么)(x f 在1(,1)2必有零点，故选D.4.C ∵2=log 1319<log 13380<log 13127=3，2√22<2,2log 210=10，∴b <a <c ．故选：C ．与集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z k k M ,2125.A αα.,2N M Z k k N ⊆⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==αα 6．B 由题意得()12326log 20x x ≤≤⎧⎪⎨->⎪⎩⇒332021x x ⎧≤≤⎪⎨⎪<-<⎩⇒32≤x<2，选B 项．7.C 解：f(x)=xlog a |x||x|={log a x,x >0−log a (−x),x <0，且0<a <1，由题意，f(−x)=−f(x)， 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ；x >0时，f(x)=log a x(0<a <1)是单调减函数，排除A ．故选：C ．8．A 解：原题可转化为关于a 的一次函数y =a(x −2)+x 2−4x +4>0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{(−1)(x −2)+x 2−4x +4>0x −2+x 2−4x +4>0⇒{x >3或x <2x >2或x <1⇒x <1或x >3． 9.D 解： 由解析式知f(x)在(−∞,1)单调递增，在(1,+∞)也单调递增， 若f(x)在R 上是增函数，则e 1−a ≤ln(1+a)，即a +ln(a +1)≥e ，因为函数y =x +ln(x +1)在(−1,+∞)单调递增，且当x =e −1时，y 的值为e ， 所以由a +ln(a +1)≥e ，得a ≥e −1．故选D ．10．A 解：因为f(x)=3x +m −1是定义在[−1,1]上的“倒戈函数”，所以存在x 0∈[−1,1]满足f(−x 0)=−f(x 0)，所以3−x 0+m −1=−3x 0−m +1，所以2m =−3−x 0−3x 0+2，构造函数y =−3−x 0−3x 0+2，x 0∈[−1,1]，令t =3x 0,t ∈[13,3]，y =−1t−t +2,y ∈[−43,0]，所以−43≤2m <0,所以−23≤m <0．故答案为[−23,0) ．11.D 解：函数的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2，x 3关于直线x =3对称，故x 2+x 3=6，且x 1是图中线段AB 上的点对应的横坐标，故x B <x 1<x A ，即−73<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：−73+6<x 1+x 2+x 3<0+6；即x 1+x 2+x 3∈(113,6)．故选D ．12.B 解：因为函数f(x)=x(x +1)(x 2+ax +b)有两个零点−1，0，又因为其图象关于直线x =1对称，所以2，3也是函数f(x)的两个零点，即f(x)=x(x +1)·(x −2)(x −3)，所以f(x)=(x 2−2x)(x 2−2x −3)，令t =x 2−2x =(x −1)2−1≥−1，则y =t(t −3)=t 2−3t =(t −32)2−94(t ≥−1)，所以y ≥−94，即f(x)的值域为[−94,+∞)．13.2 ∵幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m 2−m−1在 (0,+∞)上单调递增， ∴m 2−3m +3=1，且m 2−m −1>0，解得m =2，故答案为：2． 14．),81[+∞- 因为222422222log 1()log log (2)[(log )log ]2log 2x f x x x x x =⋅=⨯=+ 22111(log )228x =+-，所以1()8f x ≥-，故应填),81[+∞-. 15.[1,3]解：函数f(x)=x 2−2x +4的对称轴为x =1，当x ∈[−1,1]时，f(x)∈[3,7]，当x ⩾1时，f(x)为增函数，可得当x ∈[1,t]时，f(x)∈[3,7]，可得f(t)=7，解得：t =3， 故要使f(x)=x 2−2x +4的定义域[−1,t ]上的值域为[3,7]，t 的可取范围为[1,3]． 16.(12,+∞) 解：易知函数f(x)，g(x)的定义域均为R ．由g (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−g (x )可得，函数g (x )=2x −12x +1是奇函数，所以若g (a )+g (b )=0，必有a +b =0，所以方程f (a )+f (−a )=0有解，即4a −m ⋅2a+1+4−a −m ⋅2−a+1=0有解，4a +4−a −2m ⋅(2a +2−a )=0．令2a +2−a =t ≥2，则2m =t −2t，t ∈[2,+∞)时有解，又函数y =x −2x 在区间[2,+∞)上单调递增，当x =2时，y =1，所以2m ≥1，即m ≥12， 当且仅当a =0时取等号，此时a =b =0不合题意，故m >12． 17．解：（1）131)2()7()271000()12(3256)71(027.04382310143231+-+--=-+-+-----.191316449310131249)310(63133 =+-+-=+-+-=（2）223666661(log 2)(log 3)3log 2(log 18log 2)3++⨯-3226666318(log 2)(log 3)3log 2log 2=++⨯ 2236666(log 2)(log 3)3log 2log 9=++⨯⎩⎨⎧<+≥+-=0,430,66)(2x x x x x x f所以原式226666(log 2)(log 3)3log 2log 3=++⨯ 266(log 2log 3)1=+= 18．解：（1）{}{}{}2|9140|(2)(7)0|27B x x x x x x x x =-+<=--<=<<{}{}=310=310A x x C A x x x <<∴≤≥R 又或(){}710C A B x x x ∴=<≥R 或.（2);)φφ≠=⇒⋂⊆C C B A C 或（当C =∅时，即52m m -≥⇒53m ≤； 当C ≠∅时，52,53,27,m m m m -<⎧⎪-≥⎨⎪<⎩⇒523m <≤；综上所述，实数m 的取值范围为(],2-∞．19.解：(1)设，，∵m +n ≠0，则x 1≠x 2，则， ∵f （x ）是奇函数，∴f （-x 2）=-f （x 2），∴，不妨设，则，由函数单调性的定义可得函数在区间[-1，1]上是增函数;(2)由(1)知函数在区间[-1，1]上是增函数.又由，得,解得．所以不等式的解集为．20.解：(1)a <0时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意； 当a =0时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当a >0时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0， 故只需△≥0，解得a ∈(0,4]．综上得a ∈[0,4]．(2)由题意可得k ⋅2t <ℎ(x)+2=log 22x −2log 2x +2在x ∈[12,2]恒成立， 则k ⋅2t <ℎ(x)min +2=1在t ∈[−1,1]有解，即k <12t 在t ∈[−1,1]有解， ∴k <(12t )max =2，综上，实数k 的取值范围k <2． 21.解：(1)∵f (x )=a⋅4x −14x +1是定义在R 上的奇函数，∴f (0)=0，从而得出a =1，（2）假设存在实数k ，使之满足题意函数f (x )在[m,n ]上单调递增，∴{f (m )=k4mf (n )=k 4n,∴{4m −14m+1=k 4m4n −14n +1=k 4n,∴m,n 为方程4x −14x +1=k 4x的两个根，即方程4x −14x +1=k 4x有两个不等的实根，令4x =t >0，即方程t 2−(1+k )t −k =0有两个不等的正根，∴{1+k 2>0Δ>0−k >0, ∴−3+2√2<k <0．∴存在实数k ，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4,k4]，并且实数k 的取值范围是(−3+2√2,0)．22.解：(1)当时，f(x)=log 2(1x +4)，由得log 2(1x +4)>0=log 21， 得，即，解得或，当时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<031x x x 或. (2)由题意得，该问题等价于，化简得，即当时，，不合题意，舍去；当时，，不合题意，舍去．当且时，且.由，得(且)；由，得(且).依题意，若原方程由两个不等的实数根，则(且).故所求的取值范围为．。

2020-2021学年江西省南昌市第二中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集可表示为（ ）A ．{}1,2B ．()1,2C ．(){},1,2x y x y ==D ．()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭【答案】C【解析】根据集合的表示方法确定正确选项. 【详解】方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，根据集合的表示方法可知方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集可表示为(){},1,2x y x y ==或()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭.所以C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合的表示方法，属于基础题.2．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．4 D ．2或4【答案】A【解析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项. 【详解】 依题意2A ∈，若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠；若2=a ，则2a =-或2a =（舍去），此时{}2,2,4A =--，符合题意； 若22a -=，则4a =，而4a =，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠. 综上所述，a 的值为2-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.3．已知集合{}220,A xax x a a R =++=∈∣，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0，1 D ．-1，0，1【答案】D【解析】根据集合A 有且仅有两个子集，由方程220ax x a ++=只有一个解求解. 【详解】因为集合A 有且仅有两个子集，即为∅和集合A 本身， 故集合A 中的元素只有一个， 即方程220ax x a ++=只有一个解，当0a =时，原方程为20x =，即0x =，符合题意； 当0a ≠时，令22240a ∆=-=，1a ∴=±综上，1a =-，0a =或1a =可符合题意. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的子集，还考查了分类讨论思想，属于基础题. 4．下面的对应是从集合A 到集合B 的一一映射（ ） A ．,,A R B R ==对应关系1:,,;f y x A y B x=∈∈ B ．,X R Y =={非负实数}，对应关系4:,,;f y x x X y Y =∈∈C ．{}{}1,2,3,4,N ,M ==2,4,6,8,10对应关系:2,,;f n m n N m M =∈∈D ．A ={平面上的点}(){},,,,B x y x y R =∈对应关系:f A 中的元素对应它在平面上的坐标. 【答案】D【解析】根据一一映射的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，集合A 中元素0，在集合B 中没有元素与其对应，故A 选项错误. 对于B 选项，集合X 中的元素1和1-，在集合Y 中对应的元素为1，所以不是一一映射，故B 选项错误.对于C 选项，集合N 中的元素10，在集合M 中没有元素与其对应，故C 选项错误. 对于D 选项，平面上的点都对应一个坐标，任意一个坐标都对应平面上的一个点，所以D 选项符合题意. 故选：D 【点睛】本小题主要考查一一映射的知识，属于基础题. 一一映射一般指双射.既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”.5．对于全集U 的子集M ，N ，若M 是N 的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ） A ．()UM N ⋂B ．()UM N ⋂C ．()()UU M N ⋂ D ．M N ⋂【答案】B【解析】由题意画出韦恩图,由韦恩图可直接分析出答案． 【详解】由题意，可画出韦恩图如下图所示：由图可知，()UM N ⋂=∅所以选B 【点睛】本题考查了集合与集合的基本关系，用韦恩图分析集合间包含关系的应用，属于基础题．6．已知2,m <-点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图象上，则（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．132y y y <<D ．213y y y <<【答案】B【解析】根据二次函数22y x x =-的对称轴、开口方向和单调性确定正确选项. 【详解】二次函数22y x x =-的对称轴为1x =，开口向上，在(),1-∞上递减， 由于2m <-，则13,2,11m m m -<-<-+<-， 且11m m m -<<+， 所以321y y y <<. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题. 7．已知定义在R 上的函数()f x 的值域为33,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数()()1g x f x =+ ）A ．17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．170,,28⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】先求得()1f x +的值域，利用换元法求得()g x 的值域.【详解】由于定义在R 上的函数()f x 的值域为33,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以()1f x +的值域为33,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.依题意()()1g x f x =+()()()331321,213,1214444f x f x f x -≤+≤-≤-+≤≤-+≤，所以122≤≤，令t =，122t ≤≤，则()2112t f x -+=，所以()g x 可化为2211122222t t y t t t -⎛⎫=+=-++≤≤ ⎪⎝⎭， 此函数的对称轴为1t =，所以1t =时，max 111122y =-++=， 2t =时，2min2112222y =-++=.所以()g x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法.8．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座.则听讲座的人数为（ ） A ．181 B ．182C ．183D ．184【答案】D【解析】将已知条件用Venn 图表示出来，由此确定听讲座的人数. 【详解】将已知条件用Venn 图表示出来如下图所示，所以听讲座的人数为62751145450184++++++=. 故选：D【点睛】本小题主要考查Venn 图，属于基础题. 9．已知函数()()2221f x m x mx =+++的值域是[)0,+∞，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．[]1,2-C ．[][)2,12,--+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】由题意可知函数()2221y m x mx =+++的值域包含[)0,+∞，分20m +=与20m +≠两种情况讨论，可得出关于实数m 的不等式，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】 由于函数()()2221f x m x mx =+++的值域是[)0,+∞，则函数()2221y m x mx =+++的值域包含[)0,+∞.当20m +=时，2m =-，此时函数41y x =-+的值域为R ，合乎题意；当20m +≠时，2m ≠-，要使得二次函数()2221y m x mx =+++的值域包含[)0,+∞.则()()2220442420m m m m m +>⎧⎪⎨∆=-+=--≥⎪⎩，解得21m -<≤-或2m ≥. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)2,12,--+∞.故选：C. 【点睛】本题考查复合型二次函数的值域求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.10．已知函数()f x =，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】先求出()f x =()()12f x f x +>答案.【详解】函数()f x =1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为()1f x =是单调递增函数，()2f x =是单调递增函数， 所以()f x =[1,1]x ∈-上的单调递增函数，由不等式()()12f x f x +>得11112112x x x x-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+>⎩，解得102x -≤≤，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，利用函数的单调性解不等式，属于基础题.11．已知函数()4f x x =+当[]1,4x ∈时，()1f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,-+∞ B．)⎡-+∞⎣C ．()4,-+∞D．()-+∞【答案】D【解析】结合换元法、分离常数法、基本不等式求得实数m 的取值范围. 【详解】令t =，由于14x ≤≤，所以12t ≤≤，依题意()1f x >恒成立，即241t mt ++>在区间[]1,2上恒成立， 则3m t t ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭在区间[]1,2上恒成立，由于3t t ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当3t t =，即t =时等号成立，所以m >-故选：D 【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值，属于中档题.12．若存在n R ∈，且存在[]1,x m ∈，使得不等式2123mx nx x ++≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．[]1,2 B ．(],2-∞ C ．(]1,2 D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令1x =，则存在n R ∈使得，132m n +≤-，只需()max1323m n +≤-=，再结合m 为区间右端点，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令1x =，则存在n R ∈使得123m n ++≤， 即存在n R ∈使得132m n +≤-， 则只需()max1323m n +≤-=，即：313m -≤+≤ 解得：42m -≤≤，又因为m 为区间右端点，则1m ，所以12m <≤， 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式有解和恒成立问题，属于中档题.二、填空题13．设函数()()f xg x ==函数()()⋅f x g x 的定义域为________. 【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】根据函数的解析式，只需要()f x ，()g x 同时有意义即可求解.要使()()⋅f x g x 有意义， 则230x ->即可， 解得32x >， 所以函数()()⋅f x g x 的定义域为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了给出解析式的函数的定义域的求法，属于容易题.14．函数248y kx x =--在区间[]5,10上单调递增，则实数k 的取值范围为________. 【答案】2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】分0,0k k =≠两种情况讨论，由一次函数及二次函数的图象与性质可求解. 【详解】当0k =时，48y x =--在R 上单调递减，不符合题意， 当0k ≠时，要使二次函数248y kx x =--在[]5,10上单调递增，则025k k>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得25k ≥， 故答案为：2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题. 15．已知集合,,A B C ，且,,A B A C ⊆⊆若{}{}1,2,3,4,0,1,2,3B C ==，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为______. 【答案】24【解析】由题意推出集合A 是两个集合的子集，求出集合B ，C 的公共元素得到集合A ，进而求出结论.因为集合,,A B C ，且,,A B A C ⊆⊆{}{}1,2,3,4,0,1,2,3B C ==， 所以集合A 是{}1,2,3BC =的子集，故A 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}, 所以集合A 的各个元素之和为()41+2+3=24， 故答案为：24 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，集合的子集的运算，考查基本知识的应用，属于中档题． 16．已知函数()()()10,1f x ax a g x x=>=--，若方程()()f x g x =有两个实根为12,,x x 且121,,33x tx t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为_______ .【答案】31,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由()()f x g x =化简得210ax x ++=（0x ≠），结合根与系数关系求得a 关于t 的表达式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由()()f x g x =化简得210ax x ++=（0x ≠）， 此方程有两个实根为12,,x x 且121,,33x tx t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以1140,4a a ∆=-≥≤. ()212222122221111111x x x tx x a t a ax x tx x tx a a a ⎧⎧⎧=-+=-+=-⎪⎪⎪+⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪⋅=⋅==⎪⎪⎪⎩⎩⎩， ()()21101t a a t a ⎡⎤⋅-=>⎢⎥+⎣⎦，化简得211312132t a t t t t t⎛⎫==≤≤ ⎪++⎝⎭++，函数12 y tt=++在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,3上递增，当13t=或3t=时，163y=；当1t=时，4y=，所以11624,3y tt⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，所以131,11642tt⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++，也即a的取值范围是31,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：31,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查根据方程的根的个数（分布）求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题17．已知集合23|05xA xx-⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2|320B x x x=-+<，全集U=R．（1）求集合A B；（2）求集合()UC A B⋂.【答案】（1）{}|52x x-<<；（2）3|22x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【解析】试题分析：（1）根据分式不等式的解法化简集合23|05xA xx-⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，根据一元二次不等式的解法化简集合{}2|320B x x x=-+<，利用集合并集的定义可得集合A B⋃；（2）根据化简后的集合A可得U C A，在根据交集的定义可得集合()UC A B⋂.试题解析：（1）.（2）或， .18．（1）已知()f x 满足()()3214,f x f x x +-=求()f x 解析式；（2）已知函数()()21,0,0,,02,0x x x x f x g x xx x x x ⎧⎧+>>⎪==⎨⎨-≤⎩⎪≤⎩，当0x >时，求()()g f x 的解析式.【答案】（1）()845f x x =-；（2）()()21g f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【解析】（1）首先用1x -换x ，构造出()()()31241f x f x x -+=-，再利用解方程组的方法求解函数()f x 的解析式；（2）先求0x >时，函数()f x 的值域，再代入求值. 【详解】（1）用1x -换x ，则()()()31241f x f x x -+=-，所以()()()()()321431241f x f x xf x f x x ⎧+-=⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：()845f x x =-；（2）当0x >时，()10f x x x =+>，所以()()21g f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数解析式的求法，复合函数，属于基础题型. 19．已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-. （1）若()UA B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若AB B ≠，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭.【解析】（1）先计算UA ，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.（2）先求出A B B =时a 的取值范围，再求其补集即可.【详解】（1）∵{}|02A x x=≤≤，∴{|0UA x x=<或}2x>，若()UA B R⋃=，则32322a aaa-≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a≤∴实数a的取值范围是1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.（2）若A B B=，则B A⊆.当B=∅时，则32-<a a得1,a>当B≠∅时，若B A⊆则322aa≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a的取值范围为1,2a⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭，故A B B≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题.20．已知二次函数()2f x ax bx c=++，()()01,10,f f==且对任意实数x均有()0f x≥成立.（1）求()f x解析式；（2）若函数()()()21g x f x m x=+-在[)2,+∞上的最小值为7,-求实数m的值.【答案】（1）()221f x x x=-+；（2）2 2.m=【解析】（1）利用函数值以及函数的值域，转化求解a，b，c，即可得到函数的解析式．（2）求出函数的解析式，通过函数的最小值，求解m的值即可．【详解】（1）二次函数2()f x ax bx c=++，(0)1f=，f（1）0=，所以1c =，1a b +=-， 对任意实数x 均有()0f x 成立，240b a =-≤，()220b +≤解得1a =，2b =-，所以函数的解析式为：2()21f x x x =-+；（2）2()21g x x mx =-+，函数的对称轴为x m =，①当2m <时，()min g x g =（2）547m =-=-，则3m =（舍)；②当2m 时，2()()17min g x g m m ==-=-，得m =-（舍） ．综上，m =． 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．21．已知定义在R 上的函数()f x 对任意12,x x R ∈都有等式()()()12121f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，关于x 不等式)3f t f+>恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）()1,t ∈-+∞.【解析】（1）取特殊值可得()01f =，()1y f x =-，再利用函数的单调性定义可得答案；（21t >转化为恒成立的问题可求解. 【详解】（1）令120x x ==，所以()()()0001f f f =+-，所以()01f =，令12,x x x x ==-，则()()()011f f x f x =+--=，()()()11f x f x -=---， 所以()1y f x =-是奇函数，任取12,,x x R ∈且12x x <，则210,x x ->()211,f x x ∴-> 因为()()()12121f x x f x f x +=+-，所以()()()()()()()211221211[1]1f x x f x f x f x f x f x f x -=-+-=---=-+，当0x >时，有()1f x >，所以()()()212111f x x f x f x -=-+>， 所以()()21f x f x >，故()f x 在R 上是单调递增函数.（2）()()()()()()()312111111312f f f f f f f =+-=-++-=-，()12,f ∴= 原不等式等价于))()121ft fft f +-=>=，因为()f x 在R 1t >恒成立，令[])2,2,y x =∈-即1t y >-恒成立，[]0,2,所以[]244,8,y =+,y ⎡∴∈⎣11,1,y ⎡⎤∴-∈--⎣⎦()1,.t ∴∈-+∞【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性的判断、单调性的判断，及恒成立的问题. 22．已知函数()23f x x m x =+-.（1）当0m =时，求函数()y f x =的单调递减区间；（2）当01m <≤时，若对任意的[),x m ∈+∞，不等式()()12f x m f x m --≤-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为：3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和30,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）2⎡⎤-+⎣⎦. 【解析】（1）当0m =时，将()f x 表示为分段函数的形式，结合二次函数的性质求得()f x 的单调递减区间.（2）将不等式()()12f x m f x m --≤-恒成立转化为24613(1)0x x m x m -+-+-+≥在[),x m ∈+∞上恒成立，由此构造函数()g x ，将()g x 表示为分段函数的形式，结合()g x 的最小值，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）因为0m =，所以()2223,033,0x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，因为函数()23f x x x =-的对称轴为32x =，开口向上；所以当302x <<时， 函数()23f x x x =-单调递减；当32x >时，函数()23f x x x =-单调递增； 又函数()23f x x x =+的对称轴为32x =-，开口向上；所以当302x -<<时，函数()23f x x x =+单调递增；当32x <-时，函数()23f x x x =+单调递减；因此，函数()y f x =的单调递减区间为：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意，不等式()()12f x m f x m --≤-可化为22(1)3126x x m x x m ----≤--，即24613(1)0x x m x m -+-+-+≥在[),x m ∈+∞上恒成立，令2()4613(1)g x x x m x m =-+-+-+，则只需min ()0g x ≥即可；因为01m <≤，所以112m <+≤，因此222792,1()4613(1)34,1x x m m x m g x x x m x m x x m x m ⎧-++≤≤+=-+-+-+=⎨-+->+⎩，当1m x m +≤≤时，函数2()792g x x x m =-++开口向上，对称轴为：712x m =>+，所以函数()g x 在[],1m m +上单调递减；当1x m >+时，函数2()34g x x x m =-+-开口向上，对称轴为112x m =<+； 所以函数()g x 在[)1,m ++∞上单调递增；因此2min ()(m 1)44g x g m m =+=+-，由min ()0g x ≥得2440m m +-≥，解得2m ≥-+2m ≤--01m <≤，所以21m -+≤≤.即实数m 的取值范围为2⎡⎤-+⎣⎦.【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解.。

2020-2021学年高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合A＝{x|−1≤x<4，x∈Z)，则集合A中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62. 设f(x)={x+3,x>10x2−x−2,x≤10，则f(5)的值为（）A.16B.18C.21D.243. 函数y＝−x2+2x−3(x<0)的单调增区间是（）A.(0, +∞)B.(−∞, 0)C.(−∞, 1]D.(−∞, −1]4. f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( )A.(3, −2)B.(3, 2)C.(−3, −2)D.(2, −3)5. 设y1＝40.9，y2=log124.3，y3＝(13)1.5，则（）A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y26. 已知集合A＝{y|y＝2x, x<0}，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝（）A.{y|y>0}B.{y|y>1}C.{y|0<y<1}D.⌀7. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.y＝x+1B.y＝x|x|C.y=1x D.y=x+1x8. 函数y＝x+a与函数y＝log a x的图象可能是（）A. B.C.D.9. 已知函数f(x)＝e x −x 2+8x ，则在下列区间中f(x)必有零点的是（ ）A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)10. 定义在R 上的奇函数f(x)在[0, +∞)是减函数，且f(−2)=1，则满足−1≤f(x −1)≤1的x 的取值范围是( )A.[−2, 2]B.[−2, 1]C.[−1, 3]D.[0, 2] 二、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)＝log 2(ax +b)，若f(2)＝1，f(3)＝2，求f(5)．计算下列各题：①0.008114+(4−34)2+(√8)−43−16−0.75 ②lg 25+lg 21g50+21+12log 25已知集合A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1<x <6}，C ＝{x|x >a}，U ＝R ．（1）求A ∪B ，(∁U A)∩B ；（2）若A ∩C ≠⌀，求a 的取值范围．已知二次函数f(x)图象过点(0, 3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．已知函数f(x)＝x 2+2ax +2，x ∈[−5, 5]．（1）当a ＝−1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在区间[−5, 5]上是单调函数．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）函数f(x)=√x+1x的定义域是________．函数f(x)=a x−1+1(a >0且a ≠1)恒过定点________．已知函数f(x)={x 2+1(x ≤0)−2x(x >0)，若f(x)＝10，则x ＝________．函数f(x)＝log 2(8x +1)的值域为________．若函数f(x)＝ax +b 的零点是2，则函数g(x)＝bx 2−ax 的零点是________＝0，或________=−12 ． 四、解答题（本大题共2小题，共25分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）设函数f(x)=1+x 21−x 2．（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）求f(12)+f(13)+f(14)+...+f(12019)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(2019)的值．已知f(x)为R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝ln (3x +2)．（1）证明y ＝f(x)在[0, +∞)单调递增；（2）求f(x)的解析式；（3）求不等式f(x +2)≤f(2x)的解集．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】C【解析】将符合−1≤x<4，x∈Z的条件带入求出x值即可．2.【答案】B【解析】根据题意，由函数的解析式，直接计算可得答案．3.【答案】B【解析】根据所给的二次函数的二次项系数小于零，得到二次函数的图象是一个开口向下的抛物线，根据对称轴，可得结论，注意定义域．4.【答案】A【解析】根据f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，可得：f(3)=−2，进而得到答案．5.【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，分别判断三个式子值的范围，可得答案．6.【答案】C【解析】先分别求出集合A，B，由此求出A∩B．7.【答案】B【解析】根据函数的单调性和奇偶性的性质判断即可．8.【答案】C【解析】由a在对数函数及y＝x+a中的意义，通过分析可得结果．9.【答案】B【解析】构造函数g(x)＝e x ，ℎ(x)＝x 2−8x ，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间．10.【答案】C【解析】由已知可得，可得，f(x)在R 上单调递减，然后结合f(−2)＝1，f(2)＝−1，从而可求．二、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】由f(2)＝1，f(3)＝2，得{log 2(2a +b)=1log 2(3a +b)=2， 即{2a +b =23a +b =4， ∴ {a =2b =−2， ∴ f(x)＝log 2(2x −2)，∴ f(5)＝log 28＝3．【解析】根据对数的基本运算，联立方程即可求出a ，b 的值．【答案】①原式=(0.3)4×14+(2−32)2+(232)−43−24×(−0.75)=0.3+2−3+2−2−2−3＝0.3+0.25＝0.55②原式=lg 25+21g21g5+lg 22+21⋅212log 25=(lg 5+lg 2)2+21⋅2log 2√5=1+2√5 所以①的值为：0.55．②的值为：1+2√5【解析】①利用幂指数的运算性质，有理指数幂的性质直接化简即可得到答案．②利用对数的运算性质，以及lg 2+lg 5＝1，a log a N=N ，化简表达式，即可求出lg 25+lg 21g50+21+12log 25的值．【答案】∵ A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1<x <6}，U ＝R ，∴ A ∪B ＝{x|1<x ≤8}，∁U A ＝{x|x <2或x >8}，则(∁U A)∩B ＝{x|1<x <2}，∵ A ＝{x|2≤x <8}，C ＝{x|x >a}，且A ∩C ≠⌀，∴ a <8．【解析】（1）由A 与B ，求出两集合的并集，求出A 的补集，找出A 补集与B 的交集即可；（2）根据A 与C 的交集不为空集，求出a 的范围即可．【答案】设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)因为f(x)图象过点(0, 3)，所以c＝3又f(x)对称轴为x＝2，∴−b=2即b＝−4a2a所以f(x)＝ax2−4ax+3(a≠0)设方程ax2−4ax+3＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，,x12+x22=10则x1+x2=4,x1x2=3a∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=16−6，a=10所以16−6a得a＝1，b＝−4所以f(x)＝x2−4x+3【解析】由已知中函数f(x)为二次函数，我们可以采用待定系数法求函数的解析式，根据函数f(x)图象过点(0, 3)，图象的对称轴为x＝2，两个零点的平方和为10，结合韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），我们可以构造一个关于系数a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值后，即可得到f(x)的解析式．【答案】当a＝−1时，函数f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1的对称轴为x＝1，∴y＝f(x)在区间[−5, 1]单调递减，在(1, 5]单调递增，且f(−5)＝37，f(5)＝17<37，∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(−5)＝37；∵f(x)＝x2+2ax+2在区间[−5, 5]上是单调函数，∴对称轴x＝−a≥5或−a≤−5，解得：a≥5或a≤−5．【解析】（1）直接将a＝−1代入函数解析式，求出最大最小值．（2）先求f(x)的对称轴x＝−a，所以若y＝f(x)在区间[−5, 5]上是单调函数，则区间[−5, 5]在对称轴的一边，所以得到−a≤−5，或−a≥5，这样即得到了a的取值范围．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）【答案】[−1, 0)∪(0, +∞)【解析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【答案】(1, 2)【解析】令x−1=0，求得x和y的值，从而求得函数f(x)=a x−1+1(a>0且a≠1)恒过定点的坐标．【答案】−3【解析】当x≤0时，f(x)＝x2+1＝10；当x>0时，f(x)＝−2x＝10，由此能求出结果．【答案】(0, +∞)【解析】根据函数的定义域求出函数的值域即可．【答案】x ,x【解析】由函数f(x)＝ax +b 的零点为x ＝2，可得 2a +b ＝0，令g(x)＝0，可得 x ＝0，或x =12−，由此得出结论四、解答题（本大题共2小题，共25分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】要使f(x)有意义，则x 2≠1，∴ x ≠±1，∴ f(x)的定义域为{x|x ≠±1}；由（1）知定义域关于原点对称，f(−x)=1+x 21−x 2=f(x)，∴ f(x)为偶函数，∵ f(1x )+f(x)=1+1x 21−1x 2+1+x 21−x 2=1+x 2x 2−1+1+x 21−x 2=0， ∴ f(12)+f(13)+f(14)+⋯+f(12019)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(2019)＝0．【解析】（1）容易看出，要使得f(x)有意义，则需满足x 2≠1，从而求出f(x)的定义域为{x|x ≠±1}；（2）根据（1）可知f(x)的定义域关于原点对称，并容易求出f(−x)＝f(x)，从而得出f(x)是偶函数；（3）容易求出f(1x )+f(x)=0，从而求出原式＝0．【答案】证明：任取0≤x 1≤x 2，f(x 1)−f(x 2)＝ln (3x 1+2)−ln (3x 2+2)＝ln 3x 1+23x 2+2， ∵ 0≤x 1≤x 2，∴ 3x 1+23x 2+2<1，即ln 3x 1+23x 2+2<0， ∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ y ＝f(x)在[0, +∞)单调递增．设x <0，则−x >0，∵ f(x)为偶函数，∴ f(−x)＝ln (−3x +2)＝f(x)，故f(x)的解析式为f(x)={ln (3x +2),x ≥0ln (−3x +2),x <0． ∵ f(x)为R 上的偶函数，∴ 原不等式等价于f(|x +2|)≤f(|2x|)，又y ＝f(x)在[0, +∞)单调递增，∴ |x +2|≤|2x|，解得x ≤−23或x ≥2，或x≥2}．故不等式的解集为{x|x≤−23【解析】（1）根据函数单调性的定义，运用“五步法”：任取、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可；（2）设x<0，则−x>0，将−x代入f(x)的解析式中，并利用f(x)为偶函数即可得解；（3）原不等式等价于f(|x+2|)≤f(|2x|)，再由f(x)的单调性得|x+2|≤|2x|，解之即可．。